MathProf - Taylor Approximation - Taylorentwicklung - Näherungspolynom - Potenzreihenentwicklung - Taylorpolynom

MathProf - Mathematik-Software - Taylor-Reihen | Potenzreihen | Polynome | Entwicklung

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Taylor-Reihen | Potenzreihen | Polynome | Entwicklung

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse und zum Plotten von Taylorreihen und Potenzreihen.

Dieses Unterprogramm eignet sich zur Durchführung der Taylorreihenentwicklung bzw. der Potenzreihenentwicklung. Der Rechner führt die betreffende Taylorentwicklung durch, gibt die Resultate dieser aus und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit
und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Taylorreihenentwicklung - Potenzreihenentwicklung - Taylorsche Reihe - Rechner für Taylorreihen - Taylorpolynome - Taylorpolynom 2. Grades - Taylorpolynom 3. Grades - Taylorpolynom 4. Grades - Taylor-Approximation - Taylorreihe entwickeln - Taylor-Näherung - Reihenentwicklung

 

Taylorreihe und Potenzreihe

 

Unter dem Menüpunkt [Analysis] - [Reihen] - Taylor-Reihen und Potenzreihen können Taylorreihen und Potenzreihen (Mac Laurinsche Reihen) analysiert werden.

 

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Mit Hilfe von Taylor-Reihen können, unter gewissen Voraussetzungen, beliebige mathematische Funktionen durch ganzrationale Funktionen genähert werden. Dies ist u.a. bei der Integration einer Funktion sinnvoll, wenn diese nicht analytisch integrierbar ist.

Für eine Funktion f(x), die hinreichend oft differenzierbar sein muss, kann mit Hilfe der Taylorschen Reihe dieser Funktion der Funktionsterm 

MathProf - Potenzreihen - Taylor-Funktion - Taylor-Reihe - Taylorsche Reihen - Taylor-Polynom - Mac Laurinsche Reihen - Taylorreihen - Reihenentwicklung - Taylorpolynom - Taylorentwicklung

an einer Entwicklungsstelle x0 ermittelt werden.

Die Genauigkeit mit der sich eine Taylor-Funktion der ursprünglichen Funktion annähert, hängt von der Anzahl verwendeter Summanden ab.

Taylor-Reihen werden verwendet, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte mit Hilfe von Potenzreihen darzustellen. Die Taylorreihe einer Funktion f(x) in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion in diesem Punkt. Durch die Wahl entsprechender Menüeinträge unter Beispiele - Potenzreihen können Sie sich in diesem Unterprogramm zudem vordefinierte Potenzreihen darstellen lassen. Deren Entwicklungsstellen liegen meist bei x0 = 0. In einigen Ausnahmefällen bei x0 = 1.

Beachten Sie:

Wieviele Taylor-Näherungen ermittelt werden können, hängt stark von der vorgegebenen Funktion und der gewählten Entwicklungsstelle ab. Bei einfachen Funktionen können bis zu 8 Näherungen ermittelt werden, während bei komplexeren Funktionen evtl. kein Ergebnis ausgegeben wird.

 

Berechnung und Darstellung

 

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Taylor-Entwicklung: Verwenden Sie nachfolgend geschilderte Vorgehensweise um Taylor-Näherungspolynome an einer vorgegebenen Entwicklungsstelle ermitteln und Taylorreihen ausgeben zu lassen.

  1. Definieren Sie den Funktionsterm, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die u.a. Einschränkungen.
     
  2. Legen Sie die zu verwendende Entwicklungsstelle durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das dafür vorgesehene Feld fest (Entwicklungsstelle bei x0 =).
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen wird die Grafik ausgegeben.
     
  5. Bestimmen Sie die Anzahl der darzustellenden, ermittelten Taylor-Näherungsfunktionen g1(x) - gn(x) durch eine Bedienung des Steuerelements Anzahl Fkt.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular


MathProf - Taylor-Funktion - Reihe - Taylor-Polynom - Potenzreihe - Taylor-Polynom

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkt: Markierung der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten

Hinweise

 

Nicht für alle im Programm, standardmäßig zur Verfügung stehenden, mathematischen Funktionen können Taylor-Reihen entwickelt werden. Bei Verwendung nicht dafür vorgesehener Funktionen wird eine entsprechende Meldung ausgegeben, bzw. bei Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.

Zugelassene Funktionen sind:
SIN,COS,TAN,ARCSIN,ARCCOS,
ARCTAN,SINH,COSH,TANH,LN,
LOG,LG und ABS.

Zur Definition einer Wurzelfunktion verwenden Sie die Syntax: X^(0,5) bzw. X^(1/2).
Die Deklaration einer Funktion der Form EXP(X) ist mit E^X festzulegen.

Unter bestimmten Voraussetzungen, bei der Verwendung entsprechender Terme bzw. der Zuweisung entsprechender Untersuchungsstellen, kann es bei der Benutzung dieses Moduls zum Absturz des Programms (bzw. sehr lange andauernder Berechnungszeit) kommen und es erfolgt keine Reaktion mehr auf durchzuführende Ereignisse. Verwenden Sie in diesem Fall die Tastenkombination Strg-Alt-Entf und beenden Sie das Programm im Taskmanager. Nach einem erneuten Start kann es hierauf wieder uneingeschränkt benutzt werden.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Beispiel

 

Beispiel Taylorreihe:

Es gilt, Taylor-Näherungsfunktionen (Taylorreihen) für die Funktion f(x) = sin(x-x²) an Stelle x0 = 0 sowie an Stelle x0 = 1 entwickeln zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition des Funktionsterms SIN(X-X^2) im Feld f(x) =, der Eingabe des Zahlenwerts 0 in das Feld Entwicklungsstelle bei x0 = und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, erhalten Sie für ermittelte Näherungsfunktionen folgende Ergebnisse:

 

1. X

2. X-X^2

3. X-X^2-X^3/6

4. X-X^2-X^3/6+X^4/2

5. X-X^2-X^3/6+X^4/2-(59*X^5)/120

6. X-X^2-X^3/6+X^4/2-(59*X^5)/120+X^6/8

 

Bleibt der Funktionsterm unverändert und wird die Untersuchung an Stelle x0 = 1 durchgeführt, so werden für diese Funktion folgende Taylor-Reihen ermittelt:

 

1. 1-X

2. 1-X-(X-1)^2

3. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6

4. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2

5. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2+(59*(X-1)^5)/120

6. 1-X-(X-1)^2+(X-1)^3/6+(X-1)^4/2+(59*(X-1)^5)/120+(X-1)^6/8
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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