MathProf - Stichprobe - Häufigkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Berechnen

MathProf - Mathematik-Software - Stichproben | Verteilung | Mittelwert | Normalverteilung

Fachthema: Stichproben

MathProf - Stochastik - Beurteilende Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Stichproben | Verteilung | Mittelwert | Normalverteilung

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Berechnungen und Auswertungen
mit normalverteilten Stichprobenwerten.

Bei einer Benutzung dieses Teilprogramms kann unter Berücksichtigung der Irrtumswahrscheinlichkeit bzgl. des Eintretens eines Ereignisses unter anderem mit Hilfe der t-Verteilung ermittelt werden, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder zu verwerfen ist. Der Rechner dieses Unterprogramms erteilt Auskunft hierüber. Vor dem Berechnen kann der entsprechende Stichprobenumfang (die Stichprobengröße bzw. Losgröße) frei festgelegt werden.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls zur Durchführung der Datenanalyse geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Stichprobe - Statistische Signifikanz - Beurteilende Statistik - Test - Statistiken - Konfidenzintervall - Einseitiges Konfidenzintervall - Zweiseitiges Konfidenzintervall - Vertrauensbereich - Vertrauensintervall - Normalverteilung - Annahmebereich und Ablehnungsbereich bei Stichprobenanalysen - Stichprobenprüfung - t-Test - Einseitiger Signifikanztest - Zweiseitiger Signifikanztest - Einseitiger t-Test - Einstichprobentest - Zweistichprobentest - Zweiseitiger t-Test - Student-t-Test - Stichprobenmittel - Nullhypothese - Stichprobenmittelwert - Linksseitiger Signifikanztest - Rechtsseitiger Signifikanztest - Signifikanz berechnen - Varianz - Vertrauensbereich - Vertrauensniveau - Vertrauensintervall - Erwartungswert - Formeln zur Stochastik - Stichprobenmittelwert - Statistik-Rechner - Statistische Analyse - Statistische Datenanalyse - Statistische Tests - Quantile - Oberes Quartil - Unteres Quartil - Oberes und unteres Quartil - Perzentile - Zufall - Grundgesamtheit - Festlegung eines Stichprobenumfangs - Stichprobenvarianz - Signifikanzniveau - Spannweite von Stichproben - Stichprobenumfang - Stichprobengröße - Standardabweichung einer Stichprobe - Wahrscheinlichkeit - Zufallsstichprobe - Zufällige Stichprobe - Losgröße - Häufigkeit - Wahrscheinlichkeit - Mittelwert - Erwartungswert - Stichprobenhäufigkeit - Grundgesamtheit - Testgröße - Testwerte - Auswertung - Auswerten - Analysieren - Parameter - Stichprobenanalyse - Mittelwert - Zentralwert - Median - Varianz - Formeln - Beispiele - Aufgaben - Rechner - Berechnung - Empirische Varianz - Irrtumswahrscheinlichkeit

  
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Stichproben berechnen


Im kleinen Programmmodul [Stochastik] - Stichproben können Untersuchungen mit normalverteilten Stichprobenwerten durchgeführt werden.

 

MathProf - Stichproben - Verteilung - Absolute Häufigkeit - Normalverteilung - Irrtumswahrscheinlichkeit - Varianz - Mittelwert - Relative Häufigkeit - Konfidenzintervall - Beispiel - Stichprobenanalysen - Einseitiger Signifikanztest - Zweiseitiger Signifikanztest - Student-t-Verteilung - Nullhypothese - Irrtumswahrscheinlichkeit - Varianz - Mittelwert - Signifikanztest - Ablehnungsbereich - Annahmebereich

 

Die Durchführung folgender Test steht zur Auswahl:

 

  • Test eines Stichprobenmittelwerts einer normalverteilten Grundgesamtheit

  • Test von zwei Stichprobenmittelwerten einer normalverteilten Grundgesamtheit

  • Test einer Stichprobenhäufigkeit

Zusammenhänge und Formeln

 

Test eines Stichprobenmittelwerts einer normalverteilten Grundgesamtheit:

 

Von der Stichprobe einer normalverteilten Grundgesamtheit sind bekannt:

 

Umfang der Stichprobe n

Varianz σ²

Mittelwert m

 

Es soll untersucht werden, ob der Mittelwert m vom zu erwartenden Mittelwert μ zufällig abweicht. Hierfür wird eine Nullhypothese H0 aufgestellt, welche besagt, dass eine Abweichung des Mittelwerts m vom Erwartungswert m zufällig ist.

