MathProf - Kegelschnitt (Ellipse - Hyperbel - Parabel)

 

Mit dem Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Mittelpunktlage können Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in Mittelpunktlage bezeichnet werden, durchgeführt werden.

 

Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird und der Mittelpunkt des Kegelschnitts im Koordinatenursprung liegt.

Das Programm ermöglicht es hierbei Kegelschnitte dieser Art an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) zu untersuchen, wobei Kegelschnittgleichungen sowohl in impliziter Form, wie auch in Parameterdarstellung gegeben sein können.

In diesem Modul können untersucht werden:

• Ellipse
• Ellipse (Parameterform - Parameterdarstellung)
• Hyperbel
• Hyperbel (Parameterform - Parameterdarstellung)
• Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
• Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform - Parameterdarstellung)

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

• Evolute (Kurve der Krümmungskreis-Mittelpunkte)
• Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
• Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
• Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
• Asymptoten (bei Hyperbeln)
• Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
• Subtangenten und Subnormalen
• Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren

Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte:

Hyperbel (Hyperbelgleichung):

Ellipse (Ellipsengleichung):

Parabel (Parabelgleichung - horizontale Öffnungsrichtung):

Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte in Parameterform:

Hyperbel (Hyperbelgleichung):

 

Ellipse (Ellipsengleichung):

 

 

Parabel (Parabelgleichung - horizontale Öffnungsrichtung):

 

 

Parabel (Parabelgleichung - vertikale Öffnungsrichtung):

 

 

Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in Mittelpunktlage:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Gleichungen der Asymptoten
• Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
• Flächeninhalt eines Segments
• Flächeninhalt eines Sektors

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Fläche und Umfang der Ellipse
• Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
• Flächeninhalt eines Segments
• Flächeninhalt eines Sektors

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkt
• Brennpunkt
• Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
• Flächeninhalt eines Segments
• Flächeninhalt eines Sektors
• Länge eines Bogens

Details, sowie mathematische Gleichungen zu Kegelschnitten finden Sie unter Kegelschnitte.
 

Berechnung und grafische Darstellung

Um Untersuchungen mit Kegelschnitten dieser Art durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:

1. Wählen Sie das entsprechende Registerblatt, auf welchem sich die Eingabefelder zur Definition des zu untersuchenden Kegelschnitts befinden.
    
2. Geben Sie die Werte der Parameter des Kegelschnitts in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Zu untersuchende Stelle die x-Koordinate fest, bei welcher die Untersuchung durchgeführt werden soll.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
5. Möchten Sie sich den Kegelschnitt grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Ist ein Kegelschnitt mit den vorgegebenen Werten nicht definiert, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.

Hinweis:

Bei der grafischen Darstellung werden die Kegelschnitte stets nur über einen begrenzten Parameterwertebereich ausgegeben. Dies kann dazu führen, dass sich errechnete Schnittpunkte außerhalb des dargestellten Bereichs des Kegelschnitts befinden. Auf die numerisch ermittelten Berechnungsergebnisse hat dies jedoch keinen Einfluss.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
• Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
• Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
• Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
• Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
• Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
• Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• U-Stelle mark.: Darstellung der U-Bereichsmarkierung der untersuchten Stelle ein-/ausschalten
• Details: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten

Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.

• Subtangent. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
• Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Markierung des Untersuchungsbereichs (vert. Linie) ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Kegelschnitt – Prinzip

Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv

Kegelschnitte in achsparalleler Lage

Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv

Kegelschnitte - Punkt

Kegelschnitte - Gerade

 

Beispiel 1 - Hyperbel in Mittelpunktlage:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 8 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Registerblatts Hyperbel I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 8 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 0,894
Halbachse b: 0,894
Parameter 2p: 1,789
Lin. Exzentrizität e: 1,265
Num. Exzentrizität eta: 1,414

Scheitelpunkt 1: A (-0,894 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (0,894 / 0)
Mittelpunkt: M (0 / 0)

Brennpunkt 1: F1 (-1,265 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (1,265 / 0)
Brennpunktabstand: 2,53

Asymptote 1: Y = 1·X
Asymptote 2: Y = -1·X
 

Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) ; Radius r = 0,894
 

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 8:

