MathProf - Affine Abbildungen - Transformation - Abbildungsmatrix

MathProf - Mathematik-Software - Affine Abbildung | Transformation | Matrix | Fixelemente

Fachthema: Affine Abbildung

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik für das Berufskolleg, die Oberstufe, das Abitur und das Studium zum Lösen verschiedenster Aufgaben sowie zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Affine Abbildung | Transformation | Matrix | Fixelemente

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung affiner Transformationen
mit geometrischen Abbildungen in der Ebene.

In diesem Teilprogramm erfolgt neben der Durchführung affiner Transformationen mit definierten Figuren unter anderem die Berechnung des entsprechenden Fixpunkts bzw. der zugehörigen Fixgerade oder Fixpunktgerade. Auch findet die Ermittlung der Eigenwerte und der Eigenvektoren einer definierten Abbildungsmatrix statt.

Die Koeffizienten der zur Definition der durchzuführenden affinen Transformation benötigten darstellenden Matrix und des Spaltenvektors sind frei bestimmbar.

Zudem stehen Matrizen zur Benutzung vordefinierter Standardtransformationsarten, wie Verschiebung, Skalierung, Spiegelung, Drehung (Rotation) und Scherung zur Erstellung affiner Abbildungen zur Verfügung. Des Weiteren wird die Verkettung affiner Transformationen (Verkettung von Abbildungen) ermöglicht.


Der hierfür implementierte Rechner ermittelt die Koordinatenwerte des zu transformierenden Gebildes und stellt die Ergebnisse hierauf grafisch dar. Zudem ermöglicht dieses Unterprogramm das Berechnen der Punktkoordinaten der auf diese Weise transformierten geometrischen Figuren.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Affine Abbildung - Lineare Abbildung - Lineare Algebra - Koordinatentransformation - Affine Transformation - Matrix - Abbildungsmatrix - Spiegelungsmatrix - Transformationsmatrix - Definition - Erklärung - Beschreibung - Abbildungsmatrizen - Verschiebungsvektor - Vektor - Drehmatrix - Spiegelmatrix - Darstellende Matrix - Darstellungsmatrix - Rotationsmatrix - Verkettung von Abbildungen - Fixelemente - Fixpunkte bestimmen - Fixpunkt - Fixpunktgerade - Fixgerade - Abbildungsvorschrift - Komposition von Abbildungen - Transformation - Verkettung - Verketten - Hintereinanderausführung - Matrixdarstellung - Translationsvektor - Affinität - Kollineation - Verkettung von Abbildungen - Übergangsmatrix - Basiswechsel - Ähnlichkeit - Eigenschaften - Begriff - Begriffe - Symmetrie - Bildpunkte - Einführung - Herleitung - Beweis - Graph - Zuordnung - Grafisch - Verzerren - Verzerrung - Ursprung - Gerade - Formel - Linear - Parameter - Rotation - Urbild - Punkt - Bild - Grafik - Rechner - Grafische Darstellung - Bedeutung - Was bedeutet - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Erklärung - Einfach erklärt - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Abbildung - Bestimmen - Bestimmung - Untersuchen - Untersuchung - Darstellung - Berechnung - Orthogonale Affinität - Affine Koordinaten - Transformieren - Darstellen - Drehung - Plotter - Berechnen - Koordinaten - Figuren - Ähnlichkeitsabbildung - Ähnlichkeiten - Ähnlichkeitstransformation

 
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Affine Abbildungen

 
MathProf - Affine Abbildung - Affine Transformation - Matrix - Spiegelung - Scherung - Berechnen - Drehung - Eigenschaften - Fixelemente - Figur - Affine Abbildungen - Koordinatentransformation - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Figuren - Ähnlichkeiten - Ähnlichkeitstransformation - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Grafik - Zeichnen - Plotter
Modul - Affine Abbildungen



Im Unterprogramm [Geometrie] - [Affine Abbildung] - Affine Abbildung können Untersuchungen zum Fachthema Affine Abbildung mit geometrischen Figuren durchgeführt werden.

 

MathProf - Affine Abbildung - Geometrische Transformation - Matrix - Translation - Drehen - Spiegeln - Verschieben - Strecken - Koordinatentransformation - Affine Transformation - Affine Abbildungen - Spiegelungsmatrix - Verschiebungsmatrix - Verkettung von Abbildungen - Rechner - Berechnen - Grafik
 

Als affine Abbildung (Affinität oder Ähnlichkeit) wird die umkehrbare Abbildung eines Urbildraums in einen Raum, bei welcher die Geradentreue, die Parallelität sowie die Teilverhältnisse auf jeder Geraden erhalten bleiben, bezeichnet.

