MathProf - N-Eck - Regelmäßige Vielecke - Regelmäßiges Polygon

Fachthema: Vielecke
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Online-Hilfe
für das Modul zum Zeichnen und zur Durchführung von Untersuchungen mit regelmäßigen Vielecken.
Zu Vielecken dieser Art zählen, neben vielen anderen, das Fünfeck, das Sechseck, das Siebeneck, das Achteck, das Neuneck, das Zehneck sowie das Zwölfeck und das Siebzehneck.
In diesem Unterprogramm werden unter anderem die Eigenschaften wie Inkreis, Umkreis und Seiten des definierten Vielecks berechnet. Zudem erfolgt das Berechnen der Summe der Innenwinkel des Vielecks, des Zentriwinkels des Vielecks, der Fläche des Vielecks, der Seitenlänge des Vielecks und der Anzahl der Diagonalen sowie des Umfangs des regelmäßigen Vielecks.
Der Rechner führt nach der Festlegung der Werte zweier Größen des Vielecks erforderliche Analysen durch und stellt die entsprechenden Zusammenhänge hierauf grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht neben dem Zeichnen der entsprechenden Gebilde die Berechnung der Werte aller relevanter Größen zu diesem Fachthema.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, stehen zur Verfügung.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Vieleck - Regelmäßiges N-Eck - Regelmäßige Vielecke - Reguläres Vieleck - Rechner - Radius - Umfang - Inkreis - Diagonalen - Flächeninhalt - Fläche - Umkreis - Merkmale - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Definition - Vieleck zeichnen - Vieleck berechnen - Regelmäßiges Polygon - Ähnliche Vielecke - Tetragon - Pentagon - Hexagon - Heptagon - Oktogon - Nonagon - Dodekagon - Gleichseitiges Vieleck - Fächeninhalt eines Vielecks - Flächenberechnung des Vielecks - Winkelsumme im n-Eck - Bestimmungsdreieck - Konvexes Fünfeck - Konvexes Sechseck - Konvexes Achteck - Konvexes N-Eck - Gleichseitiges Dreieck - Gleichseitiges Vieleck - Gleichseitiges Fünfeck - Gleichseitiges Sechseck - Gleichseitiges Achteck - Gleichseitiges Zehneck - Regelmäßiges Dreieck - Regelmäßiges Fünfeck - Regelmäßiges Sechseck - Regelmäßiges Siebeneck - Regelmäßiges Achteck - Regelmäßiges Zehneck - Regelmäßiges Zwölfeck - Fünfeck - Sechseck - Siebeneck - Achteck - Neuneck - Zehneck - Elfeck - Zwölfeck - Dreizehneck - Vierzehneck - Fünfzehneck - Sechzehneck - Siebzehneck - Achtzehneck - Neunzehneck - Zwanzigeck - N-Eck - Reguläres Dreieck - Reguläres Fünfeck - Reguläres Sechseck - Reguläres Achteck - Reguläres Zehneck - Reguläres n-Eck - Reguläres Polygon - Winkelsumme im Dreieck - Winkelsumme im Vieleck - Winkelsumme im Fünfeck - Winkelsumme im Sechseck - Winkelsumme im Achteck - Fünfeck zeichnen - Sechseck zeichnen - Achteck zeichnen - Konstruieren - Konstruktion - Winkel im Siebeneck - Flächeninhalt eines Vielecks - Flächeninhalt eines Fünfecks - Flächeninhalt eines Sechsecks - Flächeninhalt eines Achtecks - Winkel im Fünfeck - Winkel im Sechseck - Winkelsumme im Vieleck - Winkelsumme im Sechseck - Winkelsumme im Siebeneck - Winkelsumme im Achteck - Umfang eines Vielecks - 5-Eck - 6-Eck - 7-Eck - 8-Eck - 10-Eck - 12-Eck - 14-Eck - 16-Eck - 18-Eck - 20-Eck - Winkel im Vieleck - Zentriwinkel eines Vielecks - Fläche - Innenwinkelsumme - Inkreisradius - Seitenlänge - Diagonalen eines n-Ecks - Winkelsumme eines n-Ecks - Diagonalen im Vieleck - Basiswinkel - Symmetrieachse - Symmetrieachsen - Innenquadrat - Innendreieck - Eigenschaften - Mittelpunkt - Zentriwinkel - Winkelsumme - Winkel - Innenwinkel - Ecken - Eckpunkte - Eckenmaß - Bedeutung - Was ist - Punkte - Bild - Grafik - Rechenformel - Rechenformeln - Beispiel - Aufgabe - Zeichnen - Berechnen - Plotten - Tabelle - Darstellung - Graph - Plotter - Formeln - Formelübersicht - Formelsammlung - Koordinaten - Gegeben - Gesucht - Berechnung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Untersuchen - Untersuchung - Darstellen - Punkte berechnen - Grafische Darstellung - Diagonalen im N-Eck - Diagonalen im Achteck - Diagonalen im Fünfeck - Diagonalen im Sechseck - Diagonalen im Zehneck - Mittelpunktswinkel |
Regelmäßiges Vieleck
Modul Regelmäßiges Vieleck
Im Unterprogramm [Geometrie] - [Ellipse - Vieleck] - Regelmäßiges Vieleck können Berechnungen mit regelmäßigen Vielecken (n-Ecken) durchgeführt werden.
Ein regelmäßiges Vieleck ist ein konvexes n-Eck, dessen Seiten die gleiche Länge besitzen.
Zur Durchführung von Berechnungen mit einem regelmäßigen Vieleck in diesem Modul müssen die Anzahl der Ecken n, sowie entweder dessen Umkreisradius ru, oder dessen Inkreisradius ri bekannt sein.
