MathProf - Urnenmodelle - Ohne Zurücklegen - Mit Zurücklegen

MathProf - Mathematik-Software - Urnenmodell | Zurücklegen | Zufallsexperiment

Fachthemen: Urnenmodell - Ergebnismenge - Ergebnisraum

MathProf - Stochastik - Grundlagen der Statistik - Software für interaktive Mathematik und zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Ein Programm zum Einsatz im Mathematikunterricht sowie für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Es eignet sich unter anderem als Unterstützung beim Lernen und Verstehen mathematischer Zusammenhänge sowie zur Analyse relevanter Sachverhalte.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Urnenmodell | Zurücklegen | Zufallsexperiment

Online-Hilfe
für das Modul zur Vermittlung von Grundlagen der Stochastik sowie zur Analyse von Zusammenhängen die bei der Ausführung von Ziehungen von Kugeln am Urnenmodell gelten.

Dieses Teilprogramm ermöglicht unter anderem die Darstellung der Ergebnisse von Untersuchungen dieser Art am Baumdiagramm. Berechnen lassen sich hierbei sowohl die Wahrscheinlichkeiten, welche beim Durchführen von Ziehungen mit Zurücklegen sowie auch bei der Praktizierung von Ziehungen ohne Zurücklegen gegeben sind.

Mittels dem implementierten Rechner lässt sich die Ausführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung für mehrstufige Zufallsexperimente mit Hilfe der Binomialverteilung bzw. der hypergeometrischen Verteilung durchführen.

Die entsprechende Berechnung erfolgt hierbei nach jeder Veränderung der Anzahl existierender Kugeln in der Urne.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Urnenmodell - Rechner für Urnenmodelle - Ziehen - Ziehung - Urne - Modell - Wahrscheinlichkeitsbaum - Kugeln ziehen - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Ziehen mit Zurücklegen - Ziehen ohne Zurücklegen - Urnenmodell mit Zurücklegen (stochastisch abhängig) - Urnenmodell ohne Zurücklegen (stochastisch unabhängig) - Ereignis - Bild - Beispiele - Reihenfolge - Ohne Beachtung der Reihenfolge - Mit Beachtung der Reihenfolge - Aufgaben - Formeln - Rechner - Berechnen - Graph - Plotter - Darstellung - Auswertung - Auswerten - Zufall - Ergebnis - Anzahl - Möglichkeiten - Geordnet - Ungeordnet - Was - Wie - Weshalb - Warum - Bedeutung - Was bedeutet - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Herleitung - Beweis - Ziehungen - Anzahl - Einführung - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Definition - Erstellen - Farben - Generator - Kugeln - Pfad - Tool - Regeln - Begriff - Begriffe - Tabelle - Berechnung - Darstellen - Wahrscheinlichkeit - Möglichkeiten - Baumdiagramm - Baumdiagramme - 1 - 2 - 3 - Stufen - Erstellen - Animation - n - k - Pfadwahrscheinlichkeit - Einstufiges Zufallsexperiment - Zufallsversuch - Einstufiger Zufallsversuch - Zweistufiger Zufallsversuch - Zweistufige Zufallsversuche - Zweistufiges Zufallsexperiment - Zweistufige Zufallsexperimente - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente - Häufigkeiten - Zufallsversuche - Zufallsexperimente - Elementarereignisse - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Resultat - Resultate - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Entscheidungsbäume - Entscheidungsbaum - Einstufig - Zweistufig - Mehrstufig - Erwartungswert - Ergebnis - Ergebnisse - Ergebnismenge - Ergebnismengen - Ergebnisraum - Zufallsexperiment

 
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Urnenmodelle - Wahrscheinlichkeitsrechnung

 

MathProf - Urnenmodell - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Binomialkoeffizient - Kugeln - Hypergeometrische Verteilung - Ohne Zurücklegen - Ziehen - Beispiel - Wahrscheinlichkeit - Geordnet - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente - Rechner - Berechnen
Modul Urnenmodell


 
Das kleine Teilprogramm
[Stochastik] - Urnenmodell ermöglicht die Analyse von Zusammenhängen, die bei der Durchführung von Ziehungen (Zufallsversuche) am Urnenmodell gelten.

