MathProf - Affine Abbildungen - Transformation - Abbildungsmatrix - Fixgeraden

MathProf - Mathematik-Software - Affine Abbildung | Transformation | Matrix | Fixelemente

Fachthema: Affine Abbildung

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik für das Berufskolleg, die Oberstufe, das Abitur und das Studium zum Lösen verschiedenster Aufgaben sowie zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Affine Abbildung | Transformation | Matrix | Fixelemente

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung affiner Transformationen
mit geometrischen Abbildungen in der Ebene.

In diesem Teilprogramm erfolgt neben der Durchführung affiner Transformationen mit definierten Figuren unter anderem die Berechnung des entsprechenden Fixpunkts bzw. der zugehörigen Fixgerade oder Fixpunktgerade. Auch findet die Ermittlung der Eigenwerte und der Eigenvektoren einer definierten Abbildungsmatrix statt.

Die Koeffizienten der zur Definition der durchzuführenden affinen Transformation benötigten darstellenden Matrix und des Spaltenvektors sind frei bestimmbar.

Zudem stehen Matrizen zur Benutzung vordefinierter Standardtransformationsarten, wie Verschiebung, Skalierung, Spiegelung, Drehung (Rotation) und Scherung zur Erstellung affiner Abbildungen zur Verfügung. Des Weiteren wird die Verkettung affiner Transformationen (Verkettung von Abbildungen) ermöglicht.


Der hierfür implementierte Rechner ermittelt die Koordinatenwerte des zu transformierenden Gebildes und stellt die Ergebnisse hierauf grafisch dar. Zudem ermöglicht dieses Unterprogramm das Berechnen der Punktkoordinaten der auf diese Weise transformierten geometrischen Figuren.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Affine Abbildung - Geometrische Abbildungen - Lineare Abbildung - Koordinatentransformation - Affine Transformation - Affine Operation - Matrix - Abbildungsmatrix - Spiegelungsmatrix - Translationsmatrix - Transformationsmatrix - Abbildungsmatrizen - Verschiebungsvektor - Vektor - Drehmatrix - Drehungsmatrix - Spiegelmatrix - Darstellende Matrix - Darstellungsmatrix - Rotationsmatrix - Nichtlineare Transformation - Lineare Transformation - Translationen - Affine Rotation - Affine Spiegelung - Affine Bewegung - Verkettung von Abbildungen - Affine Geometrie - Fixelemente - Fixpunkte bestimmen - Fixpunkt - Fixpunktgerade - Fixgerade - Lineare Abbildung - Ähnliche Figuren darstellen - Affine Transformationsmatrix - Analyse der Achsensymmetrie, der Punktsymmetrie und der Spiegelsymmetrie - Geometrische Formen transformieren - Hintereinanderausführung von Abbildungen - Komposition von Abbildungen - Umkehrabbildung - Affine Transformation durch Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor - Komposition von Abbildungen - Inverse Abbildung - Matrixschreibweise affiner Transformationen - Matrixdarstellung - Matrizendarstellung - Matrixgleichung - Translationsvektor - Affinität - Kollineation - Geradentreu - Geradentreue Abbildung - Verkettung von Abbildungen - Eigenschaften - Bildpunkte - Graph - Zuordnung - Grafisch - Ebene - Funktion - Gerade - Formel - Linear - Operation - Parameter - Rotation - Urbild - Bild - Grafik - Rechner - Grafische Darstellung - Bestimmen - Bestimmung - Untersuchen - Untersuchung - Darstellung - Berechnung - Transformieren - Transformation - Darstellen - Drehung - Plotter - Berechnen - Koordinaten - Punktspiegelung - Achsenspiegelung - Verschiebung - Figuren - Ähnlichkeitsabbildung - Ähnlichkeiten - Ähnlichkeitstransformation

 
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Affine Abbildungen

 

Im Unterprogramm [Geometrie] - [Affine Abbildung] - Affine Abbildung können Untersuchungen zum Fachthema Affine Abbildung mit geometrischen Figuren durchgeführt werden.

