MathProf - Integralrechnung - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Integration (Integralrechnung) - Interaktiv

 

Das Teilprogramm [Analysis] - [Integration] - Integration (Integralrechnung) - Interaktiv bietet die Möglichkeit Integralberechnungen mit Funktionen die in expliziter Form, in Polarform oder in Parameterform gegeben sind, interaktiv durchführen zu lassen.

 

In diesem Unterprogramm steht die Durchführung des Folgenden zur Verfügung:
 

  • Integralberechnungen mit Funktionen in expliziter Form, beschrieben durch einen Term der Form y = f(x,p)

  • Integralberechnungen mit Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)

  • Integralberechnungen mit Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)

1. Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in expliziter Form


MathProf - Integralrechung - Darstellung

Die Wahl des Registerblatts Funktionen in expliziter Form ermöglicht die Darstellung und interaktive Analyse von Zusammenhängen, die bei Durchführung einer Integration mit Funktionen in expliziter Form gegeben sind.

MathProf - Integralrechnung - Beispiel

 

MathProf - Integral - Volumen

 

Bei der Ausführung numerischer Berechnungen werden die Werte folgender Größen für den festgelegten Integrationsbereich ermittelt und ausgegeben:
 

  • Fläche orientiert A(o)
    Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse (bestimmtes Integral)
  • Fläche absolut A(a)
    Betrag der Fläche, unabhängig davon ob Flächensegmente sich oberhalb oder unterhalb der Abszissenachse befinden
  • Bogenlänge s der Kurve
  • Flächenschwerpunkt S (sofern ermittelbar)

Darstellung


Um sich Zusammenhänge bzgl. der Integration von Funktionen in expliziter Form interaktiv grafisch zu veranschaulichen gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie eine Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f1(x,p) =. Sollen Analysen mit zwei Funktionen durchgeführt werden, so ist eine weitere Funktion im darunter angeordneten Eingabefeld mit der Bezeichnung f2(x,p) = zu definieren.

    Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln. Aktivieren Sie das/die entsprechende(n) Kontrollkästchen.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  3. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Auflösung auf dem Bedienformular die Auflösung fest, mit welcher die Integrationsfläche markiert werden soll.
     
  4. Um den Bereich über welchen die Integration durchgeführt werden soll exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die entsprechenden Grenzwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Möchten Sie Integrationsbereichsgrenzen mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  5. Um sich die Darstellung der Funktion(en) nur innerhalb des festgelegten Integrationsbereichs ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Nur I-Bereich.
     
  6. Soll eine Echtzeitberechnung o.a. Werte erfolgen, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Berechnung. Es sei darauf hingewiesen, dass die Durchführung dieser Berechnungen die notwendige Darstellungszeit erheblich erhöht. Diese Berechnungen werden mit einer vorgegebenen (nicht veränderbaren) Anzahl von 10000 Stützstellen durchgeführt.
     
  7. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  8. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Bereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Simulation.

    Vor dem Start einer Bereichssimulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular bei Darstellung von Funktionen in expliziter Form


Wird bei der Funktionsdeklaration kein Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Integralrechnung - Beispiel

Wird bei der Funktionsdeklaration in einer Funktionsdeklaration das Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.

MathProf - Integral - Beispiel

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Anzeige der Integrationsbereichsmarkierung ein-/ausschalten

2. Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Polarform


MathProf - Integral - Polarkoordinaten

Die Wahl des Registerblatts Funktionen in Polarform ermöglicht die Darstellung und interaktive Analyse von Zusammenhängen, die bei Durchführung einer Integration mit Funktionen, welche in Polarform gegeben sind.

MathProf - Integralrechnung - Darstellung

Bei der Ausführung numerischer Berechnungen werden die Werte folgender Größen für den festgelegten Winkelintervallbereich ermittelt und ausgegeben:
 

  • Fläche A zwischen der Kurve r = f(w) sowie den Ortsvektoren r1 = f(w1) und r2 = f(w2)
    bzw.
    Fläche A zwischen der Kurve r = f(φ) sowie den Ortsvektoren r1 = f(φ1) und r2 = f(φ2)
     
  • Bogenlänge s der Kurve

Hinweis zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Polarform

 

Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate φ. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(φ) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel φ verwendet werden.