 

MathProf - Urnenmodell - Zufallsversuche - Zufallsexperiment - Zurücklegen - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeit - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Mehrstufige Zufallsversuche - Rechner - Berechnen


 

Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment und stellt eine Form der Zufallsstichprobe dar. Hierfür wird ein fiktives Gefäß mit unterschiedlich gefärbten Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Mit Hilfe eines Urnenmodells lassen sich somit verschiedene Zufallsexperimente simulieren und Erwartungswerte entnehmen. Von einem Zufall wird gesprochen, wenn für ein einzeln eintretendes Ereignis oder für ein Zusammentreffen mehrerer Ereignisse keine ursächliche Erklärung gefunden werden kann.
 
Beeinflussen sich zwei Ereignisse nicht gegenseitig, so werden diese als stochastisch unabhängig bezeichnet. In diesem Fall bleibt die Eintrittswahrscheinlichkeit des jeweiligen Ereignisses nach Bekanntwerden des anderen gleich. Dieses Modul ermöglicht das Erstellen und Untersuchen eines Urnenmodells.
 

Zusammenfassend lassen sich derartige Ziehungen durch folgende Urnenmodelle charakterisieren:
 

Von 1 bis n Kugeln werden k aus einer Urne zufällig gezogen, wobei

  • Modell 1: Ziehung in geordneter Reihenfolge, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: nk
  • Modell 2: Ziehung in geordneter Reihenfolge, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! /(n-k)!
  • Modell 3: Ungeordnete Ziehung, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: (n+k-1)! / (k! (n-1)!)
  • Modell 4: Ungeordnete Ziehung, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! / (k! (n-k)!)

beschreibt.
 

Ziehen mit Zurücklegen:

Als Ziehen mit Zurücklegen wird ein Urnenmodell bezeichnet, bei dem jede gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird.

Aus einer Urne wird eine bestimmte Anzahl von Kugeln gezogen. Bei der Ziehung mit Zurücklegen verringert sich die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugel. Bei Wiederholung des Ziehens können maximal so viele Kugeln gezogen werden, wie sich zu Anfang in der Urne befanden.

Ziehen ohne Zurücklegen:

Als Ziehen ohne Zurücklegen wird ein Urnenmodell bezeichnet, bei dem eine gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird.

Aus einer Urne wird eine bestimmte Anzahl von Kugeln gezogen. Diese werden nach Durchführung der Ziehung wieder zurückgelegt. Das Ziehen mit Zurücklegen entspricht somit der Wiederholung des erstmailgen Ziehens bei anfänglicher Kugelanzahl.


Zufallsversuche - Zufallsexperimente:

Als Zufallsversuch oder Zufallsexperiment wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Experiment bezeichnet, welches unter genau definierten Bedingungen mindestens zweimalig durchgeführt wird und über einen zufälligen Ausgang besitzt.
 
Einstufige Zufallsversuche - Zweistufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsversuche:

Dieses Unterprogramm stellt die Ziehungsverläufe eines Urnenmodells in Form eines Baumdiagramms dar. Die Durchführung von Experimenten und Auswertung der Ergebnisse kann einstufig, zweistufig oder mehrstufig mit bis zu drei Ziehungen (Zügen) erfolgen (einstufiges Zufallsexperiment, zweistufiges Zufallsexperiment oder mehrstufiges Zufallsexperiment).

Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsbaum - Entscheidungsbäume:

Baumdiagramme dienen der hierarchischen Darstellung der möglichen Ergebnisse eines Ablaufs. Im vorliegenden Fall werden Baumdiagramme dazu verwendet, die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens von Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsexperimenten grafisch darzustellen. Ein Baumdiagramm wird auch als Wahrscheinlichkeitsbaum oder Entscheidungsbaum bezeichnet.

    

Berechnung und Darstellung

 

Bei dem in diesem Modul durchzuführenden Zufallsexperiment muss unterschieden werden, ob bereits gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt werden, oder nicht. Dies kann durch die Aktivierung der hierfür zur Verfügung stehenden Kontrollschalter Mit Zurücklegen bzw. Ohne Zurücklegen durchgeführt werden. Wird eine Kugel wieder zurückgelegt, so bleibt ihre Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug gezogen zu werden gleich, andernfalls verändert sie sich.

 

Die Anzahl zu wiederholender Züge bestimmen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge. An den Rollbalken Rot, Grün und Blau legen Sie die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugeln fest.

