MathProf - Analysis - Mathematik für Schüler, Lehrer, Studenten, Ingenieure und 

Wissenschaftler
 
MathProf - Kurzbeschreibung einzelner Module zum 

Fachthema Analysis

Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzbeschreibungen zu
einigen Modulen, die im Programm MathProf 5.0 unter dem
Hauptmenüpunkt
Analysis implementiert sind.


•  Mathematische Funktionen I

Gleichzeitige grafische Darstellung der Kurven von bis zu acht mathematischen Funktionen der Form y = f(x,p). Eine interaktive Durchführung von Koordinatenwertanalysen wird ebenfalls ermöglicht.
 
Kurven mathematischer Funktionen I - Bild 1     Kurven mathematischer Funktionen I - Bild 2

Kurven mathematischer Funktionen I - Bild 3     Kurven mathematischer Funktionen I - Bild 4
 
Kurven mathematischer Funktionen I - Bild 5     Mathematische Funktionen I - Bild 6

•  Mathematische Funktionen II

Durchführung von Untersuchungen mit Optionen mathematischer Funktionen in expliziter Form. Ermöglicht wird die Darstellung und Analyse der:
 
  • Funktion f(x,p)
  • 1. Ableitung f'(x,p) von f(x,p)
  • 2. Ableitung f''(x,p) von f(x,p))
  • Umkehrfunktion (Umkehrkurve) fu(x,p) von f(x,p)
  • Krümmungskurve fk(x,p) von f(x,p)
  • Spiegelung von f(x,p) an der y-Achse → f(-x,p)
  • Spiegelung von f(x,p) an der x-Achse → -f(x,p)
  • Spiegelung von f(x,p) am Koordinatenursprung → -f(-x,p)
  • doppelten Anwendung der Funktionsargumente auf Funktion f(x,p) → f(f(x,p))
  • Stammfunktion F(x) von f(x) mit Konstantenwert C = 0
  • Evolute fe(x) von f(x)
  • Funktion g(x,p)
  • 1. Ableitung g'(x,p) von g(x,p)
  • 2. Ableitung g''(x,p) von g(x,p))
  • Umkehrfunktion (Umkehrkurve) gu(x,p) von g(x,p)
  • Krümmungskurve gk(x,p) von g(x,p)
  • Spiegelung von g(x,p) an der y-Achse → g(-x,p)
  • Spiegelung von g(x,p) an der x-Achse → -g(x,p)
  • Spiegelung von g(x,p) am Koordinatenursprung → -g(-x,p)
  • doppelten Anwendung der Funktionsargumente auf Funktion g(x,p) → g(g(x,p))
  • Stammfunktion G(x) von g(x) mit Konstantenwert C = 0
  • Evolute ge(x) von g(x)

Ferner können Funktionsverknüpfungen folgender Formen ausgegeben werden:
 
  • Addition zweier Funktionen: f(x,p) + g(x,p)
  • Subtraktion zweier Funktionen: f(x,p) - g(x,p)
  • Multiplikation zweier Funktionen: f(x,p) · g(x,p)
  • Division zweier Funktionen: f(x,p) / g(x,p)
Die Möglichkeit zur Durchführung interaktiver Kurvenverlaufsanalysen und zur Abtastung von Koordinatenwerten ausgegebener Kurven besteht ebenfalls.
 
 
Mathematische Funktionen II - Bild 5     Mathematische Funktionen II - Bild 6
Mathematische Funktionen II - Bild 7     Mathematische Funktionen II - Bild 8

•  Funktionen in Parameterform (Parameterkurven - Parameterdarstellung von Funktionen)

Gleichzeitige grafische Darstellung und Untersuchung der Kurven von bis zu drei Funktionen, welche in Parameterform durch Terme der Form x = f(k,p) und y = f(k,p) definiert sind.
  • Darstellung der Kurven von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)
  • Darstellung der 1. Ableitung von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)
  • Ortspunktanalyse von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)
  • Kurvenverlaufsanalyse von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)

Parameterdarstellung von Funktionen - Bild 1    Parameterdarstellung von Funktionen - Bild 2

Parameterdarstellung von Funktionen - Bild 3    Parameterdarstellung von Funktionen - Bild 4

Parameterdarstellung von Funktionen - Bild 5    Parameterdarstellung von Funktionen - Bild 6

•  Funktionen in Polarform (Polarkurven - Funktionen in Polarkoordinaten)

