MathProf - Stichproben - Verteilungen

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Stichproben – Verteilungen

 

Im Unterprogramm [Stochastik] - [Stichproben] - Verteilungen können Untersuchungen mit Stichproben bzgl. derer Konfidenzintervalle durchgeführt werden.

 

MathProf - Stichproben - Verteilungen

 

Das Modul ermöglicht die Ermittlung von Vertrauensgrenzen bzw. Vertrauensbereichen beim Vorliegen von Daten aus Stichproben, wenn Sachverhalte folgender Art gegeben sind:
 

  • Normalverteilung - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt)

  • Normalverteilung - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt)

  • Normalverteilung - Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt)

  • Binomialverteilung

  • Poissonverteilung

Normalverteilung

 

Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt)

 

Ist die Standardabweichung von Daten bekannt, so können die Vertrauensgrenzen für den Mittelwert μ (dieser trägt auf dem Formular die Bezeichnung x) zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α folgendermaßen errechnet werden:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 1

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 2

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 3

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Mittelwert, Standardabweichung sowie dem Umfang der Grundgesamtheit benötigt.

 

Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt)

 

Ist die Standardabweichung von Daten nicht bekannt, so lassen sich die Vertrauensgrenzen für den Mittelwert μ (dieser trägt auf dem Formular die Bezeichnung x) zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α durch folgende Zusammenhänge bestimmen:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 4

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 5

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 6

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Mittelwert, Standardabweichung und Umfang der Stichprobe benötigt.

 

Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt)

 

Ist die Standardabweichung s von Daten nicht bekannt, so können, analog zum Mittelwert, auch die Vertrauensgrenzen für die Varianz zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α folgendermaßen bestimmt werden:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 7

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 8

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 9

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Standardabweichung und Umfang der Stichprobe benötigt.

 

Binomialverteilung

 

Liegt eine Binomialverteilung vor, so können die Vertrauensgrenzen p zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α wie nachfolgend aufgeführt errechnet werden:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 10

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 11

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 12

 

mit:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 13

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 14

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Losgröße und Umfang der Stichprobe benötigt.

 

Poissonverteilung

 

Liegt eine Poissonverteilung vor, so lassen sich die Vertrauensgrenzen p zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α wie folgt ermitteln:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 15

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 16

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 17

 

mit:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 18

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 19

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zum Umfang der Stichprobe benötigt.

 

Berechnung

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um die Vertrauensgrenzen bzw. Vertrauensbereiche beim Vorliegen von Stichprobenergebnissen o.a. Fälle ermitteln zu lassen.
 

  1. Selektieren Sie das Registerblatt Normalverteilung bzw. Binomial- und Poissonverteilung und aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter.
     

  2. Geben Sie die benötigten Daten in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     

  3. Legen Sie durch die Eingabe eines relevanten Zahlenwerts (zwischen 0,001 und 99,999) in das Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit den Wert für die Vertrauenswahrscheinlichkeit α fest (in %).
     

  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig bzw. Zweiseitig die Art des durchzuführenden Tests.
     

  5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm die entsprechenden Vertrauensgrenzen (Vertrauensbereiche) und gibt diese aus.

Hinweise

 

Möchten Sie derartige Untersuchungen mit konkret vorliegenden (normalverteilten) Messdaten durchführen, so verwenden Sie das Unterprogramm Statistische Messwertanalyse um Mittelwerte und Standardabweichungen bestimmen zu lassen und benutzen anschließend dieses Modul um Vertrauensgrenzen bzw. Vertrauensbereiche berechnen zu lassen.

 

Die in diesem Modul zur Ermittlung von Ergebnissen verwendeten (benötigten) Werte der Quantile für Irrtums- bzw. Vertrauenswahrscheinlichkeiten der Student-t-, ²(Chi²)-, normierten Gauß-, und der F-Verteilung stehen im Unterprogramm Stetige Verteilungen in tabellarischer Form zur Verfügung.

 

Weitere Themenbereiche

 

Stichproben

Stetige Verteilungen

Binomialverteilung

Poisson-Verteilung

Statistische Messwertanalyse

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt):

 

Es sei bekannt, dass 7 Messwerte aus einer Normalverteilung mit Standardabweichung der Grundgesamtheit 0,01 stammen. Der Mittelwert der sieben Messungen beträgt 10,2109.

 

Was ist die obere und untere Vertrauensgrenze für den Mittelwert zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 99%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt) auf dem Registerblatt Normalverteilung, der Eingabe der Werte 10.2109, 0.01 und 7 in die Felder Mittelwert, Standardabweichung und Umfang der Stichprobe, sowie der Festlegung des Werts 99 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: μ 10,210207

Obere Vertrauensgrenze: μ   10,227793

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so ermittelt das Programm:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich: 10,209264 μ 10,228735

 

Beispiel 2 - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt):

 

Es sei bekannt, dass 7 Messwerte aus einer Normalverteilung stammen und die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist. Der Mittelwert der sieben Messungen beträgt 10,2109. Die Standardabweichung der Messwerte beträgt 0,01087.

 

Was ist die obere und untere Vertrauensgrenze für den Mittelwert zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt) auf Registerblatt Normalverteilung, der Eingabe der Werte 10,2109, 0.01 und 7 in die Felder Mittelwert der Stichprobe, Standardabweichung der Stichprobe und Umfang der Stichprobe, sowie der Festlegung des Werts 95 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: μ ≥; 10,20355

Obere Vertrauensgrenze: μ 10,21824

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so gibt das Programm aus:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich: 10,20165 μ 10,22015

 

Beispiel 3 - Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt):

 

Es sei bekannt, dass 7 Messwerte aus einer Normalverteilung stammen. Die Standardabweichung der Messwerte beträgt 0,01087.

 

Was ist die obere und untere Vertrauensgrenze für die Varianz (bzw. Standardabweichung) zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 99%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt) auf Registerblatt Normalverteilung, der Eingabe der Werte 0,01087 und 7 in die Felder Standardabweichung der Stichprobe und Umfang der Stichprobe, sowie der Festlegung des Werts 99 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: σ² ≥; 0,00004217

Obere Vertrauensgrenze: σ² 0,00081292

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so ermittelt das Programm:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich 0,00003822 σ² 0,001049

 

Beispiel 4 - Binomialverteilung:

 

Bei der Untersuchung einer Stichprobe von n = 100 Stück werden m = 3 schlechte Teile gefunden. Was ist die obere Vertrauensgrenze für den Anteil schlechter Teile p zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Binomialverteilung auf dem Registerblatt Binomial- und Poissonverteilung, der Eingabe der Werte 3 und 100 in die Felder Losgröße und Umfang der Stchprobe, sowie der Festlegung des Werts 99 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: p ≥; 0,00439 = 0,439 %

Obere Vertrauensgrenze: p 0,0969 = 9,69 %

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so gibt das Programm aus:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich: 0,003407 p 0,10548 bzw. 0,3407 % p 10,548 %

 

Beispiel 5 - Poissonverteilung:

 

Bei der Untersuchung einer Rolle mit Isolierdraht wurde n = 3 Fehler gefunden. Was ist die obere Vertrauensgrenze für die mittlere Anzahl der Fehler zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Poissonverteilung auf Registerblatt Binomial- und Poissonverteilung, der Eingabe des Werts 3 in das Feld Umfang der Stichprobe, sowie der Eingabe des Werts 95 in das Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: μ 0,81769

Obere Vertrauensgrenze: μ 7,75365

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so gibt das Programm für den zweiseitigen Vertrauensbereich aus: 0,61867 μ 8,76727.
 

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