MathProf - Kegelschnitt - Polar - Polarkoordinaten - Polarform - Pol

Modul Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten

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Mit dem Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten können Untersuchungen mit Kegelschnitten, welche durch Gleichungen in Polarkoordinaten beschrieben werden, durchgeführt werden.

 

 

Das Programm ermöglicht es hierbei, Kegelschnitte dieser Art an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) zu untersuchen. Es erfordert die Definition des Kegelschnitts durch die Verwendung der Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinatenform:
In diesem Modul können analysiert werden:
 

• Ellipse (mit Pol im Mittelpunkt, Pol im linken Brennpunkt oder Pol im rechten Brennpunkt)
• Hyperbel (mit Pol im Mittelpunkt, Pol im linken Brennpunkt oder Pol im rechten Brennpunkt)
• Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (mit Pol im Scheitelpunkt oder Pol im Brennpunkt)

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
 

• Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
• Brennpunkte  und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
• Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
• Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
• Asymptoten (bei Hyperbeln)
• Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
• Subtangenten und Subnormalen
• Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren (bei Mittelpunktlage bzw. bei Pol in Scheitelpunkt)

   
Hyperbel:
 
Pol im Mittelpunkt:

 
Pol im linken Brennpunkt:

 
Pol im rechten Brennpunkt:

 
mit:
 


 
Ellipse:
 
Pol im Mittelpunkt:

 
Pol im linken Brennpunkt:

 
Pol im rechten Brennpunkt:

 
mit:
 

 

 
Parabel:
 



Weitere mathematische Gleichungen zu Kegelschnitten finden Sie unter Kegelschnitte.
   
Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte, welche durch Gleichungen in Polarkoordinaten beschrieben werden.

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Gleichungen der Asymptoten
• Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
• Flächeninhalt eines Segments (bei Mittelpunktlage)
• Flächeninhalt eines Sektors (bei Mittelpunktlage)

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Fläche und Umfang der Ellipse
• Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises
• Flächeninhalt eines Segments (bei Mittelpunktlage)
• Flächeninhalt eines Sektors (bei Mittelpunktlage)

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkt
• Brennpunkt
• Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
• Flächeninhalt eines Segments (bei Pol in Scheitelpunkt)
• Flächeninhalt eines Sektors (bei Pol in Scheitelpunkt)
• Länge eines Bogens (bei Pol in Scheitelpunkt)

   

 

Um Untersuchungen mit Kegelschnitten, welche durch Gleichungen in Polarkoordinaten beschrieben werden, durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Wählen Sie das entsprechende Registerblatt Hyperbel, Ellipse oder Parabel, auf welchem sich die Eingabefelder zur Definition des zu untersuchenden Kegelschnitts befinden.
    
2. Legen Sie durch die Fokussierung des entsprechenden Kontrollschalters fest, mit welcher Art der Kegelschnittgleichung Untersuchungen durchgeführt werden sollen. Bei Ellipse und Hyperbel sind dies: Pol im Mittelpunkt, Pol im linken Brennpunkt bzw. Pol im rechten Brennpunkt. Bei einer Parabel sind dies: Pol im Scheitelpunkt oder Pol im Brennpunkt.
    
3. Geben Sie die Werte für den Parameter p, bzw. die Halbachse b, sowie für die lineare Exzentrizität e des Kegelschnitts in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
4. Bestimmen Sie durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Zu untersuchende Stelle die x-Koordinate, bei welcher die Untersuchung durchgeführt werden soll.
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
6. Möchten Sie sich den Kegelschnitt grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Ist ein Kegelschnitt mit den vorgegebenen Werten nicht definiert, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.

Hinweis:
Bei der grafischen Darstellung werden die Kegelschnitte stets nur über einen begrenzten Parameterwertebereich ausgegeben. Dies kann dazu führen, dass sich errechnete Schnittpunkte außerhalb des dargestellten Bereichs des Kegelschnitts befinden. Auf die numerisch ermittelten Berechnungsergebnisse hat dies jedoch keinen Einfluss.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
• Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
• Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
• Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
• Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
• Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
• Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• U-Stelle mark.: Darstellung der U-Bereichsmarkierung der untersuchten Stelle ein-/ausschalten
• Details: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten

Durch die Auswahl des relevanten Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.
 

• Subtang. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
• Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Untersuchungsbereichsmarkierung (vert. Linie) ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Kegelschnitte in Mittelpunktlage
Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv
Kegelschnitte in achsparalleler Lage
Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv
Kegelschnitte in Scheitellage
Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv
Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv
Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv
Kegelschnitte - Punkt
Kegelschnitte  - Gerade
 
Beispiel 1 - Hyperbel mit Pol in Mittelpunkt:

Eine Hyperbel mit Pol in Mittelpunkt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:



Es gilt, sowohl die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, als auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 6 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Kontrollschalter Pol in Mittelpunkt wird aktiviert.