Sie ist eine umkehrbare geometrische Abbildung, welche in der Ebene Geraden in Geraden überführt. Sie ist teilverhältnistreu, wobei sich Winkel, Längen und Flächeninhalte verändern können.
 
Dieses Modul ermöglicht Folgendes, mit aus verschiedenen Punkten bestehenden geometrischen Gebilden:

 

  • Durchführung einmaliger affiner Transformationen
  • Durchführung  affiner Mehrfachtransformationen

  • Ermittlung der Fixelemente affiner Abbildungen

 
Es ermittelt die Koordinaten eines transformierten Gebildes und stellt dieses dar. Zudem untersucht es, ob eine Abbildung Fixelemente besitzt. Sind diese vorhanden, so gibt es deren Eigenschaften aus. Da zur Bestimmung der Lösungen unten aufgeführter Gleichungssysteme die Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen benötigt werden, gibt es auch diese aus.

 

Fachbegriffe


Lineare Algebra:
Unter dem Begriff lineare Algebra (oder Vektoralgebra) wird ein Teilgebiet der Mathematik verstanden, welches sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen auseinandersetzt.

Affinität:
Mit dem Wort Affinität wird die bijektive Abbildung einer linearen Mannigfaltigkeit auf sich selbst bezeichnet.

Affine Transformation:
Eine affine Trasformation setzt sich aus einer  einer linearen Transformation sowie einer Translation zusammen.

Koordinatentransformation:
Bei der Durchführung einer Koordinatentransformation erfolgt die Berechnung der Koordinaten eines Punktes in einem Koordinatensystem in ein anderes.


Abbildungsmatrix - Darstellungsmatrix (darstellende Matrix):
Matrixdarstellung: Bei Abbildungsmatrizen oder Darstellungsmatrizen handelt es sich um Matrizen, die in der linearen Algebra Anwendung finden, um lineare Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen zu beschreiben.

Spiegelungsmatrix (Spiegelmatrix):
Als Spiegelungsmatrix oder Spiegelmatrix wird eine Matrix bezeichnet, mit der in der linearen Algebra eine Spiegelung dargestellt wird.

Übergangsmatrix - Basiswechsel - Transformationsmatrix:
Als Basiswechsel wird in der linearen Algebra der Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines Vektorraums über einem Körper bezeichnet. Es handelt sich in diesem Fall um einen Sonderfall der Koordinatentransformation. Ein Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden, die als Basiswechselmatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix bezeichnet wird.

Drehmatrix (Rotationsmatrix):
Eine Drehmatrix (Rotationsmatrix) beschreibt eine Drehung im euklidischen Raum. Bei ihrer Verwendung erfolgt die Drehung eines Vektors um einen Winkel, entgegen dem Uhrzeigersinn.

Verschiebungsvektor - Translationsvektor:
Ein Verschiebungsvektor (Translationsvektor) beschreibt die Verschiebung (Translation) eines Punktes im Raum oder in der Ebene. Er gibt an, um wie viele Einheiten (um welchen Betrag) und  in welche Richtung eine Verschiebung zu erfolgen hat.

Verkettung von Abbildungen (Komposition von Abbildungen):
Unter der Verkettung oder Komposition von Abbildungen wird die Hintereinanderschaltung mehrerer einzelner Abbildungen verstanden.

Abbildungsvorschrift:
Eine Abbildungsvorschrift bestimmt die Funktion einer Abbildung. Jedem Element einer Definitionsmenge wird exakt ein Element aus einer Wertemenge zuordnet. Durch eine Abbildung wird jedes Element einer Definitionsmenge auf genau ein Element aus der Wertemenge abbildet.

Symmetrie:
Der Begriff Symmetrie bezeichnet die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt unter der Ausführung von Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann und somit ein unverändertes Aussehen besitzt.

Affine Koordinaten:
Affine Koordinaten sind Koordinaten die einem Punkt eines n-dimensionalen affinen Raumes bezüglich einer sogenannten affinen Punktbasis zugeordnet werden.