 

Zur Untersuchung der Gültigkeit der Nullhypothese wird eine Testgröße ta ermittelt, welche mit dem Wert einer Student-t-Verteilung tb verglichen wird. Ist ta < tb, so kann die Nullhypothese mit der entsprechend gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit α beibehalten werden, ansonsten muss diese verworfen werden.

 

Diese Testgröße wird ermittelt durch:

 

Stichproben - Gleichung - 1

mit f = n-1 Freiheitsgraden für Student-t-Wert

 

Test von zwei Stichprobenmittelwerten einer normalverteilten Grundgesamtheit:

 

Sind von zwei unabhängigen Stichproben einer normalverteilten Grundgesamtheit folgende Größen bekannt:

 

Umfang der 1. Stichprobe n1

Umfang der 2. Stichprobe n2

Mittelwert der 1. Stichprobe m1

Mittelwert der 2. Stichprobe m1

Varianz der 1. Stichprobe σ1²

Varianz der 2. Stichprobe σ2²

 

so kann diese Testgröße ermittelt werden durch:

 

Stichproben - Gleichung - 2

 

mit f = n1 + 2·n2 Freiheitsgraden für Student-t-Wert

 

Die Untersuchung der Gültigkeit der Nullhypothese erfolgt wie zuvor beschrieben.
 

Test einer Stichprobenhäufigkeit:

 

Tritt in einer Stichprobe ein Ereignis der Häufigkeit h ein, und entspricht die zu erwartende Wahrscheinlichkeit des Eintretens p nicht dem empirisch ermittelten Wert h/n, so kann die Testgröße bzgl. der Nullhypothese eines zufälligen Abweichens ermittelt werden mit:

 

Stichproben - Gleichung - 3

 

mit f = n-1 Freiheitsgraden für Student-t-Wert

 

und:

 

Stichprobenumfang n

Ereignishäufigkeit h

Erwartungswahrscheinlichkeit des Eintritts des Ereignisses p

 

Die Untersuchung der Gültigkeit der Nullhypothese erfolgt wie zuvor beschrieben.

 

Berechnung

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen in diesem Programmteil durchführen zu lassen:
 

  1. Wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Registerblatts, welche Untersuchung Sie durchführen möchten (Ein Stichprobenmittelwert, Zwei Stichprobenmittelwerte, Stichprobenhäufigkeit).
     

  2. Geben Sie die Werte für benötigte Größen in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein.
     

  3. Entscheiden Sie durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter, ob ein- oder zweiseitige Tests durchgeführt werden sollen.
     

  4. Legen Sie durch die Aktivierung des hierfür relevanten Kontrollschalters fest, für welche Irrtumswahrscheinlichkeiten ein Test durchgeführt werden soll.
     

  5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm, ob die Nullhypothese angenommen werden kann.

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Themenbereiche

 

Stetige Verteilungen

Glockenkurve

 

Beispiele - Aufgaben

 

Beispiel 1 - Stichprobenmittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit (Zweiseitiger Test):

 

Registerblatt Ein Stichprobenmittelwert.

 

Bei einer Stichprobe des Umfangs 65 werden die Werte für Varianz und Mittelwert wie folgt angegeben:

 

Varianz σ² = 1,6

Mittelwert m = 14,2

 

Der erwartete Mittelwert μ  beträgt 14. Nach Festlegung einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,05 und der Eingabe der entsprechenden Werte (Umfang n = 65, Mittelwert m = 14,2, Varianz σ² = 1,6 und Erwartungswert μ = 14), ermittelt das Programm bei Durchführung eines zweiseitigen Tests:

 

Testwert ta: 1,275

Student-t-Wert tb: 1,998

 

Somit kann die Hypothese, dass die aufgetretene Abweichung zufällig eingetreten ist, angenommen werden.

 

Beispiel 2 - Stichprobenmittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit (Einseitiger Test):

 

Registerblatt Ein Stichprobenmittelwert.

 

Ein auf Erwartungswert μ = 50 und Varianz σ ² = 25 geeichter Raumvorstellungstest wird (Umfang) n = 100 Studentinnen und Studenten vorgegeben. Das durchschnittliche Testergebnis (Mittelwert) in der Stichprobe beträgt m = 50,9. Kann man aufgrund dieser Ergebnisse davon ausgehen, dass Studierende eine bessere räumliche Vorstellungskraft als die Gesamtbevölkerung aufweisen?

