MathProf - Affine Abbildung

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Affine Abbildung

 

Im Unterprogramm [Geometrie] - [Affine Abbildung] - Affine Abbildung können Untersuchungen zum Fachthema Affine Abbildung durchgeführt werden.

 

MathProf - Affine Abbildung


Dieses Modul ermöglicht Folgendes, mit aus verschiedenen Punkten bestehenden geometrischen Gebilden:

  • Durchführung einfacher affiner Transformationen
  • Durchführung  affiner Mehrfachtransformationen

  • Ermittlung der Fixelemente affiner Abbildungen

Es ermittelt die Koordinaten eines transformierten Gebildes und stellt dieses dar. Zudem untersucht es, ob eine Abbildung Fixelemente besitzt. Sind diese vorhanden, so gibt es deren Eigenschaften aus. Da zur Bestimmung der Lösungen unten aufgeführter Gleichungssysteme die Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen benötigt werden, gibt es auch diese aus.

Affine Abbildung - Prinzip


Ein Punkt mit den Koordinaten (x,y) wird in der analytischen Geometrie durch den Vektor

Affine Abbildung - Gleichung  - 1

im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definiert. Soll auf diesen Punkt eine Translation oder Transformation angewandt werden, so handelt es sich hierbei, mathematisch gesehen, um die lineare Abbildung eines Vektors, der sich durch eine Matrix darstellen lässt:

Affine Abbildung - Gleichung  - 2

x und y sind hierbei die Koordinaten des Originals, x' und y' die Koordinaten des Bildpunktes.

Die Koordinatentransformation wird beschrieben durch die Matrix:

Affine Abbildung - Gleichung  - 3

Eine zusätzliche Verschiebung der Bildpunkte beschreibt der Translationsvektor:

Affine Abbildung - Gleichung  - 4

Beispiele für Abbildungsmatrizen:

Affine Abbildung - Gleichung  - 5    Affine Abbildung - Gleichung  - 6

Fixelemente

 

Fixelemente sind Elemente, welche bei Abbildungen auf, bzw. in sich erhalten bleiben. Es sind dies Fixpunkt, Fixpunktgerade sowie Fixgerade.

  • Ein Fixpunkt ist ein Punkt, welcher bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird.

  • Eine Fixpunktgerade ist eine Gerade deren Punktmenge bei einer Abbildung Fixpunkte sind.

  • Eine Fixgerade ist eine Gerade, welche bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird.

Mit Hilfe nachfolgend aufgeführter linearer Gleichungssysteme kann eine Bestimmung der Fixelemente erfolgen:

 

x = A·x + b

 

bzw.

 

x1 = a11·x1 + a12·x2 + b1

x2 = a21·x1 + a22·x2 + b2

 

Besitzt ein derartiges Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so existiert exakt ein Fixpunkt. Besitzt es unendlich viele Lösungen, so existiert eine Fixpunktgerade. Verfügt es über keine Lösung, so existiert kein Fixpunkt.

 

Zugrunde gelegt wird hierbei:

 

Abbildungsmatrix:

Affine Abbildung - Gleichung  - 7

 

Translationsvektor:

Affine Abbildung - Gleichung  - 8

 

Einfache Transformation

 

MathProf - Affine Transformation


Um eine Abbildung erstellen zu lassen und diese einer einfachen affinen Transformation zu unterziehen, sollte wie nachfolgend beschrieben vorgegangen werden:

  1. Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des zu transformierenden Gebildes in die dafür vorgesehenen Eingabefelder X und Y ein. Bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Bestimmen Sie die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und des Translationsvektors durch die Eingabe entsprechender Werte in die dafür vorgesehenen Felder im Formularbereich Abbildungsmatrix - Translationsvektor.

    Möchten Sie die Koeffizienten einer vordefinierten Standardtransformationsart benutzen, so selektieren Sie den entsprechenden Eintrag aus der Auswahlbox Transformationsart, andernfalls wählen Sie den Eintrag Keine Standardtransformation.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Koordinaten des definierten, sowie des transformierten Gebildes in der Tabelle ausgegeben.
     
  6. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen.
     
  7. Soll eine Analyse bzgl. Fixelementen durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse.

In der Auswahlliste mit der Bezeichnung Transformationsart sind u.a. nachfolgend aufgeführte Standardtransformationsarten aufgelistet:

 Transformationsart  Wirkung
 Verschiebung in x-Richtung

 Verschiebung in x-Richtung

 Vorgegebener Wert: x = 2

 Verschiebung in y-Richtung

 Verschiebung in y-Richtung

 Vorgegebener Wert: y = 2

 Verschiebung in x/y-Richtung

 Verschiebung in x-Richtung und y-Richtung

 Vorgegebener Wert: x = 1

 Vorgegebener Wert: y = 1

 Identische Transformation  Quellbild und Zielbild sind identisch
 Skalierung in x-Richtung

