MathProf - Kegelschnitt - Ellipse - Hyperbelfunktion - Exzentrizität
Fachthema: Kegelschnitte in Mittelpunktlage
MathProf - Geometrie - Ein Programm für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Animationen, 2D- und 3D-Simulationen für die Schule, das Abitur, die Klausur sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Berechnungen mit Kegelschnitten in Mittelpunktlage (Kurven zweiter Ordnung).
Dieses Teilprogramm ermöglicht die numerische, wie auch grafische Analyse der Eigenschaften einer Ellipse, einer Hyperbel oder einer Parabel. Definiert werden können Hyperbelgleichungen, Ellipsengleichungen und Parabelgleichungen in Form einer Mittelpunktsgleichung oder in Parameterdarstellung (parametrisierte Kurvendarstellung).
Hierbei erfolgt unter anderem die Berechnung der Brennpunkte von Ellipse, Hyperbel und Parabel sowie das Berechnen der Gleichungen der Asymptoten einer Hyperbelfunktion. Auch die Halbachsen, der Halbparameter sowie der Umfang einer definierten Ellipse bzw. Kreisfunktion werden ausgegeben.
Des Weiteren werden wesentliche Eigenschaften des entsprechenden Kegelschnitts, wie dessen lineare Exzentrizität, numerische Exzentrizität, Asymptoten und Evolute berechnet. Zudem können interaktive Untersuchungen zum Ellipsensegment und Ellipsensektor durchgeführt werden. Die vom Programm ermittelten Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken.
Nach einer Durchführung relevanter Analysen zur Ermittlung der Eigenschaften eines definierten Kegelschnitts stellt der Rechner die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Bei festgelegten Untersuchungspositionen lassen sich zudem die Krümmungskreise, die Tangenten und Normalen des entsprechenden Kegelschnitts berechnen und darstellen.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Kegelschnitte berechnen - Darstellung von Kegelschnittkurven - Ellipsensegment - Ellipsenabschnitt - Halbellipse - Ellipsensektor - Ellipse - Kreis - Segment - Abschnitt - Ausschnitt - Sektor - Parabelbogen - Ellipsenbogen - Ellipsenberechnung - Ellipsengleichung - R2 - Lineare Exzentrizität - Numerische Exzentrizität - Halbparameter - 1. Hauptlage - 2. Hauptlage - Erste Hauptlage - Zweite Hauptlage - Hauptlage - Brennpunkte einer Ellipse - Brennpunkt einer Parabel - Brennpunkte einer Hyperbel - Parabel zeichnen - Ellipse zeichnen - Hyperbel zeichnen - Parabel berechnen - Ellipse berechnen - Hyperbel berechnen - Gleichungen der Kegelschnitte - Gleichung einer Parabel - Gleichung einer Ellipse - Gleichung einer Hyperbel - Mittelpunktsgleichung einer Ellipse - Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel - Hyperbelgleichung - Hyperbelfunktionen - Parabelgleichung - Ellipsengleichung bestimmen - Hyperbelgleichung bestimmen - Kegelschnitt plotten - Kegelschnitt skizzieren - Funktionsgleichung einer Hyperbel - Funktionsgleichung einer Parabel - Funktionsgleichung einer Ellipse - Formel einer Ellipse - Formel einer Hyperbel - Parametrisierung der Gleichung einer Ellipse - Parametrisierung der Gleichung einer Hyperbel - Parametrisierung der Gleichung einer Parabel - Scheitelpunkte einer Ellipse - Fläche einer Ellipse - Umfang einer Ellipse - Teilfläche einer Ellipse berechnen - Tangentenlänge - Tangentenabschnitte - Normalenlänge - Liegende Parabel - Präsentation - Untersuchen - Untersuchung - Arten - Zentrum - Koordinaten - Exzentrizität - Funktion - Gleichung - Form - Mittelpunkt - Parameterdarstellung - Fläche - Brennpunkte - Bestimmung - Bestimmen - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Einführung - Ablesen - Grundlagen - Grundlegendes - Bedeutung - Was bedeutet - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Definition - Rechner - Zeichnen - Graph - Formel - Berechnen - Plotten - Plotter - Grafisch - Bild - Grafik - Bilder - Punkte - Beispiel - Aufgabe - Eigenschaften - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Grafische Darstellung |
Kegelschnitt in Mittelpunktlage
Modul Kegelschnitte in Mittelpunktlage
Mit dem Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Mittelpunktlage können Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in Mittelpunktlage bezeichnet werden, durchgeführt werden.
Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird und der Mittelpunkt des Kegelschnitts im Koordinatenursprung liegt.
Das Programm ermöglicht es hierbei Kegelschnitte dieser Art an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) zu untersuchen, wobei Kegelschnittgleichungen sowohl in impliziter Form, wie auch in Parameterdarstellung gegeben sein können.