Ähnlichkeitsabbildung (Ähnlichkeitstransformation) - Ähnlichkeit:
Als Ähnlichkeitsabbildung (Ähnlichkeitstransformation oder Ähnlichkeit) wird eine Affinität bezeichnet, die Streckenverhältnisse und Winkelgrößen unverändert lässt, jedoch Streckenlängen verändert.


Lineare Abbildung:
Unter einer linearen Abbildung wird die Veränderung an einem Objekt in der Form von Rotation, Skalierung etc. verstanden. Affine Abbildungen sind Kombinationen aus linearen Abbildungen und Translationen.
  

Affine Abbildung - Grundlegendes


Ein Punkt mit den Koordinaten (x,y) wird in der analytischen Geometrie durch den Vektor
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 1
 

im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definiert. Soll auf diesen Punkt eine Translation oder Transformation angewandt werden, so handelt es sich hierbei, mathematisch gesehen, um die lineare Abbildung eines Vektors, der sich durch eine Matrix darstellen lässt:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - Transformationmatrix
 

x und y sind hierbei die Koordinaten des Originals, x' und y' die Koordinaten des Bildpunktes.
 

Die Koordinatentransformation wird beschrieben durch die Matrix:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 3
 

Eine zusätzliche Verschiebung der Bildpunkte beschreibt der Translationsvektor:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 4
 

Beispiele für Abbildungsmatrizen (Verschiebungsmatrix und Drehmatrix) sind:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 5    Affine Abbildung - Gleichung  - Transformationmatrix - Matrix - Transformation
 

Fixelemente

 

Fixelemente sind Elemente, welche bei Abbildungen auf, bzw. in sich erhalten bleiben. Es sind dies Fixpunkt, Fixpunktgerade sowie Fixgerade.
 

  • Ein Fixpunkt ist ein Punkt, welcher bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird

  • Eine Fixpunktgerade ist eine Gerade deren Punktmenge bei einer Abbildung Fixpunkte sind

  • Eine Fixgerade ist eine Gerade, welche bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird

Mit Hilfe nachfolgend aufgeführter linearer Gleichungssysteme kann eine Bestimmung der Fixelemente erfolgen:

 

x = A·x + b

 

bzw.

 

x1 = a11·x1 + a12·x2 + b1

x2 = a21·x1 + a22·x2 + b2

 

Besitzt ein derartiges Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so existiert exakt ein Fixpunkt. Besitzt es unendlich viele Lösungen, so existiert eine Fixpunktgerade. Verfügt es über keine Lösung, so existiert kein Fixpunkt.

 

Zugrunde gelegt wird hierbei:

 

Abbildungsmatrix:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 7

 

Translationsvektor:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 8

 

Einfache Transformation (Koordinatentransformation - Affine Transformation)

 

MathProf - Affine Abbildung - Strecken - Lineare Abbildung - Verkettung von Abbildungen - Geometrische Abbildungen - Affiner Raum - Lineare Abbildung - Lineare Algebra - Koordinatentransformation - Affine Operation - Matrix - Abbildungsmatrix - Translationsmatrix - Rechner - Berechnen

 
Um eine Abbildung erstellen zu lassen und diese einer einfachen affinen Transformation (Abbildungsvorschrift) zu unterziehen, sollte wie nachfolgend beschrieben vorgegangen werden:
 

  1. Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des zu transformierenden Gebildes in die dafür vorgesehenen Eingabefelder X und Y ein. Bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Bestimmen Sie die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und des Translationsvektors durch die Eingabe entsprechender Werte in die dafür vorgesehenen Felder im Formularbereich Abbildungsmatrix - Translationsvektor.

    Möchten Sie die Koeffizienten einer vordefinierten Standardtransformationsart benutzen, so selektieren Sie den entsprechenden Eintrag aus der Auswahlbox Transformationsart, andernfalls wählen Sie den Eintrag Keine Standardtransformation.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Koordinaten des definierten, sowie des transformierten Gebildes in der Tabelle ausgegeben.
     
  6. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen.
     
