MathProf - Satz des Pythagoras - Dreieck - Winkel - Kathete - Hypotenuse

MathProf - Trigonometrie - Software für interaktive Mathematik und zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Ein Programm zum Einsatz im Mathematikunterricht sowie für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Untersuchungen
zum Satz des Pythagoras (Flächensatz) und dessen Beweis.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

 

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Themen und Stichworte: Lehrsatz des Pythagoras - Flächensatz - Rechtwinkliges Dreieck - Rechter Winkel - Kathete - Hypotenuse - Ankathete - Gegenkathete - Bild - Grafik

  

Im Unterprogramm [Trigonometrie] - [Satz des Pythagoras] - Satz des Pythagoras können Untersuchungen zum Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden.

Satz des Pythagoras:

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten.

c² = a² + b²

(c: Hypotenuse; a,b: Katheten)

Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge beim Satz des Pythagoras, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB auf dem Bedienformular die Hypotenusenlänge c des Dreiecks fest.
    
2. Möchten Sie den Abszissenwert des Lotfußpunktes F des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Lage des Lotfußpunktes F des Dreiecks mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Seiten: Beschriftung einzelner Dreieckseiten ein-/ausschalten
• Flächen: Markierung der Teildreiecksflächen ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck – Interaktiv

Satz des Thales

Höhensatz

Kathetensatz

Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras

Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (2 / 0) eingestellt und die Länge der Strecke AB auf 10 festgelegt, so werden folgende Resultate ausgegeben:

Länge der Strecke BC: a = 5,477

Länge der Strecke AC: b = 8,367

Länge der Strecke BC: c = 10

Fläche über Strecke a:  a² = 30

Fläche über Strecke b:  b² = 70

Fläche über Strecke c:  a² + b² = 100

Wie hieraus zu ersehen ist, entspricht die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den beiden Katheten.

Zudem wird ausgegeben:

Punkt A (-5 / 0)

Punkt B (5 / 0)

Punkt C (2 / 4,583)

Punkt F (2 / 0)

Innenwinkel des Dreiecks CAB: 33,211°

Innenwinkel des Dreiecks ABC: 56,789°

Innenwinkel des Dreiecks ACB: 90°

Länge der Strecke AF = q = 7

Länge der Strecke AB = p = 3

Fläche ABC: 22,913 FE

Fläche AFC: 16,039 FE

Fläche FCB: 6,874 FE
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Satzgruppe des Pythagoras zu finden.

Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangens und Cotangens am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt

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