Nach einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten b = 5 sowie e = 2 in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 6 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Gleichung dieses Kegelschnitts in Mittelpunktform: X²/(2,887)² - Y²/(5)² = 1

Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Halbachse a: 2,887
Halbachse b: 5
Parameter 2p: 17,321
Lin. Exzentrizität e: 5,774
Num. Exzentrizität eta: 2
Scheitelpunkt 1: A (-2,887 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (2,887 / 0)
Mittelpunkt: M (0 / 0)
Brennpunkt 1: F1 (-5,774 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (5,774 / 0)
Brennpunktabstand: 11,548
Asymptote 1: Y = 1,732·X
Asymptote 2: Y = -1,732·X
Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) ; Radius r = 2,887

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 6:
 
Punkt 1: TP1 (6 / 9,11)
Punkt 2: TP2 (6 / -9,11)
Tangente 1: Y = 1,976·X-2,744
Tangente 2: Y = -1,976·X+2,744
Tangentenlänge TP1-V: 10,211
Subtangentenlänge R-V: 4,611
Normale 1: Y = -0,506·X+12,147
Normale 2: Y = 0,506·X-12,147
Normalenlänge TP1-T: 20,174
Subnormalenlänge R-T: 18
Länge Brennstrahl TP1-F1: 9,113
Länge Brennstrahl TP1-F2: 14,887
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (103,68 / -40,329)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 109,479
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (103,68 / 40,329)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 109,479
Fläche Segment TP1-B-TP2: A = 35,017 FE
Fläche Sektor 0-TP2-B-TP1: A = 19,646 FE
 
Beispiel 2 - Ellipse mit Pol im rechtem Brennpunkt:

Eine Ellipse mit Pol im rechten Brennpunkt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:


Es sind die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 1 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Kontrollschalter Pol in rechtem Brennpunkt wird aktiviert.

Nach einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten p = 4 sowie e = 0,7 in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 1 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Gleichung dieses Kegelschnitts in Hauptform:
(X+5,49)²/(7,843)² + Y/5,601² = 1

Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Halbachse a: 7,843
Halbachse b: 5,601
Parameter 2p: 8
Lin. Exzentrizität e: 5,49
Num. Exzentrizität eta: 0,7
Scheitelpunkt 1: A (-13,333 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (2,353 / 0)
Scheitelpunkt 3: C (-5,49 / 5,601)
Scheitelpunkt 4: D (-5,49 / -5,601)
Mittelpunkt: M (-5,49 / 0)
Brennpunkt 1: F1 (-10,98 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (0 / 0)
Brennpunktabstand: 10,98
Fläche A: 138,011 FE
Umfang U: 42,528
Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (-5,49 / 0) ; Radius r = 7,843
Nebenkreis: Mittelpunkt Mn (-5,49 / 0) ; Radius r = 5,601
 
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 1:
 
Punkt 1: TP1 (1 / 3,145)
Punkt 2: TP2 (1 / -3,145)
Tangente 1: Y = -1,053·X + 4,197
Tangente 2: Y = 1,053·X - 4,197
Tangentenlänge TP1-V: 4,338
Subtangentenlänge R-V: 2,988
Normale 1: Y = 0,95·X + 2,195
Normale 2: Y = -0,95·X - 2,195
Normalenlänge TP1-T: 4,566
Subnormalenlänge R-T: 3,31
Länge Brennstrahl TP1-F1: 3,3
Länge Brennstrahl TP1-F2: 12,386
Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (-3,313 / -0,953)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 5,949
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (-3,313 / 0,953)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 5,949
 
Beispiel 3 - Parabel mit Pol im Scheitelpunkt:

Eine Parabel mit Pol im Scheitelpunkt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:


bzw.



Es sind sowohl die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, als auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -6 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Kontrollschalter Pol in Scheitelpunkt wird aktiviert.

Nach einer Eingabe des Werts p = -0,5 in das entsprechende Feld und einer Festlegung des Abszissenwerts x = -6 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

Gleichung dieses Kegelschnitts in Hauptform: Y² = -X
 
Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Parameter 2p: 1
Lin. Exzentrizität e: 0,25
Num. Exzentrizität eta: 1
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
Brennpunkt: F (-0,25 / 0)
 
Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -6:
 
Punkt 1: TP1 (-6 / 2,449)
Punkt 2: TP2 (-6 / -2,449)
Tangente 1: Y = -0,204·X+1,225
Tangente 2: Y = 0,204·X-1,225
Tangentenlänge TP1-V: 12,247
Subtangentenlänge R-V: 12
Normale 1: Y = 4,899·X+31,843
Normale 2: Y = -4,899·X-31,843
Normalenlänge TP1-T: 2,5
Subnormalenlänge R-T: 0,5
Länge Brennstrahl TP1-F: 6,25
MP Krümmungskreis 1: MP1 (-18,5 / -58,788)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 62,5
MP Krümmungskreis 2: MP2 (-18,5 / 58,788)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 62,5
Fläche Sektor TP1-0-TP2-B: A = 2,449 FE
Fläche Segment S-TP1-TP2: A = 19,596 FE
Länge des Bogens S-TP1: l = 5,551
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Sehnenviereck - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Malfatti-Kreise - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv - Brennpunkte - Brennstrahlen - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper  - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Koordinatensysteme - Kugeldreieck (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)

MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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