MathProf - Ortskurve - Komplex - Zeichnen - Plotter - Grafisch

Modul Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen

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Das Unterprogramm [Komplex] - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen ermöglicht die Darstellung von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen.

 

Die Ortskurve einer von einem reellwertigen Parameter k abhängigen komplexen Zahl z(k) = x(k) + iy(k) ist die Bahnkurve, die der zugehörige Zeiger z = z(k) in der Gaußschen Zahlenebene beschreibt, wenn der Parameter das Intervall [a,b] durchläuft (a £  k £  b). Derartige Ortskurven lassen sich auch durch die Parametergleichungen x = x(k), y = iy(k), sowie in Polarform beschreiben. Kurven dieser Art können in diesem Unterprogramm dargestellt und untersucht werden.
 
Hierbei stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung:
 

• Darstellung, Ortspunktanalyse und Kurvenverlaufsanalyse einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,p) = x(k,p) + iy(k,p) (kartesische Form)
• Darstellung, Ortspunktanalyse und Kurvenverlaufsanalyse einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen, beschrieben durch Terme der Form x = Re f(k,p) und y = Im g(k,p) (Parameterform)
• Darstellung, Ortspunktanalyse und Kurvenverlaufsanalyse einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k) (Polarform)

   
Kartesische Form:
 
z = f(k) = x(k) + iy(k)
 
Definitionsbeispiel:
 
z = f(k) = E^(1+2*PI*I*K)
 
Parameterform:
 

 
Definitionsbeispiel:
 

 
Polarform:
 
Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate j. Die Definition einer Ortskurve in Polarform kann erfolgen mit:
 
f(r,j) = r·cos(j) + ir·sin(j)

bzw. mit r = f(j)

z = f(j)·cos(j) + if(j)·sin(j)
 
Das Programm verwendet für den Winkel j den Buchstabe K. Eine Ortskurve in Polarform kann somit beschrieben werden durch:
 
z = f(k)·cos(k) + if(k)·sin(k)
 
bzw.
 

 
Zu definieren ist im Eingabefeld die Funktion f(k).
 
Definitionsbeispiel:
 
Auszugeben ist in Polarform:
 
f(j) = 2·sin(j)  mit -π £ j £ π
 
Zu definieren ist:
 
2*sin(k)
 
Dargestellt wird (in kartesischer Form):
 
z = 2·sin(k)·cos(k) + i2·sin(k)·sin(k)

bzw.

z =  2·sin(j)·cos(j) + i2·sin(j)·sin(j)
 
   
Um sich Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen verschiedener Darstellungsformen grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Wählen Sie durch eine Selektion eines Eintrags aus der dafür zur Verfügung stehenden Auswahlbox, in welcher Form die entsprechende Ortskurve zu definieren ist. Es stehen zur Auswahl:
   
   Kartesisch: -> Kurve der Form: z = f(k,p) = x(k,p) + iy(k,p)
   Parameterform: -> Kurve der Form: x = Re f(k,p) und y = Im g(k,p)
   Polarform: -> Kurve der Form: z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k)
    
2. Soll die Darstellung einer in kartesischer Form oder Polarform definierten Ortskurve ausgegeben werden, so definieren Sie die Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen z1 = f(k,p) =, z2 = f(k,p) = bzw. z3 = f(k,p) =.
   
   Um sich eine in Parameterform definierte Ortskurve ausgeben zu lassen, definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x1 =  Re f(k,p) =, y1 =  Im g(k,p) =, x2 =  Re f(k,p) =, y2 =  Im g(k,p) = bzw. x3 =  Re f(k,p) =, y3 =  Im g(k,p) =.
    
3. Legen Sie in den Eingabefeldern Parameter k von k1 = und bis k2 = die zur Darstellung der entsprechenden Funktion zu verwendenden Wertebereiche für Funktionsparameter K fest (voreingestellt: -π £ k £ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
4. Bestimmen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags unter Auflösung, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
    
5. Soll lediglich eine Darstellung der Kurven erfolgen, so wählen Sie unter Auswahl den Listeneintrag Standard. Möchten Sie hingegen eine Ortspunktanalyse mit Kurven durchführen lassen, so selektieren Sie den Eintrag Punkt. Um eine Kurvenverlaufsanalyse zu ermöglichen, wählen Sie Kurve zeichnen.
    
6. Wurden Funktionsterme, gemäß den geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen in den entsprechenden Eingabefeldern formuliert, so werden die Kurven nach Betätigen des Schalters Darstellen ausgegeben.
    
7. Wird eine Ortspunktanalyse durchgeführt, so benutzen Sie den Schieberegler Parameter K, um die Ortspunktkoordinaten der dargestellten Kurven in Abhängigkeit vom Funktionsparameter K ermitteln zu lassen.
    
   Wurde die Durchführung einer Kurvenverlaufsanalyse gewählt, so legen Sie den Wertebereich über welchen die Kurve darzustellen ist, ebenfalls durch die Positionierung des Rollbalkens Parameter k fest.
   
   Der Parameter K durchläuft in beiden Fällen den Wertebereich, welcher auf dem Eingabeformular, in den zu oberst angeordneten Feldern festgelegt wurde.
    
8. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des reellwertigen Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:
Bei der Aktivierung mehrerer Kontrollkästchen auf dem Hauptformular, und somit der gleichzeitigen Darstellung und Analyse mehrerer Kurven, verwendet das Programm für alle dargestellten Kurven für den Parameter K stets dieselben Werte (Parameter k von k1 = und bis k2 =). Es sind dies die, welche in den zu oberst angeordneten Feldern (unter  Funktion 1 bzw. Funktionsterme 1) definiert wurden. Zudem sind die Kontrollkästchen in der Reihenfolge von oben nach unten zu aktivieren. Eingabewerte zur Definition des Bereichs für Parameter K in den Formularbereichen Funktionsterme 2 bzw. Funktionsterme 3 werden ignoriert.
 
Um sich in Polarform definierte Kurven in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   
Wurden Funktionsterme erstellt, von welchen mindestens einer das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend gezeigten Bedienformulare zur Verfügung gestellt.
 

 

 
Enthält keiner der erstellten Funktionsterme das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters und wird eine Ortspunktanalyse oder eine Kurvenverlaufsanalyse durchgeführt, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 

 
Auf diesem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkt: Beschriftung von Ortspunkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige von Kurvenpunkten ein-/ausschalten
• Parameter k: Anzeige der Werte für Funktionsparameter K ein-/ausschalten

   
Das Speichern und Laden von Darstellungen wird nur ermöglicht, wenn unter Auswahl der Eintrag Standard selektiert ist. Ist Eintrag Punkt oder Kurve zeichnen aktiviert, können Darstellungen nicht gespeichert bzw. geladen werden.

Eine Anleitung zur Durchführung von Kurvenpunktmarkierungen finden Sie unter Kurvenpunktmarkierung.
   
Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Optionen - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Optionen - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.
   
Kurvenscharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D)
Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D)
   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Beispiel 1 - Kartesische Form:
 
Um sich eine Ortskurve über einen Parameterwertebereich 0 £ k £ 1 ausgeben zu lassen, welche durch den Funktionsterm z = f(k) = e^{(1+2·p·i·k)}+5·i+5 beschrieben wird, selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag Kartesische Form. Danach definieren Sie den Term E^(1+2*PI*I*K)+5*I+5 im Eingabefeld z1 = f1(k,p) = und aktivieren das zugehörige Kontrollkästchen.
 
Legen Sie den Wertebereich 0 £ k £ 1 durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 2 - Parameterform:
 
Es ist eine Ortskurve darzustellen, welche durch die folgenden Terme beschrieben wird:
 
x = Re f(k) = 4·sin(5·k)·cos(i+k)
y = Im g(k) = 9·cos(k)-9·cos(i+k)
 
Der Parameterwertebereich der Kurve sei 0 £ k £ 2π.
 
Vorgehensweise:
 
Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag Parameterform.
 
Hierauf definieren Sie die Terme 4*SIN(5*K)*COS(I+K) und 9*COS(K)-9*COS(I+K) in den  Eingabefeldern x1 = Re f(k,p) = und y1 = Im g(k,p) = und aktivieren das zugehörige Kontrollkästchen.
 
Legen Sie den Wertebereich durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 3 - Polarform:
 
Es gilt, sich die Kurve ausgeben zu lassen, welche in Polarform über einen Winkelwertebereich -π £ j £ π beschrieben wird, mit z = f(j) = 3·(j+2·i)·cos(j)². Der zu definierende Term für f(k) lautet somit: 3*(K+2*I)*COS(K)^2 (Variable k beschreibt in diesem Fall den Winkel j, siehe o.a. Hinweis).
 
Vorgehensweise:
 
Aus der oben angeordneten aufklappbaren Auswahlbox wird der Eintrag Polarform gewählt und das zugehörige Kontrollkästchen aktiviert.
 
Nach einer Festlegung des Funktionsterms im Feld z1 = f1(k,p) =, der Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist) und einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen, stellt das Programm die Kurve dar.
 
Beispiel 4 - Funktionsparameter:
 
Eine Ortskurve z = f(k,p) = 2·(p+sin(i+k)³)+sin(p+i) sei über einen Parameterwertebereich 0 £ k £ 2π hinweg definiert. Es gilt, das Verhalten dieser in Abhängigkeit vom reellwertigen Parameter P zu untersuchen.
 
Vorgehensweise:
 
Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag Kartesische Form. Hierauf definieren Sie den Term 2*(P+SIN(I+K)^3)+SIN(P+I) im Eingabefeld z1 = f1(k,p) = und aktivieren das zugehörige Kontrollkästchen.
 
Legen Sie den Wertebereich durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Das Programm hat automatisch erkannt, dass es sich um eine Funktion handelt, welche den reellwertigen Parameter P enthält und stellt diese zu Anfang mit dem voreingestellten Parameterwert -5 dar. Durch die schrittweise Positionierung des vorhandenen Schiebereglers Parameter P wird bei einem voreingestellten Parameterwertebereich von -5 bis 5 und einer Schrittweite für den Parameter von 0,1 aufeinanderfolgend die Darstellung folgender Funktionen ausgegeben:
 
z = f(k,p) = 2·(-5+sin(i+k)³)+sin(-5+i)
z = f(k,p) = 2·(-4,9+sin(i+k)³)+sin(-4,9+i)
z = f(k,p) = 2·(-4,8+sin(i+k)³)+sin(-4,8+i)
z = f(k,p) = 2·(-4,7+sin(i+k)³)+sin(-4,7+i)
.
.
.
usw.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8

 
Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion
Wikipedia - Komplexwertige Funktion

  

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D)  - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

Startfenster des Unterprogramms Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Mathematische Funktionen II

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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