MathProf - Archimedischer Kreis - Zwillingskreise des Archimedes - Bankoff - Kreise

MathProf - Mathematik-Software - Archimedische Kreise | Halbkreis | Bankoff-Kreis | Fläche

Fachthema: Archimedische Kreise

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Archimedische Kreise | Halbkreis | Bankoff-Kreis | Fläche

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver
Analysen mit Archimedischen Kreisen.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Zwillingskreise des Archimedes - Kreise im Kreis - Halbkreis - Apollonius-Kreis - Halbkreis - Halbkreisbogen - Bankoffkreis - Tangierende Kreise - Berührende Kreise - Flächeninhalt - Bilder - Graph - Plotten - Darstellung - Berechnung - Darstellen

 
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Archimedische Kreise

 

Unter dem Menüpunkt [Geometrie] - [Extras] - Archimedische Kreise können Sie Zusammenhänge des geometrischen Problems Archimedische Kreise analysieren.

 

MathProf - Archimedische Kreise - Halbkreis - Bankoff-Kreis - Inkreis - Dreieck - Kreise im Kreis - Zwillingskreise des Archimedes

 

Es wird ein Halbkreis gezeichnet, in dem zwei aneinanderliegende Halbkreise so eingezeichnet werden, dass diese sich berühren. Wird am Berührpunkt der beiden, sich berührenden, inneren Kreise ein Lot gefällt, so gilt für zwei Kreise die entstehen:

  • Beide Kreise berühren den Außenhalbkreis
  • Beide Kreise berühren das Lot (Strecke FC)
  • Jeder der inneren Kreise berührt einen Innenhalbkreis
  • Beide Kreise sind kongruent

Kreise dieser Art tragen die Bezeichnung Archimedische Kreise. Ihre Radien und Mittelpunkte können wie folgt berechnet werden:

Radius der Kreise:

R = 1/2 r (1-r)

Der links angeordnete Kreis besitzt seinen Mittelpunkt bei:

x1 = r - R = r/2 (1+r)

y1 = (2rR) = r (1-r)
 

Der rechts angeordnete Kreis besitzt seinen Mittelpunkt bei:

x2 = r + R = r/2 (3-r)

y2 = (2R (1-r)) = (1-r) r

mit r = AF und 1-r = FB

Die relativen Koordinatenwertangaben beziehen sich auf Punkt A.

Bankoff- und Apollonius-Kreis:

MathProf - Bankoff-Kreis

Der Bankoff-Kreis ist der Inkreis des Dreiecks OiO1O2.

Wird das Kontrollkästchen Bankoff-Kreis aktiviert, so wird der Bankoff-Kreis dargestellt, dessen Herleitung in obigem Schaubild dargestellt ist.

Mit Apollonius-Kreis wird in diesem Fall der Kreis bezeichnet, der die beiden Halbkreise um die Mittelpunkte MP1 und MP2 von außen, sowie den Halbkreis um den Koordinatenursprung von innen berührt. Diesen können Sie sich darstellen lassen, wenn Sie das Kontrollkästchen Apollonius-Kreis aktivieren. Wird außerdem das Kontrollkästchen Berührkreise aktiviert, so werden die Berührkreise des Apollonius-Kreises dargestellt, deren Mittelpunkte auf der Abszissenachse liegen.

Darstellung


Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB auf dem Bedienformular den Radius des Außenhalbkreises fest.
     
  2. Zur Darstellung der Bankoff-, Apollonius- oder Berührkreise aktivieren Sie die entsprechenden Kontrollkästchen.
     
  3. Soll der Abszissenwert des Lotfußpunktes F exakt festgelegt werden, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  4. Möchten Sie die Position des Lotfußpunktes F mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei jeder Verschiebung des Lotfußpunktes behalten die beiden internen Kreise ihre Kongruenz bei (gleicher Durchmesser der Kreise).

 

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Archimedische Kreise - Halbkreis - Apollonius-Kreis - Bankoff-Kreis


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Mittelpunkte: Darstellung und Beschriftung von Kreismittelpunkten ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Satz des Arbelos

Pappus-Kreise

Hippokrates Möndchen

 

Beispiel


Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (-2 / 0) eingestellt und der Radius des Außenkreises auf r = 8 (Strecke AB = 16) festgelegt, so werden folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

Mittelpunkt des Halbkreisbogens AF: MP1 (-5 / 0)

Mittelpunkt des Halbkreisbogens FB: MP2 (3 / 0)

 

Radius des Halbkreisbogens AF: r = 3

Radius des Halbkreisbogens FB: r = 5

 

Flächeninhalt des Halbkreises AF: A = 14,137 FE

Flächeninhalt des Halbkreises FB: A = 39,27 FE

Flächeninhalt des Halbkreises AB: A = 100,531 FE

 

Umfang des Halbkreises AF: U = 9,425

Umfang des Halbkreises FB: U = 15,708

Umfang des Halbkreises AB: U = 25,133

 

Mittelpunkt des ersten inneren Kreises K1: MP3 (-3,875 / 4,743)

Mittelpunkt des zweiten inneren Kreises K2: MP4 (-0,125 / 6,124)

 

Radius der Kreise K1 und K2: r = 1,875

 

Länge der Strecke FC: 7,746

 

Mittelpunkt des Apollonius-Kreises: MP5 (-2,469 / -5,605)

Mittelpunkt des Bankoff-Kreises: MP6 (2 / 1,875)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Archimedische Kreise - Zwillingskreise des Archimedes - Kreise Archimedes - Halbkreise - Bankoff-Kreis - Beispiel - Flächeninhalt - Kreise im Kreis
MathProf - Archimedische Kreise - Apollonius-Kreis - Dreieck - Halbkreis - Kreis - Archimedes - Lotfußpunkt - Kreise - Lot - Mittelpunkt - Fläche - Beispiel - Flächeninhalt - Kreise im Kreis - Zwillingskreise des Archimedes
MathProf - Archimedische Kreise - Zwillingskreise des Archimedes - Apollonius-Kreis - Dreieck - Halbkreis - Kreis - Archimedes - Beispiel - Flächeninhalt - Kreise im Kreis

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Archimedischer Kreis zu finden.
  

Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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