MathProf - Integral berechnen - Flächenberechnung - Integration - Integrieren

MathProf - Mathematik-Software - Integralrechnung | Fläche | Bogenlänge | Schwerpunkt

Fachthema: Integralrechnung

MathProf - Analysis - Ein Programm für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte aus der Naturwissenschaft mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren. Neben der Durchführung numerischer Berechnungen zum entsprechenden Fachthema, ermöglicht es auch die Ausgabe zweidimensonaler Echtzeitdarstellungen sowie die Erstellung mathematischer 2D-Bilder.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Integralrechnung | Fläche | Bogenlänge | Schwerpunkt

Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung der Integralberechnung über frei festlegbare Grenzen (Intervalle) mit Funktionen unterschiedlicher Definitionsart.

In diesem Teilprogramm erfolgt neben anderem, mittels der Anwendung der numerischen Integration, die Durchführung der Flächenberechnung, der Volumenberechnung sowie der Schwerpunktberechnung von Flächen über ein dafür festgelegtes Intervall. Auch wird auch das Plotten der Fläche ermöglicht, welche von einer definierten Kurve sowie der x-Achse begrenzt wird. Des Weiteren kann die Fläche, welche von zwei definierten Funktionen innerhalb eines definerten Intervalls eingeschlossen wird, dargestellt werden.

Der Integralrechner dieses Unterprogramms ermittelt zudem die Bogenlänge (Länge einer Kurve), das statische Moment, das Rotationsvolumen, die Mantelfläche und den Schwerpunkt der entsprechenden Kurve bzw. Fläche (Flächenschwerpunkt). Die hierfür erforderlichen Integrationsgrenzen (Integralgrenzen) sind wählbar.


 Funktionen können in verschiedenen Darstellungsformen definiert werden. Dies sind unter anderem die explizite Form sowie die Parameterdarstellung. Auch das Berechnen des bestimmten Integrals einer Funktion, welche in Polarform definiert ist und in Polarkoordinaten auszugeben ist, wird ermöglicht. Bei Durchführung einer Integralrechnung dieser Art kann zudem das Berechnen und Darstellen einzelner Flächenelemente erfolgen.

Der Rechner führt die zur Ermittlung der Ergebnisse erforderlichen Schritte durch, gibt die resultierenden Lösungen aus und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Das numerische Berechnen der Funktionswerte einer in diesem Teilprogramm definierten Funktion kann ebenfalls veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer Wertetabelle.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls hinsichtlich der Anwendung der Integralrechnung geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

Integration ist der Vorgang der Durchführung von Berechnungen zur Ermittlung bestimmter oder unbestimmter Integrale. Anwendung findet die Integralrechnung (das Integrieren) u.a. zum Berechnen der Bogenlänge einer Kurve, bei der Bestimmung der von zwei Kurven eingeschlossenen Fläche, bei der Ermittlung der von einer Kurve und einer Koordinatenachse eingeschlossenen Fläche sowie der Berechnung des Volumens eines Körpers, der bei Drehung einer definierten Kurve um eine Koordinatenachse entsteht. Die Ermittlung der entsprechenden Werte erfolgt innerhalb der dafür festgelegten Integralgrenzen (Integral-Intervall). Es erfolgt die Berechnung des bestimmten Integrals. Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale mit festgelegten Bereichsgrenzen, bei welchen zwischen den Grenzen kritische Werte vorhanden sein können.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.
 
Zur Startseite dieser Homepage
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Videoauswahl zu MathProf 5.0.
 
Zu den Videos zu MathProf 5.0
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche können Sie eine kostenlose Demoversion des Programms MathProf 5.0 herunterladen.