Gleichzeitige grafische Darstellung und Untersuchung der Kurven von bis zu drei Funktionen die in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p), definiert sind (Darstellung von Kurven in Polarform).
  • Darstellung der Kurven von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)
  • Darstellung der 1. Ableitung von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)
  • Ortspunktanalyse von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)
  • Kurvenverlaufsanalyse von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)
Darstellung von Funktionen in Polarkoordinaten - Bild 1    Darstellung von Funktionen in Polarkoordinaten - Bild 2

Darstellung von Funktionen in Polarkoordinaten - Bild 3    Darstellung von Funktionen in Polarkoordinaten - Bild 4

Darstellung von Funktionen in Polarkoordinaten - Bild 5    Darstellung von Funktionen in Polarkoordinaten - Bild 6

•  Segmentweise (teilweise bzw. abschnittweise) definierte Funktionen

Darstellung von Kurven der Form y = f(x,p), welche über ihren gesamten Definitionsbereich hinweg durch mehrere Funktionen beschrieben werden (Kurven teilweise bzw. abschnittweise definierter Funktionen).

•  Kurvenscharen

Plotten von Kurvenscharen mathematischer Funktionen verschiedener Definitionsformen mit Parametern. Das Programm ermöglicht hierbei die grafische Ausgabe und Analyse von Kurvenscharen folgender Arten:
  • Kurvenschar, beschrieben durch Funktionen in expliziter Form mit y = f(x,u,p)
  • Kurvenschar, beschrieben durch Funktionen in Parameterform mit x = f(k,u,p) und y = g(k,u,p)
  • Kurvenschar, beschrieben durch Funktionen in Polarform mit r = f(w,u,p) bzw. r = f(φ,u,p)

Kurvenscharen - Bild 1    Kurvenscharen - Bild 2

Kurvenscharen - Bild 3    Kurvenscharen - Bild 4

Kurvenscharen - Bild 5    Kurvenscharen - Bild 6

•  Funktionsparameteranalyse

Untersuchung des Verhaltens mathematischer Funktionen in Abhängigkeit von bis zu drei Parametern. Analysen von Parametern können mit Funktionen einer der nachfolgend aufgeführten Art durchgeführt werden:
  • Funktionen in expliziter Form, beschrieben durch Terme der Form y = f(x,u,v,p)
  • Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,u,v,p) und y = g(k,u,v,p)
  • Funktionen in Polarform, beschrieben durch Terme der Form r = f(w,u,v,p) bzw. r = f(φ,u,v,p)

Analyse von Funktionsparametern - Bild 3    Analyse von Funktionsparametern - Bild 4

Analyse von Funktionsparametern - Bild 5    Analyse von Funktionsparametern - Bild 6

•  Funktionsschnittpunkte (Schnittpunkte zweier Funktionen)

Numerische Ermittlung und grafische Darstellung der Schnittpunkte zweier Funktionen, welche in expliziter Form definiert sind. Es werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
  • Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Funktionen der Formen y1 = f1(x) und y2 = f2(x)
  • Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten dieser Funktionen
  • Eigenschaften der Krümmungskreise der Funktionen, welche durch diese Schnittpunkte verlaufen

•  Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion

Grafische Untersuchung des Einflusses von Parametern auf Sinus- und Cosinusfunktionen. Eine Veränderung entsprechender Parameter beeinflusst/bewirkt:
  • Streckung bzw. Stauchung der Funktion in y-Richtung
  • Änderung der Länge der kleinsten Periode der Funktion
  • Verschiebung der Funktion in x-Richtung
  • Verschiebung der Funktion in y-Richtung

•  Kubische Funktion in allgemeiner Form

Untersuchungen mit kubischen Funktionen der Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Zudem erfolgt die Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der entsprechenden Funktion sowie die Darstellung derer 1. und 2. Ableitung.
 

•  Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen

Reelle Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich eine Gesamt- bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen. In diesem Modul besteht die Möglichkeit eine, oder zwei Zahlenfolgen gemeinsam ausgeben zu lassen und zu untersuchen. Hierzu wird u.a. eine Tabelle für die Glieder, Werte und Partialsummen der zu untersuchenden Zahlenfolge zur Verfügung gestellt. Zudem erfolgt die Ermittlung des Grenzwerts der entsprechenden Zahlenfolge. Rekursive Zahlenfolgen können auf ähnliche Art und Weise analysiert und dargestellt werden. 

Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen - Bild 1    Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen - Bild 

2

Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen - Bild 3
    Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen - Bild 4

•  Parabelgleichungen

Interaktive, detaillierte Untersuchung quadratischer Funktionen (Parabeln). Das Programm ermöglicht die Durchführung von Analysen mit derartigen Funktionen folgender Darstellungsformen:
  • Allgemeine Form
  • Normalform
  • Scheitelpunktform
  • Nullstellen-Form
  • 3-Punkte-Form
  • Parameterdarstellung
  • Allgemeine Gleichung (Hauptform)
Es können u.a. folgende Untersuchungen durchgeführt werden:
  • Ermittlung der Schnittpunkte zweier Funktionen (Parabeln und Geraden)
  • Ermittlung der von zwei Parabeln eingeschlossenen Fläche
Zudem werden folgende Eigenschaften von Geraden und Parabeln ermittelt und ausgegeben:
  • Gleichungen der Funktionen
  • Parameter p und q, sowie Diskriminante von Parabeln
  • Nullstellen der Parabeln bzw. Geraden
  • Scheitelpunkte von Parabeln

Parabelgleichungen - Bild 1    Parabelgleichungen - Bild 2

Parabelgleichungen - Bild 3    Parabelgleichungen - Bild 4

Parabelgleichungen - Bild 5
    Parabelgleichungen - Bild 6

•  Parabel und Gerade

Durchführung von Analysen mit quadratischen Funktionen folgender Darstellungsformen:
 
  • Allgemeine Form
  • Normalform
  • Scheitelpunktform
  • Nullstellen-Form
  • 3-Punkte-Form
  • Parameterdarstellung
  • Allgemeine Gleichung (Hauptform)
Geraden können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:
  • Steigungs-Form
  • Zwei-Punkte-Form
  • Hessesche Normalenform
  • Allgemeine Form
Zusätzlich werden folgende Eigenschaften der Geraden und Parabeln ermittelt und ausgegeben:
  • Funktionsgleichungen der Parabeln und Geraden
  • Parameter p und q, sowie Diskriminante der Parabeln
  • Nullstellen der Parabeln und Geraden
  • Scheitelpunkte der Parabeln

•  Analyse quadratischer Funktionen

Untersuchung einer quadratischen Funktion der Form f(x) = a (x - b)² + c. Eine Veränderung entsprechender Parameter beeinflusst/bewirkt:
  • Streckung bzw. Stauchung der Parabel
  • Verschiebung der Funktion in x-Richtung
  • Verschiebung der Funktion in y-Richtung

•  Ermittlung ganzrationaler Funktionen

Bestimmung der Gleichungen ganzrationaler Funktionen aus vorgegebenen Bedingungen. Gestellte Bedingungen können sein:
  • Vorgabe der Koeffizienten a[i] der zu ermittelnden Funktionsgleichung
  • Punkte, durch welche die zu ermittelnde Funktion verläuft
  • Punkte, durch welche die 1. Ableitung der zu ermittelnden Funktion verläuft
  • Punkte, durch welche die 1. Ableitung der zu ermittelnden Funktion verläuft
Auch erfolgt die Ausgabe der 1., 2. und 3. Ableitung, sowie einer Stammfunktion der ermittelten Kurve.

•  Ganzrationale Funktionen - Interaktiv

Es können ein oder zwei Polynome A(x) und B(x) bis 7. Grades interaktiv untersucht und dargestellt werden. Hierbei werden u.a. ermittelt und ausgegeben:
  • Produkt der Polynome A(x) und B(x)
  • Quotient der Polynome A(x) und B(x)
  • Restpolynom bei Division der Polynome A(x) und B(x)
  • Summe der Polynome A(x) und B(x)
Zudem können dargestellt werden:
  • 1. Ableitung des Polynoms A(x)
  • 1. Ableitung des Polynoms B(x)
  • 1. Ableitung des Produkts der Polynome A(x) · B(x)
  • 1. Ableitung des Quotienten der Polynome A(x) / B(x)
  • 1. Ableitung des Restpolynoms nach Division der Polynome A(x) / B(x)
  • 1. Ableitung der Summe der Polynome A(x) + B(x)
  • 2. Ableitung des Polynoms A(x)
  • 2. Ableitung des Polynoms B(x)
  • 2. Ableitung des Produkts der Polynome A(x) · B(x)