 

Nach Festlegung eines Signifikanzniveaus (Irrtumswahrscheinlichkeit) von α = 0,05, der Eingabe der Werte für Umfang n = 100, Mittelwert m = 50, Varianz σ² = 25 und Erwartungswert μ = 50, ermittelt das Programm bei Durchführung eines einseitigen Tests den Testwert ta = 1,8.

 

Da der kritische Wert für tb = 1,66 beträgt, und das Ergebnis somit signifikant ist (1,8 > 1,66), lautet die Antwort: Ja, man kann aufgrund der vorliegenden Stichprobe davon ausgehen, dass Studentinnen und Studenten im Durchschnitt eine bessere Raumvorstellung haben als die Gesamtbevölkerung.

 

Beispiel 3 - Zwei Stichprobenmittelwerte einer normalverteilten Grundgesamtheit:

 

Registerblatt Zwei Stichprobenmittelwerte.

 

Bei der Fertigung von Scheiben werden Proben von n1 = 75 und n2 = 50 Testexemplaren entnommen. Die Mittelwerte deren Höhen (in mm) betragen m1 = 40 bzw. m2 = 39,91. Die Varianzen weisen die Werte σ21 = 0,052 bzw. σ22 = 0,055 auf.

 

Die Nullhypothese besagt, dass diese Unterschiede auf Zufall beruhen. Bei Durchführung eines zweiseitigen Tests mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,05 wird der Testwert ta = 2,137 ermittelt. Da der Student-t-Wert jedoch tb = 1,979 beträgt, kann gefolgert werden, dass die Differenz der Höhen signifikant ist und die Hypothese somit abgelehnt werden muss.

 

Beispiel 4 - Stichprobenhäufigkeit:

 

Registerblatt Zwei Stichprobenhäufigkeit.

 

Bei einer klinischen Studie wird ermittelt, dass nach Verabreichung eines Medikaments von 80 untersuchten Patienten 15 bestimmte Symptome aufweisen. Aus zuvor durchgeführten Langzeitstudien ist bekannt, dass die Erwartungswahrscheinlichkeit hierfür bei 0,3 liegt.

 

Bei Annahme einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,01 (und Eingabe der Werte für Umfang n = 80, Häufigkeit h = 15 und Erwartungswahrscheinlichkeit p = 0,3), wird für den Testwert ta die Zahl 2,196 ermittelt. Da der entsprechende Wert der Student-t-Verteilung tb = 2,64 beträgt, wird bei Durchführung eines zweiseitigen Tests die Nullhypothese bestätigt und es kann davon ausgegangen werden, dass sich an der Häufigkeit des Erscheinens der Symptome nichts geändert hat.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Stichproben - Stichprobe - Häufigkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Auswertung - Stichprobenanalyse - Berechnen - Erwartungswert - Mittelwert - Konfidenzintervall - Beispiel - Stichprobenanalysen - Einseitiger Signifikanztest - Zweiseitiger Signifikanztest - Student-t-Verteilung - Nullhypothese - Irrtumswahrscheinlichkeit - Varianz - Mittelwert - Signifikanztest - Ablehnungsbereich - Annahmebereich

MathProf - Stichproben - Normalverteilung - Statistik - Stochastik - Test - Stichprobenumfang - Varianz - Wahrscheinlichkeit - Stichprobenhäufigkeit - Konfidenzintervall - Beispiel - Stichprobenanalysen - Einseitiger Signifikanztest - Zweiseitiger Signifikanztest - Student-t-Verteilung - Nullhypothese - Irrtumswahrscheinlichkeit - Varianz - Mittelwert - Signifikanztest - Ablehnungsbereich - Annahmebereich

MathProf - Stichproben - Stichprobe - Varianz - Nullhypothese - Stichprobenmittelwert - Stichprobenhäufigkeit - Normalverteilung - Methode - Beispiel - Stichprobenanalysen - Einseitiger Signifikanztest - Zweiseitiger Signifikanztest - Student-t-Verteilung - Nullhypothese - Irrtumswahrscheinlichkeit - Signifikanztest - Ablehnungsbereich - Annahmebereich

     
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Stichprobe zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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