MathProf - Vektoraddition - Vektoren - Regeln - Betrag - Gesetze - Addieren

Themen und Stichworte zu diesem Modul: Vektoren - Vektorgeometrie - Vektorrechnung - Grundlagen - Übersicht - Vektorkette - Vektoroperation in der Ebene - Vektorrechnung in der Ebene - Vektoren in der Ebene - Krafteck - Ortsvektor und Verschiebungsvektor - Vektoren addieren - Vektoren subtrahieren - Komplanare Vektoren - Komplanarität - Kollinearität - Lineare Unabhängigkeit - Linear unabhängige Vektoren - Lineare Abhängigkeit - Linear abhängige Vektoren - Gleiche Vektoren - Neigungswinkel von Vektoren - Vektoren zeichnen - Vektoren zeichnerisch addieren - Vektoren darstellen - Vektoren berechnen - Zeichnerische Darstellung - Zeichnerisch addieren - Plus - Minus - Winkel zwischen Vektoren - Länge von Vektoren - Länge eines Vektors - 2 Punkte - Zwei Punkte - Vektoren im R2 - Vektoren 2D - Betrag eines Vektors - Winkelberechnung von Vektoren - Winkelbestimmung - Abstand zwischen zwei Punkten - Basisvektoren - Verbindungsvektor - Verbindungsvektoren - Vektorielle Addition - Resultierende - Gegenvektor - Verbindungsvektor - Kräfteaddition - Rechenoperationen - Vektorsumme - Summe von Vektoren - Entgegengesetzt - Entgegengesetzte Vektoren - Entgegengesetzter Vektor - Entgegengesetzte Kräfte - Entgegengesetzte Richtung - Darstellung von Kräften - Kräftesystem - Einzelkräfte - Kräftepolygon - Vektoren und Koordinaten - Vektoren grafisch addieren - Geometrische Addition - Geometrische Darstellung - Geometrisch addieren - Grundlagen der Vektorrechung - Grundlagen - Grundlegendes - Erklärung - Beschreibung - Definition - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Bilder - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Rechnerisch - Grafik - Vektor - Vektorrechner - Rechnerisch - Zweidimensional - Gegenvektor - Entgegengesetzte Vektoren - Entgegengesetzter Vektor - Graph - Gleichheit - Vektorlänge - Plotter - Rechner - Plotten - Addition von Vektoren - Vektorketten - Geschlossene Vektorkette - Betrag von Vektoren - Betrag eines Vektors - Rechnen mit Vektoren - Richtung - Inverser Vektor - Parallelitätskriterium - Vektorsumme - Vektoren grafisch darstellen - Resultierender Vektor - Summenvektor - Vektorbetrag - Vektorkoordinaten - Komplanarität - Kollineare Vektoren - Freie Vektoren - Gebundene Vektoren - Linienflüchtige Vektoren - Regeln - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 -7 - 8 - 10 - Addieren - Subrtahieren - Grundlagen - Übungen - Übungsaufgaben - Üben - Aufgaben - Lösungen - Rechengesetze - Summenvektor - Differenzvektor - Subtraktion zweier Vektoren - Kommutativgesetz - Assoziativgesetz - Distributivgesetze - Definition - Einheitsvektor - Normierung - Normierung eines Vektors

    

 

Modul Vektoraddition in der Ebene

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Unter dem Programmpunkt [Vektoralgebra] - [Grundlegendes (2D)] - Vektoraddition in der Ebene wird die Möglichkeit geboten, sich Zusammenhänge bei der Addition von Vektoren in der Ebene zu verdeutlichen.

 

Das Programm erzeugt, ausgehend von einem Punkt P₁ Vektoren, deren Anfangspunkt der zuletzt erzeugte Punkt P_n und deren Endpunkt der Punkt P_n-1 sind. Es zeichnet die Resultierende, welche durch den Anfangspunkt P₁ des ersten Vektors sowie den Endpunkt P_n des zuletzt erzeugten Vektors verläuft.

Erzeugen können Sie Punkte, indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste anklicken. Löschen können Sie einen Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und die rechte Maustaste bedienen

Ausgegeben werden die Beträge, die Richtungswinkel erzeugter Vektoren, sowie der Betrag und der Richtungswinkel des resultierenden Gesamtvektors.

Hinweis: Die Basisvektoren in einem kartesischen Koordinatensystem sind Vektoren, welche die Richtung der Koordinatenachsen wiedergeben. Sind diese normiert, so sind sie Einheitsvektoren.
 

Vektoralgebra - Rechengesetze - Rechenregeln - Übersicht

Nachfolgend aufgeführt sind Rechengesetze (Rechenregeln) welche bei Durchführung von Berechnungen mit Vektoren gelten:
 
Addition zweier Vektoren:

Die Addition zweier Vektoren erfolgt nach der Parallelogrammregel:
 

Die Summe zweier Vektoren wird geometrisch nach der Methode des Kräfteparallelogramms ermittelt. Die Resultierende des Parallelogramms ist der Summenvektor.

Subtraktion zweier Vektoren:

Die Subtraktion zweier Vektoren erfolgt nach der Parallelogrammregel:


Die Differenz zweier Vektoren b und a erhält man, indem zum Vektor b der Gegenvektor a addiert wird. Die Differenz zweier Vektoren erhält man, indem die Fußpunkte der Vektoren vob b ausgehend aneinandergelegt werden. Der Differenzpfeil weist hierauf von der Spitze des Vektors a zur Spitze des Vektors b.