•  Gebrochenrationale Funktionen

Durchführung von Untersuchungen mit echt gebrochenrationalen Funktionen. Es lassen sich ermitteln und ausgeben:
 
  • Gebrochenrationale Funktion f(x)
  • Teilfunktionen g1(x) und g2(x) der Funktion f(x)
  • 1. Ableitung der Funktion f(x)
  • 2. Ableitung der Funktion f(x)
  • Polgerade der Funktion f(x)
  • Asymptote der Funktion f(x)
Zudem werden ermittelt:
  • Gleichung der Asymptote (Hüllkurve) der Funktion f(x)
  • Nullstellen und Pole der Funktion f(x)
  • Extremwerte der Funktion f(x)
  • Wendepunkte der Funktion f(x)

•  Interpolation nach Newton und Lagrange

Interaktive Ermittlung von Interpolationspolynomen nach den Methoden von Newton und Lagrange. Das Programm versucht aus bis zu 100 vorgegebenen Stützstellen interpolativ eine ganzrationale Funktion zu ermitteln, die näherungsweise durch diese verläuft. Zudem kann die Durchführung einer Kurvendiskussion für die ermittelte Funktion veranlasst werden. Hierbei werden Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, sowie Wendepunkte der ermittelten Näherungsfunktion ausgegeben.

•  Polynomregression

Auffindung von Näherungspolynomen bis 8. Grades, welche durch mindestens 3 und maximal 8 Stützstellen beschrieben werden. Zudem kann die Durchführung einer Kurvendiskussion für das ermittelte Näherungspolynomen veranlasst werden. Hierbei werden Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, sowie Wendepunkte der ermittelten Näherungsfunktion ausgegeben.

•  Nullstellen - Iterationsverfahren

Interaktive Analyse von Methoden, die bei der Nullstellenbestimmung mathematischer Funktionen Anwendung finden. Es können folgende Verfahren untersucht werden:
 
  • Regula falsi 1. Art
  • Regula falsi 2. Art
  • Allgemeines Iterationsverfahren
  • Newton-Verfahren
  • Vereinfachtes Newton-Verfahren
  • Intervallhalbierungsverfahren

Nullstellen - Iterationsverfahren - Bild 1    Nullstellen - Iterationsverfahren - Bild 2  

•  Horner-Schema

Numerische Anwendung des Horner-Schemas mit ganzrationalen Funktionen bis 6. Grades, welches u.a. zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen Anwendung findet. Darstellung der untersuchten Funktion, sowie derer Ableitungen.

•  Tangente - Normale

Ermittlung der Tangente und Normale einer Funktion y = f(x,p) bei einem bestimmten Abszissenwert Px bzw. Qx. U.a. werden ermittelt und ausgegeben:
  • Funktionswert an Stelle Px (Qx)
  • Steigungswinkel der Tangente in Punkt P (Q)
  • Funktionswert der 1. Ableitung der Funktion in Punkt P (Q)
  • Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente
  • Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente
  • Steigungswinkel der Normale in Punkt P (Q)
  • Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normal
  • Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale
  • Eigenschaften des durch Punkt P (Q) verlaufenden Krümmungskreises
  • Krümmung der Kurve in Punkt P (Q)

Tangente-Normale - Bild 1    Tangente-Normale - Bild 2

Tangente-Normale - Bild 3    Tangente-Normale - Bild 4

•  Tangente - Sekante

Analyse der Herleitung der Differentialrechnung anhand des 'Sekantenproblems'. Für zwei auf einer Funktionskurve f(x) liegende Punkte P und Q wird ermittelt:
  • Funktionswerte an den Stellen Px und Qx
  • Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante
  • Steigungswinkel der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante
  • Gleichung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante
  • Abstand der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante
Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden zudem angezeigt:
  • Steigung der durch Punkt P verlaufenden Tangente
  • Steigungswinkel der durch Punkt P verlaufenden Tangente
  • Gleichung der durch Punkt P verlaufenden Tangente