 

Ausgegeben werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der Ziehung bestimmter Kugeln an den Pfadenden. Die verwendeten Beschriftungskürzel r, g und b beschreiben die Farben rot, grün und blau.
 

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Ergebnis - Pfadwahrscheinlichkeit - Elementarereignis - Erwartungswert

 
Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird dem Eintreten eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Wird ein eintretendes Ereignis mit dem Buchstabe A angegeben, so wird die ihm zuzuordnende Wahrscheinlichkeit mit p(A) bezeichnet.
 
Pfadwahrscheinlichkeit:

Als Pfadwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass bei der Durchführung eines mehrstufigen Zufallsexperiments ein mögliches Ereignis eintritt.

Elementarereignisse:

Als Elementarereignis wird ein Ereignis bezeichnet, das exakt ein Element beinhaltet.

Erwartungswert:

Ein Erwartungswert ist derjenige Wert, den eine Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt (Mittelwert).

 

Ergebnismenge - Ergebnisraum

 
Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments stellt ein Ergebnis dar. Alle Ergebnisse stehen in der Ergebnismenge. Die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse (Elementarereignisse) eines Zufallsexperiments in einer Menge. Die Anordnung (Reihenfolge) sowie die Anzahl der Elemente mit welchen ein Zufallsexperiment durchgeführt wurde sind hierbei nicht von Bedeutung.
 
Die Ergebnismenge bei einem Zufallsexperiment mit einer, wie oben beschriebenen Urne kann wie folgt beschrieben werden: {Rot ; Grün ; Blau}.


Das Resultat eines Zufallsereigisses wird als Ergebnis ω bezeichnet.

Beispiele für Ergebnisse:

1. Werfen einer Münze:

Mögliche Ergebnbisse (Resultate) sind hierbei Kopf oder Zahl.
Das mögliche Ergebnis Zahl würde wie folgt beschrieben: ω = Z (für das mögliche Ergebnis Zahl)

2. Werfen eines Würfels

Ein mgliches Ergebnis ist hiebei die Zahl 4.
Dieses mögliche Ergebnis (Resultat) würde wie folgt beschrieben: ω = 4 (für die Zahl 4 als mögliches Ergebnis)

Andere mögliche Ergebnisse wären in diesem Fall ω=1, ω=2, ω=3, ω=5 und ω=6.  

Als Ergebnisraum oder Ergebnismengen werden alle Ergebnisse bezeichnet, die bei der Durchführung eines Experiments resultieren können. Das Symbol für einen Ergebnisraum ist der griechische Großbuchstabe Ω.

Beispiele:

1. Beim Würfeln wäre der Ergebnisraum Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, da alle Möglichkeiten der eintretbaren Ergebnisse diese Zahlen sind.

2. Beim Werfen einer Münze wäre der Ergebnisraum Ω = {Kopf ; Zahl}, da alle Möglichkeiten der eintretbaren Ergebnisse ein Kopf oder eine Zahl sind.


Es wird zwischen drei verschiedenartigen Ergebnisräumen unterschieden. Dies sind:

1. Endlicher Raum:

Die Anzahl möglicher eintretbarer Ereignisse kann angegeben werden.
Die obere Grenze hinsichtlich möglicher eintretbarer Ereignisse kann angegeben werden.

Beispiele:
Werfen einer Münze, Würfeln

2. Abzählbarer, unendlicher Raum

Die Anzahl möglicher eintretbarer Ereignisse kann angegeben werden.
Eine obere Grenze hinsichtlich möglicher eintretbarer Ereignisse kann nicht angegeben werden

Beispiele:
Durchführung des Werfens eine Münze bis das Wappen erscheint.
Würfeln bis die Zahl 6 erscheint.

3. Überabzählbarer, unendlicher Raum

Die Anzahl möglicher eintretbarer Ereignisse kann nicht angegeben werden.

Beispiel:
Durchführung eines Tests bis deser bestanden ist. Die dafür benötigte Zeit kann von theoretisch wenigen Minuten bis zur zeitlichen Unendlichkeit reichen.

  

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Mathe-Leistungskurs (LK).
 

