MathProf - N-Eck - Regelmäßige Vielecke - Regelmäßiges Polygon

Modul Regelmäßiges Vieleck

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Im Unterprogramm [Geometrie] - [Ellipse - Vieleck] - Regelmäßiges Vieleck können Berechnungen mit regelmäßigen Vielecken (n-Ecken) durchgeführt werden.

 

Ein regelmäßiges Vieleck (oder regelmäßiges n-Eck) ist ein konvexes n-Eck, dessen Seiten die gleiche Länge besitzen. Eine darartige Figur wird auch als regelmäßiges Polygon bezeichnet. Ein regelmäßiges Vieleck (ein konvexes n-Eck) besteht aus genau so vielen identischen Dreiecken, wie es Ecken besitzt. Ein Dreieck dieser Art trägt die Bezeichnung Bestimmungsdreieck.
 

Im Folgenden sind wesentliche Eigenschaften (Merkmale) regelmäßiger Vielecke aufgeführt.
 

• All seine Seiten sind gleich lang
• All seine Ecken liegen auf einer Kreislinie (seinem Umkreis)
• Alle seine Mittelpunktswinkel sind gleich groß
• Es setzt sich aus gleich vielen gleichen Dreiecken zusammen, wie es Ecken bzw. Seiten besitzt
• Die Basiswinkel dieser gleichen Dreiecke besitzen dieselbe Größe

   
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines regelmäßigen Vielecks relevant sind.

Umfang: U = a·n
Höhe: h = 2 ·r_I wenn n gerade ; h = a / ( 2·tan( π/2/n ) ) wenn n ungerade
Flächeninhalt: A = n ·a² / ( 4·tan(π/n) )
Radius des Inkreises: r_I = a / ( 2·tan(π/n) )
Radius des Umkreises: r_u = a / ( 2·sin(π/n) )
Zentriwinkel: 180° - 360° / n
Diagonalenlänge (Eckenmaß): d = n ( n - 3 ) / 2

Mit:
a: Seitenlänge
n: Eckenanzahl n ∈ ℕ ; n > 2

Mittelpunktswinkel: Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt. Die Innenwinkelsumme eines regelmäßigen Vielecks ist die Summe aller Innenwinkel dessen. Ähnliche Vielecke: Vielecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis gleichliegender Seiten und in gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
 
Tabelle einiger konvexer Vielecke (Dreieck,Viereck,Fünfeck, Sechseck,Achteck,Zehneck,Zwölfeck):
 

Ecken	Zentri-winkel	Seitenlänge	Umfang	Fläche
3	120°	ru·√3	2·ru·2,598..	3/4·ru2·√3
4	90°	ru·√2	2·ru·2,828..	2·ru2
5	72°	ru/2·√(10 - 2√5	2·ru·2,938..	5/8·ru2·√(10 + 2√5
6	60°	ru	2·ru·3	3/2·ru2·√3
8	45°	ru·√(2 - 2√2	2·ru·3,016..	2·ru2·√2
10	36°	ru/2·(√5-1)	2·ru·3,090..	5/4·ru2·√(10 - 2√5
12	30°	ru·√(2 - 2√3	2·ru·3,105..	3·ru2

 
r_u: Umkreisradius
  
Nachfolgend sind die Definitionen, Bezeichnungen und Eigenschaften einiger regelmäßiger Polygone aufgeführt.

Ein Dreieck (3-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit drei Ecken und drei Seiten.
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 3·180° = 540°. Die Anzahl der Diagonalen eines Dreiecks beträgt n(n-3)/2 = 3(3-3)/2 = 0.

Ein Viereck (4-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit vier Ecken und vier Seiten.
Die Winkelsumme im Viereck beträgt 4·180° = 720°. Die Anzahl der Diagonalen eines Vierecks beträgt n(n-3)/2 = 4(4-3)/2 = 2.

Ein Fünfeck (5-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit fünf Ecken und fünf Seiten.
Die Winkelsumme im Fünfeck beträgt 5·180° = 900°. Die Anzahl der Diagonalen eines Fünfecks beträgt n(n-3)/2 = 5(5-3)/2 = 5.

Ein Sechseck (6-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit sechs Ecken und sechs Seiten.
Die Winkelsumme im Sechseck beträgt 6·180° = 1080°. Die Anzahl der Diagonalen eines Sechsecks beträgt n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = 9.