 Stauchung/Streckung in x-Richtung

 Vorgegebener Faktor: 3

 Skalierung in y-Richtung

 Stauchung/Streckung in y-Richtung

 Vorgegebener Faktor: 3

 Skalierung in x/y-Richtung

 Stauchung/Streckung in x-Richtung und y-Richtung

 Vorgegebener Faktor x-Richtung: 2

 Vorgegebener Faktor y-Richtung: 3

 Spiegelung an x-Achse  Spiegelung der Abbildung an x-Achse
 Spiegelung an y-Achse  Spiegelung der Abbildung an y-Achse
 Spiegelung an Koordinatenursprung

 Spiegelung der Abbildung an x-Achse, danach

 Spiegelung der Abbildung an y-Achse

 Rotation um 45° um Koord.-Ursprung  Rotation der Abbildung um 45° um Koordinatenursprung
 Rotation um 90° um Koord.-Ursprung  Rotation der Abbildung um 90° um Koordinatenursprung
 Scherung in Richtung x-Achse  Scherung in Richtung x-Achse - Vorgegebener Wert:2
 Scherung in Richtung y-Achse  Scherung in Richtung y-Achse - Vorgegebener Wert:2

 

Wird eine Standardtransformationsart aus der Auswahlbox selektiert, so werden vorhandene Eingabewerte für die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und den Translationsvektor (ohne Durchführung einer vorhergehenden Abfrage) durch oben aufgeführte Vorgabewerte ersetzt.

 

Um eine Rotation durchführen zu lassen, wählen Sie den Eintrag Rotation um 45° oder Rotation um 90° und ersetzen die vorgegebenen Zahlen durch die von Ihnen gewünschten Winkelwerte im Gradmaß. Wenn einer dieser beiden Einträge gewählt wurde, werden die Eingabewerte für die Matrix als Winkelwerte im Gradmaß übernommen. und in folgender Form verwendet:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 9

 

Bedienformular


MathProf - Affine Abbildung - Matrix

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Abbildungen füllen: Farbfüllung der Gebilde einschalten und deren verdeckte Konturen darstellen
  • Verbindungslinien: Hilfslinien zwischen transformierten Gebilden darstellen
  • Punkte: Darstellung der Eckpunkte der Gebilde ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Punktbeschriftung der Gebilde ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

Mehrfachtransformation

 

MathProf - Affine Abbildung - Matrix


Der Begriff Mehrfachtransformation ist als eine Nacheinanderausführung affiner Abbildungen zu verstehen. Hierbei wird aus zwei zweireihigen Abbildungsatrizen, sowie deren Translationsvektoren, durch die Bildung des Produkts derer, eine dreireihige Matrix gebildet.

Zweireihige Matrix zur Durchführung einer einfachen Transformation:

Affine Abbildung - Gleichung  - 10

Dreireihige Matrix zur Durchführung einer Mehrfachtransformation:

Affine Abbildung - Gleichung  - 11

MathProf - Affine Abbildung - Vektor

Um ein Gebilde erstellen zu lassen und dieses einer Mehrfachtransformation zu unterziehen, sollte wie nachfolgend beschrieben vorgegangen werden:

  1. Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des zu transformierenden Gebildes in die dafür vorgesehenen Eingabefelder X und Y ein. Bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Aktivieren Sie hierauf das Registerblatt Mehrfachtransformation um zusammengesetzte Bewegungen (Nacheinanderausführungen) in der Ebene untersuchen zu können. (Vorhandene Eingaben im Formularbereich Abbildungsmatrix - Translationsvektor unter dem Registerblatt Einfache Transformation haben keinen Einfluss auf die Durchführung von Mehrfachtransformationen - diese Matrixkoeffizienten werden nicht zur Durchführung von Mehrfachtransformationen verwendet).
     
  5. Definieren Sie die durchzuführenden Transformationen T1 und T2 durch die Eingabe entsprechender Werte in die dafür vorgesehenen Felder für Matrizen und Translationsvektoren und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

    In der linksseitig unten angebrachten Tabelle Durchgeführte Transformation werden die definierten Transformationsmatrizen und Translationsvektoren, sowie die hieraus resultierenden Transformationsmatrizen T1·T2 ausgegeben. In der rechtsseitig angebrachten Tabelle Transformierte Koordinaten werden die Koordinatenwerte des Ursprungsobjekts, sowie die der transformierten Objekte aufgelistet.

    Wiederholen Sie diese Vorgänge so oft, bis die gewünschte Anzahl durchzuführender Mehrfachtransformationen erreicht ist.
     
  6. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Mit den auf dem Bedienformular angebrachten Schaltflächen Zurück und Vorwärts können Sie die aus den durchgeführten Transformationen resultierenden Abbildungen aufeinanderfolgend aufrufen.

Hinweise:

Um nach Beendigung der grafischen Darstellung erneut Mehrfachtransformationen mit vorhandenden Punkten durchzuführen, wählen Sie den Menüpunkt Urzustand herstellen, verneinen Sie die Abfrage ob auch alle Punkte gelöscht werden sollen, und führen erneut gewünschte Transformationen durch.