 

MathProf - Affine Abbildung - Geometrische Transformation - Affine Transformation - Matrix - Translation - Drehen - Spiegeln - Verschieben - Strecken - Koordinatentransformation - Affine Transformation - Affine Abbildungen - Spiegelungsmatrix - Verschiebungsmatrix - Verkettung von Abbildungen
 

Dieses Modul ermöglicht Folgendes, mit aus verschiedenen Punkten bestehenden geometrischen Gebilden:

  • Durchführung einfacher affiner Transformationen
  • Durchführung  affiner Mehrfachtransformationen

  • Ermittlung der Fixelemente affiner Abbildungen

Es ermittelt die Koordinaten eines transformierten Gebildes und stellt dieses dar. Zudem untersucht es, ob eine Abbildung Fixelemente besitzt. Sind diese vorhanden, so gibt es deren Eigenschaften aus. Da zur Bestimmung der Lösungen unten aufgeführter Gleichungssysteme die Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen benötigt werden, gibt es auch diese aus.

Unter einer linearen Abbildung wird die Veränderung an einem Objekt in der Form von Rotation, Skalierung etc. verstanden. Affine Abbildungen sind Kombinationen aus linearen Abbildungen und Translationen.

 

Affine Abbildung - Grundlegendes


Ein Punkt mit den Koordinaten (x,y) wird in der analytischen Geometrie durch den Vektor

Affine Abbildung - Gleichung  - 1

im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definiert. Soll auf diesen Punkt eine Translation oder Transformation angewandt werden, so handelt es sich hierbei, mathematisch gesehen, um die lineare Abbildung eines Vektors, der sich durch eine Matrix darstellen lässt:

Affine Abbildung - Gleichung  - Transformationmatrix

x und y sind hierbei die Koordinaten des Originals, x' und y' die Koordinaten des Bildpunktes.

Die Koordinatentransformation wird beschrieben durch die Matrix:

Affine Abbildung - Gleichung  - 3

Eine zusätzliche Verschiebung der Bildpunkte beschreibt der Translationsvektor:

Affine Abbildung - Gleichung  - 4

Beispiele für Abbildungsmatrizen (Verschiebungsmatrix und Drehmatrix):

Affine Abbildung - Gleichung  - 5    Affine Abbildung - Gleichung  - Transformationmatrix - Matrix - Transformation
 

Fixelemente

 

Fixelemente sind Elemente, welche bei Abbildungen auf, bzw. in sich erhalten bleiben. Es sind dies Fixpunkt, Fixpunktgerade sowie Fixgerade.
 

  • Ein Fixpunkt ist ein Punkt, welcher bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird.

  • Eine Fixpunktgerade ist eine Gerade deren Punktmenge bei einer Abbildung Fixpunkte sind.

  • Eine Fixgerade ist eine Gerade, welche bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird.

Mit Hilfe nachfolgend aufgeführter linearer Gleichungssysteme kann eine Bestimmung der Fixelemente erfolgen:

 

x = A·x + b

 

bzw.

 

x1 = a11·x1 + a12·x2 + b1

x2 = a21·x1 + a22·x2 + b2

 

Besitzt ein derartiges Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so existiert exakt ein Fixpunkt. Besitzt es unendlich viele Lösungen, so existiert eine Fixpunktgerade. Verfügt es über keine Lösung, so existiert kein Fixpunkt.

