MathProf - Taylor-Reihen - Potenzreihen - Taylorreihe - Taylorpolynom - Taylorentwicklung - Näherungspolynom

 

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe für das Modul
zur Analyse und zum Plotten von Taylorreihen (Taylorsche Reihen) und Potenzreihen. Dieses Unterprogramm beinhaltet zudem zahlreiche Beispiele für Potenzreihen sowie Beispiele zu Taylorreihen. Es eignet sich zur Durchführung der Taylorreihenentwicklung (Taylorentwicklung) bzw. Potenzreihenentwicklung.

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Unter dem Menüpunkt [Analysis] - [Reihen] - Taylor-Reihen und Potenzreihen können Taylorreihen und Potenzreihen (Mac Laurinsche Reihen) analysiert werden.

Mit Hilfe von Taylor-Reihen können, unter gewissen Voraussetzungen, beliebige mathematische Funktionen durch ganzrationale Funktionen genähert werden. Dies ist u.a. bei der Integration einer Funktion sinnvoll, wenn diese nicht analytisch integrierbar ist.

Für eine Funktion f(x), die hinreichend oft differenzierbar sein muss, kann mit Hilfe der Taylorschen Reihe dieser Funktion der Funktionsterm 

an einer Entwicklungsstelle x₀ ermittelt werden.

Die Genauigkeit mit der sich eine Taylor-Funktion der ursprünglichen Funktion annähert, hängt von der Anzahl verwendeter Summanden ab.

Taylor-Reihen werden verwendet, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte mit Hilfe von Potenzreihen darzustellen. Die Taylorreihe einer Funktion f(x) in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion in diesem Punkt. Durch die Wahl entsprechender Menüeinträge unter Beispiele - Potenzreihen können Sie sich in diesem Unterprogramm zudem vordefinierte Potenzreihen darstellen lassen. Deren Entwicklungsstellen liegen meist bei x₀ = 0. In einigen Ausnahmefällen bei x₀ = 1.

Beachten Sie:

Wieviele Taylor-Näherungen ermittelt werden können, hängt stark von der vorgegebenen Funktion und der gewählten Entwicklungsstelle ab. Bei einfachen Funktionen können bis zu 8 Näherungen ermittelt werden, während bei komplexeren Funktionen evtl. kein Ergebnis ausgegeben wird.

Taylor-Entwicklung: Verwenden Sie nachfolgend geschilderte Vorgehensweise um Taylor-Näherungspolynome an einer vorgegebenen Entwicklungsstelle ermitteln und Taylorreihen ausgeben zu lassen.

1. Definieren Sie den Funktionsterm, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die u.a. Einschränkungen.
    
2. Legen Sie die zu verwendende Entwicklungsstelle durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das dafür vorgesehene Feld fest (Entwicklungsstelle bei x₀ =).
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
4. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen wird die Grafik ausgegeben.
    
5. Bestimmen Sie die Anzahl der darzustellenden, ermittelten Taylor-Näherungsfunktionen g1(x) - gn(x) durch eine Bedienung des Steuerelements Anzahl Fkt.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkt: Markierung der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten

Nicht für alle im Programm, standardmäßig zur Verfügung stehenden, mathematischen Funktionen können Taylor-Reihen entwickelt werden. Bei Verwendung nicht dafür vorgesehener Funktionen wird eine entsprechende Meldung ausgegeben, bzw. bei Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.

Zugelassene Funktionen sind:
SIN,COS,TAN,ARCSIN,ARCCOS,
ARCTAN,SINH,COSH,TANH,LN,
LOG,LG und ABS.

Zur Definition einer Wurzelfunktion verwenden Sie die Syntax: X^(0,5) bzw. X^(1/2).
Die Deklaration einer Funktion der Form EXP(X) ist mit E^X festzulegen.

Unter bestimmten Voraussetzungen, bei der Verwendung entsprechender Terme bzw. der Zuweisung entsprechender Untersuchungsstellen, kann es bei der Benutzung dieses Moduls zum Absturz des Programms (bzw. sehr lange andauernder Berechnungszeit) kommen und es erfolgt keine Reaktion mehr auf durchzuführende Ereignisse. Verwenden Sie in diesem Fall die Tastenkombination Strg-Alt-Entf und beenden Sie das Programm im Taskmanager. Nach einem erneuten Start kann es hierauf wieder uneingeschränkt benutzt werden.

Beispiel Taylorreihe:

Es gilt, Taylor-Näherungsfunktionen (Taylorreihen) für die Funktion f(x) = sin(x-x²) an Stelle x₀ = 0 sowie an Stelle x₀ = 1 entwickeln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Definition des Funktionsterms SIN(X-X^2) im Feld f(x) =, der Eingabe des Zahlenwerts 0 in das Feld Entwicklungsstelle bei x₀ = und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, erhalten Sie für ermittelte Näherungsfunktionen folgende Ergebnisse:

1. X

2. X-X^2

3. X-X^2-X^3/6

4. X-X^2-X^3/6+X^4/2

5. X-X^2-X^3/6+X^4/2-(59*X^5)/120

6. X-X^2-X^3/6+X^4/2-(59*X^5)/120+X^6/8

Bleibt der Funktionsterm unverändert und wird die Untersuchung an Stelle x₀ = 1 durchgeführt, so werden für diese Funktion folgende Taylor-Reihen ermittelt:

1. 1-X

2. 1-X-(X-1)^2

3. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6

4. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2

5. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2+(59*(X-1)^5)/120

6. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2+(59*(X-1)^5)/120+(X-1)^6/8
 

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