Zum Download der Demoversion von MathProf 5.0
 

Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Integral - Bestimmtes Integral berechnen - Integral bestimmen - Integral berechnen - Integrieren - Darstellung einer definierten Integralfunktion - Integralfunktion - Integralfunktion zeichnen - Plotten der Graphen von Integralen - Integralrechner für Funktionen in expliziter Form - Berechnung der Integrale von Funktionen in Parameterform und in Polarform - Kurvenlänge berechnen - Integrale über Intervalle - Integral in Polarkoordinaten - Flächenschwerpunkt - Schwerpunkt - Flächenschwerpunt bestimmen - Flächeninhaltsfunktion - Integralberechnung - Absoluter Flächeninhalt - Orientierter Flächeninhalt - Fläche - Flächenintegral - Schwerpunkt - Integral in Polarkoordinaten - Berechnung der Integrale von Funktionen in expliziter Form, der Integrale von Funktionen in Parameterdarstellung und der Integrale von Funktionen in Polarkoordinaten innerhalb frei wählbarer Integrationsgrenzen - Berechnung von Flächen mit Hilfe von Integralen - Integralwert berechnen - Fläche zwischen zwei Funktionen - Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen - Bereichsintegral - Anwendung der Integralrechnung - Fläche zwischen zwei Graphen - Flächeninhalt zwischen zwei Graphen - Berechnung der Kurvenlänge - Berechnung der Bogenlänge - Numerische Integration - Kreisintegral - Berechnung einer Flächeninhaltsfunktion (Flächenfunktion) - Flächenberechnung mit Integralen - Integral und Flächeninhalt - Integrationsrechner - Infinitesimalrechnung - Integral und Volumen - Integral und Bogenlänge - Schwerpunktberechnung - Integralwert - Flächenstück - Schwerpunktskoordinaten - Integral für Flächenschwerpunkt - Schwerpunkt einer Fläche - Bestimmte Integrale - Statisches Moment - Volumenintegral - Fläche bestimmen - Flächeninhalt bestimmen - Bestimmtes Integral zwischen zwei Funktionen über ein bestimmtes Intervall - Integrale zur Flächenberechnung zwischen zwei Graphen - Integrationsgrenzen - Fläche unter Graph - Fläche unter Kurve - Absolute Fläche - Fläche zwischen Graph und x-Achse - Flächenbilanz - Integralrechnung und Flächenberechnung - Integrale zwischen zwei Graphen - Integrationsbereich - Integral zweier Funktionen - Funktion integrieren - Integralrechnen - Integrationskonstante - Integrand (zu integrierende Funktion) - Absolute Fläche - Orientierte Fläche - Fläche zwischen zwei Kurven - Numerische Berechnung von Integralen - Grundfunktion - Stammfunktion - Stammintegral - Integrale numerisch lösen - Integrale berechnen - Integration - Bestimmtes Integral - Graphisches Integrieren - Grafische Integration - Integralrechnen - Funktion - Liste - Mathematik - Integralbildung - Rechenregeln - Integralformel - Integralgrenzen - Grundintegrale - Polar - Export - Excel - Bild - Grafik - Zeichnen - Graph - Bilder - Plotter - Grafisch - Darstellung - Lösung - Grenzen - Approximation - Berechnung - Darstellen - Konstante - Integraltabelle - Grundintegrale - Integraltafel - Formeln - Leibnizsche Sektorformel - Grafische Darstellung - Bogenlänge einer rektifizierbaren Kurve - Integral für Kreisfläche - Flächeninhaltsfunktion - Flächeninhalt - Numerisch integrieren - Tabelle - Präsentation - Integrationsregeln - Potenzregel - Faktorregel - Summenregel - Differenzregel - Produktintegration - Partielle Integration - Integration - Regeln - Integral bilden - Bereich - Substitution - Berechnen - Plotter - Beispiele - Rechner - Aufgaben - Werte - Uneigentliche Integrale - Integrale von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung - Berechnung von Integralen mit Polarkoordinaten

 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zum Inhaltsverzeichnis der in MathProf 5.0 implementierten Module bzw. zur Bestellseite für das Programm.
 
Zum Inhaltsverzeichnis von MathProf 5.0 MathProf 5.0 bestellen
 

Integralrechnung

 

Das Teilprogramm [Analysis] - [Integralrechnung] - Integralrechnung (Integral) bietet die Möglichkeit Integralberechnungen mit Funktionen, die in expliziter Form, in Polarform oder in Parameterform gegeben sind, durchführen zu lassen.

 

In diesem Unterprogramm steht die Durchführung der Ermittlung der folgenden bestimmten Integrale zur Verfügung:
 

  • Bestimmte Integrale (Flächenberechnungen) von Funktionen in expliziter Form, beschrieben durch einen Term der Form y = f(x)

  • Bestimmte Integrale (Flächenberechnungen) von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k) und y = g(k)

  • Bestimmte Integrale (Flächenberechnungen) von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w) bzw. r = f(φ)

1. Integralrechnung (Integrieren) mit Funktionen in expliziter Form


MathProf - Integralrechnung - Flächenberechnung - Flächeninhalt - Bogenlänge - Volumen - Schwerpunkt - Bestimmtes Integral - Integral berechnen - integral Fläche - Integral Flächenberechnung - Integral - Bestimmte Integrale - Statisches Moment

 

Bei der Wahl des Registerblatts Funktionen in expliziter Form können u.a. sowohl der Flächeninhalt zwischen einer Funktion der Form f(x) und der Abszisse, wie auch der Flächeninhalt, welcher von zwei Funktionen f1(x) und f2(x) eingeschlossen wird, innerhalb eines festgelegten Intervallbereichs (Integrationsgrenzen) errechnet werden.