Tangente-Sekante - Bild 1    Tangente-Sekante - Bild 2

Tangente-Sekante - Bild 3    Tangente-Sekante - Bild 4

•  Tangente und Normale von externem Punkt

Ermittlung von Tangenten und Normalen an Kurven, welche durch einen, extern dieser liegenden, Punkt verlaufen. Das Programm ermittelt hierbei die, durch einen von der Kurve extern liegenden Punkt verlaufenden Tangenten an diese und gibt folgendes aus:
  • Gleichungen der Tangenten an eine Kurve, die durch einen extern liegenden Punkt, sowie einen auf der Kurve liegenden Punkt verlaufen
  • Tangentenpunkte der Kurve, durch welche zuvor aufgeführte Tangenten verlaufen
  • Steigungswinkel zuvor aufgeführter Tangenten
  • Gleichungen der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen
  • Steigungswinkel der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen

•  Kurvendiskussion

Durchführung von Kurvendiskussionen mit mathematischen Funktionen. Das Programm untersucht diese hierbei auf folgende Punkte und Eigenschaften:
  • Nullstellen
  • Pole
  • Extrema (Hochpunkte und Tiefpunkte)
  • Wendepunkte
Zusätzlich werden ausgegeben:
  • Eigenschaften der Funktion
  • Koordinaten des Schnittpunkts der Kurve mit der Y-Achse
  • Tangentensteigung in ermittelten Kurvenpunkten
  • Gleichungen der Tangenten und Normalen in ermittelten Kurvenpunkten
  • Art der Krümmung an ermittelten Kurvenpunkten
  • Eigenschaften der durch Extrema und Nullstellen verlaufenden Krümmungskreise
Grafisch darstellen lassen sich
  • Untersuchte Funktion f(x)
  • 1. Ableitung f'(x) der untersuchten Funktion f(x)
  • 2. Ableitung f''(x) der untersuchten Funktion f(x)
  • 3. Ableitung f'''(x) der untersuchten Funktion f(x)
  • Polstellen der untersuchten Funktion f(x)
  • Tangenten in Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkten der untersuchten Funktion f(x)
  • Normalen in Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der untersuchten Funktion f(x)
  • Krümmungskreise durch Nullstellen und Extrempunkte der untersuchten Funktion f(x)

Kurvendiskussion - Bild 1    Kurvendiskussion - Bild 2

Kurvendiskussion - Bild 3
    Kurvendiskussion - Bild 4

Kurvendiskussion - Bild 5
    Kurvendiskussion - Bild 6

•  Obersummen und Untersummen

Untersuchung expliziter Funktionen bzgl. Ober- und Untersummen innerhalb eines frei wählbaren Intervallbereichs, in Abhängigkeit einer festlegbaren Anzahl von Stützstellen. Es werden die Berechnungsergebnisse folgender Werte ausgegeben:
  • Obersumme
  • Untersumme
  • Mittelwert (von Ober- u. Untersumme)
  • Fehlerintervall (Differenz Ober- / Untersumme)
  • Fläche orientiert (Der exakte Wert des Integrals zwischen den Grenzen x1 und x2, mit welchem die Berechnungsergebnisse verglichen werden können)

Obersummen - Untersummen - Bild 1    Obersummen - Untersummen - Bild 2

Obersummen - Untersummen - Bild 3    Obersummen - Untersummen - Bild 4

Obersummen - Untersummen - Bild 5    Obersummen - Untersummen - Bild 6

•  Integrationsmethoden

Gegenüberstellung und Untersuchung verschiedener Integrationsmethoden, sowohl numerisch, wie auch grafisch. Es stehen zur Auswahl:
  • Simpson-Methode
  • Rechteck-Methode
  • Trapez-Methode
Zur numerischen Ermittlung von Integralen werden folgende Verfahren zur Verfügung gestellt.
  • Rechteckregel (Obersummen)
  • Rechteckregel (Untersummen)
  • Trapezregel
  • Simpson-Verfahren
  • 3/8-Regel
  • 4. Newton-Cotes-Formel
  • 5. Newton-Cotes-Formel
  • 6. Newton-Cotes-Formel
  • 7. Newton-Cotes-Formel
  • Tschebychow-Verfahren
  • Gauß-Quadratur