Addition mehrerer Vektoren:

Die Addition mehrerer Vektoren erfolgt komponentenweise nach der Polygonregel:



Mehrere Vektoren werden addiert, indem die Spitze sowie der Fuß dieser aneinandergekoppelt werden. Der Summenpfeil weist hierauf vom Fuß des ersten Vektors weist hierauf zur Spitze des letzten zu addierenden Vektors.
 
Kommutativgesetz:

Bei der Addition zweier Vektoren darf die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden:



Assoziativgesetz:

Bei der Addition von Vektoren dürfen Klammern beliebig gesetzt werden:



Distributivgesetze:

Reelle Zahlen können aus einer Summe von Vektoren herausgezogen werden, wenn der selbe Vektor mit diesen unterschiedlichen reellen Zahlen multipliziert wird.







Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren:
 
Freie Vektoren können beliebig parallel zu sich selbst verschoben werden
Gebundene Vektoren können entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden
Linienflüchtige Vektoren werden ausgehend von einem festen Punkt abgetragen
 

Komplanare Vektoren - Komplanarität - Kollineare Vektoren - Kollinearität - Lineare Unabhängigkeit - Linear unabhängige Vektoren - Lineare Abhängigkeit - Linear abhängige Vektoren - Gleiche Vektoren - Grundlagen - Inverser Vektor - Definition

 
Lineare Unabhängigkeit:

Eine Vektorfamilie ist linear unabhängig, wenn keine Linearkombination der zugehörigen Vektoren den Nullvektor ergibt, mit der Ausnahme, dass alles Vektoren dieser Familie mit dem Faktor Null multipliziert werden.

Lineare Abhängigkeit:
 
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn diese parallel liegen. Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sich durch eine Linearkombination dieser Vektoren der Nullvektor erzeugen lässt.

Gleiche Vektoren (Gleichheit von Vektoren):

Zwei Vektoren sind gleich, wenn diese dieselbe Länge (denselben Betrag), die gleiche Richtung sowie die gleiche Orientierung besitzen.

Inverser Vektor:

Ein inverser Vektor (Gegenvektor) entsteht durch aus dem Vektor durch seine Richtungsumkehr (siehe nachf. Gegenvektor).

Normierter Vektor (Normierung eines Vektors):

Für die Normierung eines Vektors a, der in die Richtung des Einheitsvektors e weist, gilt: 

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Kollinearität zweier Vektoren:

Zwei Vektoren die auf einer Geraden oder auf zwei parallelen Geraden liegen, werden als kollinear bezeichnet.


Abb. 1:
Kollineare Vektoren
Linear abhängige Vektoren


Abb. 2:
Nicht kollineare Vektoren
Linear unabhängige Vektoren

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Komplanarität dreier Vektoren:

Drei Vektoren sind komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Einer dieser Vektoren kann als Linearkombination der anderen dargestellt werden.

Abb. 3:
Komplanare (in einer Ebene liegende) Vektoren
Linear abhängige Vektoren



Abb. 4:
Nichtkomplanare Vektoren
Linear unabhängige Vektoren

 

 

 

Von einem Gegenvektor wird gesprochen, wenn er einem Vektor entgegengesetzt gerichtet ist und dieselbe Länge sowie dieselbe Richtung wie dieser besitzt. Wird beispielsweise ein Vektor um 180" um seinen Anfangspunkt gedreht, so bildet dieser seinen Gegenvektor. Die Vorzeichen dieses Gegenvektors sind umgekehrt zu denen des ursprünglichen Vektors.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Die Durchführung einer Vektoraddition (Addition von Ortsvektor und Verschiebungsvektoren) können Sie veranlassen, wenn Sie folgende Vorgehensweise anwenden:

1. Klicken Sie mit der linken Maustaste einen Punkt an, auf den ein Vektor zeigen soll.
   
   Soll der entsprechende Punkt exakt positioniert werden, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
2. Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
3. Möchten Sie einen Punkt löschen (und somit einen Vektor), so setzen Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bedienen die rechte Maustaste.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Bei Aufruf dieses Unterprogramms werden bereits zwei Vektoren dargestellt. Um diese zu löschen und einen neuen Sachverhalt zu analysieren, klicken Sie die Anfasspunkte dieser, wie oben beschrieben, mit der rechten Maustaste an und löschen sie. 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Vektorielle Linearkombination

Resultierende

 

 

Löschen Sie alle bereits vorhandenen Punkte durch eine Fokussierung dieser und einer hierauf erfolgenden Bedienung der rechten Maustaste. Nach Durchführung dieser Aktionen bleibt lediglich Punkt P1 erhalten.

 

Erzeugen Sie nun drei neue zuätzlich Punkte durch die Ausführung von Klicks mit der linken Maustaste auf den Darstellungsbereich der Grafik. Bedienen Sie danach den Schalter Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie dort die folgenden Punktkoordinatenwerte ein:

 

Punkt P1 (0 / 0) (Ursprung)

Punkt P2 (2 / 4)

Punkt P3 (7 / 6)

Punkt P4 (14 / 4)

 

Nach einer Festlegung der Koordinatenwerte der Punkte erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

Winkel des Vektors (P1-P2): 63,435°

Betrag des Vektors (P1-P2): 4,472

 

Winkel des Vektors (P2-P3): 21,801°

Betrag des Vektors (P2-P3): 5,385

 

Winkel des Vektors (P3-P4): 344,055°

Betrag des Vektors (P3-P4): 7,28

 

Winkel der Resultierenden (Verbindungsvektor): 15,945°

Betrag der Resultierenden(Verbindungsvektor): 14,56
  
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

         

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Vektor zu finden.
 

Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Resultierende

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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