Wird in nur einem Eingabefeld ein Term deklariert, bleibt das zweite leer und wird das entsprechende Kontrollkästchen aktiviert, so ermittelt das Programm für diese Funktion per Voreinstellung:

  • Fläche (Flächeninhalt) orientiert A(o)
    Fläche (Flächeninhalt) zwischen der Funktion und der x-Achse (bestimmtes Integral)
  • Fläche (Flächeninhalt) absolut A(a)
    Betrag der Fläche, unabhängig davon ob Flächensegmente sich oberhalb oder unterhalb der Abszissenachse befinden
     
  • Bogenlänge s der Kurve
  • Schwerpunkt der Kurve
  • Schwerpunkt des Flächensegments (Flächenschwerpunkt)
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse des entstehenden Körpers, wenn Fläche (Flächeninhalt) unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird
     
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks

Werden in beiden Eingabefeldern f1(x) = und f2(x) = Funktionen definiert und die entsprechenden Kontrollkästchen aktiviert, so ermittelt das Programm für diese per Voreinstellung:

  • Fläche (Flächeninhalt) orientiert A(o)
    Fläche (Flächeninhalt) zwischen beiden Funktion (bestimmtes Integral)
  • Fläche (Flächeninhalt) absolut A(a)
    Betrag der Summe aller zwischen beiden Funktionen eingeschlossenen Flächensegmente

Für die im oberen Eingabefeld definierte Funktion f1(x) = wird zusätzlich ausgegeben:

  • Bogenlänge s der Kurve
  • Schwerpunkt der Kurve
  • Schwerpunkt des Flächensegments (Flächenschwerpunkt)
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die Y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die Y-Achse des entstehenden Körpers, wenn Fläche (Flächeninhalt) unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird
     
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die Y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks

 

Hinweise:

Der Schwerpunkt des Flächensegments wird nur ausgegeben, wenn die Werte definierter Funktionen innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs keinen Vorzeichenwechsel aufweisen. Das Rotationsvolumen, welches eine Funktion bei Rotation um die y-Achse bildet, kann auf zwei verschiedene Weisen errechnet werden. In diesem Unterprogramm wird dieses nicht über die Umkehrfunktion errechnet, sondern über den angegebenen Wertebereich bzgl. der x-Achse (näheres siehe Fachliteratur).

 

Um Untersuchungen zu diesem Fachthema mit parameterhaltigen Funktionen durchzuführen, verwenden Sie das Unterprogramm Integralrechnung - Interaktiv.

 

Integralrechnung (Integrieren) mit Funktionen in expliziter Form - Berechnung und grafische Darstellung


MathProf - Integral berechnen - Flächeninhalt - Kurven - Funktion - Rechner - Anwendung - Beispiel - Bogenlänge - Integral Fläche - Integralrechner - Fläche zwischen zwei Graphen - Integralrechnung - Integral - Bestimmtes Integral - Flächenfunktion - Statisches Moment - Rotationsvolumen - Mantelfläche - Schwerpunkt - Flächenschwerpunkt - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Flächenberechnung - Fläche zwischen zwei Funktionen

Sollen Integralberechnungen mit Funktionen in expliziter Form durchgeführt und hierfür relevante Zusammenhänge grafisch dargestellt werden, so gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:

  1. Definieren Sie eine Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f1(x) =. Sollen Berechnungen mit zwei Funktionen durchgeführt werden, so ist eine weitere Funktion im darunter angeordneten Eingabefeld mit der Bezeichnung f2(x) = zu definieren. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.

    Aktivieren Sie das/die entsprechende(n) Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f1(x)= bzw. f2(x)=.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Wertebereich fest, über welchen die numerische Integration durchgeführt werden soll (Integration von x1 = und bis x2 =).
     
  3. Bestimmen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
     
  4. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Listbox ausgegeben.
     