 

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
r = f(φ) r = f(w)

 

Darstellung


Um sich Zusammenhänge bzgl. der Integration von Funktionen in Polarform grafisch interaktiv zu veranschaulichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(w,p) = unter Beachtung der geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Winkelwertebereich für w fest, über welchen die Darstellung der Kurve ausgegeben werden soll (Darstellungsbereich von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Bestimmen Sie ggf. durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der Auswahlbox, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellungsbereich festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich durchgeführt werden soll, welcher unter Integrationsbereich definiert wurde.

    Wurde der Eintrag Nur Integrationsbereichsweite gewählt, so legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Winkelwertebereich fest, über welchen die Ausführung der Integration erfolgen soll (Integrationsbereich von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π
    w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung auszugeben ist (voreingestellt: mittel).
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Verändern Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Winkelpos. w den Winkelwertebereich über welchen integriert werden soll.
     
  7. Soll eine Echtzeitberechnung o.a. Werte erfolgen, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Berechnung. Es sei darauf hingewiesen, dass die Durchführung dieser Berechnungen die notwendige Darstellungszeit erheblich erhöht. Diese Berechnungen werden mit einer vorgegebenen (nicht veränderbaren) Anzahl von 10000 Stützstellen durchgeführt.
     
  8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  9. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Winkelpos. w oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Simulation.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular bei Darstellung von Funktionen in Polarform


Wird bei der Funktionsdeklaration kein Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Integral - Werte


Wird bei der Funktionsdeklaration das Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Integralrechung - Polar


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt: Darstellung des Punktes an festgelegter Winkelposition ein-/ausschalten
  • Winkelpos.: Einblendung der Winkelkoordinaten (in Bogenmaß und Gradmaß) des Punktes an festgelegter Winkelposition ein-/ausschalten

3. Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform


MathProf - Integralrechung - Parameterform

Die Wahl des Registerblatts Funktionen in Parameterform ermöglicht die Darstellung und interaktive Analyse von Zusammenhängen, die bei Durchführung einer Integration mit Funktionen, welche in Parameterform gegeben sind.

MathProf - Intergal - Darstellung

Bei der Ausführung numerischer Berechnungen werden die Werte folgender Größen für den festgelegten Parameterintervallbereich ermittelt und ausgegeben:
 

  • Fläche A zwischen der Kurve x = f(k) und y =g(k) sowie den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2) (Leibnitzsche Sektorenformel)
  • Bogenlänge s der Kurve

Hinweis zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform


Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
x = f(t)  y = g(t) x = f(k)  y = g(k)

 

Darstellung


Um sich Zusammenhänge bzgl. der Integration von Funktionen in Parameterform interaktiv grafisch zu veranschaulichen gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k,p) = sowie y = g(k,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Wertebereich für Parameter k fest, über welchen die Darstellung der Kurve ausgegeben werden soll (Darstellungsbereich von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π k π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Bestimmen Sie ggf. durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der Auswahlbox, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellungsbereich festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Integrationsbereich definiert wurde.

    Wurde der Eintrag Nur Integrationsbereichsweite gewählt, so legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Parameterwertebereich fest, über welchen die Integration durchgeführt werden soll (Integrationsbereich von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π
    k π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung auszugeben ist (voreingestellt: mittel).
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Verändern Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Parameter k den Wertebereich über welchen integriert werden soll.
     
  7. Soll eine Echtzeitberechnung o.a. Werte erfolgen, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Berechnung. Es sei darauf hingewiesen, dass die Durchführung dieser Berechnungen die notwendige Darstellungszeit erheblich erhöht. Diese Berechnungen werden mit einer vorgegebenen (nicht veränderbaren) Anzahl von 10000 Stützstellen durchgeführt.
     
  8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  9. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Parameter k oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Simulation.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Es wird die Fläche zwischen der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2) gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel markiert. Auch die Ermittlung der Berechnungsergebnisse für Flächen erfolgt nach diesem Verfahren.

 

Bedienformular bei Darstellung von Funktionen in Parameterform


Wird bei der Funktionsdeklaration kein Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Integralrechung - Bereich


Wird bei der Funktionsdeklaration das Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Integral - Kurve


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt: Darstellung des Punktes der Funktion welcher bei aktuell eingestelltem Parameterwert vorhanden ist ein-/ausschalten
  • Param. k: Einblendung der Werte für Funktionsparameter K ein-/ausschalten

Option


Eine Aktivierung/Deaktivierung des Menüeintrags Option / Flächen füllen auf dem Hauptformular des Unterprogramms veranlasst das Programm eine Füllung der Flächen durchzuführen bzw. zu unterlassen.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Integration

Ober- und Untersummen

Ober- und Untersummen - Interaktiv

Integrationsmethoden

Mathematische Funktionen I

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D)

Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Integration (Integralrechnung) mit einer Funktion in expliziter Form:

Es gilt Analysen zu diesem Fachthema mit der explizit definierten Funktion f(x) = x·2(-x/8) durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in expliziter Form.