  7. Soll eine Analyse bzgl. Fixelementen durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse.

In der Auswahlliste mit der Bezeichnung Transformationsart sind u.a. nachfolgend aufgeführte Standardtransformationsarten aufgelistet:


Verschiebung (Translation) in x-Richtung:
Wirkung: Verschiebung in x-Richtung
Vorgegebener Wert: x = 2

Verschiebung (Translation) in y-Richtung:
Wirkung: Verschiebung in y-Richtung

Vorgegebener Wert: y = 2

Verschiebung (
Translation) in x/y-Richtung:
 
Wirkung: Verschiebung in x-Richtung und y-Richtung

Vorgegebener Wert: x = 1

Vorgegebener Wert: y = 1
 

Identische Transformation:
Wirkung: Quellbild und Zielbild sind identisch

Skalierung in x-Richtung:

Wirkung: Stauchung/Streckung in x-Richtung

Vorgegebener Faktor: 3

 

Skalierung in y-Richtung:
Wirkung: Stauchung/Streckung in y-Richtung

Vorgegebener Faktor: 3
 

Skalierung in x/y-Richtung:
Wirkung: Stauchung/Streckung in x- und y-Richtung

Vorgegebener Faktor x-Richtung: 2

Vorgegebener Faktor y-Richtung: 3


Spiegelung an x-Achse:
Wirkung: Spiegelung der Abbildung an x-Achse

 

Spiegelung an y-Achse:
Wirkung: Spiegelung der Abbildung an y-Achse

Spiegelung an Koordinatenursprung:
Wirkung:
Spiegelung der Abbildung an x-Achse, danach Spiegelung der Abbildung an y-Achse


Rotation (Drehung) um 45° um Koordinatenursprung:
Wirkung: Rotation der Abbildung um 45° um Koordinatenursprung


Rotation (Drehung) um 90° um Koordinatenursprung:
Wirkung: Rotation der Abbildung um 90° um Koordinatenursprung


Scherung in Richtung x-Achse:
Wirkung: Scherung in Richtung x-Achse
Vorgegebener Wert:2


Scherung in Richtung y-Achse:
Wirkung: Scherung in Richtung y-Achse
Vorgegebener Wert:2

 

Wird eine Standardtransformationsart aus der Auswahlbox selektiert, so werden vorhandene Eingabewerte für die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und den Translationsvektor (ohne Durchführung einer vorhergehenden Abfrage) durch oben aufgeführte Vorgabewerte ersetzt.

 

Um eine Rotation (Drehung) durchführen zu lassen, wählen Sie den Eintrag Rotation um 45° oder Rotation um 90° und ersetzen die vorgegebenen Zahlen durch die von Ihnen gewünschten Winkelwerte im Gradmaß. Wenn einer dieser beiden Einträge gewählt wurde, werden die Eingabewerte für die Matrix als Winkelwerte im Gradmaß übernommen. und in folgender Form verwendet (Drehmatrix und Verschiebungsvektor):

 

Affine Abbildung - Gleichung  - Transformation - Matrix

 
Orthogonale Affinität:
 
Eine orthogonale Affinität beschreibt eine vertikale (horiziontale) Streckung an der x-Achse (y-Achse). Hierbei erfolgt die Abbildung eines Punkts P(x ∣ y) auf seinen Bildpunkt P′(x′ ∣ y′). Sie wird auch als senkrechte Achsenstreckung bezeichnet. Der Koordinatenwert eines Bildpunktes bleibt erhalten, der andere wird mit dem Faktor k multipliziert. In algebraischer Form kann eine vertikale Streckung dieser Art wie folgt definiert werden:

x′ = ​x
y′= k⋅y​

In Matrizenform lautet ihre Darstellung:


Affine Abbildung - Orthogonale Affinität  - Matrix
  

Bedienformular

  
MathProf - Affine Abbildung - Matrix - Beispiel - Fixpunkt  - Translation - Verkettung

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Abbildungen füllen: Farbfüllung der Gebilde einschalten und deren verdeckte Konturen darstellen
  • Verbindungslinien: Hilfslinien zwischen transformierten Gebilden darstellen
  • Punkte: Darstellung der Eckpunkte der Gebilde ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Punktbeschriftung der Gebilde ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
 

Mehrfachtransformation (Mehrfache Koordinatentransformation) - Verkettung von affinen Transformationen


 

MathProf - Affine Abbildung - Fixpunktgerade - Fixpunkt - Spaltenvektor - Translationsvektor - Drehen - Spiegeln - Verschieben - Strecken - Verkettung von Abbildungen - Geometrische Abbildungen - Affiner Raum - Lineare Abbildung - Lineare Algebra - Koordinatentransformation - Affine Transformation - Affine Operation - Matrix - Abbildungsmatrix - Spiegelungsmatrix - Translationsmatrix - Transformationsmatrix - Projektionsmatrix - Rechner - Berechnen

 
 
Der Begriff Mehrfachtransformation ist als eine Nacheinanderausführung (Verkettung) affiner Abbildungen zu verstehen. Hierbei wird aus zwei zweireihigen Abbildungsatrizen, sowie deren Translationsvektoren, durch die Bildung des Produkts derer, eine dreireihige Matrix gebildet.