  5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Die Flächenmarkierung bei Ausgabe der Darstellung erfolgt über den Abszissen-Bereich, der im Formularbereich Integration von x1 = und bis x2 = festgelegt wurde.
     
  6. Soll der Bereich über welchen die Integration durchgeführt werden soll exakt festgelegt werden, so führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular aus und geben die relevanten Grenzwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Möchten Sie Integrationsbereichsgrenzen mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  7. Um sich die Darstellung der Funktion(en) nur innerhalb des festgelegten Integrationsbereichs ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Nur I-Bereich.
     
  8. Um Bereichsgrenzen durch Simulationen verändern zu lassen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Bereich und bedienen die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Analytische Ermittlung der Stammfunktionen einer Funktionen in expliziter Form

Unter dem Menüpunkt Stammfunktion können Sie sich für Funktionen in expliziter Form eine Stammfunktion symbolisch ausgeben lassen. Dies ist jedoch nur auf einige einfache funktionale Zusammenhänge anwendbar.

  1. Nach der gemäß den geltenden Syntaxregeln durchgeführten Formulierung der Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f1(x) = bzw. f2(x) = wählen Sie den Menüeintrag Stammfunktion.
     
  2. Wird die Schaltfläche Ermitteln auf dem Unterformular bedient, so wird eine Stammfunktion der eingegebenen Funktion ermittelt und im entsprechenden Ausgabefeld angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Stammfunktion symbolisch ermitteln zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht symbolisch integrierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

 

Bedienformular bei grafischer Darstellung von Funktionen in expliziter Form


MathProf - Integral lösen - Fläche - Grenzen - Rotationskörper - Integral - Grenzen - Volumen - Bestimmtes Integral

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Anzeige der Markierung des Integrationsbereichs ein-/ausschalten 

2. Integralrechnung mit Funktionen in Polarform


MathProf - Integralrechner - Kurve - Flächenberechnung - Statisches Moment - Integrieren - Schwerpunkt - Integralrechner - Integralformel - Bogenlänge - Integral

Bei der Wahl des Registerblatts Funktionen in Polarform können Integrationsberechnungen mit Funktionen, die in Polarform gegeben sind, durchgeführt werden.

Bei Ausführung von Berechnungen für eine Funktion dieser Art werden die Werte folgender Größen innerhalb des festgelegten Winkelintervallbereichs numerisch ermittelt und ausgegeben:

  • Fläche A (Flächeninhalt) zwischen der Kurve r = f(w) sowie den Ortsvektoren r1 = f(w1) und r2 = f(w2)
    bzw.
    Fläche A (Flächeninhalt) zwischen der Kurve r = f(φ) sowie den Ortsvektoren r1 = f(φ1) und r2 = f(φ2)
     
  • Bogenlänge s der Kurve
     
  • Schwerpunkt der Kurve
  • Schwerpunkt der Fläche (Flächenschwerpunkt)
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks
  • Statisches Moment Myz des Drehkörpers

Hinweis zur Integralrechnung mit Funktionen in Polarform

 

Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate φ. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(φ) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel φ verwendet werden.

 

Übersicht:

 

Bezeichnung in Fachliteratur Bezeichnung in MathProf
r = f(φ) r = f(w)

 

Hinweise:

Um sich Funktionen in Polarform in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.

 

Integralrechnung mit Funktionen in Polarform - Berechnung und grafische Darstellung


MathProf - Polarkoordinaten - Integralrechnung - Mantelfläche - Volumen - Integralfunktion - Bestimmtes Integral - Integralrechner - Integralformel - Integral - Integral berechnen - Flächenfunktion - Bogenlänge - Statisches Moment - Rotationsvolumen - Mantelfläche - Schwerpunkt - Flächenschwerpunkt - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Flächeninhalt - Integral Fläche - Integral Flächenberechnung - Leibnizsche Sektorformel

Sollen Integralberechnungen mit Funktionen in Polarform durchgeführt und Zusammenhänge grafisch ausgegeben werden, so gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:

  1. Definieren Sie die darzustellende Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(w) =.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Winkelwertebereich fest, über welchen die numerische Integration durchgeführt werden soll (Integration von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Definieren Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
     
  4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der zur Verfügung stehenden Listbox ausgegeben.
     
  5. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  6. Wählen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, über welchen Bereich die grafische Integration durchgeführt werden soll (Darstellungsbereich von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  7. Legen Sie durch die Auswahl des relevanten Eintrags aus der Auswahlbox fest, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellung - Optionen festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Einstellungen definiert wurde.
     
