MathProf - Statistik - Stichproben - Konfidenzintervall - Berechnen

MathProf - Mathematik-Software - Stichproben | Darstellung | Vertrauensbereich | Ziehung

Fachthema: Stichproben-Auswertung

MathProf - Stochastik - Schließende Statistik - Induktive Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Stichproben | Darstellung | Vertrauensbereich | Ziehung

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung verschiedener Berechnungen und Analysen mit Stichproben bzgl. derer Vertrauensgrenzen, derem Annahmebereich sowie Ablehnungsbereich.

Untersuchungen hierzu können durchgeführt werden beim Vorliegen einer Normalverteilung, einer Binomialverteilung oder einer Poisson-Verteilung.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Statistik - Stochastik - Schließende Statistik - Stichprobe - Zufallsstichprobe - Zufallsauswahl - Mittelwerte - Vertrauensbereich - Konfidenzintervall - Vertrauensintervall - Erwartungsbereich - Vertrauensniveau - Konfidenzniveau - Obere Vertrauensgrenze - Statistische Analyse - Statistische Datenanalyse - Grundgesamtheit - Mittelwert - Perzentile - Quantile - Unteres Quartil - Oberes Quartil - Unteres und oberes Quartil - Vertrauensgrenze - Obere und untere Vertrauensgrenze - Einseitiges Konfidenzintervall - Zweiseitiges Konfidenzintervall - Normalverteilt - Binomialverteilt - Poissonverteilt - Normalverteilung - Binomialverteilung - Poissonverteilung - Annahmebereich - Ablehnungsbereich - Auswertung - Berechnung - Test - Bestimmen - Bestimmung - Auswerten - Analysieren - Einführung - Herleitung - Ergebnis - Beweis - Begriff - Begriffe - Grundlagen - Erklärung - Einfach erklärt - Was ist - Was sind - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Wie viel - Bedeutung - Was bedeutet - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Definition - Umfang - Intervall - Beispiele - Aufgaben - Varianz - Rechner - Formel - 0,9 - 0,95 - 0,975 - 0,99 - 0,995 - 0,1 - 0,05 - 0,025 - 0,01 - 0,005

   
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Stichprobe - Verteilung

 
MathProf - Stichproben - Stichprobenauswahl - Stichprobenberechnung - Stichprobenergebnis - Stichprobenentnahme  - Stichprobenfehler - Stichprobenkontrolle - Stichprobenmittelwert - Stichprobenprüfung - Stichprobenstandardabweichung - Stichprobentest - Stichprobenvarianz - Stichprobenwert - Beispiel - Rechner - Berechnen
Modul Stichproben - Verteilungen


 
Im Unterprogramm
[Stochastik] - [Stichproben] - Verteilungen können Untersuchungen mit Stichproben bzgl. derer Konfidenzintervalle durchgeführt werden.

 

MathProf - Stichproben - Normalverteilung - Mittelwert - Binomialverteilung - Poisson-Verteilung - Konfidenzintervall - Vertrauensgrenzen - Vertrauensbereich - Beispiel - Standardabweichung - Umfang - Vertrauensintervall - Ablehnungsbereich - Annahmebereich - Perzentile - Quantile - Unteres Quartil - Oberes Quartil - Unteres und oberes Quartil - Berechnen - Rechner

 
 
Die mathematischen Grundlagen zur Untersuchung statistischer Verfahren liefern die Wahrscheinlichkeitstheorie sowie die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie sind Teilgebiete der Mathematik, welche sich mit der Modellierung sowie der Analyse von Zufallsereignissen beschäftigen.
 