 

Geben Sie den Term der explizit definerten Funktion f(x) = X*2^(-X/8) in das oben angeordnete Feld ein und aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung f2(x,p) = deaktiviert und führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Darstellen aus.

 

Werden nun die Integrationsbereichsgrenzen durch die Positionierung der Mausfangpunkte der Bereichsmarkierung auf die Werte x1 = -6 und x2 = 18 festgelegt, so gibt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Berechnung auf dem Bedienformular für den markierten Bereich aus:

 

Fläche absolut A(a): 87,174 FE

Fläche orientiert A(o): 35,887 FE

Bogenlänge der Kurve s: 30,96 LE


Beispiel 2 - Integration (Integralrechnung) mit einer Funktion in Polarform:

Es sind Untersuchungen zu diesem Fachthema mit der Funktion r = f(φ) = 12·cos(-2·φ)·sin(-4·φ) über einen Wertebereich von -π φ π/2 durchführen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Polarform.

Wurde der Funktionsterm f(w) = 12*COS(-2*W)*SIN(-4*W) definiert, die Eingabefelder Darstellungsbereich von w1 = und bis w2 = mit den Werten -π und π belegt, aus der Auswahlbox der Eintrag Ges. Darstellungsbereich gewählt und bei Ausgabe der grafischen Darstellung nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen mit Hilfe des Rollbalkens Winkelpos. w ein Integrationsbereich von -π w π/2 festgelegt, so ermittelt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Berechnung auf dem Bedienformular für den markierten Bereich:

Der Inhalt der grau markierten Fläche beträgt 84,823 FE.
 

Beispiel 3 - Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform:

Durchführung von Untersuchungen mit einer Kurve innerhalb eines Wertebereichs von -π k π, welche beschrieben wird durch die Terme x = f(k) = 5·sin(k) und y = g(k) = 5·cos(k).

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Parameterform.

Wurde die durch die Funktionsterme x = f(k) = 5*SIN(K) und y = g(k) = 5*COS(K) beschriebene Kurve definiert, die Eingabefelder Darstellungsbereich von k1 = und bis k2 = mit den Werten -π und π belegt, aus der Auswahlbox der Eintrag Ges. Darstellungsbereich gewählt und bei Ausgabe der grafischen Darstellung nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen mit Hilfe des Rollbalkens Parameter k ein Integrationsbereich von -π k π festgelegt (Kreis mit Radius r = 5), so gibt das Programm nach einer anschließenden Aktivierung des Kontrollkästchens Berechnung auf dem Bedienformular für den markierten Bereich aus:

 

Der Inhalt der grau markierten Fläche beträgt 78,54 FE.

Für die Bogenlänge der Kurve s gibt das Programm aus: 31,416 LE.

 

Hinweise:

Die Berechnungsergebnisse bei Funktionen in Parameterform beziehen sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.

 

Bei allen o.a. Berechnungsergebnissen, welche während der Ausgabe der grafischen Darstellung ermittelt werden, handelt es sich nur um Näherungswerte, mit einer relativ geringen Anzahl von Stützstellen. Um Berechnungen mit exakteren Ergebnissen numerisch durchführen zu lassen, ist das Unterprogramm Integration zu verwenden.
 

Hinweise zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in expliziter Form

Die mathematischen Zusammenhänge zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in expliziter Form sind nachfolgend aufgezeigt:

 

Flächeninhalt:

 

Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Volumen - Gleichung  - 2

 

bzw.:

 

Volumen - Gleichung  - 3

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge  (Länge des Kurvenstücks):

 

Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.:

 

Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Kurve:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Fläche:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunktkoordinaten des homogenen Rotationskörpers:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 6
 

Hinweise zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Polarform

Die mathematischen Grundlagen zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Polarform sind nachfolgend aufgezeigt:

r = f(φ)

Fläche:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunktkoordinaten des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6

 

Hinweise zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform

Die mathematischen Grundlagen zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Parameterform sind nachfolgend aufgezeigt:

 

Parameterform - Gleichung - 1

 

Parameterform - Gleichung - 2

 

Fläche zwischen der Kurve und den Ortsvektoren 0P1 und 0P2:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Die Angabe zum Flächeninhalt bezieht sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunktkoordinaten des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6

 
Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen


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