MathProf - Urnenmodell

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Urnenmodell

 

Das kleine Teilprogramm [Stochastik] - Urnenmodell ermöglicht die Analyse von Zusammenhängen, die bei der Durchführung von Ziehungen am Urnenmodell gelten.

 

MathProf - Urnenmodell

 

Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment und stellt eine Form der Zufallsstichprobe dar. Hierfür wird ein fiktives Gefäß mit unterschiedlich gefärbten Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Mit Hilfe eines Urnenmodells lassen sich somit verschiedene Zufallsexperimente simulieren.
 

Zusammenfassend lässt sich eine derartige Ziehung durch folgende Modelle charakterisieren:

Von 1 bis n Kugeln werden k aus einer Urne zufällig gezogen, wobei

  • Modell 1: Ziehung in geordneter Reihenfolge, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: nk
  • Modell 2: Ziehung in geordneter Reihenfolge, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! /(n-k)!
  • Modell 3: Ungeordnete Ziehung, mit Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: (n+k-1)! / (k! (n-1)!)
  • Modell 4: Ungeordnete Ziehung, ohne Zurücklegen
    Anzahl der Möglichkeiten: n! / (k! (n-k)!)

beschreibt.

Berechnung

 

Dieses Unterprogramm stellt die Ziehungsverläufe eines Urnenmodells mit Hilfe eines Baumdiagramms dar. Bei diesem Zufallsexperiment muss unterschieden werden, ob bereits gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt werden, oder nicht. Dies kann durch die Aktivierung der hierfür zur Verfügung stehenden Kontrollschalter Mit Zurücklegen bzw. Ohne Zurücklegen durchgeführt werden. Wird eine Kugel wieder zurückgelegt, so bleibt ihre Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug gezogen zu werden gleich, andernfalls verändert sie sich.

 

Die Anzahl zu wiederholender Züge bestimmen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge. An den Rollbalken Rot, Grün und Blau legen Sie die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugeln fest.

 

Ausgegeben werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der Ziehung bestimmter Kugeln an den Pfadenden. Die verwendeten Beschriftungskürzel r, g und b beschreiben die Farben rot, grün und blau.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kombinatorik

Pfadregel

 

Beispiele

 

Beispiel 1:

 

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Mit Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 2

 

Das Programm ermittelt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten:
 

MathProf - Urne - Ziehen

Beispiel 2:

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 4 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ohne Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 4

 

Das Programm gibt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten aus:

 

MathProf - Urne - Zurücklegen
 

Module zum Themenbereich Stochastik


Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)


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