MathProf - Taylor-Approximation - Taylorentwicklung - Polynom

Modul Taylorreihen und Potenzreihen

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Unter dem Menüpunkt [Analysis] - [Reihen] - Taylor-Reihen und Potenzreihen können Taylorreihen und Potenzreihen (Mac Laurinsche Reihen) analysiert werden.

 

Bei Potenzreihen handelt es sich um Funktionenreihen, die sich aus einer Summe einzelner Potenzen zusammensetzt. Funktionen, fur die eine Potenzreihe existiert, werden als analytisch bezeichnet. Existiert diese, so ist die Potenzreihe eindeutig. Für Potenzreihen gelten die gleichen Rechenvorschriften wie für Polynome endlichen Grades.

Eine Taylorreihe ist eine spezielle Potenzreihe, mit dem Entwicklungspunkt x₀ ∈ R. Mit Hilfe derer können, unter gewissen Voraussetzungen, beliebige mathematische Funktionen durch ganzrationale Funktionen genähert werden. Dies ist u.a. bei der Integration einer Funktion sinnvoll, wenn diese nicht analytisch integrierbar ist. Eine derartige Reihe ermöglicht es in der Umgebung des Punktes x₀ zu approximieren, indem lediglich eine limitierte Anzahl von Ableitungen berücksichtigt wird. Je höher die Anzahl zu berücksichtigter Ableitungen ist, desto exakter ist die Näherung.

Als Bildung einer Taylorreihe wird das Verfahren bezeichnet, mit Hilfe dessen eine Funktion mittels einer Summe von Potenzen einer Variable genähert wird. Eine derartige Funktion besteht aus einer Summe von Potenzen (x-x₀) mit den entsprechenden Koeffizienzten und beschreibt eine Funktion f(x) um einen Punkt x₀. Diese Funktionen stellen die Ableitungen der zugrundeliegenden Funktion in diesem Punkt dar. Derartige Reihen wurden nach dem englischen Mathematiker Brook Taylor (1685 - 1731) benannt. Die Anwendung dieses Verfahrens wird Taylorreihenentwicklung (Potenzreihenentwicklung) oder Taylorentwickung genannt.
 

Für eine Funktion f(x), die hinreichend oft differenzierbar sein muss, kann mit Hilfe der Taylorschen Reihe dieser Funktion der Funktionsterm 

an einer Entwicklungsstelle x₀ ermittelt werden. Diese Funktion wird als Taylorformel oder Taylorsche Formel bzw. Taylor-Formel bezeichnet. Jedes einzelne Glied der mit Hilfe dieser Methode entwickelten Reihe wird als Taylorpolynom (Taylor Polynom) bezeichnet. Eine Taylorreihe die an der Stelle x₀ = 0 entwickelt wird, wird auch MacLaurin-Reihe genannt.
 
Die Genauigkeit mit der sich eine Taylor-Funktion der ursprünglichen Funktion annähert, hängt von der Anzahl verwendeter Summanden ab. Die Ordnung (der Grad) eines Taylorpolynoms gibt Auskunft, welches die höchste Potenz in einem Taylorpolynom ist. Je größer diese ist, desto genauer wird die Näherung und desto größer wird der Aufwand zur Durchführung einer Berechnung. Wird die Ordnung unendlich, so entspricht die Taylorreihe exakt der zugrundeliegenden Funktion.
  

Taylor-Reihen (Taylorreihen) werden verwendet, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte mit Hilfe von Potenzreihen darzustellen. Polynome dieser Art sind unendlich oft diferenzierbar. Anwendung finden sie unter anderem zur näherungsweisen Berechnung trigonometrischer Funktionen. So werden derartige Näherungsmethoden beispielsweise bei der numerischen Ermittlung der Werte von Funktionen dieser Art eingesetzt, da eine schrittweise erfolgende exakte Berechnung dieser zu aufwändig wäre.

Eine Taylorreihe lässt es zu, eine Funktion in der Umgebung des Punktes P (Entwicklungspunkt) zu approximieren. Hierbei wird eine begrenzte Anzahl von Ableitungen dieser Funktion berücksichtigt. Je mehr dieser Ableitungen Verwendung finden, desto exakter verläuft die Approximation. Taylor-Reihen werden unter anderem dazu eingesetzt um numerische Lösungen von DGL zu ermitteln, oder komplexe Funktionen zu vereinfachen sowie um verschiedene Probleme der Mathematik oder der Physik zu lösen.
 
Die Taylorreihe einer Funktion f(x) in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion in diesem Punkt. Durch die Wahl entsprechender Menüeinträge unter Beispiele - Potenzreihen können Sie sich in diesem Unterprogramm zudem vordefinierte Potenzreihen darstellen lassen. Deren Entwicklungsstellen liegen meist bei x₀ = 0. In einigen Ausnahmefällen bei x₀ = 1.

Beachten Sie:
 

Wieviele Taylor-Näherungen in diesem Modul ermittelt werden können, hängt stark von der vorgegebenen Funktion und der gewählten Entwicklungsstelle ab. Bei einfachen Funktionen können bis zu 8 Näherungen ermittelt werden, während bei komplexeren Funktionen evtl. kein Ergebnis ausgegeben wird.
  

