MathProf - Hypergeometrische Verteilung

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Hypergeometrische Verteilung
 
Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - [Hypergeometrische Verteilung] - Hypergeometrische Verteilung lassen sich Berechnungen mit hypergeometrisch verteilten Größen durchführen.
 
MathProf - Hypergeometrische Verteilung
 
Es seien in einer Urne N Kugeln, davon d rote und N-d schwarze. Es werden gleichzeitig (ohne Zurücklegen) n Kugeln gezogen. Die Zufallsvariable, welche das Ereignis beschreibt, dass unter den n Kugeln genau k rote sind, ist dann hypergeometrisch verteilt.
 
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses wird in diesem Fall wie folgt beschrieben:

Hypergeometrische Verteilung - Gleichung - 1

Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis mindestens, oder höchstens zu erwarten ist, z.B. P(X k) oder P(X k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet. Diese Verteilung wird hierbei beschrieben mit:

Hypergeometrische Verteilung - Gleichung - 2

Per Voreinstellung (ohne die Aktivierung des Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten) gibt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen die Wahrscheinlichkeit P(X=k) mit der dieses Ereignis genau k-mal eintritt, aus. Zudem werden die Wahrscheinlichkeiten ausgegeben, mit welchen das Auftreten dieses Ereignisses bis zu k-mal, oder höchstens k-mal eintritt F(X k).
 
Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten
 
MathProf - Hypergeometrisch - Wahrscheinlichkeit
 
Interessieren weitere Ereigniswahrscheinlichkeiten, wie
 
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis genau k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mindestens k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mehr als k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis weniger als k-mal eintritt
so können Sie sich auch diese ausgeben lassen, nachdem vor der Ausführung eines Klicks auf díe Schaltfläche Berechnen das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten aktiviert wurde. Hierbei gelten folgende Zusammenhänge:
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis genau k-mal eintritt:

F(0) für k = 0
F(k) - F(k-1) für k 1
 
Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mindestens k-mal eintritt:
 
1 für k = 0
1 - F(k-1) für k 1
 
Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mehr als k-mal eintritt: 1 - F(k)

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis weniger als k-mal eintritt: F(k-1)
 
Berechnung und Darstellung
 
MathProf - Hypergeometrisch - Dichte
MathProf - Hypergeometrische Verteilung - Diagramm

Um Berechnungen durchführen zu lassen und derartige Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

  1. Legen Sie im Eingabefeld Losumfang N den Losumfang fest, definieren Sie die Anzahl bestimmter Einheiten in Stichprobe d und geben Sie den Wert für den Umfang der Stichprobe n ein.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und ist das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten deaktiviert, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X=k), sowie für die Verteilung F(X k) für k = 1...x in den Tabellen ausgegeben.

    Möchten Sie sich alle Arten berechenbarer Ereigniswahrscheinlichkeiten ausgeben lassen, so aktivieren Sie vor Durchführung der Berechnung das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten. Die in Tabelle p2 aufgelisteten Ereigniswahrscheinlichkeiten entsprechen den, auf dem Hauptformular des Unterprogramms in Tabelle Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X=k), angezeigten Wahrscheinlichkeitswerten.
     
  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.
Bedienformular

MathProf - Hypergeometrisch - Dichte
 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 
  • Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
  • Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
  • Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
  • Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
  • Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten
Allgemein
 
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
 
Weitere Themenbereiche
 
 
Beispiele

Beispiel 1:

Es ist zu ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei der Ziehung der Lottozahlen 6 aus 49 genau 4, 5 oder 6 Richtige erzielt werden können.

Vorgehensweise und Lösung:

Es sind festzulegen:
 
Losumfang: N = 49
Anzahl best. Einheiten in Stichprobe: d = 6
Umfang der Stichprobe: n = 6
 
Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 entnommen werden:
 
Wahrscheinlichkeit genau 4 Richtige zu haben F(4) - F(3): 0,00096862
Wahrscheinlichkeit genau 5 Richtige zu haben F(5) - F(4): 0,00001845
Wahrscheinlichkeit genau 6 Richtige zu haben F(6) - F(5): 0,00000007
 
Da es sich um Wahrscheinlichkeiten handelt mit welchen ein Ereignis genau k-mal eintritt, gilt mit F(k) - F(k-1) für k 1:
 
F(4) - F(4-1) = F(4) - F(3)
F(5) - F(5-1) = F(5) - F(4)
F(6) - F(6-1) = F(6) - F(5)
 
Aus anderen Tabellen können z.B. die Wahrscheinlichkeiten hierfür entnommen werden, höchstens 4, 5, oder 6 Richtige zu erzielen.

Beispiel 2:

Aus einer Urne, welche 40 Kugeln enthält, wovon 12 die Farbe rot besitzen, werden 6 Kugeln gleichzeitig gezogen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

Es sind festzulegen:
 
Losumfang: N = 40
Anzahl best. Einheiten in Stichprobe: d = 12
Umfang der Stichprobe: n = 6
 
Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p3 entnommen werden:

Die Wahrscheinlichkeiten, dass sich in der Stichprobe mindestens 0, 1, ... 6 rote Kugeln befinden, sind:
 
0 Kugeln : F(0) = 0,09815078
1 Kugel : 1-F(0) = 0,90184922
2 Kugeln : 1-F(1) = 0,59459459
3 Kugeln : 1-F(2) = 0,24253201
4 Kugeln : 1-F(3) = 0,05476529
5 Kugeln : 1-F(4) = 0,00601816