 

Es gilt zu beachten, dass die Bildung von Matrizenprodukten nicht kommutativ ist. Dies bedeutet, dass eine Vertauschung der Eingabewerte der Transformationsmatrizen T1 und T2 zu unterschiedlichen Ergebnissen führt.

 

Bedienformular


MathProf - Affine Abbildung - Rotation

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Abbildungen füllen: Farbfüllung der Gebilde einschalten und deren verdeckte Konturen darstellen
  • Verbindungslinien: Hilfslinien zwischen transformierten Gebilden darstellen
  • Punkte: Darstellung der Eckpunkte der Gebilde ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Punktbeschriftung der Gebilde ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Analyse affiner Abbildungen

 

Beispiele


Beispiel 1 - Einfache Transformation:

Ein Rechteck, welches durch die Punkte P1 (-4,5 / 1,5), P2 (-4,5 / 2,5), P3 (-3,5 / 2,5) und P4 (-3,5 / 1,5) beschrieben wird, soll einer einfachen affinen Transformation unterzogen werden. Um eine Verschiebung des Rechtecks herbeizuführen, werden die Koeffizienten für die Abbildungsmatrix und den Translationsvektor wie folgt definiert:

 

Abbildungsmatrix:

a11: 1

a21: 0

a12: 0

a22: 1

 

Translationsvektor:

b1: 8

b2: 4
 

Vorgehensweise:

 

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Nach Eingabe der o.a. Koeffizientenwerte der Matrix und des Translationsvektors, ermittelt das Modul nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Koordinaten der Punkte des transformierten Rechtecks P1', P2', P3' und P4'.

 

Das Programm führt hierbei die nachfolgend gezeigte Transformation mit dem Ursprungsobjekt aus:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 12

 

und gibt die Koordinaten des transformierten Objekts aus, mit:

 

P1' (3,5 / 5,5)

P2' (3,5 / 6,5)

P3' (4,5 / 6,5)

P4' (4,5 / 5,5)

 

Für die Eigenschaften bzgl. Fixelementen ermittelt das Programm:

 

Es existiert kein Fixpunkt und keine Fixgerade

Eigenwert: 1

Eigenvektor 1: 0 | 1

Eigenvektor 2: nicht vorhanden
 

Beispiel 2 - Einfache Transformation:

Es gilt, ein Rechteck, welches durch die Punkte P1 (2 / 4), P2 (2 / -2), P3 (10 / -2) und P4 (10 / 4) definiert ist, einer einfachen affinen Transformation zu unterziehen. Hierfür werden die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und der Translationsvektor wie folgt definiert:

 

Abbildungsmatrix:

a11: -1

a21: 0,6

a12: 1

a22: -1

 

Translationsvektor:

b1: -2

b2: -6
 

Vorgehensweise:

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Nach Eingabe der o.a. Koeffizientenwerte der Matrix und des Translationsvektors, ermittelt das Modul nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Koordinaten der Punkte des transformierten Rechtecks P1', P2', P3' und P4'.

Das Programm führt hierbei die nachfolgend gezeigte Transformation mit dem Ursprungsobjekt aus:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 13

 

und gibt die Koordinaten des transformierten Objekts aus, mit:

 

P1' (-1,6 / -8)

P2' (-5,2 / -2)

P3' (-13,2 / 6)

P4' (-9,6 / 0)

 

Für die Eigenschaften bzgl. Fixelementen ermittelt das Programm:

 

Es existiert ein Fixpunkt bei: F (-2,235 / -4,118)

Eigenwerte: -0,225 | -1,775

Eigenvektor 1: 0,775 | 1

Eigenvektor 2: -0,775 | 1

Gleichung der Fixgeraden 1: Y = 1,291·X-1,232

Gleichung der Fixgeraden 2: Y = -1,291·X-7,003
 

Beispiel 3 - Mehrfachtransformation:

Mit einem Rechteck, dessen Eckpunkte die Koordinatenwerte P1 (-4,5 / 1,5), P2 (-4,5 / 2,5), P3 (-3,5 / 2,5) und P4 (-3,5 / 1,5) besitzen, ist eine Mehrfachtransformation durchzuführen. In diesem Beispiel soll eine Verknüpfung folgender Einzeltransformationen stattfinden:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 14

Affine Abbildung - Gleichung  - 15
 

Vorgehensweise:

 

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Selektieren Sie hierauf das Registerblatt Mehrfache Transformation, geben Sie die Werte der Koeffizienten für T1 und T2 in die dafür vorgesehenen Eingabefelder ein und bedienen Sie einmalig die Schaltfläche Berechnen. Das Programm bildet hierauf das Produkt der zweireihigen Matrizen wie folgt:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 16

Hieraus resultiert die Transformation T1·T2:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 17
 

Die Koordinatenwerte der transformierten Punkte werden ausgegeben, mit:

P1' (-1,75 / 0,75)

P2' (-1,25 / 1,25)

P3' (-0,25 / 1,25)

P4' (-0,75 / 0,75)
 

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