MathProf - Kegelschnitt - Ellipse - Hyperbelfunktion - Parabeln - Exzentrizität
MathProf - Geometrie - Ein Programm für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Animationen, 2D- und 3D-Simulationen für die Schule, das Abitur, die Klausur sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Berechnungen mit Kegelschnitten in Mittelpunktlage (Kurven zweiter Ordnung).
Dieses Teilprogramm ermöglicht die numerische, wie auch grafische Analyse der Eigenschaften einer Ellipse, einer Hyperbel oder einer Parabel. Definiert werden können Hyperbelgleichungen, Ellipsengleichungen und Parabelgleichungen in Form einer Mittelpunktsgleichung oder in Parameterdarstellung (parametrisierte Kurvendarstellung).
Hierbei erfolgt unter anderem die Berechnung der Brennpunkte von Ellipse, Hyperbel und Parabel sowie das Berechnen der Gleichungen der Asymptoten einer Hyperbelfunktion. Auch die Halbachsen, der Halbparameter sowie der Umfang einer definierten Ellipse bzw. Kreisfunktion werden ausgegeben.
Des Weiteren werden wesentliche Eigenschaften des entsprechenden Kegelschnitts, wie dessen lineare Exzentrizität, numerische Exzentrizität, Asymptoten und Evolute berechnet. Zudem können interaktive Untersuchungen zum Ellipsensegment und Ellipsensektor durchgeführt werden. Die vom Programm ermittelten Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken.
Nach einer Durchführung relevanter Analysen zur Ermittlung der Eigenschaften eines definierten Kegelschnitts stellt der Rechner die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Bei festgelegten Untersuchungspositionen lassen sich zudem die Krümmungskreise, die Tangenten und Normalen des entsprechenden Kegelschnitts berechnen und darstellen.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte:Kegelschnitte berechnen - Darstellung von Kegelschnittkurven - Fläche vom Ellipsensegment - Fläche vom Ellipsenabschnitt - Halbellipse - Ellipsensektor - Lineare Exzentrizität - Numerische Exzentrizität - Brennpunkte einer Ellipse - Brennpunkt einer Parabel - Brennpunkte einer Hyperbel - Parabel zeichnen - Ellipse zeichnen - Hyperbel zeichnen - Parabel berechnen - Ellipse berechnen - Hyperbel berechnen - Gleichungen der Kegelschnitte - Gleichung einer Parabel - Gleichung einer Ellipse - Gleichung einer Hyperbel - Mittelpunktsgleichung einer Ellipse - Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel - Hyperbelgleichung - Hyperbelfunktionen - Parabelgleichung - Ellipsengleichung bestimmen - Hyperbelgleichung bestimmen - Kegelschnitt plotten - Kegelschnitt skizzieren - Funktionsgleichung einer Hyperbel - Funktionsgleichung einer Parabel - Funktionsgleichung einer Ellipse - Formel einer Ellipse - Formel einer Hyperbel - Parametrisierung der Gleichung einer Ellipse - Parametrisierung der Gleichung einer Hyperbel - Parametrisierung der Gleichung einer Parabel - Scheitelpunkte einer Ellipse - Fläche einer Ellipse - Umfang einer Ellipse - Teilfläche einer Ellipse berechnen - Bild - Grafik - Grafische Darstellung |
Kegelschnitt in Mittelpunktlage
Mit dem Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Mittelpunktlage können Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in Mittelpunktlage bezeichnet werden, durchgeführt werden.
Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird und der Mittelpunkt des Kegelschnitts im Koordinatenursprung liegt.
Das Programm ermöglicht es hierbei Kegelschnitte dieser Art an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) zu untersuchen, wobei Kegelschnittgleichungen sowohl in impliziter Form, wie auch in Parameterdarstellung gegeben sein können.