  8. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 

3. Integralrechnung (Integrieren) mit Funktionen in Parameterform


MathProf - Integralberechnung - Flächenberechnung - Integral zeichnen - Funktion - Schwerpunkt - Grenzen - Intervall - Bestimmtes Integral - Bogenlänge - Flächeninhalt - Integral berechnen - Integral Fläche - Integral Flächenberechnung - Integral - Rotationsvolumen

Bei der Wahl des Registerblatts Funktionen in Parameterform können Integralberechnungen mit Funktionen, die in Parameterform gegeben sind, durchgeführt werden.

Bei Durchführung einer Berechnung für Funktionen der Form x = f(k) und y = g(k) werden die Werte folgender Größen innerhalb des festgelegten Parameterintervallbereichs numerisch ermittelt und ausgegeben:

  • Fläche A zwischen der Kurve x = f(k) und y =g(k) sowie den Ortsvektoren 0P1 und 0P2
     
  • Bogenlänge s der Kurve
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen/Rotationsvolumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche/Rotationsfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks
  • Statisches Moment Myz des Drehkörpers
     
  • Schwerpunkt der Kurve

Hinweis zur Integralrechnung mit Funktionen in Parameterform


Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Übersicht:

 

Bezeichnung in Fachliteratur Bezeichnung in MathProf
x = f(t)  y = g(t) x = f(k)  y = g(k)

 

Integralrechnung mit Funktionen in Parameterform - Berechnung und grafische Darstellung


MathProf - Integral - Mantelfläche - Bogenlänge - Kurve - Berechnen - Funktion - Grenzen - Intervall - Zeichnen - Integralrechner - Integralformel - Integralrechnung - Integral berechnen - Flächenfunktion - Statisches Moment - Rotationsvolumen - Schwerpunkt - Flächenschwerpunkt - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Integral Fläche - Integral Flächenberechnung - Leibnizsche Sektorformel

Sollen Integralberechnungen mit Funktionen in Parameterform durchgeführt und Zusammenhänge grafisch dargestellt werden, so gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k) = und y = g(k) =.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich für den Funktionsparameter K fest, innerhalb dessen die numerische Analyse durchgeführt werden soll (Integration von k1 = und bis k2 =) (voreingestellt: -π k π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Definieren Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
     
  4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der zur Verfügung stehenden Listbox ausgegeben.
     
  5. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  6. Wählen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, über welchen Bereich die grafische Integration durchgeführt werden soll (Darstellungsbereich von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π k ≤; π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  7. Legen Sie durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der Auswahlbox fest, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellung - Optionen festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Einstellungen definiert wurde.
     
  8. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Hinweis:

Es wird die Fläche zwischen der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2) gemäß der Leibnitzschen Sektorformel markiert. Auch die Ermittlung der Berechnungsergebnisse erfolgt nach diesem Verfahren.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Hinweise


Die numerische Errechnung der Ergebnisse wird durch die Anzahl vorgegebener Stützstellen beeinflusst. Je mehr Stützstellen verwendet werden, desto genauer werden die Ergebnisse. Dennoch gilt es zu beachten, dass die Berechnungszeit durch eine Erhöhung der Stützstellenanzahl exponentiell steigt. Den Abbruch der Durchführung von Berechnungen können Sie durch eine Bedienung der Taste ESC veranlassen.

Prinzipiell sollten diese numerischen Integrationsverfahren nur bei stetigen Funktionen verwendet werden, bzw. bei unstetigen Funktionen nur innerhalb derer stetiger Wertebereiche, da es ansonsten zu Verfälschungen der Ergebnisse kommen kann. Die Genauigkeit bei der Errechnung der Bogenlänge, Mantelfläche und stat. Momente hängt von der Differenzierbarkeit der Funktion ab. Somit kann es hierbei zu erheblichen Abweichungen kommen. Der Schwerpunkt einer Fläche kann nur errechnet werden, wenn zwischen den Intervallgrenzen des Integrationsbereichs kein Vorzeichenwechsel auftritt. (näheres siehe Fachliteratur)

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Integralrechnung - Interaktiv

Ober- und Untersummen

Ober- und Untersummen - Interaktiv

Integrationsmethoden

Mathematische Funktionen I

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D)

Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D)

 

Beispiele - Aufgaben

 

Beispiel 1 - Integralrechnung (Flächenberechnung) mit einer Funktion in expliziter Form:


Untersuchung der expliziten Funktion y = f(x) = sin(x)-0,5 im Integrationsbereich von x1 = 0 bis x2 = 2. Es gilt u.a., die zwischen der Kurve und der Abszisse eingeschlossene Fläche ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in expliziter Form und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest.