Unter dem Begriff Statistik wird die Lehre von Methoden zum Umgang mit Daten verstanden. Die schließende Statistik ermöglicht es, von den Werten einer kleinen Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen. Hierzu ist es notwendig, eine nur durch Zufall beeinflusste Stichprobe aus einer Grundgesamtheit zu ziehen. Die Grundlage der schließenden Statistik basiert auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
 
Dieses Modul ermöglicht die Ermittlung von Vertrauensgrenzen bzw. Vertrauensbereichen beim Vorliegen von Daten aus Stichproben, wenn Sachverhalte folgender Art gegeben sind:
 

  • Normalverteilung - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekannt)

  • Normalverteilung - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit ist nicht bekannt)

  • Normalverteilung - Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit ist nicht bekannt)

  • Binomialverteilung

  • Poissonverteilung
     

Grundlagen - Fachbegriffe


Als Konfidenzintervall (Vertrauensbereich) wird in der Statistik ein Intervall bezeichnet, welches die Genauigkeit der Positionsschätzung eines statistischen Parameters (Mittelwerts) beschreibt. Es wird auch Erwartungsbereich, Vertrauensintervall genannt und beschreibt den Bereich der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit den Parameter der Verteilung einer Zufallsvariable umfasst.
 
Als Vertrauensniveau (Konfidenzniveau) wird derjenige Bereich bezeichnet, der beschreibt mit welcher Wahrscheinlichkeit sich der tatsächliche Wert innerhalb der Grundgesamtheit befindet. Je geringer ein Vertraunsniveau festgelegt wird, desto schmaler werden die Konfidenzintervalle. Oftmals verwendete Werte für das Konfidenzniveau sind 95 %, 97,5 % und 99 % bzw. 0,95, 0,975 oder 0,99.

Vertrauensgrenzen - Obere Vertrauensgrenze - Untere Vertrauensgrenze: Vertrauensgrenzen beschreiben die Grenzen des Vertrauensbereichs (Vertrauensintervalls). Bei einem Konfidenzniveau von 95 % liegt die obere Vertrauensgrenze bei 95 % und die untere Vertrauensgrenze bei 5 %.


Zufallsstichproben: Bei einer Zufallsstichprobe oder Zufallsauswahl handelt es sich um eine Stichprobe, die mittels eines speziellen Auswahlverfahrens aus einer Grundgesamtheit entnommen wird.

Statistische Analyse (statistische Datenanalyse): Zur Durchführung einer statistischen Analyse (statistische Datenanalyse) werden große Datenmengen gesammelt, analysiert und präsentiert um Tendenzen oder Muster zu erkennen.

Grundgesamtheit: Als Grundgesamtheit wird die Anzahl statistischer Einheiten bezeichnet, hinsichtlich derer eine Aussage getroffen werden soll. Beipielsweise 'Alle Kinder ab 6 Jahren'.

Quantil: Mit einem Quantil wird der bestimmte Teil einer Datenmenge definiert. Quantile werden dazu eingesetzt, um festzulegen, wie viele Werte einer Verteilung unter oder über einer festgelegten Grenze liegen.

Perzentil: Als Perzentile werden in der Statistik die Quantile von 0,01 bis 0,99 in Schritten von 0,01 bezeichnet.

Quartil: Als Quartile sind die Teile einer Datenmenge definiert, die bestimmen wie viele Verteilungswerte über, oder unter einer bestimmten Grenze liegen. Das untere Quartil beschreibt den Wert unterhalb dessen 25 Prozent der Beobachtungswerte liegen, das obere Quartil beschreibt den Wert oberhalb dessen sich 25 Prozent der Beobachtungswerte befinden. Der zwischen den beiden Quartilen bestehende Abstand wird als Quartilsabstand bezeichnet.

Annahmebereich: Als Annahmebereich eines durchgeführten statistischen Tests wird der Bereich für die beobachteten Werte einer Prüfgröße bezeichnet, für den die Nullhypothese beibehalten wird, sofern diese bereits Gültigkeit hatte.

Ablehnungsbereich: Als Ablehnungsbereich eines durchgeführten statistischen Tests wird der Bereich für die beobachteten Werte einer Prüfgröße bezeichnet, für den dieNullhypothese abgelehnt wird.

Als Sicherheitswahrscheinlichkeit oder Vertrauenswahrscheinlichkeit (1-α) wird die Gegenwahrscheinlichkeit der Irrtumswahrscheinlichkeit α bezeichnet. Sie besitzt in vielen Fällen Werte von 0,9, 0,95, 0,975 oder 0,99, bzw. 90%, 95%, 97,5% oder 99%.