Zweireihige Matrix (Abbildungsvorschrift) zur Durchführung einer einfachen affinen Transformation:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - Abbildungsvorschrift - 10
 

Dreireihige Matrix (Abbildungsvorschrift) zur Durchführung einer affinen Mehrfachtransformation:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - Abbildungsvorschrift - 11
 

MathProf - Affine Abbildung - Transformation - Affine Transformation - Matrixdarstellung - Matrizendarstellung - Matrixgleichung - Translationsvektor - Verkettung - Lineare Abbildung - Definition - Drehmatrix - Spiegelmatrix - Darstellende Matrix - Darstellungsmatrix - Abbildungsvorschrift - Komposition von Abbildungen - Verketten - Hintereinanderausführung - Affinität - Verkettung von Abbildungen - Rechner - Berechnen

 
Um ein Gebilde erstellen zu lassen und dieses einer Mehrfachtransformation (Abbildungsvorschrift) zu unterziehen, sollte wie nachfolgend beschrieben vorgegangen werden:
 

  1. Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des zu transformierenden Gebildes in die dafür vorgesehenen Eingabefelder X und Y ein. Bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Aktivieren Sie hierauf das Registerblatt Mehrfachtransformation um zusammengesetzte Bewegungen (Nacheinanderausführungen) in der Ebene untersuchen zu können. (Vorhandene Eingaben im Formularbereich Abbildungsmatrix - Translationsvektor unter dem Registerblatt Einfache Transformation haben keinen Einfluss auf die Durchführung von Mehrfachtransformationen - diese Matrixkoeffizienten werden nicht zur Durchführung von Mehrfachtransformationen verwendet).
     
  5. Definieren Sie die durchzuführenden Transformationen T1 und T2 durch die Eingabe entsprechender Werte in die dafür vorgesehenen Felder für Matrizen und Translationsvektoren und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

    In der linksseitig unten angebrachten Tabelle Durchgeführte Transformation werden die definierten Transformationsmatrizen und Translationsvektoren, sowie die hieraus resultierenden Transformationsmatrizen T1·T2 ausgegeben. In der rechtsseitig angebrachten Tabelle Transformierte Koordinaten werden die Koordinatenwerte des Ursprungsobjekts, sowie die der transformierten Objekte aufgelistet.

    Wiederholen Sie diese Vorgänge so oft, bis die gewünschte Anzahl durchzuführender Mehrfachtransformationen erreicht ist.
     
  6. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Mit den auf dem Bedienformular angebrachten Schaltflächen Zurück und Vorwärts können Sie die aus den durchgeführten Transformationen resultierenden Abbildungen aufeinanderfolgend aufrufen.


Hinweise:

Um nach Beendigung der grafischen Darstellung erneut Mehrfachtransformationen mit vorhandenden Punkten durchzuführen, wählen Sie den Menüpunkt Urzustand herstellen, verneinen Sie die Abfrage ob auch alle Punkte gelöscht werden sollen, und führen erneut gewünschte Transformationen durch.

 

Es gilt zu beachten, dass die Bildung von Matrizenprodukten nicht kommutativ ist. Dies bedeutet, dass eine Vertauschung der Eingabewerte der Transformationsmatrizen T1 und T2 zu unterschiedlichen Ergebnissen führt.
 

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular


MathProf - Affine Abbildung - Rotation - Achsenspiegelung - Geradenspiegelung - Fixgerade - Eigenwerte - Eigenvektoren
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Abbildungen füllen: Farbfüllung der Gebilde einschalten und deren verdeckte Konturen darstellen
  • Verbindungslinien: Hilfslinien zwischen transformierten Gebilden darstellen
  • Punkte: Darstellung der Eckpunkte der Gebilde ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Punktbeschriftung der Gebilde ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Analyse affiner Abbildungen

 

Beispiele


Beispiel 1 - Einfache Transformation:

