MathProf - Urnenmodelle - Ohne Zurücklegen - Mit Zurücklegen - Baumdiagramm - Zufallsversuche - Stochastik - Simulation

MathProf - Mathematik-Software - Urnenmodell | Zurücklegen | Zufallsexperiment

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MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Urnenmodell | Zurücklegen | Zufallsexperiment

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für das Modul zur Analyse von Zusammenhängen die bei der
Praktizierung von Ziehungen von Kugeln am Urnenmodell gelten.

Dieses Teilprogramm ermöglicht unter anderem die Darstellung der Ergebnisse von Untersuchungen dieser Art am Baumdiagramm. Berechnen lassen sich hierbei sowohl die Wahrscheinlichkeiten, welche beim Durchführen von Ziehungen mit Zurücklegen sowie auch bei der Praktizierung von Ziehungen ohne Zurücklegen gegeben sind.

Mittels dem implementierten Rechner lässt sich die Ausführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung für Zufallsexperimente mit Hilfe der Binomialverteilung bzw. der hypergeometrischen Verteilung praktizieren.

Die entsprechende Berechnung erfolgt hierbei nach jeder Veränderung der Anzahl existierender Kugeln in der Urne.

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Themen und Stichworte:

Rechner für Urnenmodelle - Ziehen - Urnenmodell mit Zurücklegen (stochastisch abhängig) - Urnenmodell ohne Zurücklegen (stochastisch unabhängig) - Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen - Ereignis - Wahrscheinlichkeit - Baumdiagramm - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente - Häufigkeiten - Binomialkoeffizient - Erwartungswert - Kombinatorik

 

Urnenmodelle

 

Das kleine Teilprogramm [Stochastik] - Urnenmodell ermöglicht die Analyse von Zusammenhängen, die bei der Durchführung von Ziehungen (Zufallsversuche) am Urnenmodell gelten.

 

MathProf - Urnenmodell - Zufallsversuche - Zufallsexperiment - Zurücklegen - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeit - Mit Zurücklegen - Ohne Zurücklegen - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Mehrstufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsexperimente

 

Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment und stellt eine Form der Zufallsstichprobe dar. Hierfür wird ein fiktives Gefäß mit unterschiedlich gefärbten Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Mit Hilfe eines Urnenmodells lassen sich somit verschiedene Zufallsexperimente simulieren und Erwartungswerte entnehmen.
 

Zusammenfassend lässt sich eine derartige Ziehung durch folgende Modelle charakterisieren:

Von 1 bis n Kugeln werden k aus einer Urne zufällig gezogen, wobei

  • Modell 1: Ziehung in geordneter Reihenfolge, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: nk
  • Modell 2: Ziehung in geordneter Reihenfolge, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! /(n-k)!
  • Modell 3: Ungeordnete Ziehung, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: (n+k-1)! / (k! (n-1)!)
  • Modell 4: Ungeordnete Ziehung, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! / (k! (n-k)!)

beschreibt.

Berechnung

 

Dieses Unterprogramm stellt die Ziehungsverläufe eines Urnenmodells mit Hilfe eines Baumdiagramms dar. Bei diesem Zufallsexperiment muss unterschieden werden, ob bereits gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt werden, oder nicht. Dies kann durch die Aktivierung der hierfür zur Verfügung stehenden Kontrollschalter Mit Zurücklegen bzw. Ohne Zurücklegen durchgeführt werden. Wird eine Kugel wieder zurückgelegt, so bleibt ihre Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug gezogen zu werden gleich, andernfalls verändert sie sich.

 

Die Anzahl zu wiederholender Züge bestimmen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge. An den Rollbalken Rot, Grün und Blau legen Sie die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugeln fest.

 

Ausgegeben werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der Ziehung bestimmter Kugeln an den Pfadenden. Die verwendeten Beschriftungskürzel r, g und b beschreiben die Farben rot, grün und blau.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Themenbereiche

 

Kombinatorik

Pfadregel

 

Beispiele für Zufallsexperimente

 

Zufallsversuche - Beispiel 1:

 

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Mit Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 2

 

Das Programm ermittelt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten:
 

MathProf - Urnenmodell - Ziehung - Zufallsversuche - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsversuche - Beispiel 2:

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 4 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ohne Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 4

 

Das Programm gibt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten aus:

 

MathProf - Urnenmodell - Zurücklegen - Zufallsexperimente - Urnenmodelle - Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsrechnung
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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