MathProf - Richtungsfeld - DGL 1. Ordnung - Richtungsfeld zeichnen

MathProf - Mathematik-Software - Richtungsfelder Differentialgleichungen | Isoklinen | DGL

Fachthema: Richtungsfelder von Differentialgleichungen

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Techniker, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Eine zusätzlich implementierte Geometrie-Komponente erlaubt in Unterprogammen wie diesem bei der Ausgabe zweidimensionaler Grafiken zudem das Einbinden sowie die Verwendung geometrischer Figuren und Gebilde in Form von klassifizierten Objekten und ermöglicht somit die Erweiterung und Anpassung grafischer Darstellungen auf vielfältige Art und Weise.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Richtungsfelder Differentialgleichungen | Isoklinen | DGL

Online-Hilfe
für das Modul zum Zeichnen der Richtungsfelder und Lösungskurven von
DGL 1. Ordnung.

Dieses Teilprogramm ermöglicht es, das durch eine Differentialgleichung erster Ordnung beschriebene Richtungsfeld sowie gleichzeitig bis zu 10 Isoklinen unter dem Einfluss von Parametern plotten zu lassen und grafisch zu analysieren.


Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Beispiele zur Definition und zur Darstellung von Richtungsfeldern
sind in diesem Unterprogramm eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Richtungsfelder - DGL - Differentialgleichung - Richtungsfeld einer Differentialgleichung 1. Ordnung zeichnen - Isoklinen - Lösungskurven von Differentialgleichungen erster Ordnung - Richtungsfeld plotten - Richtungsfeld zeichnen - Richtungsfeld - Skizzieren - Richtung - Feldlinien - Lösungskurve - Verfahren - Generator - Richtung - Feld - Linien - Grafisch - Rechner - Graph - Bilder - Darstellung - Plotter - Berechnung - Darstellen - Plotten - Grafik - Zeichnen - Phasenraum - Phasenporträt - Graph von Richtungsfeldern

 
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Richtungsfeld einer DGL 1. Ordnung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung] - Interaktiv bietet die Möglichkeit, Richtungsfelder gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung interaktiv zu analysieren und sich Lösungskurven ausgeben zu lassen.

 

MathProf - Richtungsfelder - DGL - Differentialgleichungen - Lösungskurve - Richtungsfeld - Steigung - Plotten - Zeichnen
 

Richtungsfelder von Differentialgleichungen ermöglichen einen groben Überblick über den Verlauf der Lösungskurven einer Differenzialgleichung. Mit Hilfe dieses Unterprogramms können Richtungsfelder von Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form dy = f(x,y) interaktiv grafisch untersucht werden. Das Programm stellt zudem die Lösungskurven der Differentialgleichung an gewählten Startpunkten dar. Hierbei besteht die Möglichkeit bis zu 10 verschiedene Startwerte festzulegen und diese u.a. durch Mausbedienung zu positionieren.

Darstellung

 

MathProf - Richtungsfeld zeichnen - Richtungsfeld DGL - Isoklinen - Lösungskurve - plotten - skizzieren - Differentialgleichung - Richtungsfeld - Richtungsfelder


Führen Sie eine interaktive Analyse mit Richtungsfeldern von Differentialgleichungen 1. Ordnung folgendermaßen durch:

  1. Definieren Sie die, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierte Differentialgleichung 1. Ordnung im Eingabefeld mit der Bezeichnung dy/dx =.
     
  2. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder von x1 und bis x2, sowie von y1 und bis y2 den rechteckigen Flächenbereich über welchen die Darstellung ausgegeben werden soll und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Schrittweite die zu verwendende Schrittweite fest.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  4. Das Programm gibt die Lösungskurve für die Startwerte x0 = 5 und y0 = 1 aus. Die ursprüngliche Lage des Punkts P1 (5 / 1) für die Festlegung des zu verwendenden Startwerts können Sie durch entsprechende Positionierung des Mausfangpunkts verändern.
     
  5. Weitere Lösungskurven können Sie grafisch ausgeben lassen und hierfür relevante Startwerte mit Hilfe frei positionierbarer Punkte festlegen, indem Sie folgendermaßen verfahren:
     
    Indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste Erzeugen anklicken können Sie diese erzeugen. Löschen können Sie einen erzeugten Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und hierauf die rechte Maustaste bedienen.

