MathProf - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung] - Interaktiv bietet die Möglichkeit, Richtungsfelder gewöhnlicher Differenzialgleichungen 1. Ordnung interaktiv zu analysieren.

 

MathProf - Richtungsfelder
 

Richtungsfelder von Differenzialgleichungen ermöglichen einen groben Überblick über den Verlauf der Lösungskurven einer Differenzialgleichung. Mit Hilfe dieses Unterprogramms können Richtungsfelder von Differenzialgleichungen 1. Ordnung der Form dy = f(x,y) interaktiv grafisch untersucht werden. Das Programm stellt zudem die Lösungskurven der Differenzialgleichung an gewählten Startpunkten dar. Hierbei besteht die Möglichkeit bis zu 10 verschiedene Startwerte festzulegen und diese u.a. durch Mausbedienung zu positionieren.

Darstellung

 

MathProf - Richtungsfeld - Differentialgleichung


Führen Sie eine interaktive Analyse mit Richtungsfeldern von Differenzialgleichungen 1. Ordnung folgendermaßen durch:

  1. Definieren Sie die, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierte Differenzialgleichung 1. Ordnung im Eingabefeld mit der Bezeichnung dy/dx =.
     
  2. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder von x1 und bis x2, sowie von y1 und bis y2 den rechteckigen Flächenbereich über welchen die Darstellung ausgegeben werden soll und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Schrittweite die zu verwendende Schrittweite fest.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  4. Das Programm gibt die Lösungskurve für die Startwerte x0 = 5 und y0 = 1 aus. Die ursprüngliche Lage des Punkts P1 (5 / 1) für die Festlegung des zu verwendenden Startwerts können Sie durch entsprechende Positionierung des Mausfangpunkts verändern.
     
  5. Weitere Lösungskurven können Sie grafisch ausgeben lassen und hierfür relevante Startwerte mit Hilfe frei positionierbarer Punkte festlegen, indem Sie folgendermaßen verfahren:
     
    Indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste Erzeugen anklicken können Sie diese erzeugen. Löschen können Sie einen erzeugten Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und hierauf die rechte Maustaste bedienen.

    Möchten Sie Punkte exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
     
  6. Um den Darstellungsbereich für das auszugebende Richtungsfeld zu verändern, bedienen Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular. Geben Sie die relevanten Koordinatenwerte, sowie den Wert für die Schrittweite, im daraufhin erscheinenden Formular ein und bedienen Sie die Schaltfläche Ok.
     
  7. Wurde eine Funktion deklariert, die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so definieren Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, den zu durchlaufenden Funktionsparameterwertebereich und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters Parameter P und positionieren Sie den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     

  8. Um die Position des Punktes P1 simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

Wurde zur Untersuchung eines Richtungsfelds eine Differenzialgleichung erstellt, die kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Richtungsfeld - Kurve

 

Wurde zur Untersuchung eines Richtungsfelds eine Differenzialgleichung erstellt, die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

 

MathProf - Richtungsfeld - DGL


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten/Koord.: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte: Darstellung der Punkte ein-/ausschalten
  • Pfeildarst.: Darstellung der Richtungsfelder in Pfeilform ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL 1. Ordnung

 

Beispiel


Es gilt, sich das Richtungsfeld einer Schar von Lösungsfunktionen der Differenzialgleichung 1. Ordnung y' = x/3 darstellen zu lassen.

Die Lösungsfunktionen repräsentieren eine Schar nach oben geöffneter Normalparabeln, da durch unbestimmte Integration die allgemeine Lösung

Richtungsfeld - Gleichung

resultiert.

Vorgehensweise:

Definieren Sie den Term X/3 im Eingabefeld und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Es wird das Richtungsfeld (blaue Pfeile) des Verlaufs möglicher Lösungskurven, sowie eine Lösungskurve (rot markierte Parabel) ausgegeben, deren Verlauf durch die voreingestellten Startwerte x0 = 5 und y0 = 1 bestimmt wird.

Positionieren Sie den Mauscursor an eine beliebige Stelle und führen Sie einen Klick auf die linke Maustaste aus. Das Programm stellt eine zweite Lösungskurve dar, deren Lage durch die Koordinatenwerte des neu erzeugten Punktes beeinflusst wird. Wiederholen Sie die Erzeugung eines Punktes, und somit die Definition eines neuen Startwerts drei- bis viermal bei unterschiedlichen Positionierungsstellen.

Klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich eines der dargestellten Punkte und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste. Hierdurch verändern Sie die zur Ermittlung der dargestellten Kurve benötigten Startwerte x0 und y0 und somit Parameter C der Lösungsfunktionen. Dieser bestimmt die Lage des Scheitelpunktes der Parabel bzgl. der y-Achse.

Wird ein Punkt derart positioniert, dass die Lösungskurve durch einen rot markierten Punkt eines Pfeils verläuft, so ist zu erkennen, dass die dargestellten Pfeile Auskunft über die Steigung der entsprechenden Kurve geben, welche diese in den jeweiligen (rot markierten) Punkten besitzt.
 

Module zum Themenbereich Algebra


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