 

Zugrunde gelegt wird hierbei:

 

Abbildungsmatrix:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 7

 

Translationsvektor:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 8

 

Einfache Transformation (Koordinatentransformation)

 

MathProf - Affine Transformation - Fixgerade - Scherung - Drehung - Spiegelung - Fixpunkt - Affine Abbildungen - Drehen - Spiegeln - Verschieben - Strecken - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Affine Abbildung - Affine Abbildungen - Spiegelungsmatrix - Verschiebungsmatrix - Verkettung von Abbildungen


Um eine Abbildung erstellen zu lassen und diese einer einfachen affinen Transformation zu unterziehen, sollte wie nachfolgend beschrieben vorgegangen werden:

  1. Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des zu transformierenden Gebildes in die dafür vorgesehenen Eingabefelder X und Y ein. Bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Bestimmen Sie die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und des Translationsvektors durch die Eingabe entsprechender Werte in die dafür vorgesehenen Felder im Formularbereich Abbildungsmatrix - Translationsvektor.

    Möchten Sie die Koeffizienten einer vordefinierten Standardtransformationsart benutzen, so selektieren Sie den entsprechenden Eintrag aus der Auswahlbox Transformationsart, andernfalls wählen Sie den Eintrag Keine Standardtransformation.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Koordinaten des definierten, sowie des transformierten Gebildes in der Tabelle ausgegeben.
     
  6. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen.
     
  7. Soll eine Analyse bzgl. Fixelementen durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse.

In der Auswahlliste mit der Bezeichnung Transformationsart sind u.a. nachfolgend aufgeführte Standardtransformationsarten aufgelistet:

Verschiebung (Translation) in x-Richtung:
Wirkung: Verschiebung in x-Richtung
Vorgegebener Wert: x = 2

Verschiebung (Translation) in y-Richtung:
Wirkung: Verschiebung in y-Richtung

Vorgegebener Wert: y = 2

Verschiebung
(Translation) in x/y-Richtung:
 
Wirkung: Verschiebung in x-Richtung und y-Richtung

Vorgegebener Wert: x = 1

Vorgegebener Wert: y = 1
 

Identische Transformation:
Wirkung: Quellbild und Zielbild sind identisch

Skalierung in x-Richtung:

Wirkung: Stauchung/Streckung in x-Richtung

Vorgegebener Faktor: 3

 

Skalierung in y-Richtung:
Wirkung: Stauchung/Streckung in y-Richtung

Vorgegebener Faktor: 3
 

Skalierung in x/y-Richtung:
Wirkung: Stauchung/Streckung in x- und y-Richtung

Vorgegebener Faktor x-Richtung: 2

Vorgegebener Faktor y-Richtung: 3


Spiegelung an x-Achse:
Wirkung: Spiegelung der Abbildung an x-Achse

 

Spiegelung an y-Achse:
Wirkung: Spiegelung der Abbildung an y-Achse

Spiegelung an Koordinatenursprung:
Wirkung:
Spiegelung der Abbildung an x-Achse, danach Spiegelung der Abbildung an y-Achse


Rotation (Drehung) um 45° um Koordinatenursprung:
Wirkung: Rotation der Abbildung um 45° um Koordinatenursprung


Rotation (Drehung) um 90° um Koordinatenursprung:
Wirkung: Rotation der Abbildung um 90° um Koordinatenursprung


Scherung in Richtung x-Achse:
Wirkung: Scherung in Richtung x-Achse
Vorgegebener Wert:2


Scherung in Richtung y-Achse:
Wirkung: Scherung in Richtung y-Achse
Vorgegebener Wert:2

 

Wird eine Standardtransformationsart aus der Auswahlbox selektiert, so werden vorhandene Eingabewerte für die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und den Translationsvektor (ohne Durchführung einer vorhergehenden Abfrage) durch oben aufgeführte Vorgabewerte ersetzt.

