MathProf - Urnenmodelle - Ohne Zurücklegen - Mit Zurücklegen - Baumdiagramm

MathProf - Mathematik-Software - Urnenmodell | Zurücklegen | Zufallsexperiment

Fachthema: Urnenmodell

MathProf - Stochastik - Grundlagen der Statistik - Software für interaktive Mathematik und zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Ein Programm zum Einsatz im Mathematikunterricht sowie für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren. Es eignet sich unter anderem als Unterstützung beim Lernen und Verstehen mathematischer Zusammenhänge sowie zur Analyse relevanter Sachverhalte.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Urnenmodell | Zurücklegen | Zufallsexperiment

Online-Hilfe
für das Modul zur Vermittlung von Grundlagen der Stochastik sowie zur Analyse von Zusammenhängen die bei der Ausführung von Ziehungen von Kugeln am Urnenmodell gelten.

Dieses Teilprogramm ermöglicht unter anderem die Darstellung der Ergebnisse von Untersuchungen dieser Art am Baumdiagramm. Berechnen lassen sich hierbei sowohl die Wahrscheinlichkeiten, welche beim Durchführen von Ziehungen mit Zurücklegen sowie auch bei der Praktizierung von Ziehungen ohne Zurücklegen gegeben sind.

Mittels dem implementierten Rechner lässt sich die Ausführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung für mehrstufige Zufallsexperimente mit Hilfe der Binomialverteilung bzw. der hypergeometrischen Verteilung durchführen.

Die entsprechende Berechnung erfolgt hierbei nach jeder Veränderung der Anzahl existierender Kugeln in der Urne.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Rechner für Urnenmodelle - Ziehen - Urne - Modell - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Urnenmodell mit Zurücklegen (stochastisch abhängig) - Urnenmodell ohne Zurücklegen (stochastisch unabhängig) - Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen - Ereignis - Bild - Darstellung - Auswertung - Auswerten - Berechnung - Darstellen - Wahrscheinlichkeit - Baumdiagramm - Einstufiges Zufallsexperiment - Wahrscheinlichkeitsbaum - Einstufiger Zufallsversuch - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente - Häufigkeiten - Binomialkoeffizient - Erwartungswert - Kombinatorik - Stochastische Unabhängigkeit

 
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Urnenmodelle

 

Das kleine Teilprogramm [Stochastik] - Urnenmodell ermöglicht die Analyse von Zusammenhängen, die bei der Durchführung von Ziehungen (Zufallsversuche) am Urnenmodell gelten.

 

MathProf - Urnenmodell - Zufallsversuche - Zufallsexperiment - Zurücklegen - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeit - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente

 

Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment und stellt eine Form der Zufallsstichprobe dar. Hierfür wird ein fiktives Gefäß mit unterschiedlich gefärbten Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Mit Hilfe eines Urnenmodells lassen sich somit verschiedene Zufallsexperimente simulieren und Erwartungswerte entnehmen. Beeinflussen sich zwei Ereignisse nicht gegenseitig, so werden diese als stochastisch unabhängig bezeichnet. In diesem Fall bleibt die Eintrittswahrscheinlichkeit des jeweiligen Ereignisses nach Bekanntwerden des anderen gleich.
 

Zusammenfassend lässt sich eine derartige Ziehung durch folgende Modelle charakterisieren:

Von 1 bis n Kugeln werden k aus einer Urne zufällig gezogen, wobei

  • Modell 1: Ziehung in geordneter Reihenfolge, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: nk
  • Modell 2: Ziehung in geordneter Reihenfolge, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! /(n-k)!
  • Modell 3: Ungeordnete Ziehung, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: (n+k-1)! / (k! (n-1)!)
  • Modell 4: Ungeordnete Ziehung, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! / (k! (n-k)!)

beschreibt.

Berechnung

 

Dieses Unterprogramm stellt die Ziehungsverläufe eines Urnenmodells mit Hilfe eines Baumdiagramms dar. Bei diesem Zufallsexperiment muss unterschieden werden, ob bereits gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt werden, oder nicht. Dies kann durch die Aktivierung der hierfür zur Verfügung stehenden Kontrollschalter Mit Zurücklegen bzw. Ohne Zurücklegen durchgeführt werden. Wird eine Kugel wieder zurückgelegt, so bleibt ihre Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug gezogen zu werden gleich, andernfalls verändert sie sich.

 

Die Anzahl zu wiederholender Züge bestimmen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge. An den Rollbalken Rot, Grün und Blau legen Sie die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugeln fest.

 

Ausgegeben werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der Ziehung bestimmter Kugeln an den Pfadenden. Die verwendeten Beschriftungskürzel r, g und b beschreiben die Farben rot, grün und blau.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Themenbereiche

 

Kombinatorik

Pfadregel

 

Beispiele für Zufallsexperimente

 

Zufallsversuche - Beispiel 1:

 

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Mit Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 2

 

Das Programm ermittelt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten:
 

MathProf - Urnenmodell - Ziehung - Zufallsversuche - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsversuche - Beispiel 2:

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 4 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ohne Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 4

 

Das Programm gibt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten aus:

 

MathProf - Urnenmodell - Zurücklegen - Zufallsexperimente - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsrechnung
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Urnenmodell - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Binomialkoeffizient - Kugeln - Hypergeometrische Verteilung - Ohne Zurücklegen - Ziehen - Beispiel - Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente - Häufigkeiten

MathProf - Urnenmodell - Urnenmodelle - Rechner - Stochastik - Mathematik - Pfadregel - Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Kugeln - Beispiel - Binomialverteilung - Mit Zurücklegen - Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente - Häufigkeit

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Urnenmodell zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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