 
 

I - Normalverteilung

 

Beim Vorliegen einer Normalverteilung können die Vertrauensgrenzen (Perzentile bzw. Quantile) für Mittelwerte wie nachfolgend aufgeführt, berechnet werden.

1. Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekannt):

 

Ist die Standardabweichung von Daten bekannt, so können die Vertrauensgrenzen (Perzentile bzw. Quantile) für den Mittelwert μ (dieser trägt auf dem Formular die Bezeichnung x) zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α folgendermaßen errechnet werden:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 1

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 2

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 3

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Mittelwert, Standardabweichung sowie dem Umfang der Grundgesamtheit benötigt.
 

 

2. Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit ist nicht bekannt):

 

Ist die Standardabweichung von Daten nicht bekannt, so lassen sich die Vertrauensgrenzen für den Mittelwert μ (dieser trägt auf dem Formular die Bezeichnung x) zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α durch folgende Zusammenhänge bestimmen:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 4

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 5

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 6

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Mittelwert, Standardabweichung und Umfang der Stichprobe benötigt.
 

 

3. Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit ist nicht bekannt):

 

Ist die Standardabweichung s von Daten nicht bekannt, so können, analog zum Mittelwert, auch die Vertrauensgrenzen für die Varianz zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α folgendermaßen bestimmt werden:

 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 7

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 8

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 9

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Standardabweichung und Umfang der Stichprobe benötigt.
 

 

II - Binomialverteilung

 

Liegt eine Binomialverteilung vor, so können die Vertrauensgrenzen p zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α wie nachfolgend aufgeführt errechnet werden:


 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 10

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 11

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 12

 

mit:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 13

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 14

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zu Losgröße und Umfang der Stichprobe benötigt.
 

 

III - Poissonverteilung

 

Liegt eine Poissonverteilung vor, so lassen sich die Vertrauensgrenzen p zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1-α wie folgt ermitteln:


 

Einseitige untere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 15

 

Einseitige obere Vertrauensgrenze:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 16

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 17

 

mit:

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 18

 

Stichproben - Verteilung - Gleichung - 19

 

Um Analysen dieser Art durchführen zu können, werden Angaben zum Umfang der Stichprobe benötigt.

 
 

Berechnung

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um die Vertrauensgrenzen bzw. Vertrauensbereiche beim Vorliegen von Stichprobenergebnissen o.a. Fälle ermitteln zu lassen.
 

  1. Selektieren Sie das Registerblatt Normalverteilung bzw. Binomial- und Poissonverteilung und aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter.
     

  2. Geben Sie die benötigten Daten in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     

  3. Legen Sie durch die Eingabe eines relevanten Zahlenwerts (zwischen 0,001 und 99,999) in das Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit den Wert für die Vertrauenswahrscheinlichkeit α fest (in %).
     

  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig bzw. Zweiseitig die Art des durchzuführenden Tests.
     

  5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm die entsprechenden Vertrauensgrenzen (Vertrauensbereiche) und gibt diese aus.

 

Hinweise

 

Möchten Sie derartige Untersuchungen mit konkret vorliegenden (normalverteilten) Messdaten durchführen, so verwenden Sie das Unterprogramm Statistische Messwertanalyse um Mittelwerte und Standardabweichungen bestimmen zu lassen und benutzen anschließend dieses Modul um Vertrauensgrenzen bzw. Vertrauensbereiche berechnen zu lassen.

 

Die in diesem Modul zur Ermittlung von Ergebnissen verwendeten (benötigten) Werte der Quantile für Irrtums- bzw. Vertrauenswahrscheinlichkeiten der Student-t-, Chi²-, normierten Gauß- und der F-Verteilung stehen im Unterprogramm Stetige Verteilungen in tabellarischer Form zur Verfügung.
 

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema  der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Weitere Themenbereiche

 

Stichproben

Stetige Verteilungen

Binomialverteilung

Poisson-Verteilung

Statistische Messwertanalyse

 

Beispiele - Aufgaben

 

Beispiel 1 - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt):

 

Es sei bekannt, dass 7 Messwerte aus einer Normalverteilung mit Standardabweichung der Grundgesamtheit 0,01 stammen. Der Mittelwert der sieben Messungen beträgt 10,2109.

