MathProf - Urnenmodelle - Ohne Zurücklegen - Mit Zurücklegen
Fachthemen: Urnenmodell - Ergebnismenge - Ergebnisraum
MathProf - Stochastik - Grundlagen der Statistik - Software für interaktive Mathematik und zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Ein Programm zum Einsatz im Mathematikunterricht sowie für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Es eignet sich unter anderem als Unterstützung beim Lernen und Verstehen mathematischer Zusammenhänge sowie zur Analyse relevanter Sachverhalte.
Online-Hilfe
für das Modul zur Vermittlung von Grundlagen der Stochastik sowie zur Analyse von Zusammenhängen die bei der Ausführung von Ziehungen von Kugeln am Urnenmodell gelten.
Dieses Teilprogramm ermöglicht unter anderem die Darstellung der Ergebnisse von Untersuchungen dieser Art am Baumdiagramm. Berechnen lassen sich hierbei sowohl die Wahrscheinlichkeiten, welche beim Durchführen von Ziehungen mit Zurücklegen sowie auch bei der Praktizierung von Ziehungen ohne Zurücklegen gegeben sind.
Mittels dem implementierten Rechner lässt sich die Ausführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung für mehrstufige Zufallsexperimente mit Hilfe der Binomialverteilung bzw. der hypergeometrischen Verteilung durchführen.
Die entsprechende Berechnung erfolgt hierbei nach jeder Veränderung der Anzahl existierender Kugeln in der Urne.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Urnenmodell - Rechner für Urnenmodelle - Ziehen - Ziehung - Urne - Modell - Wahrscheinlichkeitsbaum - Kugeln ziehen - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Ziehen mit Zurücklegen - Ziehen ohne Zurücklegen - Urnenmodell mit Zurücklegen (stochastisch abhängig) - Urnenmodell ohne Zurücklegen (stochastisch unabhängig) - Ereignis - Bild - Beispiele - Reihenfolge - Ohne Beachtung der Reihenfolge - Mit Beachtung der Reihenfolge - Aufgaben - Formeln - Rechner - Berechnen - Graph - Plotter - Darstellung - Auswertung - Auswerten - Zufall - Ergebnis - Anzahl der Möglichkeiten - Geordnet - Ungeordnet - Was - Wie - Weshalb - Warum - Bedeutung - Was bedeutet - Ziehungen - Anzahl - Mögliche - Einführung - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Definition - Erstellen - Farben - Generator - Kugeln - Pfad - Tool - Regeln - Tabelle - Berechnung - Darstellen - Wahrscheinlichkeit - Möglichkeiten - Baumdiagramm - Baumdiagramme - 1 - 2 - 3 - Stufen - Erstellen - Animation - n - k - Pfadwahrscheinlichkeit - Einstufiges Zufallsexperiment - Zufallsversuch - Einstufiger Zufallsversuch - Zweistufiger Zufallsversuch - Zweistufige Zufallsversuche - Zweistufiges Zufallsexperiment - Zweistufige Zufallsexperimente - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente - Häufigkeiten - Zufallsversuche - Zufallsexperimente - Elementarereignisse - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Einstufig - Zweistufig - Mehrstufig - Erwartungswert - Ergebnis - Ergebnisse - Ergebnismenge - Ergebnismengen - Ergebnisraum - Zufallsexperiment |
Urnenmodelle - Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modul Urnenmodell
Das kleine Teilprogramm [Stochastik] - Urnenmodell ermöglicht die Analyse von Zusammenhängen, die bei der Durchführung von Ziehungen (Zufallsversuche) am Urnenmodell gelten.
Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment und stellt eine Form der Zufallsstichprobe dar. Hierfür wird ein fiktives Gefäß mit unterschiedlich gefärbten Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Mit Hilfe eines Urnenmodells lassen sich somit verschiedene Zufallsexperimente simulieren und Erwartungswerte entnehmen. Von einem Zufall wird gesprochen, wenn für ein einzeln eintretendes Ereignis oder für ein Zusammentreffen mehrerer Ereignisse keine ursächliche Erklärung gefunden werden kann.
Beeinflussen sich zwei Ereignisse nicht gegenseitig, so werden diese als stochastisch unabhängig bezeichnet. In diesem Fall bleibt die Eintrittswahrscheinlichkeit des jeweiligen Ereignisses nach Bekanntwerden des anderen gleich. Dieses Modul ermöglicht das Erstellen und Untersuchen eines Urnenmodells.