Nachfolgend wird auf die Potenzreihenentwicklung eingegangen.
 
Die Gleichung zur Entwickung einer Potenzreihe um die Stelle x₀ lautet:



Bei der Entwicklung einer Potenzreihe um den Nullpunkt x₀ = 0 lautet die Gleichung:



Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe der Form



besteht aus einem offenen Intervall |x| < r zu welchem noch ein oder beide Randpunkte hinzugezählt werden.

Die Berechnung des Konvergenzradius r einer derartigen Reihe erfolgt gemäß der folgenden Formel



Ist |x| > r so divergiert die Reihe (Divergenz).

Diese Formel gilt ebenfalls für eine um die Stelle x₀ entwickelte Potenzreihe folgenden Typs


 

 
Eine Mac Laurinsche Reihe ist eine spezielle Form der Taylorreihe für das Entwicklungszentrum x₀ = 0. Für sie gilt:


 

 
Die numerische Berechnung unendlicher Taylor-Reihen ist technisch nicht möglich. Deshalb wird die Entwicklung derartiger Reihen an einer bestimmten Stelle abgebrochen. Der hierdurch entstehende Fehler wird als Restfehler R_n bezeichnet. Die Gleichung einer Reihe dieser Art mit Restglied lautet:



Die Ermittlung des Restglieds wird durch die sogenannte Restgliedabschätzung durchgeführt. Der Bereich innerhalb dessen sich der Wert dessen in Relation zum tatsächlichen Betrag bewegt, kann nach Cauchy wie folgt abgeschätzt werden:
 

 

 

 

Taylor-Entwicklung: Verwenden Sie nachfolgend geschilderte Vorgehensweise um Taylor-Näherungspolynome an einer vorgegebenen Entwicklungsstelle ermitteln und Taylorreihen ausgeben zu lassen.
 

1. Definieren Sie den Funktionsterm, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die u.a. Einschränkungen.
    
2. Legen Sie die zu verwendende Entwicklungsstelle durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das dafür vorgesehene Feld fest (Entwicklungsstelle bei x₀ =).
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
4. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen wird die Grafik ausgegeben.
    
5. Bestimmen Sie die Anzahl der darzustellenden, ermittelten Taylor-Näherungsfunktionen g1(x) - gn(x) durch eine Bedienung des Steuerelements Anzahl Fkt.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkt: Markierung der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten

 

 

Nicht für alle im Programm, standardmäßig zur Verfügung stehenden, mathematischen Funktionen können Taylor-Reihen entwickelt werden. Bei Verwendung nicht dafür vorgesehener Funktionen wird eine entsprechende Meldung ausgegeben, bzw. bei Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.

Zugelassene Funktionen sind:
SIN,COS,TAN,ARCSIN,ARCCOS,
ARCTAN,SINH,COSH,TANH,LN,
LOG,LG und ABS.

Zur Definition einer Wurzelfunktion verwenden Sie die Syntax: X^(0,5) bzw. X^(1/2).
Die Deklaration einer Funktion der Form EXP(X) ist mit E^X festzulegen.

Unter bestimmten Voraussetzungen, bei der Verwendung entsprechender Terme bzw. der Zuweisung entsprechender Untersuchungsstellen, kann es bei der Benutzung dieses Moduls zum Absturz des Programms (bzw. sehr lange andauernder Berechnungszeit) kommen und es erfolgt keine Reaktion mehr auf durchzuführende Ereignisse. Verwenden Sie in diesem Fall die Tastenkombination Strg-Alt-Entf und beenden Sie das Programm im Taskmanager. Nach einem erneuten Start kann es hierauf wieder uneingeschränkt benutzt werden.

 

 

Beispiel Taylorreihe:

Es gilt, Taylor-Näherungsfunktionen (Taylorreihen) für die Funktion f(x) = sin(x-x²) an Stelle x₀ = 0 sowie an Stelle x₀ = 1 entwickeln zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition des Funktionsterms SIN(X-X^2) im Feld f(x) =, der Eingabe des Zahlenwerts 0 in das Feld Entwicklungsstelle bei x₀ = und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, erhalten Sie für ermittelte Näherungsfunktionen folgende Ergebnisse:

 

1. X

2. X-X^2

3. X-X^2-X^3/6

4. X-X^2-X^3/6+X^4/2

5. X-X^2-X^3/6+X^4/2-(59*X^5)/120

6. X-X^2-X^3/6+X^4/2-(59*X^5)/120+X^6/8

 

Bleibt der Funktionsterm unverändert und wird die Untersuchung an Stelle x₀ = 1 durchgeführt, so werden für diese Funktion folgende Taylor-Reihen ermittelt:

 

1. 1-X

2. 1-X-(X-1)^2

3. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6

4. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2

5. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2+(59*(X-1)^5)/120

6. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2+(59*(X-1)^5)/120+(X-1)^6/8
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Taylor-Reihe zu finden.
 

 

 

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Startfenster des Unterprogramms Taylor-Reihen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Mathematische Funktionen I

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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