In diesem Modul können untersucht werden:
- Ellipse
- Ellipse (Parameterform - Parameterdarstellung)
- Hyperbel
- Hyperbel (Parameterform - Parameterdarstellung)
- Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
- Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform - Parameterdarstellung)
Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
- Evolute (Kurve der Krümmungskreis-Mittelpunkte)
- Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
- Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
- Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
- Asymptoten (bei Hyperbeln)
- Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
- Subtangenten und Subnormalen
- Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren
Mathematische Zusammenhänge
Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte:
Hyperbel (Hyperbelgleichung):
Ellipse (Ellipsengleichung):
Parabel (Parabelgleichung - horizontale Öffnungsrichtung):
Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte in Parameterform (Parameterdarstellung):
Hyperbel (Hyperbelgleichung):
Ellipse (Ellipsengleichung):
Parabel (Parabelgleichung - horizontale Öffnungsrichtung):
Parabel (Parabelgleichung - vertikale Öffnungsrichtung):
Berechnungsergebnisse
Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in Mittelpunktlage:
Hyperbel:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
- Halbachse a
- Halbachse b
- Parameter 2p
- Lineare Exzentrizität e
- Numerische Exzentrizität ε
- Scheitelpunkte
- Mittelpunkt
- Brennpunkte
- Abstand der Brennpunkte
- Gleichungen der Asymptoten
- Eigenschaften des Hauptkreises
Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:
- Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
- Gleichungen der Tangenten
- Tangentenlänge
- Subtangentenlänge
- Gleichungen der Normalen
- Normalenlänge
- Subnormalenlänge
- Länge der Brennstrahlen
- Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
- Flächeninhalt eines Segments
- Flächeninhalt eines Sektors
Ellipse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
- Halbachse a
- Halbachse b
- Parameter 2p
- Lineare Exzentrizität e
- Numerische Exzentrizität ε
- Scheitelpunkte
- Mittelpunkt
- Brennpunkte
- Abstand der Brennpunkte
- Fläche und Umfang der Ellipse
- Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises
Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:
- Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
- Gleichungen der Tangenten
- Tangentenlänge
- Subtangentenlänge
- Gleichungen der Normalen
- Normalenlänge
- Subnormalenlänge
- Länge der Brennstrahlen
- Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
- Flächeninhalt eines Segments
- Flächeninhalt eines Sektors
Parabel:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
- Parameter 2p
- Lineare Exzentrizität e
- Numerische Exzentrizität ε
- Scheitelpunkt
- Brennpunkt
- Öffnungsrichtung
Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:
- Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
- Gleichungen der Tangenten
- Tangentenlänge
- Subtangentenlänge
- Gleichungen der Normalen
- Normalenlänge
- Subnormalenlänge
- Länge der Brennstrahlen
- Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
- Flächeninhalt eines Segments
- Flächeninhalt eines Sektors
- Länge eines Bogens
Berechnung und grafische Darstellung
Um Untersuchungen mit Kegelschnitten dieser Art durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
- Wählen Sie das entsprechende Registerblatt, auf welchem sich die Eingabefelder zur Definition des zu untersuchenden Kegelschnitts befinden.
- Geben Sie die Werte der Parameter des Kegelschnitts in die dafür vorgesehenen Felder ein.
- Legen Sie durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Zu untersuchende Stelle die x-Koordinate fest, bei welcher die Untersuchung durchgeführt werden soll.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
- Möchten Sie sich den Kegelschnitt grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Ist ein Kegelschnitt mit den vorgegebenen Werten nicht definiert, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.
Hinweis:
Bei der grafischen Darstellung werden die Kegelschnitte stets nur über einen begrenzten Parameterwertebereich ausgegeben. Dies kann dazu führen, dass sich errechnete Schnittpunkte außerhalb des dargestellten Bereichs des Kegelschnitts befinden. Auf die numerisch ermittelten Berechnungsergebnisse hat dies jedoch keinen Einfluss.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
- Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
- Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
- Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
- Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
- Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
- Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
- Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
- U-Stelle mark.: Darstellung der U-Bereichsmarkierung der untersuchten Stelle ein-/ausschalten
- Details: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten
Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.