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Weitere Themenbereiche

 

Kombinatorik

Pfadregel

 

Aufgaben und Beispiele für Zufallsexperimente

 

Zufallsversuche - Beispiel 1:

 

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Mit Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 2

 

Das Programm ermittelt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten (Multiplikationsregel):
 

MathProf - Urnenmodell - Ziehung - Zufallsversuche - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsrechnung
 

Zufallsversuche - Beispiel 2:

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 4 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ohne Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 4

 

Das Programm gibt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten aus:

 

MathProf - Urnenmodell - Zurücklegen - Zufallsexperimente - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsrechnung
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul


 

MathProf - Urnenmodell - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial -  - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Binomialkoeffizient - Kugeln - Hypergeometrische Verteilung - Ohne Zurücklegen - Ziehen - Beispiel - Wahrscheinlichkeit - Rechner - Berechnen
Beispiel 1

MathProf - Einstufig - Zweistufig - Mehrstufig - Ergebnisse - Ergebnismenge - Ergebnisraum - Pfadwahrscheinlichkeit - Zweistufiger Zufallsversuch - Zweistufige Zufallsversuche - Zweistufige Zufallsexperimente - Elementarereignisse - Rechner - Kugeln - Beispiel - Binomialverteilung - Mit Zurücklegen - Wahrscheinlichkeit - Häufigkeit - Auswertung - Auswerten - Generator - Pfad - Regeln - Tabelle - Grafisch - Berechnen
Beispiel 2

MathProf - Häufigkeiten - Rechner - Ziehung - Urne - Modell - Gegenereignis - Multiplikationsregel - Kugeln - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Mit und ohne Zurücklegen - Ereignis - Beispiele - Reihenfolge - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben - Formeln - Berechnen - Darstellung
Beispiel 3

MathProf - Rechner - Einstufiges Zufallsexperiment - Wahrscheinlichkeitsbaum - Einstufiger Zufallsversuch - Häufigkeiten - Binomialkoeffizient - Erwartungswert - Kombinatorik - Stochastische Abhängigkeit - Stochastische Unabhängigkeit - Grafisch - Berechnen - Zufall - Ergebnis - Geordnet - Ungeordnet - Ziehungen - Anzahl - Definition
Beispiel 4

MathProf - Ziehen ohne Zurücklegen - Farben - Tool - Berechnung - Möglichkeiten - Baumdiagramme - Stufen - Erstellen - Animation - Ohne Beachtung der Reihenfolge - Mit Beachtung der Reihenfolge - Anzahl der Möglichkeiten - Kugeln ziehen - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Mit und ohne Zurücklegen - Ereignis - Beispiele - Reihenfolge - Aufgaben - Formeln - Berechnen
Beispiel 5
 

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Urnenmodell zu finden.

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


MathProf - Binomialverteilung - Histogramm - Binomial distribution - Tabelle - Diagramm - Verteilungsfunktion - Verteilungsdichte - Diskrete Verteilungsfunktion - Verteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Bernoulli-Gleichung - Bernoulli-Experiment - Zufallsexperimente - Zufallsexperiment - Bernoulli Experiment - Bernoulli-Versuch - Bernoulli-Kette - Bernoulli Kette - Bernoulli Ketten - Berechnen - Rechner - FormelMathProf - Erwartungswert - Wahrscheinlichkeitsdichte - Wahrscheinlichkeit - Gegenwahrscheinlichkeit - Eintrittswahrscheinlichkeit - Erfolgswahrscheinlichkeit - Trefferwahrscheinlichkeit - Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Zufallsgröße - Bernoulli-Formel - Bernoulli-Verteilung - Kenngröße - Kenngrößen - Zufallsvariable - Berechnen - Rechner - Tabelle - Darstellen - Grafisch - Zeichnen


Kombinatorik - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Kombination - Kombinatorik - Permutation - Variation - Wiederholung - Anzahl - Berechnen - Reihenfolge - Elemente - Lösung - Möglichkeiten - Rechner - Formel - Tabelle - Kombinationsmöglichkeiten - Variationsmöglichkeiten -Variationen - Kombinationen - Permutationen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kombinatorik



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

MathProf - Bilder zum Programm - Vektoraddition - Grafische Vektoraddition - Gerade in Punkt-Richtungs-Form - Gerade in 2-Punkte-Form - Ebene in Punkt-Richtungs-Form - Ebene in 3-Punkte-Form - Ebene in Normalen-Form - Ebene in Koordinaten-Form
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


MathProf - Bilder zum Programm - Zwei Ebenen - Kugel - Gerade - Ebene - Punkt - Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Poisson-Verteilung


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0