 

Was ist die obere und untere Vertrauensgrenze für den Mittelwert zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 99%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt) auf dem Registerblatt Normalverteilung, der Eingabe der Werte 10.2109, 0.01 und 7 in die Felder Mittelwert, Standardabweichung und Umfang der Stichprobe, sowie der Festlegung des Werts 99 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: μ 10,210207

Obere Vertrauensgrenze: μ   10,227793

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so ermittelt das Programm:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich: 10,209264 μ 10,228735

 

Beispiel 2 - Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt):

 

Es sei bekannt, dass 7 Messwerte aus einer Normalverteilung stammen und die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist. Der Mittelwert der sieben Messungen beträgt 10,2109. Die Standardabweichung der Messwerte beträgt 0,01087.

 

Was ist die obere und untere Vertrauensgrenze für den Mittelwert zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Mittelwert (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt) auf Registerblatt Normalverteilung, der Eingabe der Werte 10,2109, 0.01 und 7 in die Felder Mittelwert der Stichprobe, Standardabweichung der Stichprobe und Umfang der Stichprobe, sowie der Festlegung des Werts 95 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: μ ≥; 10,20355

Obere Vertrauensgrenze: μ 10,21824

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so gibt das Programm aus:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich: 10,20165 μ 10,22015

 

Beispiel 3 - Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt):

 

Es sei bekannt, dass 7 Messwerte aus einer Normalverteilung stammen. Die Standardabweichung der Messwerte beträgt 0,01087.

 

Was ist die obere und untere Vertrauensgrenze für die Varianz (bzw. Standardabweichung) zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 99%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Varianz (Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt) auf Registerblatt Normalverteilung, der Eingabe der Werte 0,01087 und 7 in die Felder Standardabweichung der Stichprobe und Umfang der Stichprobe, sowie der Festlegung des Werts 99 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: σ² ≥; 0,00004217

Obere Vertrauensgrenze: σ² 0,00081292

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so ermittelt das Programm:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich 0,00003822 σ² 0,001049

 

Beispiel 4 - Binomialverteilung:

 

Bei der Untersuchung einer Stichprobe von n = 100 Stück werden m = 3 schlechte Teile gefunden. Was ist die obere Vertrauensgrenze für den Anteil schlechter Teile p zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Binomialverteilung auf dem Registerblatt Binomial- und Poissonverteilung, der Eingabe der Werte 3 und 100 in die Felder Losgröße und Umfang der Stchprobe, sowie der Festlegung des Werts 99 im Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: p ≥; 0,00439 = 0,439 %

Obere Vertrauensgrenze: p 0,0969 = 9,69 %

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so gibt das Programm aus:

 

Zweiseitiger Vertrauensbereich: 0,003407 p 0,10548 bzw. 0,3407 % p 10,548 %

 

Beispiel 5 - Poissonverteilung:

 

Bei der Untersuchung einer Rolle mit Isolierdraht wurde n = 3 Fehler gefunden. Was ist die obere Vertrauensgrenze für die mittlere Anzahl der Fehler zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%?

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Poissonverteilung auf Registerblatt Binomial- und Poissonverteilung, der Eingabe des Werts 3 in das Feld Umfang der Stichprobe, sowie der Eingabe des Werts 95 in das Feld Vertrauenswahrscheinlichkeit und der Aktivierung des Kontrollschalters Einseitig, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Untere Vertrauensgrenze: μ 0,81769

Obere Vertrauensgrenze: μ 7,75365

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zweiseitig, und belassen Sie alle anderen Einstellungen auf den soeben festgelegten, so gibt das Programm für den zweiseitigen Vertrauensbereich aus: 0,61867 μ 8,76727.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Obere Vertrauensgrenze - Statistische Analyse - Statistische Datenanalyse - Grundgesamtheit - Oberes Quartil - Vertrauensgrenze - Obere und untere Vertrauensgrenze - Einseitiges Konfidenzintervall - Zweiseitiges Konfidenzintervall - Zweiseitiger - Einseitiges Konfidenzintervall - Stichproben - Stichprobenziehung- Z-Test - Gauß-Test - Stichprobenfehler - Stichprobenkontrolle - Stichprobenmittelwert  - Beispiel - Rechner - Berechnen
Beispiel 1