Ein Rechteck, welches durch die Punkte P1 (-4,5 / 1,5), P2 (-4,5 / 2,5), P3 (-3,5 / 2,5) und P4 (-3,5 / 1,5) beschrieben wird, soll einer einfachen affinen Transformation unterzogen werden. Um eine Verschiebung des Rechtecks herbeizuführen, werden die Koeffizienten für die Abbildungsmatrix und den Translationsvektor wie folgt definiert:

 

Abbildungsmatrix:

a11: 1

a21: 0

a12: 0

a22: 1

 

Translationsvektor:

b1: 8

b2: 4
 

Vorgehensweise:

 

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Nach Eingabe der o.a. Koeffizientenwerte der Matrix und des Translationsvektors, ermittelt das Modul nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Koordinaten der Punkte des transformierten Rechtecks P1', P2', P3' und P4'.

 

Das Programm führt hierbei die nachfolgend gezeigte Transformation (Abbildungsvorschrift) mit dem Ursprungsobjekt aus:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 12

 

und gibt die Koordinaten des transformierten Objekts aus, mit:

 

P1' (3,5 / 5,5)

P2' (3,5 / 6,5)

P3' (4,5 / 6,5)

P4' (4,5 / 5,5)

 

Für die Eigenschaften bzgl. Fixelementen ermittelt das Programm:

 

Es existiert kein Fixpunkt und keine Fixgerade

Eigenwert: 1

Eigenvektor 1: 0 | 1

Eigenvektor 2: nicht vorhanden
 

Beispiel 2 - Einfache Transformation:

Es gilt, ein Rechteck, welches durch die Punkte P1 (2 / 4), P2 (2 / -2), P3 (10 / -2) und P4 (10 / 4) definiert ist, einer einfachen affinen Transformation zu unterziehen. Hierfür werden die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und der Translationsvektor wie folgt definiert:

 

Abbildungsmatrix:

a11: -1

a21: 0,6

a12: 1

a22: -1

 

Translationsvektor:

b1: -2

b2: -6
 

Vorgehensweise:

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Nach Eingabe der o.a. Koeffizientenwerte der Matrix und des Translationsvektors, ermittelt das Modul nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Koordinaten der Punkte des transformierten Rechtecks P1', P2', P3' und P4'.

Das Programm führt hierbei die nachfolgend gezeigte Transformation (Abbildungsvorschrift) mit dem Ursprungsobjekt aus:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 13

 

und gibt die Koordinaten des transformierten Objekts aus, mit:

 

P1' (-1,6 / -8)

P2' (-5,2 / -2)

P3' (-13,2 / 6)

P4' (-9,6 / 0)

 

Für die Eigenschaften bzgl. Fixelementen ermittelt das Programm:

 

Es existiert ein Fixpunkt bei: F (-2,235 / -4,118)

Eigenwerte: -0,225 | -1,775

Eigenvektor 1: 0,775 | 1

Eigenvektor 2: -0,775 | 1

Gleichung der Fixgeraden 1: Y = 1,291·X-1,232

Gleichung der Fixgeraden 2: Y = -1,291·X-7,003
 

Beispiel 3 - Mehrfachtransformation:

Mit einem Rechteck, dessen Eckpunkte die Koordinatenwerte P1 (-4,5 / 1,5), P2 (-4,5 / 2,5), P3 (-3,5 / 2,5) und P4 (-3,5 / 1,5) besitzen, ist eine Mehrfachtransformation durchzuführen. In diesem Beispiel soll eine Verknüpfung folgender Einzeltransformationen stattfinden:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 14

Affine Abbildung - Gleichung  - 15
 

Vorgehensweise:

 

Wählen Sie das Registerblatt Einfache Transformation und übernehmen Sie die Koordinatenwerte des Rechtecks in die Tabelle. Selektieren Sie hierauf das Registerblatt Mehrfache Transformation, geben Sie die Werte der Koeffizienten für T1 und T2 in die dafür vorgesehenen Eingabefelder ein und bedienen Sie einmalig die Schaltfläche Berechnen. Das Programm bildet hierauf das Produkt der zweireihigen Matrizen wie folgt:
 

Affine Abbildung - Gleichung  - 16

Hieraus resultiert die Transformation T1·T2:

 

Affine Abbildung - Gleichung  - 17
 

Die Koordinatenwerte der transformierten Punkte werden ausgegeben, mit:

P1' (-1,75 / 0,75)

P2' (-1,25 / 1,25)