    Möchten Sie Punkte exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
     
  6. Um den Darstellungsbereich für das auszugebende Richtungsfeld zu verändern, bedienen Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular. Geben Sie die relevanten Koordinatenwerte, sowie den Wert für die Schrittweite, im daraufhin erscheinenden Formular ein und bedienen Sie die Schaltfläche Ok.
     
  7. Wurde eine Funktion deklariert, die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so definieren Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, den zu durchlaufenden Funktionsparameterwertebereich und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters Parameter P und positionieren Sie den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     

  8. Um die Position des Punktes P1 simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Wurde zur Untersuchung eines Richtungsfelds eine Differentialgleichung erstellt, die kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Richtungsfeld - Differentialgleichung - DGL - Isoklinen - Plotten - Richtungsfelder

 

Wurde zur Untersuchung eines Richtungsfelds eine Differentialgleichung erstellt, die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

 

MathProf - Richtungsfeld - DGL - Lösungskurve - Plotter - Berechnen - Zeichnen


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten/Koord.: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte: Darstellung der Punkte ein-/ausschalten
  • Pfeildarst.: Darstellung der Richtungsfelder in Pfeilform ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL 1. Ordnung

 

Beispiel


Es gilt, sich das Richtungsfeld einer Schar von Lösungsfunktionen der Differentialgleichung 1. Ordnung y' = x/3 darstellen zu lassen.

Die Lösungsfunktionen repräsentieren eine Schar nach oben geöffneter Normalparabeln, da durch unbestimmte Integration die allgemeine Lösung

Richtungsfeld - Gleichung

resultiert.

Vorgehensweise:

Definieren Sie den Term X/3 im Eingabefeld und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Es wird das Richtungsfeld (blaue Pfeile) des Verlaufs möglicher Lösungskurven, sowie eine Lösungskurve (rot markierte Parabel) ausgegeben, deren Verlauf durch die voreingestellten Startwerte x0 = 5 und y0 = 1 bestimmt wird.

Positionieren Sie den Mauscursor an eine beliebige Stelle und führen Sie einen Klick auf die linke Maustaste aus. Das Programm stellt eine zweite Lösungskurve dar, deren Lage durch die Koordinatenwerte des neu erzeugten Punktes beeinflusst wird. Wiederholen Sie die Erzeugung eines Punktes, und somit die Definition eines neuen Startwerts drei- bis viermal bei unterschiedlichen Positionierungsstellen.

Klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich eines der dargestellten Punkte und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste. Hierdurch verändern Sie die zur Ermittlung der dargestellten Kurve benötigten Startwerte x0 und y0 und somit Parameter C der Lösungsfunktionen. Dieser bestimmt die Lage des Scheitelpunktes der Parabel bzgl. der y-Achse.

Wird ein Punkt derart positioniert, dass die Lösungskurve durch einen rot markierten Punkt eines Pfeils verläuft, so ist zu erkennen, dass die dargestellten Pfeile Auskunft über die Steigung der entsprechenden Kurve geben, welche diese in den jeweiligen (rot markierten) Punkten besitzt.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Richtungsfelder - DGL - Differentialgleichungen - Richtungsfeld - Differentialgleichung - 1. Ordnung - Lösungskurven - Isoklinen - Plotten - Rechner - Beispiel - Zeichnen - Differentialgleichung
MathProf - Richtungsfelder - DGL - Differentialgleichungen - Richtungsfeld DGL - Lösungskurve - Mathematik - Zeichnen - Bestimmen - Plot - Plotten - Beispiel - Differentialgleichung - Richtungsfeld
MathProf - Richtungsfelder - DGL - Differentialgleichungen - Richtungsfeld - Differentialgleichung - 1. Ordnung - Lösungskurven - Lösungskurve - Plotten - Beispiel
MathProf - Richtungsfelder - DGL - Differentialgleichungen - Richtungsfeld DGL - Plotten - Mathematik - Zeichnen - Bestimmen - Plot - Zeichnen - Rechner - Beispiel - Differentialgleichung - Richtungsfeld

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Richtungsfeld sowie unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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