Integrationsmethoden - Bild 1    Integrationsmethoden - Bild 2
 
•  Integralrechnung
 

Integralberechnungen mit Funktionen, die in expliziter Form, in Parameterform oder in Polarform gegeben sind. Es stehen prinzipiell zur Verfügung:
  • Integralberechnungen mit Funktionen in expliziter Form, beschrieben durch einen Term der Form y = f(x)
  • Integralberechnungen mit Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k) und y = g(k)
  • Integralberechnungen mit Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w) bzw. r = f(φ)
Für Funktionen in expliziter Form ermittelt das Programm u.a.:
  • Fläche orientiert A(o)
  • Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse (bestimmtes Integral)
  • Fläche absolut A(a)
  • Betrag der Fläche, unabhängig davon ob Flächensegmente sich oberhalb oder unterhalb der Abszissenachse befinden
  • Bogenlänge s der Kurve
  • Schwerpunktkoordinaten der Kurve
  • Schwerpunktkoordinaten des Flächensegments
  • Volumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse des entstehenden Körpers, wenn Fläche unterhalb der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird
  • Mantelfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks

Synonymes gilt für Kurven, welche in Parameterform oder Polarform beschrieben werden.

Integralrechnung - Bild 1    Integralrechnung - Bild 2

Integralrechnung - Bild 3    Integralrechnung - Bild 4

Integralrechnung - Bild 5    Integralrechnung - Bild 6

Integralrechnung - Bild 7    Integralrechnung - Bild 8
 
•  Zykloide, Epizykloide, Hypozykloide

Rollt ein Kreis auf einer Geraden ab, so beschreibt ein fester Punkt der Kreislinie eine gewöhnliche Zykloide. Rollt ein Kreis auf einem zweiten Kreis außen ab, so beschreibt ein fester Punkt der Kreislinie eine gewöhnliche Epizykloide. Rollt ein Kreis auf einem zweiten Kreis innen ab, so beschreibt ein fester Punkt der Kreislinie eine gewöhnliche Hypozykloide. In diesem Modul können die als Rollkurven bezeichneten Funktionen der o.a. Arten dargestellt sowie die Herleitung derer interaktiv untersucht werden.
 
Zykloide - Epizykloide - Hypozykloide - Bild 1    Zykloide - Epizykloide - Hypozykloide - Bild 2

Zykloide - Epizykloide - Hypozykloide - Bild 3
    Zykloide - Epizykloide - Hypozykloide - Bild 4

•  Strophoide - Kartesisches Blatt

Interaktive Untersuchung der Konstruktion einer Strophoide bzw. eines kartesischen Blatts. Eine Strophoide ist eine spezielle ebene algebraische Kurve 3. Ordnung.

•  Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale

Eine Archimedische Spirale entsteht, wenn eine Halbgerade mit Anfangspunkt 0 gleichförmig um diesen gedreht wird und sich gleichzeitig ein Punkt P auf dieser Geraden gleichförmig von 0 aus bewegt. Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt um den gleichen Faktor vergrößert. In diesem Fall ist der Winkel, den die Tangente der Spirale mit den Radialstrahlen einschließt, konstant. Sachverhalte zu diesen Themengebieten können in diesem Unterprogrammen analysiert werden.
 
Archimedische und logarithmische Spirale - Bild 1    Archimedische und logarithmische Spirale - Bild 2  

•  Fourier-Reihen

Untersuchungen zum Fachthema Fourier-Reihen. Das Programm erlaubt es, Fourier-Reihen von definierbaren Funktionen entwickeln zu lassen. Es ermittelt hierbei die reellen und imaginären Fourierkoeffizienten, gibt diese aus und stellt die entsprechenden Kurven dar.

Fourier-Reihen - Bild 1    Fourier-Reihen - Bild 2

Fourier-Reihen - Bild 3
    Fourier-Reihen - Bild 4

•  Taylorreihen und Potenzreihen

Durchführung der Näherung mathematischer Funktionen durch ganzrationale Funktionen mit Hilfe von Taylor-Reihen. Dieses Unterprogramm versucht Näherungsfunktionen (Potenzreihen) für eine mathematische Funktion an einer frei definierbaren Entwicklungsstelle zu finden und stellt diese dar.

•  Implizite Funktionen (Kurven implizit definierter Funktionen)

Darstellung der Kurven implizit definierter Funktionen vom Typ f(x,y,p) = 0 bzw. f(x,y,p) = g(x,y,p) über einen wählbaren Ausgabebereich. Die Wertebereiche verwendeter Parameter sind frei festlegbar.

Implizite Funktionen - Bild 1    Implizite Funktionen - Bild 2

Implizite Funktionen - Bild 3
    Implizite Funktionen - Bild 4

Implizite Funktionen - Bild 5
    Implizite Funktionen - Bild 6