Nach Eingabe der Zahlenwerte 0 und 2 in die Felder Integration von x1 = und bis x2 =, sowie der Definition des Funktionsterms (Integranden) SIN(X)-0,5 im Eingabefeld f1(x) =, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Fläche orientiert A(o): 0,416 FE (Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse)
Fläche absolut A(a): 0,672 FE (Betrag der Fläche, unabhängig davon ob Flächensegmente sich oberhalb, oder unterhalb der Abszissenachse befinden)

 

Bogenlänge der Kurve s: 2,352 LE

 

Schwerpunkt der Kurve: SK (0,93 / 0,17)

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers (Rotationsvolumen): V(x) = 0,858 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird (Rotationsvolumen): V(y) = 2,453 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird (Rotationsvolumen): V(y) = 4,936 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: A(x) = 4,759 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: A(y) = 13,739 FE

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0,4

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = 2,187

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0,137

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 0,742
 

Beispiel 2 - Integralrechnung (Flächenberechnung) mit zwei Funktionen in expliziter Form:

Untersuchung zweier explizit definierter Funktionen:
 

f1(x) = sin(x)-0,5

f2(x) = x²-1

 

Es gilt u.a., die zwischen den Kurven f1(x) und f2(x) eingeschlossene Fläche im Bereich von x1 = -2 bis x2 = 1 ermitteln zu lassen.
 

Vorgehensweise und Lösung
 

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in expliziter Form und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest. Aktivieren Sie die beiden zur Verfügung stehenden Kontrollkästchen bei den Eingabefeldern.

Nach Eingabe der Zahlenwerte -2 und 1 in die Felder Integration von x1 = und bis x2 =, sowie der Definition der Funktionsterme SIN(X)-0,5 und X^2-1 in den Eingabefeldern f1(x) = und f2(x) =, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse aus:

Fläche absolut A(a): 3,91 FE (Betrag der Summe aller zwischen beiden Funktionen eingeschlossenen Flächensegmente)

Fläche orientiert A(o): -2,456 FE (orientierte Fläche zwischen beiden Funktion)

 

Ferner wird für Funktion f1(x) ausgegeben:

 

Bogenlänge der Kurve s: 3,663 LE

Schwerpunkt der Kurve: SK (-0,425 / -0,771)

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers (Rotationsvolumen): V(x) = 9,954 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird (Rotationsvolumen): V(y) = 3,204 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird (Rotationsvolumen): V(y) = 17,824 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: A(x) = 19,073 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: A(y) = 17,706 FE

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = -2,825

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = -1,555

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 1,584

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 2,793
 

Beispiel 3 - Integralrechnung (Flächenberechnung) mit einer Funktion in Polarform:

Die Funktion in Polarform r = f(φ) = 1+cos(φ) beschreibt über ein Intervall von 0 φ 2π eine Kardioide. Es gilt u.a., die von der Kurve über diesen Bereich eingeschlossene Fläche, ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Polarform und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest. Selektieren Sie den Eintrag Standard aus der Auswahlbox mit der Bezeichnung Art.

Nach Eingabe der Zahlenwerte 0 und 6,28318 in die Felder Integration von w1 = und bis w2 = (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist), sowie der Eingabe der Zeichenfolge 1+COS(W) in das dafür vorgesehene Feld mit der Bezeichnung r = f(w) =, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:

Fläche: A = 4,712 FE

Sollte diese Aufgabe algebraisch gelöst werden, so führt der Ansatz zur Ermittlung dieser Fläche über eine Mehrfachintegration

Integralrechnung - Gleichung

zu dem Ergebnis A = 3/2π FE. Hieraus wird ersichtlich, dass sich das Ergebnis der numerischen Berechnung bei der Festlegung einer relativ hohen Anzahl von Stützstellen dem wahren Wert sehr gut nähert.