- Subtangent. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
- Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
- Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Markierung des Untersuchungsbereichs (vert. Linie) ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv
Kegelschnitte in achsparalleler Lage
Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv
Beispiele
Beispiel 1 - Hyperbel in Mittelpunktlage:
Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 8 ermitteln zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Wahl des Registerblatts Hyperbel I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 8 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
Halbachse a: 0,894
Halbachse b: 0,894
Parameter 2p: 1,789
Lin. Exzentrizität e: 1,265
Num. Exzentrizität eta: 1,414
Scheitelpunkt 1: A (-0,894 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (0,894 / 0)
Mittelpunkt: M (0 / 0)
Brennpunkt 1: F1 (-1,265 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (1,265 / 0)
Brennpunktabstand: 2,53
Asymptote 1: Y = 1·X
Asymptote 2: Y = -1·X
Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) ; Radius r = 0,894
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 8:
Punkt 1: TP1 (8 / 7,95)
Punkt 2: TP2 (8 / -7,95)
Tangente 1: Y = 1,006·X-0,101
Tangente 2: Y = -1,006·X+0,101
Tangentenlänge TP1-V: 11,208
Subtangentenlänge R-V: 7,9
Normale 1: Y = -0,994·X+15,9
Normale 2: Y = 0,994·X-15,9
Normalenlänge TP1-T: 11,278
Subnormalenlänge R-T: 8
Länge Brennstrahl TP1-F1: 10,419
Länge Brennstrahl TP1-F2: 12,208
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (1280 / -1256,075)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 1793,249
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (1280 / 1256,075)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 1793,249
Fläche des Segments TP1-B-TP2: A = 61,294
Fläche des Sektors 0-TP2-B-TP1: A = 2,305
Beispiel 2 - Ellipse in Mittelpunktlage:
Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 3 ermitteln zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Wahl des Registerblatts Ellipse I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 3 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
Halbachse a: 4,899
Halbachse b: 2
Parameter 2p: 1,633
Lin. Exzentrizität e: 4,472
Num. Exzentrizität eta: 0,913
Scheitelpunkt 1: A (-4,899 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (4,899 / 0)
Scheitelpunkt 3: C (0 / 2)
Scheitelpunkt 4: D (0 / -2)
Mittelpunkt: M (0 / 0)
Brennpunkt 1: F1 (-4,472 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (4,472 / 0)
Brennpunktabstand: 8,944
Fläche A: 30,781 FE
Umfang U: 22,592
Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) ; Radius r = 4,899
Nebenkreis: Mittelpunkt Mn (0 / 0) ; Radius r = 2
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 3:
Punkt 1: TP1 (3 / 1,581)
Punkt 2: TP2 (3 / -1,581)
Tangente 1: Y = -0,316·X + 2,53
Tangente 2: Y = 0,316·X - 2,53
Tangentenlänge TP1-V: 5,244
Subtangentenlänge R-V: 5
Normale 1: Y = 3,162·X - 7,906
Normale 2: Y = -3,162·X + 7,906
Normalenlänge TP1-T: 1,658
Subnormalenlänge R-T: 0,5
Länge Brennstrahl TP1-F1: 2,16
Länge Brennstrahl TP1-F2: 7,637
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (0,938 / -4,941)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 6,841
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (0,938 / 4,941)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 6,841
Fläche Segment TP1-TP2-B: A = 4,19
Fläche Sektor TP1-0-TP2-B: A = 8,933
Beispiel 3 - Parabel in Parameterform in Mittelpunktlage:
Eine horizontal liegende Parabel sei durch nachfolgende Parametergleichungen definiert:
X = -K ²
Y = -3·K
mit 0 ≤ k < ∞
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -4 ermitteln zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Wahl des Registerblatts Parabel II, der Aktivierung des Kontrollschalters X = -k² ; Y = t·k, einer Eingabe des Werts 3 für den Gleichungskoeffizienten in das entsprechende Feld und einer Festlegung des Abszissenwerts x = -4 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
Parameter 2p: 9
Lin. Exzentrizität e: 2,25
Num. Exzentrizität eta: 1
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
Brennpunkt: F (-2,25 / 0)
Öffnungsrichtung der Parabel: nach links
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -4:
Punkt 1: TP1 (-4 / 6)
Punkt 2: TP2 (-4 / -6)
Tangente 1: Y = -0,75·X+3
Tangente 2: Y = 0,75·X-3
Tangentenlänge TP1-V: 10
Subtangentenlänge R-V: 8
Normale 1: Y = 1,333·X+11,333
Normale 2: Y = -1,333·X-11,333
Normalenlänge TP1-T: 7,5
Subnormalenlänge R-T: 4,5
Länge Brennstrahl TP1-F: 6,25
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (-16,5 / -10,667)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 20,833
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (-16,5 / 10,667)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 20,833
Fläche Sektor TP1-0-TP2-B: A = 4
Fläche Segment S-TP1-TP2: A = 32
Länge des Bogens S-TP1: l = 2,528
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)