Punkt 1: TP1 (8 / 7,95)
Punkt 2: TP2 (8 / -7,95)

Tangente 1: Y = 1,006·X-0,101
Tangente 2: Y = -1,006·X+0,101
Tangentenlänge TP1-V: 11,208
Subtangentenlänge R-V: 7,9

Normale 1: Y = -0,994·X+15,9
Normale 2: Y = 0,994·X-15,9
Normalenlänge TP1-T: 11,278
Subnormalenlänge R-T: 8

Länge Brennstrahl TP1-F1: 10,419
Länge Brennstrahl TP1-F2: 12,208

Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (1280 / -1256,075)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 1793,249
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (1280 / 1256,075)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 1793,249

Fläche des Segments TP1-B-TP2: A = 61,294
Fläche des Sektors 0-TP2-B-TP1: A = 2,305
 

Beispiel 2 - Ellipse in Mittelpunktlage:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 3 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Registerblatts Ellipse I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 3 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 4,899
Halbachse b: 2
Parameter 2p: 1,633
Lin. Exzentrizität e: 4,472
Num. Exzentrizität eta: 0,913

Scheitelpunkt 1: A (-4,899 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (4,899 / 0)
Scheitelpunkt 3: C (0 / 2)
Scheitelpunkt 4: D (0 / -2)

Mittelpunkt: M (0 / 0)

Brennpunkt 1: F1 (-4,472 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (4,472 / 0)
Brennpunktabstand: 8,944

Fläche A: 30,781 FE
Umfang U: 22,592

Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) ; Radius r = 4,899
Nebenkreis: Mittelpunkt Mn (0 / 0) ; Radius r = 2

 

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 3:

Punkt 1: TP1 (3 / 1,581)
Punkt 2: TP2 (3 / -1,581)

Tangente 1: Y = -0,316·X + 2,53
Tangente 2: Y = 0,316·X - 2,53
Tangentenlänge TP1-V: 5,244
Subtangentenlänge R-V: 5

Normale 1: Y = 3,162·X - 7,906
Normale 2: Y = -3,162·X + 7,906
Normalenlänge TP1-T: 1,658
Subnormalenlänge R-T: 0,5

Länge Brennstrahl TP1-F1: 2,16
Länge Brennstrahl TP1-F2: 7,637

Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (0,938 / -4,941)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 6,841
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (0,938 / 4,941)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 6,841

Fläche Segment TP1-TP2-B: A = 4,19
Fläche Sektor TP1-0-TP2-B: A = 8,933
 

Beispiel 3 - Parabel in Parameterform in Mittelpunktlage:

Eine horizontal liegende Parabel sei durch nachfolgende Parametergleichungen definiert:

X = -K ²
Y = -3·K

 

mit 0 ≤ k < ∞

Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -4 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Registerblatts Parabel II, der Aktivierung des Kontrollschalters X = -k² ; Y = t·k, einer Eingabe des Werts 3 für den Gleichungskoeffizienten in das entsprechende Feld und einer Festlegung des Abszissenwerts x = -4 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Parameter 2p: 9
Lin. Exzentrizität e: 2,25
Num. Exzentrizität eta: 1
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
Brennpunkt: F (-2,25 / 0)
Öffnungsrichtung: nach links

 

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -4:

Punkt 1: TP1 (-4 / 6)
Punkt 2: TP2 (-4 / -6)

Tangente 1: Y = -0,75·X+3
Tangente 2: Y = 0,75·X-3
Tangentenlänge TP1-V: 10
Subtangentenlänge R-V: 8

Normale 1: Y = 1,333·X+11,333
Normale 2: Y = -1,333·X-11,333
Normalenlänge TP1-T: 7,5
Subnormalenlänge R-T: 4,5

Länge Brennstrahl TP1-F: 6,25

Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (-16,5 / -10,667)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 20,833
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (-16,5 / 10,667)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 20,833

Fläche Sektor TP1-0-TP2-B: A = 4
Fläche Segment S-TP1-TP2: A = 32
Länge des Bogens S-TP1: l = 2,528
 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)

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