MathProf - Apollonius-Punkt

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Apollonius-Punkt

 

Das Unterprogramm [Trigonometrie] - Apollonius-Punkt ermöglicht die Ermittlung des Apollonius-Punktes eines allgemeinen Dreiecks.

 

MathProf - Apollonius-Punkt

 

Der Apollonius-Kreis eines Dreiecks ist der Kreis, welcher die drei Ankreise des Dreiecks einschließend berührt. Werden die Berührpunkte mit den ihnen gegenüberliegenden Ecken des Dreiecks verbunden, so schneiden sich diese in einem Punkt, dem Apollonius-Punkt. Die Lage dessen kann in diesem Unterprogramm untersucht werden. Sie kann in trilinearen Koordinaten beschrieben werden mit:

 

[sin(α) cos(β/2 - γ/2)]² : [sin(β) cos(γ/2 - α/2)]² : [sin(γ) cos(α/2 - β/2)]²

 

Das Programm ermöglicht, nach Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens, die Darstellung folgender Größen des Dreiecks:
 

  • Apollonius-Kreis

  • Ankreise

  • Mittenpunkt
    Werden die drei Ankreismittelpunkte eines Dreiecks mit den drei Seitenmittelpunkten eines Dreiecks verbunden, so schneiden sich diese im Mittenpunkt dessen.

  • Winkelhalbierende

  • Umkreis

  • Inkreis

  • Kreistangenten
    Tangenten an die Ankreise des Dreiecks, die von allen drei Ankreisen berührt werden.

Darstellung

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

  1. Zur exakten Positionierung der Eckpunkte des Dreiecks klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  2. Möchten Sie die Positionen von Anfasspunkten des Dreiecks mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     

  3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Apollonius-Kreis
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte: Darstellung relevanter Punkte ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Apoll.-Pkt.: Darstellung des Apollonius-Punktes und der Geraden durch diesen und die Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln

Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte

Allgemeines Dreieck – Interaktiv

 

Beispiel

 

Lassen Sie sich ein Dreieck darstellen, welches durch die Eckpunkte A (1 / 3), B (-4 / -2) und C (2 / -5) beschrieben wird, so gibt das Programm (nach Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen) folgende Werte aus:

 

Apollonius-Punkt:

 

AP (-0,954 / -1,611)

 

Apollonius-Kreis:

 

Mittelpunkt: M (2,189 / -0,334)

Radius: ra = 14,987

 

Tangentialpunkte (Berührpunkte des Apollonius-Kreises und der drei Dreiecks-Ankreise):

 

Punkt T1 (-9,849 / 8,593)

Punkt T2 (-5,789 / -13,02)

Punkt T3 (17,141 / 0,699)

 

Ankreis 1:

 

Mittelpunkt: MPA1 (-2,945 / -8,499)

Radius: r1 = 5,341

 

Ankreis 2:

 

Mittelpunkt: MPA2 (-5,154 / 5,111)

Radius: r2 = 5,845

 

Ankreis 3:

 

Mittelpunkt: MPA3 (9,288 / 0,156)

Radius: r3 = 7,871

 

Seitenmittelpunkte:

 

Punkt A1 (1,5 / -1)

Punkt A2 (-1 / -3,5)

Punkt A3 (-1,5 / 0,5)

 

Mittenpunkt:

 

MP (-0,121 / -1,241)

 

Umkreis des Dreiecks ABC:

 

Mittelpunkt: MPU (0,167 / -1,167)

Radius: ru = 4,249

 

Inkreis des Dreiecks ABC:

 

Mittelpunkt: MPI (-0,522 / -1,436)

Radius: ri = 2,06

 

Innenwinkel des Dreiecks ABC:

 

Winkel BAC: 52,125°

Winkel ABC: 71,565°

Winkel ACB: 56,31°
 

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