Ein Achteck (8-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit acht Ecken und acht Seiten.
Die Winkelsumme im Achteck beträgt 7·180° = 1260°. Die Anzahl der Diagonalen eines Achtecks beträgt n(n-3)/2 = 8(8-3)/2 = 20.

Ein Zehneck (10-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit zehn Ecken und zehn Seiten.
Die Winkelsumme im Zehneck beträgt 10·180° = 1800°. Die Anzahl der Diagonalen eines Zehnecks beträgt n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 35.

Ein Zwölfeck (12-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit zwölf Ecken und zwölf Seiten.
Die Winkelsumme im Zwölfeck beträgt 12·180° = 2160°. Die Anzahl der Diagonalen eines Zwölfecks beträgt n(n-3)/2 = 12(12-3)/2 = 54.

Ein Dreizehneck (13-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit dreizehn Ecken und dreizehn Seiten.
Die Winkelsumme im Dreizehneck beträgt 13·180° = 2340°. Die Anzahl der Diagonalen eines Dreizehnecks beträgt n(n-3)/2 = 13(13-3)/2 = 65.

Ein Vierzehneck (14-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit vierzehn Ecken und vierzehn Seiten.
Die Winkelsumme im Vierzehneck beträgt 14·180° = 2520°. Die Anzahl der Diagonalen eines Vierzehnecks beträgt n(n-3)/2 = 14(14-3)/2 = 77.

Ein Fünfzehneck (15-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit fünfzehn Ecken und fünfzehn Seiten.
Die Winkelsumme im Fünfzehneck beträgt 15·180° = 2700°. Die Anzahl der Diagonalen eines Fünfzehnecks beträgt n(n-3)/2 = 15(15-3)/2 = 90.

Ein Sechzehneck (16-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit sechzehn Ecken und sechzehn Seiten.
Die Winkelsumme im Sechzehneck beträgt 16·180° = 2880°. Die Anzahl der Diagonalen eines Sechzehnecks beträgt n(n-3)/2 = 16(16-3)/2 = 104.

Ein Siebzehneck (17-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit siebzehn Ecken und siebzehn Seiten.
Die Winkelsumme im Siebzehneck beträgt 17·180° = 3060°. Die Anzahl der Diagonalen eines Siebzehnecks beträgt n(n-3)/2 = 17(17-3)/2 = 119.

Ein Achtzehneck (18-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit achtzehn  Ecken und achtzehn Seiten.
Die Winkelsumme im Achtzehneck beträgt 18·180° = 3240°. Die Anzahl der Diagonalen eines Achtzehnecks beträgt n(n-3)/2 = 18(18-3)/2 = 135.

Ein Neunzehneck (19-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit neunzehn Ecken und neunzehn Seiten.
Die Winkelsumme im Neunzehneck beträgt 19·180° = 3420°. Die Anzahl der Diagonalen eines Neunzehnecks beträgt n(n-3)/2 = 19(19-3)/2 = 152.

Ein Zwanzigeck (20-Eck) ist eine geometrische Figur (ein Vieleck bzw. Polygon) mit zwanzig Ecken und zwanzig Seiten.
Die Winkelsumme im Zwanzigeck beträgt 20·180° = 3600°. Die Anzahl der Diagonalen eines Zwanzigecks beträgt n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 170.

Besitzen alle fünf Seiten eines Fünfecks die gleiche Länge, so wird dieses als gleichseitiges Fünfeck bezeichnet.
Besitzen alle sechs Seiten eines Sechsecks die gleiche Länge, so wird dieses als gleichseitiges Sechseck bezeichnet.
Besitzen alle sieben Seiten eines Siebenecks die gleiche Länge, so wird dieses als gleichseitiges Siebeneck bezeichnet.
Besitzen alle acht Seiten eines Achtecks die gleiche Länge, so wird dieses als gleichseitiges Achteck bezeichnet.
Besitzen alle zehn Seiten eines Zehnecks die gleiche Länge, so wird dieses als gleichseitiges Zehneck bezeichnet.

