MathProf - Stichprobe - Häufigkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung

     

Im kleinen Programmmodul [Stochastik] - Stichproben können Untersuchungen mit normalverteilten Stichprobenwerten durchgeführt werden.

 

 

 

• Test eines Stichprobenmittelwerts einer normalverteilten Grundgesamtheit

• Test von zwei Stichprobenmittelwerten einer normalverteilten Grundgesamtheit

• Test einer Stichprobenhäufigkeit

 

Test eines Stichprobenmittelwerts einer normalverteilten Grundgesamtheit:

 

Von der Stichprobe einer normalverteilten Grundgesamtheit sind bekannt:

 

Umfang der Stichprobe n

Varianz σ²

Mittelwert m

 

Es soll untersucht werden, ob der Mittelwert m vom zu erwartenden Mittelwert μ zufällig abweicht. Hierfür wird eine Nullhypothese H₀ aufgestellt, welche besagt, dass eine Abweichung des Mittelwerts m vom Erwartungswert m zufällig ist.

 

Zur Untersuchung der Gültigkeit der Nullhypothese wird eine Testgröße ta ermittelt, welche mit dem Wert einer Student-t-Verteilung tb verglichen wird. Ist ta < tb, so kann die Nullhypothese mit der entsprechend gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit α beibehalten werden, ansonsten muss diese verworfen werden.

 

Diese Testgröße wird ermittelt durch:

 

mit f = n-1 Freiheitsgraden für Student-t-Wert

 

Test von zwei Stichprobenmittelwerten einer normalverteilten Grundgesamtheit:

 

Sind von zwei unabhängigen Stichproben einer normalverteilten Grundgesamtheit folgende Größen bekannt:

 

Umfang der 1. Stichprobe n1

Umfang der 2. Stichprobe n2

Mittelwert der 1. Stichprobe m1

Mittelwert der 2. Stichprobe m1

Varianz der 1. Stichprobe σ₁²

Varianz der 2. Stichprobe σ₂²

 

so kann diese Testgröße ermittelt werden durch:

 

 

mit f = n₁ + 2·n₂ Freiheitsgraden für Student-t-Wert

 

Die Untersuchung der Gültigkeit der Nullhypothese erfolgt wie zuvor beschrieben.
 

Test einer Stichprobenhäufigkeit:

 

Tritt in einer Stichprobe ein Ereignis der Häufigkeit h ein, und entspricht die zu erwartende Wahrscheinlichkeit des Eintretens p nicht dem empirisch ermittelten Wert h/n, so kann die Testgröße bzgl. der Nullhypothese eines zufälligen Abweichens ermittelt werden mit:

 

 

mit f = n-1 Freiheitsgraden für Student-t-Wert

 

und:

 

Stichprobenumfang n

Ereignishäufigkeit h

Erwartungswahrscheinlichkeit des Eintritts des Ereignisses p

 

Die Untersuchung der Gültigkeit der Nullhypothese erfolgt wie zuvor beschrieben.

 

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen in diesem Programmteil durchführen zu lassen:
 

1. Wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Registerblatts, welche Untersuchung Sie durchführen möchten (Ein Stichprobenmittelwert, Zwei Stichprobenmittelwerte, Stichprobenhäufigkeit).
    

2. Geben Sie die Werte für benötigte Größen in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein.
    

3. Entscheiden Sie durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter, ob ein- oder zweiseitige Tests durchgeführt werden sollen.
    

4. Legen Sie durch die Aktivierung des hierfür relevanten Kontrollschalters fest, für welche Irrtumswahrscheinlichkeiten ein Test durchgeführt werden soll.
    

5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm, ob die Nullhypothese angenommen werden kann.

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Stetige Verteilungen

Glockenkurve

 

 

Beispiel 1 - Stichprobenmittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit (Zweiseitiger Test):

 

Registerblatt Ein Stichprobenmittelwert.

