MathProf - Archimedische Kreise

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Archimedische Kreise

 

Unter dem Menüpunkt [Geometrie] - [Extras] - Archimedische Kreise können Sie Zusammenhänge des geometrischen Problems Archimedische Kreise analysieren.

 

MathProf - Archimedische Kreise


Es wird ein Halbkreis gezeichnet, in dem zwei aneinanderliegende Halbkreise so eingezeichnet werden, dass diese sich berühren. Wird am Berührpunkt der beiden, sich berührenden, inneren Kreise ein Lot gefällt, so gilt für zwei Kreise die entstehen:

  • Beide Kreise berühren den Außenhalbkreis
  • Beide Kreise berühren das Lot (Strecke FC)
  • Jeder der inneren Kreise berührt einen Innenhalbkreis
  • Beide Kreise sind kongruent

Kreise dieser Art tragen die Bezeichnung Archimedische Kreise. Ihre Radien und Mittelpunkte können wie folgt berechnet werden:

Radius der Kreise:

R = 1/2 r (1-r)

Der links angeordnete Kreis besitzt seinen Mittelpunkt bei:

x1 = r - R = r/2 (1+r)

y1 = (2rR) = r (1-r)
 

Der rechts angeordnete Kreis besitzt seinen Mittelpunkt bei:

x2 = r + R = r/2 (3-r)

y2 = (2R (1-r)) = (1-r) r

mit r = AF und 1-r = FB

Die relativen Koordinatenwertangaben beziehen sich auf Punkt A.

Bankoff- und Apollonius-Kreis:

MathProf - Bankoff-Kreis

Der Bankoff-Kreis ist der Inkreis des Dreiecks OiO1O2.

Wird das Kontrollkästchen Bankoff-Kreis aktiviert, so wird der Bankoff-Kreis dargestellt, dessen Herleitung in obigem Schaubild dargestellt ist.

Mit Apollonius-Kreis wird in diesem Fall der Kreis bezeichnet, der die beiden Halbkreise um die Mittelpunkte MP1 und MP2 von außen, sowie den Halbkreis um den Koordinatenursprung von innen berührt. Diesen können Sie sich darstellen lassen, wenn Sie das Kontrollkästchen Apollonius-Kreis aktivieren. Wird außerdem das Kontrollkästchen Berührkreise aktiviert, so werden die Berührkreise des Apollonius-Kreises dargestellt, deren Mittelpunkte auf der Abszissenachse liegen.

Darstellung


Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB auf dem Bedienformular den Radius des Außenhalbkreises fest.
     
  2. Zur Darstellung der Bankoff-, Apollonius- oder Berührkreise aktivieren Sie die entsprechenden Kontrollkästchen.
     
  3. Soll der Abszissenwert des Lotfußpunktes F exakt festgelegt werden, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  4. Möchten Sie die Position des Lotfußpunktes F mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei jeder Verschiebung des Lotfußpunktes behalten die beiden internen Kreise ihre Kongruenz bei (gleicher Durchmesser der Kreise).

 

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Archimedische - Halbkreis


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Mittelpunkte: Darstellung und Beschriftung von Kreismittelpunkten ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Satz des Arbelos

Pappus-Kreise

Hippokrates Möndchen

 

Beispiel


Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (-2 / 0) eingestellt und der Radius des Außenkreises auf r = 8 (Strecke AB = 16) festgelegt, so werden folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

Mittelpunkt des Halbkreisbogens AF: MP1 (-5 / 0)

Mittelpunkt des Halbkreisbogens FB: MP2 (3 / 0)

 

Radius des Halbkreisbogens AF: r = 3

Radius des Halbkreisbogens FB: r = 5

 

Flächeninhalt des Halbkreises AF: A = 14,137 FE

Flächeninhalt des Halbkreises FB: A = 39,27 FE

Flächeninhalt des Halbkreises AB: A = 100,531 FE

 

Umfang des Halbkreises AF: U = 9,425

Umfang des Halbkreises FB: U = 15,708

Umfang des Halbkreises AB: U = 25,133

 

Mittelpunkt des ersten inneren Kreises K1: MP3 (-3,875 / 4,743)

Mittelpunkt des zweiten inneren Kreises K2: MP4 (-0,125 / 6,124)

 

Radius der Kreise K1 und K2: r = 1,875

 

Länge der Strecke FC: 7,746

 

Mittelpunkt des Apollonius-Kreises: MP5 (-2,469 / -5,605)

Mittelpunkt des Bankoff-Kreises: MP6 (2 / 1,875)
 

Module zum Themenbereich Geometrie


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