Regelmäßiges Fünfeck: Alle Seiten des Fünfecks sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.
Regelmäßiges Sechseck: Alle Seiten des Sechsecks sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.
Regelmäßiges Siebeneck: Alle Seiten des Siebenecks sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.
Regelmäßiges Achteck: Alle Seiten des Achtecks sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.
Regelmäßiges Zehneck: Alle Seiten des Zehnecks sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.
Regelmäßiges Zwölfeck: Alle Seiten des Zwölfecks sind gleich lang und alle Innenwinkel sind gleich groß.

Tetragon (konvexes Viereck): Geometrische Fläche mit 4 Ecken und 4 Seiten
Pentagon (konvexes Fünfeck): Geometrische Fläche mit 5 Ecken und 5 Seiten
Hexagon (konvexes Sechseck): Geometrische Fläche mit 6 Ecken und 6 Seiten
Heptagon (konvexes Siebeneck): Geometrische Fläche mit 7 Ecken und 7 Seiten
Oktogon (konvexes Achteck): Geometrische Fläche mit 8 Ecken und 8 Seiten
Nonagon (konvexes Neuneck): Geometrische Fläche mit 9 Ecken und 9 Seiten
Dodekagon (konvexes Zechneck): Geometrische Fläche mit 10 Ecken und 10 Seiten
  
   

Zur Durchführung von Berechnungen mit einem regelmäßigen Vieleck in diesem Modul müssen die Anzahl der Ecken n, sowie entweder dessen Umkreisradius r_u, oder dessen Inkreisradius r_i bekannt sein.

Es werden ermittelt:

• Inkreisradius r_i bzw. Umkreisradius r_u
• Seite s
• Zentriwinkel ρ
• Flächeninhalt A
• Innenwinkelsumme
• Diagonalenzahl n_d
• Umfang u

 

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Vielecken durchführen zu lassen:
 

1. Legen Sie mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox fest, ob Berechnungen mit Innen- oder Außenpolygonen durchgeführt werden sollen.
    
2. Geben Sie die Werte für die beiden Größen Umkreisradius bzw. Inkreisradius und Eckenanzahl in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein. Werte für den Eigendrehwinkel des Vielecks sowie dessen Mittelpunkt definieren Sie in den Feldern mit den Bezeichnungen MP und Drehw. Bedienen Sie ggf. zuvor die Schaltfläche Löschen.
    
3. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
    
4. Möchten Sie sich die Ergebnisse der durchgeführten Berechnung grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Können durch die Eingabe von Zahlenwerten keine Resultate ermittelt werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung. Die Schaltfläche Darstellen ist ausschließlich nach einer zuvor erfolgreich durchgeführten Berechnung bedienbar.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Inkreis: Darstellung des Inkreises des Vielecks ein-/ausschalten
• Umkreis: Darstellung des Umkreises des Vielecks ein-/ausschalten
• Umkreis füllen: Farbfüllung des Umkreises des Vielecks ein-/ausschalten
• Vieleck füllen: Farbfüllung des Vielecks ein-/ausschalten
• Eckpunkte: Darstellung der Eckpunkte des Vielecks ein-/ausschalten
• Mittelpunkt: Darstellung des Mittelpunkts des Vielecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte der Eckpunkte (des Mittelpunkts) des Vielecks ein-/ausschalten
• Strecken Eckp.-MP: Darstellung der Strecken zwischen Eckpunkten und In-/ Umkreismittelpunkt des Vielecks ein-/ausschalten 

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Von einem regelmäßigen Vieleck sind folgende Werte bekannt:

Anzahl der Ecken: n = 5

Umkreisradius: r_u = 2

 

Mittelpunkt: M (0;0)

Drehwinkel: 0°

Nach einer Eingabe der o.a. Werte in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm für die restlichen Eigenschaften des Vielecks aus:

Radius des Inkreises: ri = 1,618

Länge einer Seite: s = 2,351

Zentriwinkel: 72°

Summe der Innenwinkel: 540°

Anzahl der Diagonalen: n_d = 5

 

Umfang: U = 11,756

Flächeninhalt: A = 9,511 FE

 

Für die Werte der Koordinaten der Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks ermittelt das Programm:

 

P1 (0 / 2)

P2 (-1,902 / 0,618)

P3 (-1,176 / -1,618)

P4 (1,176 / -1,618)

P5 (1,902 / 0,618)
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.

  

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Regelmäßiges Polygon zu finden.

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Vieleck
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Ellipse

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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