 

Um eine Rotation (Drehung) durchführen zu lassen, wählen Sie den Eintrag Rotation um 45° oder Rotation um 90° und ersetzen die vorgegebenen Zahlen durch die von Ihnen gewünschten Winkelwerte im Gradmaß. Wenn einer dieser beiden Einträge gewählt wurde, werden die Eingabewerte für die Matrix als Winkelwerte im Gradmaß übernommen. und in folgender Form verwendet (Drehmatrix und Verschiebungsvektor):

 

Affine Abbildung - Gleichung  - Transformation - Matrix

 

Bedienformular


MathProf - Affine Abbildung - Matrix - Beispiel - Fixpunkt  - Translation - Verkettung

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Abbildungen füllen: Farbfüllung der Gebilde einschalten und deren verdeckte Konturen darstellen
  • Verbindungslinien: Hilfslinien zwischen transformierten Gebilden darstellen
  • Punkte: Darstellung der Eckpunkte der Gebilde ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Punktbeschriftung der Gebilde ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

Mehrfachtransformation (Mehrfache Koordinatentransformation) - Verkettung von Transformationen

 

MathProf - Affine Abbildung - Fixpunktgerade - Fixpunkt - Abbildungsmatrix - Spaltenvektor - Translationsvektor - Drehen - Spiegeln - Verschieben - Strecken - Lineare Abbildung - Affine Transformation - Affine Abbildungen - Spiegelungsmatrix - Verschiebungsmatrix - Verkettung von Abbildungen


Der Begriff Mehrfachtransformation ist als eine Nacheinanderausführung (Verkettung)  affiner Abbildungen zu verstehen. Hierbei wird aus zwei zweireihigen Abbildungsatrizen, sowie deren Translationsvektoren, durch die Bildung des Produkts derer, eine dreireihige Matrix gebildet.

Zweireihige Matrix zur Durchführung einer einfachen Transformation:

Affine Abbildung - Gleichung  - 10

Dreireihige Matrix zur Durchführung einer Mehrfachtransformation:

Affine Abbildung - Gleichung  - 11

MathProf - Affine Abbildung - Matrix - Fixpunkt  - Translation - Verkettung - Rotation - Fixgerade - Affine Abbildungen - Drehen - Spiegeln - Verschieben - Strecken - Lineare Abbildung - Affine Transformation - Affine Abbildungen - Spiegelungsmatrix - Verschiebungsmatrix - Verkettung von Abbildungen

Um ein Gebilde erstellen zu lassen und dieses einer Mehrfachtransformation zu unterziehen, sollte wie nachfolgend beschrieben vorgegangen werden:

  1. Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des zu transformierenden Gebildes in die dafür vorgesehenen Eingabefelder X und Y ein. Bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Aktivieren Sie hierauf das Registerblatt Mehrfachtransformation um zusammengesetzte Bewegungen (Nacheinanderausführungen) in der Ebene untersuchen zu können. (Vorhandene Eingaben im Formularbereich Abbildungsmatrix - Translationsvektor unter dem Registerblatt Einfache Transformation haben keinen Einfluss auf die Durchführung von Mehrfachtransformationen - diese Matrixkoeffizienten werden nicht zur Durchführung von Mehrfachtransformationen verwendet).
     
  5. Definieren Sie die durchzuführenden Transformationen T1 und T2 durch die Eingabe entsprechender Werte in die dafür vorgesehenen Felder für Matrizen und Translationsvektoren und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

    In der linksseitig unten angebrachten Tabelle Durchgeführte Transformation werden die definierten Transformationsmatrizen und Translationsvektoren, sowie die hieraus resultierenden Transformationsmatrizen T1·T2 ausgegeben. In der rechtsseitig angebrachten Tabelle Transformierte Koordinaten werden die Koordinatenwerte des Ursprungsobjekts, sowie die der transformierten Objekte aufgelistet.

    Wiederholen Sie diese Vorgänge so oft, bis die gewünschte Anzahl durchzuführender Mehrfachtransformationen erreicht ist.
     
  6. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Mit den auf dem Bedienformular angebrachten Schaltflächen Zurück und Vorwärts können Sie die aus den durchgeführten Transformationen resultierenden Abbildungen aufeinanderfolgend aufrufen.