Zudem wird ausgegeben:

Bogenlänge der Kurve: s = 8 LE

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers (Rotationsvolumen): V(x) = 16,821 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers (Rotationsvolumen): V(y) = 25,444 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers (Rotationsfläche): A(x) = 40,212 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers (Rotationsfläche): A(y) = 45,091 FE

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = 6,4

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 3,927

Statisches Moment des Körpers bei Rotation um x-Achse: Myz = 0

 

Schwerpunkt der Kurve: SK (0,8 / 0)

Schwerpunkt der Fläche: SF (0,833 / 0)
 

Beispiel 4 - Integralrechnung (Flächenberechnung) mit Funktionen in Parameterform:

Die Funktionen x = f(k) = 8·cos(k) und y = f(k) = 3·sin(k) beschreiben über einen Darstellungsbereich von 0 k π eine Ellipse mit den Halbachsen a = 8 und b = 3. Es gilt u.a., die von der Kurve über diesen Bereich eingeschlossene Fläche ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Parameterform und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest. Selektieren Sie den Eintrag Kartesisch aus der Auswahlbox mit der Bezeichnung Art.

Nach einer Definition der Funktionsterme durch die Eingabe der Zeichenfolgen 8*COS(K) und 3*SIN(K) in die dafür vorgesehenen Felder x = f(k) = und y = g(k) =, der Eingabe der Zahlenwerte 0 und 3,14159 in die Felder Integration von k1 = und bis k2 = (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist), führt die Ausführung der erforderlichen Berechnungen bei bei einer eingestellten Stützstellenzahl von ca. 100000 zu den Ergebnissen:

Fläche: A = 37,699 FE  (entspricht der Hälfte des Werts, der bei der Berechnung der Fläche einer Ellipse über die Gleichung A = πab ermittelt wird)

 

Bogenlänge der Kurve: s = 18,183 LE

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers (Rotationsvolumen): V(x) = 301,593 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers (Ellipsoid) (Rotationsvolumen): V(y) = 804,24 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers (Rotationsfläche): A(x) = 501,967 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers (Rotationsfläche): A(y) = 249,537 FE (Ellipsoid)

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 39,175

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = 0

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = -48

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 0

Statisches Moment des Körpers bei Rotation um x-Achse: Myz = 0

 

Schwerpunkt der Kurve: S (0 / 2,184)

 

Hinweis:

Die Berechnungsergebnisse bei Funktionen in Parameterform beziehen sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Integralrechnung - Flächenberechnung - Integrieren - Volumenberechnung - Integralfunktion - Integralrechner - Beispiel - Integral - Integral berechnen - Bestimmtes Integral - Flächenfunktion - Bogenlänge - Statisches Moment - Rotationsvolumen - Mantelfläche - Schwerpunkt - Flächenschwerpunkt - Flächeninhaltsfunktion - Integral Fläche - Integral Flächenberechnung - Flächeninhalt
MathProf - Integral - Berechnen - Funktion - Grenzen - Integralrechner - Graph - Integralfunktion - Beispiel - Fläche zwischen zwei Graphen - Integralrechnung - Integral berechnen - Bestimmtes Integral - Flächenfunktion - Bogenlänge - Statisches Moment - Rotationsvolumen - Mantelfläche - Schwerpunkt - Flächenschwerpunkt - Flächeninhaltsfunktion - Integral Fläche - Integral Flächenberechnung - Flächeninhalt - Fläche zwischen zwei Funktionen
MathProf - Integralrechnung - Berechnung - Fläche - Parameter - Rechner - Rotationsvolumen - Volumen - Bestimmtes Integral - Beispiel - Integralrechner - Integralformel - Integral - Integral berechnen - Bestimmtes Integral - Bogenlänge - Statisches Moment - Rotationsvolumen - Mantelfläche - Schwerpunkt - Flächenschwerpunkt - Bogenlänge - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Integral Fläche - Integral Flächenberechnung - Flächeninhalt
MathProf - Integral - Bogenlänge - Flächeninhalt - Schwerpunkt - Volumen - Mantelfläche - Statisches Moment - Darstellen - Beispiel - Integralrechner - Integralformel - Integralrechnung - Integral berechnen - Bogenlänge - Statisches Moment - Rotationsvolumen - Mantelfläche - Schwerpunkt - Flächenschwerpunkt - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Integral Fläche - Integral Flächenberechnung
 

Grundfunktion - Stammfunktion - Stammintegral - Grundintegrale

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle finden Sie die Stammfunktionen einiger elementarer, in expliziter Form definierter Funktionen (algebraisch), welche bei der Durchführung der symbolischen Integration gelten:.