Es werden ermittelt:
- Inkreisradius ri bzw. Umkreisradius ru
- Seite s
- Zentriwinkel ρ
- Flächeninhalt A
- Innenwinkelsumme
- Diagonalenzahl nd
- Umfang u
Eigenschaften
Im Folgenden sind wesentliche Eigenschaften (Merkmale) regelmäßiger Vielecke aufgeführt.
- All seine Seiten sind gleich lang
- All seine Ecken liegen auf einer Kreislinie (seinem Umkreis)
- Alle seine Mittelpunktswinkel sind gleich groß
- Es setzt sich aus gleich vielen gleichen Dreiecken zusammen, wie es Ecken bzw. Seiten besitzt
- Die Basiswinkel dieser gleichen Dreiecke besitzen dieselbe Größe
Formeln - Formelsammlung - Formelübersicht - Mittelpunktswinkel
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines regelmäßigen Vielecks relevant sind.
Umfang: U = a·n
Höhe: h = 2 ·rI wenn n gerade ; h = a / ( 2·tan( π/2/n ) ) wenn n ungerade
Flächeninhalt: A = n ·a² / ( 4·tan(π/n) )
Radius des Inkreises: rI = a / ( 2·tan(π/n) )
Radius des Umkreises: ru = a / ( 2·sin(π/n) )
Zentriwinkel: 180° - 360° / n
Diagonalenlänge: d = n ( n - 3 ) / 2
Mit:
a: Seitenlänge
n: Eckenanzahl n ∈ ℕ ; n > 2
Mittelpunktswinkel: Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt.
Ähnliche Vielecke: Vielecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis gleichliegender Seiten und in gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
Tabelle einiger konvexer Vielecke (Dreieck,Viereck,Fünfeck,
Sechseck,Achteck,Zehneck,Zwölfeck):
Ecken | Zentri-winkel | Seitenlänge | Umfang | Fläche |
3 | 120° | ru·√3 | 2·ru·2,598.. | 3/4·ru2·√3 |
4 | 90° | ru·√2 | 2·ru·2,828.. | 2·ru2 |
5 | 72° | ru/2·√(10 - 2√5 | 2·ru·2,938.. | 5/8·ru2·√(10 + 2√5 |
6 | 60° | ru | 2·ru·3 | 3/2·ru2·√3 |
8 | 45° | ru·√(2 - 2√2 | 2·ru·3,016.. | 2·ru2·√2 |
10 | 36° | ru/2·(√5-1) | 2·ru·3,090.. | 5/4·ru2·√(10 - 2√5 |
12 | 30° | ru·√(2 - 2√3 | 2·ru·3,105.. | 3·ru2 |
ru: Umkreisradius
Berechnung und Darstellung
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Vielecken durchführen zu lassen:
- Legen Sie mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox fest, ob Berechnungen mit Innen- oder Außenpolygonen durchgeführt werden sollen.
- Geben Sie die Werte für die beiden Größen Umkreisradius bzw. Inkreisradius und Eckenanzahl in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein. Werte für den Eigendrehwinkel des Vielecks sowie dessen Mittelpunkt definieren Sie in den Feldern mit den Bezeichnungen MP und Drehw. Bedienen Sie ggf. zuvor die Schaltfläche Löschen.
- Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
- Möchten Sie sich die Ergebnisse der durchgeführten Berechnung grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Können durch die Eingabe von Zahlenwerten keine Resultate ermittelt werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung. Die Schaltfläche Darstellen ist ausschließlich nach einer zuvor erfolgreich durchgeführten Berechnung bedienbar.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Inkreis: Darstellung des Inkreises des Vielecks ein-/ausschalten
- Umkreis: Darstellung des Umkreises des Vielecks ein-/ausschalten
- Umkreis füllen: Farbfüllung des Umkreises des Vielecks ein-/ausschalten
- Vieleck füllen: Farbfüllung des Vielecks ein-/ausschalten
- Eckpunkte: Darstellung der Eckpunkte des Vielecks ein-/ausschalten
- Mittelpunkt: Darstellung des Mittelpunkts des Vielecks ein-/ausschalten
- Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte der Eckpunkte (des Mittelpunkts) des Vielecks ein-/ausschalten
- Strecken Eckp.-MP: Darstellung der Strecken zwischen Eckpunkten und In-/ Umkreismittelpunkt des Vielecks ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Beispiel - Aufgabe
Von einem regelmäßigen Vieleck sind folgende Werte bekannt:
Anzahl der Ecken: n = 5
Umkreisradius: ru = 2
Mittelpunkt: M (0;0)
Drehwinkel: 0°
Nach einer Eingabe der o.a. Werte in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm für die restlichen Eigenschaften des Vielecks aus:
Radius des Inkreises: ri = 1,618
Länge einer Seite: s = 2,351
Zentriwinkel: 72°
Summe der Innenwinkel: 540°
Anzahl der Diagonalen: nd = 5
Umfang: U = 11,756
Flächeninhalt: A = 9,511 FE
Für die Werte der Koordinaten der Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks ermittelt das Programm:
P1 (0 / 2)
P2 (-1,902 / 0,618)
P3 (-1,176 / -1,618)
P4 (1,176 / -1,618)
P5 (1,902 / 0,618)
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 6
Grafische Darstellung - Beispiel 7
Grafische Darstellung - Beispiel 8
Grafische Darstellung - Beispiel 9
Grafische Darstellung - Beispiel 10
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Regelmäßiges Polygon zu finden.
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
Startfenster des Unterprogramms Vieleck
MathProf 5.0 - Unterprogramm Ellipse
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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