Hinweise:

Um nach Beendigung der grafischen Darstellung erneut Mehrfachtransformationen mit vorhandenden Punkten durchzuführen, wählen Sie den Menüpunkt Urzustand herstellen, verneinen Sie die Abfrage ob auch alle Punkte gelöscht werden sollen, und führen erneut gewünschte Transformationen durch.

 

Es gilt zu beachten, dass die Bildung von Matrizenprodukten nicht kommutativ ist. Dies bedeutet, dass eine Vertauschung der Eingabewerte der Transformationsmatrizen T1 und T2 zu unterschiedlichen Ergebnissen führt.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular


MathProf - Affine Abbildung - Rotation - Achsenspiegelung - Geradenspiegelung - Fixgerade - Eigenwerte - Eigenvektoren

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Abbildungen füllen: Farbfüllung der Gebilde einschalten und deren verdeckte Konturen darstellen
  • Verbindungslinien: Hilfslinien zwischen transformierten Gebilden darstellen
  • Punkte: Darstellung der Eckpunkte der Gebilde ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Punktbeschriftung der Gebilde ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Analyse affiner Abbildungen

 

Beispiele


Beispiel 1 - Einfache Transformation:

Ein Rechteck, welches durch die Punkte P1 (-4,5 / 1,5), P2 (-4,5 / 2,5), P3 (-3,5 / 2,5) und P4 (-3,5 / 1,5) beschrieben wird, soll einer einfachen affinen Transformation unterzogen werden. Um eine Verschiebung des Rechtecks herbeizuführen, werden die Koeffizienten für die Abbildungsmatrix und den Translationsvektor wie folgt definiert:

 

Abbildungsmatrix:

a11: 1

a21: 0

a12: 0

a22: 1

 

Translationsvektor:

b1: 8

b2: 4
 

Vorgehensweise:

 

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Nach Eingabe der o.a. Koeffizientenwerte der Matrix und des Translationsvektors, ermittelt das Modul nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Koordinaten der Punkte des transformierten Rechtecks P1', P2', P3' und P4'.

 

Das Programm führt hierbei die nachfolgend gezeigte Transformation mit dem Ursprungsobjekt aus:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 12

 

und gibt die Koordinaten des transformierten Objekts aus, mit:

 

P1' (3,5 / 5,5)

P2' (3,5 / 6,5)

P3' (4,5 / 6,5)

P4' (4,5 / 5,5)

 

Für die Eigenschaften bzgl. Fixelementen ermittelt das Programm:

 

Es existiert kein Fixpunkt und keine Fixgerade

Eigenwert: 1

Eigenvektor 1: 0 | 1

Eigenvektor 2: nicht vorhanden
 

Beispiel 2 - Einfache Transformation:

Es gilt, ein Rechteck, welches durch die Punkte P1 (2 / 4), P2 (2 / -2), P3 (10 / -2) und P4 (10 / 4) definiert ist, einer einfachen affinen Transformation zu unterziehen. Hierfür werden die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und der Translationsvektor wie folgt definiert:

 

Abbildungsmatrix:

a11: -1

a21: 0,6

a12: 1

a22: -1

 

Translationsvektor:

b1: -2

b2: -6
 

Vorgehensweise:

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Nach Eingabe der o.a. Koeffizientenwerte der Matrix und des Translationsvektors, ermittelt das Modul nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Koordinaten der Punkte des transformierten Rechtecks P1', P2', P3' und P4'.