Elementare Funktionen in expliziter Form und deren Stammfunktionen (Stammintegrale):
 

  Funktion   Stammfunktion
  Integralrechnung Konstante   Integralrechnung Stammfunktion Konstante
  Integralrechnung Funktion x^n   Integralrechnung Stammfunktion x^n
  Integralrechnung Funktion e^x   Integralrechnung Stammfunktion e^x
  Integralrechnung Funktion a^x   Integralrechnung Stammfunktion a^x
  Integralrechnung Funktion ln(x)   Integralrechnung Stammfunktion ln(x)
  Integralrechnung Funktion 1/x   Integralrechnung Stammfunktion 1/x
  Integralrechnung n-te Wurzel   Integralrechnung Stammfunktion n-te Wurzel
  Integralrechnung Funktion sin(x)   Integralrechnung Stammfunktion sin(x)
  Integralrechnung Funktion cos(x)   Integralrechnung Stammfunktion cos(x)
  Integralrechnung Funktion tan(x)   Integralrechnung Stammfunktion tan(x)
  Integralrechnung Funktion sinh(x)   Integralrechnung Stammfunktion sinh(x)
  Integralrechnung Funktion cosh(x)   Integralrechnung Stammfunktion cosh(x)

 

Integrationsregeln - Potenzregel - Faktorregel - Summenregel - Differenzregel - Partielle Integration - Integration - Substitution

 

Im Weiteren erfolgt die Ausgabe der Integrationsregeln, welche bei der Durchführung der symbolischen Integration gelten:
 
1. Potenzregel:
 
Integration - Integralrechnung - Potenzregel
 
Beispiele:
 
Integration - Integralrechnung - Potenzregel - Beispiel 1
Integration - Integralrechnung - Potenzregel - Beispiel 2
 
2. Faktorregel:
 
Integration - Integralrechnung -Faktorregel
 
Beispiele:
 
Integration - Integralrechnung -Faktorregel - Beispiel 1
Integration - Integralrechnung -Faktorregel - Beispiel 2
 
3. Summenregel:
 
Integration - Integralrechnung - Summenregel
 
Beispiele:
 
Integration - Integralrechnung - Summenregel - Beispiel 1
Integration - Integralrechnung - Summenregel - Beispiel 2
 
4. Differenzregel:
 
Integration - Integralrechnung - Differenzregel
 
Beispiele:
 
Integration - Integralrechnung - Differenzregel - Beispiel 1
Integration - Integralrechnung - Differenzregel - Beispiel 2
 
5. Partielle Integration:
 
Integration - Integralrechnung - Partielle Integration
 
6. Division einer Ableitung durch eine Funktion:

Integration - Integralrechnung - Division - Ableitung - Funktion
 

Hinweise und Formeln zur Integralrechnung mit Funktionen in expliziter Form

Die mathematischen Zusammenhänge zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in expliziter Form sind nachfolgend aufgezeigt:

 

Flächeninhalt:

 

Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Volumen - Gleichung  - 2

 

bzw.:

 

Volumen - Gleichung  - 3

 

Mantelfläche (Rotationsfläche) bei Rotation um x-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche (Rotationsfläche) bei Rotation um y-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.:

 

Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunkt der homogenen Kurve:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunkt der homogenen Fläche:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunkt des homogenen Rotationskörpers:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 6
 

Hinweise und Formeln Integralrechnung mit Funktionen in Polarform

Die mathematischen Grundlagen zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Polarform sind nachfolgend aufgezeigt:

r = f(φ)

Fläche:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Mantelfläche (Rotationsfläche) bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

 

Mantelfläche (Rotationsfläche) bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunkt der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunkt der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunkt des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6

 

Hinweise und Formeln zur Integralrechnung mit Funktionen in Parameterform

Die mathematischen Grundlagen zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Parameterform sind nachfolgend aufgezeigt:

 

Parameterform - Gleichung - 1

 

Parameterform - Gleichung - 2

 

Fläche zwischen der Kurve und den Ortsvektoren 0P1 und 0P2:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Die Angabe zum Flächeninhalt bezieht sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:
 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:
 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche (Rotationsfläche) bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche (Rotationsfläche) bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunkt der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2
 

Schwerpunkt der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunkt des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6
 

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Integralrechnung, Wikipedia - Mantelfläche und Wikipedia - Geometrischer Schwerpunkt zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

Zur Inhaltsseite