 

Bei einer Stichprobe des Umfangs 65 werden die Werte für Varianz und Mittelwert wie folgt angegeben:

 

Varianz σ² = 1,6

Mittelwert m = 14,2

 

Der erwartete Mittelwert μ  beträgt 14. Nach Festlegung einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,05 und der Eingabe der entsprechenden Werte (Umfang n = 65, Mittelwert m = 14,2, Varianz σ² = 1,6 und Erwartungswert μ = 14), ermittelt das Programm bei Durchführung eines zweiseitigen Tests:

 

Testwert ta: 1,275

Student-t-Wert tb: 1,998

 

Somit kann die Hypothese, dass die aufgetretene Abweichung zufällig eingetreten ist, angenommen werden.

 

Beispiel 2 - Stichprobenmittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit (Einseitiger Test):

 

Registerblatt Ein Stichprobenmittelwert.

 

Ein auf Erwartungswert μ = 50 und Varianz σ ² = 25 geeichter Raumvorstellungstest wird (Umfang) n = 100 Studentinnen und Studenten vorgegeben. Das durchschnittliche Testergebnis (Mittelwert) in der Stichprobe beträgt m = 50,9. Kann man aufgrund dieser Ergebnisse davon ausgehen, dass Studierende eine bessere räumliche Vorstellungskraft als die Gesamtbevölkerung aufweisen?

 

Nach Festlegung eines Signifikanzniveaus (Irrtumswahrscheinlichkeit) von α = 0,05, der Eingabe der Werte für Umfang n = 100, Mittelwert m = 50, Varianz σ² = 25 und Erwartungswert μ = 50, ermittelt das Programm bei Durchführung eines einseitigen Tests den Testwert ta = 1,8.

 

Da der kritische Wert für tb = 1,66 beträgt, und das Ergebnis somit signifikant ist (1,8 > 1,66), lautet die Antwort: Ja, man kann aufgrund der vorliegenden Stichprobe davon ausgehen, dass Studentinnen und Studenten im Durchschnitt eine bessere Raumvorstellung haben als die Gesamtbevölkerung.

 

Beispiel 3 - Zwei Stichprobenmittelwerte einer normalverteilten Grundgesamtheit:

 

Registerblatt Zwei Stichprobenmittelwerte.

 

Bei der Fertigung von Scheiben werden Proben von n1 = 75 und n2 = 50 Testexemplaren entnommen. Die Mittelwerte deren Höhen (in mm) betragen m1 = 40 bzw. m2 = 39,91. Die Varianzen weisen die Werte σ²₁ = 0,052 bzw. σ²₂ = 0,055 auf.

 

Die Nullhypothese besagt, dass diese Unterschiede auf Zufall beruhen. Bei Durchführung eines zweiseitigen Tests mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,05 wird der Testwert ta = 2,137 ermittelt. Da der Student-t-Wert jedoch tb = 1,979 beträgt, kann gefolgert werden, dass die Differenz der Höhen signifikant ist und die Hypothese somit abgelehnt werden muss.

 

Beispiel 4 - Stichprobenhäufigkeit:

 

Registerblatt Zwei Stichprobenhäufigkeit.

 

Bei einer klinischen Studie wird ermittelt, dass nach Verabreichung eines Medikaments von 80 untersuchten Patienten 15 bestimmte Symptome aufweisen. Aus zuvor durchgeführten Langzeitstudien ist bekannt, dass die Erwartungswahrscheinlichkeit hierfür bei 0,3 liegt.

 

Bei Annahme einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,01 (und Eingabe der Werte für Umfang n = 80, Häufigkeit h = 15 und Erwartungswahrscheinlichkeit p = 0,3), wird für den Testwert ta die Zahl 2,196 ermittelt. Da der entsprechende Wert der Student-t-Verteilung tb = 2,64 beträgt, wird bei Durchführung eines zweiseitigen Tests die Nullhypothese bestätigt und es kann davon ausgegangen werden, dass sich an der Häufigkeit des Erscheinens der Symptome nichts geändert hat.
 

 

     
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Stichprobe zu finden.

 

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