Zusammenfassend lassen sich derartige Ziehungen durch folgende Urnenmodelle charakterisieren:
Von 1 bis n Kugeln werden k aus einer Urne zufällig gezogen, wobei
- Modell 1: Ziehung in geordneter Reihenfolge, mit Zurücklegen
Anzahl der Möglichkeiten: nk - Modell 2: Ziehung in geordneter Reihenfolge, ohne Zurücklegen
Anzahl der Möglichkeiten: n! /(n-k)! - Modell 3: Ungeordnete Ziehung, mit Zurücklegen
Anzahl der Möglichkeiten: (n+k-1)! / (k! (n-1)!) - Modell 4: Ungeordnete Ziehung, ohne Zurücklegen
Anzahl der Möglichkeiten: n! / (k! (n-k)!)
beschreibt.
Ziehen mit Zurücklegen:
Als Ziehen mit Zurücklegen wird ein Urnenmodell bezeichnet, bei dem jede gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird.
Ziehen ohne Zurücklegen:
Als Ziehen ohne Zurücklegen wird ein Urnenmodell bezeichnet, bei dem eine gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird.
Einstufige Zufallsversuche - Zweistufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsversuche:
Dieses Unterprogramm stellt die Ziehungsverläufe eines Urnenmodells in Form eines Baumdiagramms dar. Die Durchführung von Experimenten und Auswertung der Ergebnisse kann einstufig, zweistufig oder mehrstufig mit bis zu drei Ziehungen (Zügen) erfolgen (einstufiges Zufallsexperiment, zweistufiges Zufallsexperiment oder mehrstufiges Zufallsexperiment).
Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsbaum:
Baumdiagramme dienen der hierarchischen Darstellung der möglichen Ergebnisse eines Ablaufs. Im vorliegenden Fall werden Baumdiagramme dazu verwendet, die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens von Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsexperimenten grafisch darzustellen. Ein Baumdiagramm wird auch als Wahrscheinlichkeitsbaum bezeichnet.
Berechnung und Darstellung
Bei dem in diesem Modul durchzuführenden Zufallsexperiment muss unterschieden werden, ob bereits gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt werden, oder nicht. Dies kann durch die Aktivierung der hierfür zur Verfügung stehenden Kontrollschalter Mit Zurücklegen bzw. Ohne Zurücklegen durchgeführt werden. Wird eine Kugel wieder zurückgelegt, so bleibt ihre Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug gezogen zu werden gleich, andernfalls verändert sie sich.
Die Anzahl zu wiederholender Züge bestimmen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge. An den Rollbalken Rot, Grün und Blau legen Sie die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugeln fest.
Ausgegeben werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der Ziehung bestimmter Kugeln an den Pfadenden. Die verwendeten Beschriftungskürzel r, g und b beschreiben die Farben rot, grün und blau.
Wahrscheinlichkeitsrechnung - Zufallsversuch - Ergebnis - Ergebnismenge - Ergebnisraum - Pfadwahrscheinlichkeit - Elementarereignis - Erwartungswert
Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird dem Eintreten eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Wird ein eintretendes Ereignis mit dem Buchstabe A angegeben, so wird die ihm zuzuordnende Wahrscheinlichkeit mit p(A) bezeichnet.
Zufallsversuche - Zufallsexperimente:
Unter einem Zufallsversuch (Zufallsexperiment) wird ein Versuch verstanden, welcher unter exakt festgelegten Bedingungen mindestens zweimalig durchgeführt wird, beliebig oft wiederholbar ist und einen zufällig Ausgang besitzt.
Pfadwahrscheinlichkeit:
Als Pfadwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass bei der Durchführung eines mehrstufigen Zufallsexperiments ein mögliches Ereignis eintritt.
Elementarereignis:
Als Elementarereignis wird ein Ereignis bezeichnet, das exakt ein Element beinhaltet.
Erwartungswert:
Ein Erwartungswert ist derjenige Wert, den eine Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt (Mittelwert).
Ergebnismenge - Ergebnisraum:
Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments stellt ein Ergebnis dar. Alle Ergebnisse stehen in der Ergebnismenge. Die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse (Elementarereignisse) eines Zufallsexperiments in einer Menge. Die Anordnung (Reihenfolge) sowie die Anzahl der Elemente mit welchen ein Zufallsexperiment durchgeführt wurde sind hierbei nicht von Bedeutung.
Die Ergebnismenge bei einem Zufallsexperiment mit einer, wie oben beschriebenen Urne kann wie folgt beschrieben werden: {Rot ; Grün ; Blau}.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu.
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Weitere Themenbereiche
Aufgaben und Beispiele für Zufallsexperimente
Zufallsversuche - Beispiel 1:
In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Mit Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:
Rot: 0
Grün: 3
Blau: 2
Das Programm ermittelt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten (Multiplikationsregel):
Zufallsversuche - Beispiel 2:
In einer Urne befinden sich 3 grüne und 4 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ohne Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:
Rot: 0
Grün: 3
Blau: 4
Das Programm gibt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten aus:
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Beispiel 4
Beispiel 5
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Urnenmodell zu finden.
Kombinatorik - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kombinatorik
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