In diesem Modul können untersucht werden:
- Ellipse
- Ellipse (Parameterform - Parameterdarstellung)
- Hyperbel
- Hyperbel (Parameterform - Parameterdarstellung)
- Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
- Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform - Parameterdarstellung)
Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
- Evolute (Kurve der Krümmungskreis-Mittelpunkte)
- Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
- Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
- Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
- Asymptoten (bei Hyperbeln)
- Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
- Subtangenten und Subnormalen
- Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren
Begriffsdefinitionen
Hyperbel:
Eine Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte für welche die Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant und gleich der reellen Achse der Hyperbel ist.
Parabel:
Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, sowie von einer festen Geraden, der Leitlinie gleich weit entfernt ist.
Ellipse:
Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant und gleich der großen Achse der Ellipse ist.
Mathematische Zusammenhänge - Formeln - Grundlagen
Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte:
Hyperbel (Hyperbelgleichung):
Ellipse (Ellipsengleichung):
Parabel (Parabelgleichung - horizontale Öffnungsrichtung):
Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte in Parameterform (Parameterdarstellung):
Hyperbel (Hyperbelgleichung):
Ellipse (Ellipsengleichung):
Parabel (Parabelgleichung - horizontale Öffnungsrichtung):
Parabel (Parabelgleichung - vertikale Öffnungsrichtung):
Berechnungsergebnisse
Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in Mittelpunktlage:
Hyperbel:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
- Halbachse a
- Halbachse b
- Parameter 2p
- Lineare Exzentrizität e
- Numerische Exzentrizität ε
- Scheitelpunkte
- Mittelpunkt
- Brennpunkte
- Abstand der Brennpunkte
- Gleichungen der Asymptoten
- Eigenschaften des Hauptkreises
Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:
- Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
- Gleichungen der Tangenten
- Tangentenlänge
- Subtangentenlänge
- Gleichungen der Normalen
- Normalenlänge
- Subnormalenlänge
- Länge der Brennstrahlen
- Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
- Flächeninhalt eines Segments
- Flächeninhalt eines Sektors
Ellipse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
- Halbachse a
- Halbachse b
- Parameter 2p
- Lineare Exzentrizität e
- Numerische Exzentrizität ε
- Scheitelpunkte
- Mittelpunkt
- Brennpunkte
- Abstand der Brennpunkte
- Fläche und Umfang der Ellipse
- Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises
Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:
- Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
- Gleichungen der Tangenten
- Tangentenlänge
- Subtangentenlänge
- Gleichungen der Normalen
- Normalenlänge
- Subnormalenlänge
- Länge der Brennstrahlen
- Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
- Flächeninhalt eines Segments
- Flächeninhalt eines Sektors
Parabel:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
- Parameter 2p
- Lineare Exzentrizität e
- Numerische Exzentrizität ε
- Scheitelpunkt
- Brennpunkt
- Öffnungsrichtung
Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:
- Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
- Gleichungen der Tangenten
- Tangentenlänge
- Subtangentenlänge
- Gleichungen der Normalen
- Normalenlänge
- Subnormalenlänge
- Länge der Brennstrahlen
- Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
- Flächeninhalt eines Segments
- Flächeninhalt eines Sektors
- Länge eines Bogens
Berechnung und grafische Darstellung
Um Untersuchungen mit Kegelschnitten dieser Art durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
- Wählen Sie das entsprechende Registerblatt, auf welchem sich die Eingabefelder zur Definition des zu untersuchenden Kegelschnitts befinden.
- Geben Sie die Werte der Parameter des Kegelschnitts in die dafür vorgesehenen Felder ein.
- Legen Sie durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Zu untersuchende Stelle die x-Koordinate fest, bei welcher die Untersuchung durchgeführt werden soll.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
- Möchten Sie sich den Kegelschnitt grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Ist ein Kegelschnitt mit den vorgegebenen Werten nicht definiert, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.
Hinweis:
Bei der grafischen Darstellung werden die Kegelschnitte stets nur über einen begrenzten Parameterwertebereich ausgegeben. Dies kann dazu führen, dass sich errechnete Schnittpunkte außerhalb des dargestellten Bereichs des Kegelschnitts befinden. Auf die numerisch ermittelten Berechnungsergebnisse hat dies jedoch keinen Einfluss.
Die Koordinatenwerte eines Punktes eines Kegelschnitts (einer Hyperbel, Ellipse oder Parabel) lassen sich durch ein Anfassen des dafür vorgesehenen Fangpunkts sowie die entsprechende Positionierung des Mauszeigers ablesen.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
- Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
- Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
- Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
- Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
- Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
- Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
- Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
- U-Stelle mark.: Darstellung der U-Bereichsmarkierung der untersuchten Stelle ein-/ausschalten
- Details: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten
Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.