Das Programm führt hierbei die nachfolgend gezeigte Transformation mit dem Ursprungsobjekt aus:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 13

 

und gibt die Koordinaten des transformierten Objekts aus, mit:

 

P1' (-1,6 / -8)

P2' (-5,2 / -2)

P3' (-13,2 / 6)

P4' (-9,6 / 0)

 

Für die Eigenschaften bzgl. Fixelementen ermittelt das Programm:

 

Es existiert ein Fixpunkt bei: F (-2,235 / -4,118)

Eigenwerte: -0,225 | -1,775

Eigenvektor 1: 0,775 | 1

Eigenvektor 2: -0,775 | 1

Gleichung der Fixgeraden 1: Y = 1,291·X-1,232

Gleichung der Fixgeraden 2: Y = -1,291·X-7,003
 

Beispiel 3 - Mehrfachtransformation:

Mit einem Rechteck, dessen Eckpunkte die Koordinatenwerte P1 (-4,5 / 1,5), P2 (-4,5 / 2,5), P3 (-3,5 / 2,5) und P4 (-3,5 / 1,5) besitzen, ist eine Mehrfachtransformation durchzuführen. In diesem Beispiel soll eine Verknüpfung folgender Einzeltransformationen stattfinden:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 14

Affine Abbildung - Gleichung  - 15
 

Vorgehensweise:

 

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Selektieren Sie hierauf das Registerblatt Mehrfache Transformation, geben Sie die Werte der Koeffizienten für T1 und T2 in die dafür vorgesehenen Eingabefelder ein und bedienen Sie einmalig die Schaltfläche Berechnen. Das Programm bildet hierauf das Produkt der zweireihigen Matrizen wie folgt:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 16

Hieraus resultiert die Transformation T1·T2:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 17
 

Die Koordinatenwerte der transformierten Punkte werden ausgegeben, mit:

P1' (-1,75 / 0,75)

P2' (-1,25 / 1,25)

P3' (-0,25 / 1,25)

P4' (-0,75 / 0,75)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Affine Abbildung - Affine Transformation - Matrix - Spiegelung - Scherung - Berechnen - Drehung - Dreieck - Ebene - Eigenschaften - Fixelemente - Figur - Affine Abbildungen - Koordinatentransformation - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Fixgerade - Affine Abbildungen
MathProf - Affine Abbildung - Geometrie - Translation - Matrizen - Berechnen - Drehung - Eigenschaften - Streckung - Zeichnen - Fixelemente - Rotation - Figuren - Affine Abbildungen - Affine Transformation - Koordinatentransformation - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Fixgerade - Affine Transformation - Affine Abbildungen - Verkettung von Abbildungen
MathProf - Affine Transformation - Matrix - Rotation - 2D - Fixelemente - Fixpunkt - Eigenwerte - Eigenvektor - Fixgerade - Fixpunktgerade - Abbildungsmatrix - Figur - Affine Abbildungen - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Fixgerade - Affine Abbildungen - Spiegelungsmatrix - Verschiebungsmatrix - Verkettung von Abbildungen
MathProf - Affine Abbildung - Translation - Abbildung - Bewegung - Translation und Rotation - Translationsvektor - Abbildungsmatrizen - Spiegelung - Skalierung - Figuren - Affine Abbildungen - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Fixgerade - Affine Transformation - Affine Abbildungen
MathProf - Affine Abbildung - Abbildungsmatrix - Drehung - Ebene - Eigenvektoren - Gerade - Lineare Abbildung - Spiegelung - Vektoren - Verkettung - Transformation - Figuren - Affine Abbildungen - Koordinatentransformation - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Fixgerade - Affine Transformation - Affine Abbildungen - Spiegelungsmatrix - Verschiebungsmatrix
MathProf - Affine Abbildung - Fixelemente - Fixpunkt - Eigenwerte - Eigenvektor - Fixgerade - Fixpunktgerade - Abbildungsmatrix - Geometrie - Affine Abbildungen - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixgerade - Affine Transformation - Affine Abbildungen - Verkettung von Abbildungen
MathProf - Affine Abbildungen - Abbildungsmatrizen - Abbildungsmatrix - Translationsvektor - Eigenvektoren - Eigenwerte - Transformation - Affine Abbildung - Affine Transformation - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Fixgerade - Affine Abbildung - Verkettung von Abbildungen

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Affine Abbildung zu finden.

 

Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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