MathProf - N-Eck - Regelmäßige Vielecke - Regelmäßiges Polygon - Innenwinkel

Im Unterprogramm [Geometrie] - [Ellipse - Vieleck] - Regelmäßiges Vieleck können Berechnungen mit regelmäßigen Vielecken (n-Ecken) durchgeführt werden.

 

Zur Durchführung von Berechnungen mit einem regelmäßigen Vieleck müssen die Anzahl der Ecken n, sowie entweder dessen Umkreisradius r_u, oder dessen Inkreisradius r_i bekannt sein.

Es werden ermittelt:

• Inkreisradius r_i bzw. Umkreisradius r_u
• Seite s
• Zentriwinkel ρ
• Flächeninhalt A
• Innenwinkelsumme
• Diagonalenzahl n_d
• Umfang u

   
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines regelmäßigen Vielecks relevant sind.

Umfang: U = a·n
Höhe: h = 2 ·r_I wenn n gerade ; h = a / ( 2·tan( π/2/n ) ) wenn n ungerade
Flächeninhalt: A = n ·a² / ( 4·tan(π/n) )
Radius des Inkreises: r_I = a / ( 2·tan(π/n) )
Radius des Umkreises: r_u = a / ( 2·sin(π/n) )
Zentriwinkel: 180° - 360° / n
Diagonalenlänge: d = n ( n - 3 ) / 2

Mit:
a: Seitenlänge
n: Eckenanzahl n ∈ ℕ ; n > 2
 

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Vielecken durchführen zu lassen:

1. Legen Sie mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox fest, ob Berechnungen mit Innen- oder Außenpolygonen durchgeführt werden sollen.
    
2. Geben Sie die Werte für die beiden Größen Umkreisradius bzw. Inkreisradius und Eckenanzahl in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein. Werte für den Eigendrehwinkel des Vielecks sowie dessen Mittelpunkt definieren Sie in den Feldern mit den Bezeichnungen MP und Drehw. Bedienen Sie ggf. zuvor die Schaltfläche Löschen.
    
3. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
    
4. Möchten Sie sich die Ergebnisse der durchgeführten Berechnung grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Können durch die Eingabe von Zahlenwerten keine Resultate ermittelt werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung. Die Schaltfläche Darstellen ist ausschließlich nach einer zuvor erfolgreich durchgeführten Berechnung bedienbar.

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Inkreis: Darstellung des Inkreises des Vielecks ein-/ausschalten
• Umkreis: Darstellung des Umkreises des Vielecks ein-/ausschalten
• Umkreis füllen: Farbfüllung des Umkreises des Vielecks ein-/ausschalten
• Vieleck füllen: Farbfüllung des Vielecks ein-/ausschalten
• Eckpunkte: Darstellung der Eckpunkte des Vielecks ein-/ausschalten
• Mittelpunkt: Darstellung des Mittelpunkts des Vielecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte der Eckpunkte (des Mittelpunkts) des Vielecks ein-/ausschalten
• Strecken Eckp.-MP: Darstellung der Strecken zwischen Eckpunkten und In-/ Umkreismittelpunkt des Vielecks ein-/ausschalten 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Von einem regelmäßigen Vieleck sind folgende Werte bekannt:

Anzahl der Ecken: n = 5

Umkreisradius: r_u = 2

 

Mittelpunkt: M (0;0)

Drehwinkel: 0°

Nach einer Eingabe der o.a. Werte in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm für die restlichen Eigenschaften des Vielecks aus:

Radius des Inkreises: ri = 1,618

Länge einer Seite: s = 2,351

Zentriwinkel: 72°

Summe der Innenwinkel: 540°

Anzahl der Diagonalen: n_d = 5

 

Umfang: U = 11,756

Flächeninhalt: A = 9,511 FE

 

Für die Werte der Koordinaten der Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks ermittelt das Programm:

 

P1 (0 / 2)

P2 (-1,902 / 0,618)

P3 (-1,176 / -1,618)

P4 (1,176 / -1,618)

P5 (1,902 / 0,618)
 

 

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Regelmäßiges Polygon zu finden.

 

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