- Subtangent. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
- Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
- Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
- Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Markierung des Untersuchungsbereichs (vert. Linie) ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv
Kegelschnitte in achsparalleler Lage
Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv
Beispiele - Aufgaben
Beispiel 1 - Hyperbel in Mittelpunktlage:
Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 8 ermitteln zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Wahl des Registerblatts Hyperbel I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 8 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
Halbachse a: 0,894
Halbachse b: 0,894
Parameter 2p: 1,789
Lin. Exzentrizität e: 1,265
Num. Exzentrizität eta: 1,414
Scheitelpunkt 1: A (-0,894 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (0,894 / 0)
Mittelpunkt: M (0 / 0)
Brennpunkt 1: F1 (-1,265 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (1,265 / 0)
Brennpunktabstand: 2,53
Asymptote 1: Y = 1·X
Asymptote 2: Y = -1·X
Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) ; Radius r = 0,894
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 8:
Punkt 1: TP1 (8 / 7,95)
Punkt 2: TP2 (8 / -7,95)
Tangente 1: Y = 1,006·X-0,101
Tangente 2: Y = -1,006·X+0,101
Tangentenlänge TP1-V: 11,208
Subtangentenlänge R-V: 7,9
Normale 1: Y = -0,994·X+15,9
Normale 2: Y = 0,994·X-15,9
Normalenlänge TP1-T: 11,278
Subnormalenlänge R-T: 8
Länge Brennstrahl TP1-F1: 10,419
Länge Brennstrahl TP1-F2: 12,208
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (1280 / -1256,075)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 1793,249
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (1280 / 1256,075)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 1793,249
Fläche des Segments TP1-B-TP2: A = 61,294
Fläche des Sektors 0-TP2-B-TP1: A = 2,305
Beispiel 2 - Ellipse in Mittelpunktlage:
Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 3 ermitteln zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Wahl des Registerblatts Ellipse I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 3 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
Halbachse a: 4,899
Halbachse b: 2
Parameter 2p: 1,633
Lin. Exzentrizität e: 4,472
Num. Exzentrizität eta: 0,913
Scheitelpunkt 1: A (-4,899 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (4,899 / 0)
Scheitelpunkt 3: C (0 / 2)
Scheitelpunkt 4: D (0 / -2)
Mittelpunkt: M (0 / 0)
Brennpunkt 1: F1 (-4,472 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (4,472 / 0)
Brennpunktabstand: 8,944
Fläche A: 30,781 FE
Umfang U: 22,592
Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) ; Radius r = 4,899
Nebenkreis: Mittelpunkt Mn (0 / 0) ; Radius r = 2
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 3:
Punkt 1: TP1 (3 / 1,581)
Punkt 2: TP2 (3 / -1,581)
Tangente 1: Y = -0,316·X + 2,53
Tangente 2: Y = 0,316·X - 2,53
Tangentenlänge TP1-V: 5,244
Subtangentenlänge R-V: 5
Normale 1: Y = 3,162·X - 7,906
Normale 2: Y = -3,162·X + 7,906
Normalenlänge TP1-T: 1,658
Subnormalenlänge R-T: 0,5
Länge Brennstrahl TP1-F1: 2,16
Länge Brennstrahl TP1-F2: 7,637
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (0,938 / -4,941)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 6,841
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (0,938 / 4,941)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 6,841
Fläche Segment TP1-TP2-B: A = 4,19
Fläche Sektor TP1-0-TP2-B: A = 8,933
Beispiel 3 - Parabel in Parameterform in Mittelpunktlage:
Eine horizontal liegende Parabel sei durch nachfolgende Parametergleichungen definiert:
X = -K ²
Y = -3·K
mit 0 ≤ k < ∞
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -4 ermitteln zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Wahl des Registerblatts Parabel II, der Aktivierung des Kontrollschalters X = -k² ; Y = t·k, einer Eingabe des Werts 3 für den Gleichungskoeffizienten in das entsprechende Feld und einer Festlegung des Abszissenwerts x = -4 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:
Parameter 2p: 9
Lin. Exzentrizität e: 2,25
Num. Exzentrizität eta: 1
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
Brennpunkt: F (-2,25 / 0)
Öffnungsrichtung der Parabel: nach links
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -4:
Punkt 1: TP1 (-4 / 6)
Punkt 2: TP2 (-4 / -6)
Tangente 1: Y = -0,75·X+3
Tangente 2: Y = 0,75·X-3
Tangentenlänge TP1-V: 10
Subtangentenlänge R-V: 8
Normale 1: Y = 1,333·X+11,333
Normale 2: Y = -1,333·X-11,333
Normalenlänge TP1-T: 7,5
Subnormalenlänge R-T: 4,5
Länge Brennstrahl TP1-F: 6,25
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (-16,5 / -10,667)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 20,833
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (-16,5 / 10,667)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 20,833
Fläche Sektor TP1-0-TP2-B: A = 4
Fläche Segment S-TP1-TP2: A = 32
Länge des Bogens S-TP1: l = 2,528
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
Interne Programmlinks:
Ellipse
Parabel
Funktionen in Parameterform
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
Startfenster des Unterprogramms Kegelschnitte in Mittelpunktlage
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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