MathProf - Zufallsstichprobe - Mittelwerte - Vertrauensbereich - Konfidenzintervall - Vertrauensintervall - Vertrauensgrenzen - Erwartungsbereich - Untere Vertrauensgrenze - Vertrauensniveau - Konfidenzniveau - Vertrauenswahrscheinlichkeit - Oberer Vertrauensbereich - Unterer Vertrauensbereich - Intervall - Intervallgrenzen - Intervallwahrscheinlichkeit - Varianz - Empirische Varianz - Beispiel - Rechner - Berechnen
Beispiel 2

MathProf - Losgröße - Analyse - Normalverteilung - Binomialverteilung - Einseitiger Vertrauensbereich - Definition - Beispiele - Aufgaben - Formel - 0,9 - 0,95 - 0,975 - 0,99 - 0,995 - 0,1 - 0,05 - 0,025 - 0,01 - 0,005 - Poissonverteilung - Statistische Signifikanz - Standardabweichung des Mittelwerts - Stichprobenauswertung - Stichprobenverfahren - Verteilung - Annahmebereich - Ablehnungsbereich - Auswertung - Testwerte - Testanalyse - Testauswertung - Auswerten - Analysieren - Beispiel - Rechner - Berechnen
Beispiel 3

MathProf - Stichprobenziehung - Standardabweichung sigma - Z-Test - Gauß-Test - Stichprobenfehler - Stichprobenkontrolle - Stichprobenmittelwert  - Beispiel - Rechner - Berechnen - Zufallsstichprobe - Mittelwerte - Vertrauensbereich - Konfidenzintervall - Vertrauensintervall - Vertrauensgrenzen - Erwartungsbereich - Untere Vertrauensgrenze - Vertrauensniveau
Beispiel 4

MathProf - Konfidenzniveau - Vertrauenswahrscheinlichkeit - Oberer Vertrauensbereich - Unterer Vertrauensbereich - Intervall - Intervallgrenzen - Intervallwahrscheinlichkeit - Interquartilsbereich - Einseitiger Vertrauensbereich - Normalverteilt - Binomialverteilt - Poissonverteilt - Berechnung - Bestimmen - Statistische Tests - Einseitiger Test - Zweiseitiger Test - Rechner - Berechnen
Beispiel 5

MathProf - Stichprobenrechner - Interquartilsbereich - Statistische Tests - Einseitiger Test - Zweiseitiger Test - Beidseitiger Test - Stichprobenauswahl - Stichprobentest - Stichprobenvarianz - Stichprobenwert - Beidseitiger Test - Varianz - Empirische Varianz - Rechner - Berechnen - Konfidenz - Intervall - Standardabweichung sigma
Beispiel 6

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Stichprobe zu finden.

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


MathProf - Pi - Kreiszahl - Zahl Pi - Berechnen - Näherungsverfahren - Kreiszahl Pi - Monte-Carlo-Simulation - Monte Carlo - Methode - Annäherung an Pi - Kreiskonstante Pi - Pi berechnen - Pi Zahl - Rechner - Flächeninhalt - Näherungswert - Näherung - Ludolphsche Zahl - Ludolfsche ZahlMathProf - Pi - Zahl - Näherungsformel - Animation - Angenähert - Ungefähr - Durchmesser - Einheitskreis - Generator - Herleitung - Plotten - Kreisfläche - Kreis - Beispiel - Simulation - Verfahren - Annäherung - Berechnen - Rechner
 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Stichprobe - Stichproben - Zufallsstichprobe - Mittelwerte - Vertrauensbereich - Konfidenzintervall - Vertrauensintervall - Vertrauensgrenzen - Erwartungsbereich - Vertrauensgrenze - Vertrauensniveau - Konfidenzniveau - Bestimmen - Auswerten - Annahmebereich - Ablehnungsbereich - Rechner - Berechnen - Konfidenz - Intervall - Stichprobenmittelwert - Stichprobenprüfung - Stichprobenstandardabweichung
MathProf 5.0 - Unterprogramm Stichproben



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0