P3' (-0,25 / 1,25)

P4' (-0,75 / 0,75)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Affine Transformation - Matrix - Berechnen - Affine Abbildungen - Koordinatentransformation - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Figuren - Ähnlichkeitsabbildung - Ähnlichkeiten - Ähnlichkeitstransformation - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Affine Abbildung - Matrixdarstellung - Kollineation - Übergangsmatrix - Basiswechsel - Ähnlichkeit - Symmetrie - Bildpunkte - Zuordnung - Grafisch - Verzerren - Verzerrung - Matrizendarstellung - Matrixgleichung - Translationsvektor - Scherstreckung - Urbild - Punkt - Berechnen - Beispiel - Lineare Abbildung - Nichtlineare Transformation - Lineare Transformation - Translationen - Affine Rotation - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Lineare Algebra - Koordinatentransformation - Affine Transformation - Affine Operation - Matrix - Eigenwerte - Eigenvektor - Abbildungsmatrix - Affine Abbildungen - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Affine Abbildung - Translation - Abbildung - Bewegung - Translation und Rotation - Translationsvektor - Abbildungsmatrizen - Spiegelung - Skalierung - Figuren - Affine Abbildungen - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixelemente - Fixpunkte - Fixpunkt - Fixpunktgerade - Fixgerade - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Abbildungsmatrix - Eigenvektoren - Ursprung - Formel - Linear - Bild - Darstellung - Berechnung - Orthogonale Affinität - Affine Koordinaten - Koordinaten - Spiegelung - Vektoren - Verkettung - Transformation - Beispiel - Parameter - Transformationsparameter - Scherstreckung - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Affine Abbildung - Eigenwerte - Eigenvektor - Fixpunktgerade - Abbildungsmatrix - Geometrie - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixgerade - Affine Transformation - Scherungsmatrix - Abbildungsmatrizen - Verschiebungsvektor - Vektor - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 6

MathProf - Affine Abbildungen - Abbildungsmatrizen - Abbildungsmatrix - Translationsvektor - Eigenvektoren - Eigenwerte - Transformation - Affine Transformation - Translation - Beispiel - Lineare Abbildung - Fixpunkt - Fixgerade - Verkettung von Abbildungen - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 7

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Affine Abbildung zu finden.

 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


MathProf - Kegel - Kugelsegment - Kugelausschnitt - Kugelkappe - Halbkugel - Kugelsektor - Kugelabschnitt - Kugelschicht - Zylinder - Kreiszylinder - Hohlzylinder - Rohr - Kreiskegel - Kegelstumpf - Torus - Doppelkegel - Zylinderabschnitt - Zylinderhuf - Schiefer Kegel - Schiefer Kreiskegel - Mantelfläche - Rechner - Berechnen - Zeichnen - Darstellen - KugelMathProf - Kugelschicht - Zylinder - Kreiszylinder - Hohlzylinder - Abgeschnittener Kegel - Geometrische Körper - Geometrische Grundkörper - Übersicht - Körperberechnung - Dreidimensional - 3D - Volumenberechnung - Volumenberechnungen - Volumen - Rauminhalt - Ansicht - Draufsicht - Seitensicht - Schrägbild - Schrägbilder - Eigenschaften - Oberflächeninhalt - Mantelflächeninhalt - Flächeninhalt - Zylinderfläche - Kugel - Rechner - Berechnen - Zeichnen - Darstellen
 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Affine Abbildung - Affine Transformation - Affine Operation - Matrix - Abbildungsmatrix - Spiegelungsmatrix - Translationsmatrix - Transformationsmatrix - Projektionsmatrix - Scherungsmatrix - Abbildungsmatrizen - Verschiebungsvektor - Vektor - Drehmatrix - Darstellen - Drehung - Transformieren - Plotter - Berechnen - Punkt - Bild - Grafik - Rechner - Graph
Startfenster des Unterprogramms Affine Abbildungen
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Analyse - Affine Transformation - Bildgerade - Ursprungsgerade - Fixpunkt - Fixgerade - Fixpunktgerade - Fixelement - Bestimmen - Lineare Abbildung - Rechner - Berechnen - Affine Abbildung - Transformationsmatrix - Bestimmung - Plotten - Plotter - Grafisch - Bild - Grafik - Grafisch
MathProf 5.0 - Unterprogramm Analyse affiner Abbildungen



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0