MathProf - Multiplikation und Division komplexer Zahlen

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Multiplikation und Division komplexer Zahlen

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Multiplikation komplexer Zahlen ermöglicht die Durchführung der Multiplikation und Division komplexer Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene.

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Multiplikation

 

Einleitung

 

MathProf - Komplexe Multiplikation

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z1 = r1·e jφ1 mit der komplexen Zahl z2 = r2·e jφ2 lässt sich geometrisch als Drehstreckung des Zeigers z1 darstellen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel φ2 im positiven Drehsinn gedreht und anschließend um das r2-fache gestreckt. Das Ergebnis ist das geometrische Bild des Produktes z1·z2.

 

MathProf - Komplexes Produkt

Die Division zweier komplexen Zahlen z1 = r1·e jφ1 und z2 = r2·e jφ2 lässt sich auf die Multiplikation dieser zurückführen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel φ2 im positiven Drehsinn gedreht, oder zurückgedreht, und anschließend um das 1/r2-fache gestreckt. Für φ2 > 0 erfolgt eine Drehung im negativen Drehsinn, für φ2 < 0 hingegen eine Drehung im positiven Drehsinn.

 

 

Zusammenhänge

 

r = |z| = (x² + y²)

tan φ = y / x

 

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z1 · z2 = (x1x2 - y1y2) + j (x1y2 + x2y1)

z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2) + j sin(φ1 + φ2)]

          = r1r2·e j(φ1+φ2)

 

Für die Division zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z1 / z2 = (x1x2 + y1y2) / (x2² + y2²) + j (x2y1 - x1y2) / (x2² + y2²)

z1 / z2 = r1 / r2[cos(φ1 - φ2) + j sin(φ1 - φ2)]

          = r1/ r2·e j(φ1-φ2)

 

Darstellung

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Multiplikation bzw. Division, ob eine Multiplikation oder eine Division zweier komplexer Zahlen durchgeführt werden soll.
     

  2. Um einen Zeiger exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  3. Sollen die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändert werden, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     

  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Multiplikation - Komplexe Zahlen
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Winkelpfeile: Darstellung der richtungsweisenden Winkelpfeile ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Schreibweisen komplexer Zahlen

Berechnungen mit komplexen Zahlen

Addition komplexer Zahlen

 

Beispiel

 

Wird Zeiger Z1 auf Punkt Z1 (-2 / -4) positioniert und Zeiger Z2 auf Punkt Z2 (-3 / 2) positioniert, so gibt das Programm Folgendes aus:

 

Zahl 1:

z1 = -2 - 4j

In Exponentialform gewandelt: z1 = 4,47214 · ej243,435°

 

Zahl 2:

z2 = -3 + 2j

In Exponentialform gewandelt: z2 = 3,60555 · ej146,31°

 

Multiplikation:

 

Nach Durchführung einer Multiplikation (bei Aktivierung des Kontrollschalters Multiplikation) wird für Zahl z3 ermittelt:

 

z3 = z1 · z2 = 14 + 8j

In Exponentialform gewandelt: z3 = 16,12452 · ej29,745°

 

Hierbei erfolgte eine Drehung des Zeigers Z1 um 146,31° (Winkel φ2) gegen den Uhrzeigersinn und eine anschließende Streckung des gedrehten Zeigers um den Faktor 3,606 (r2-faches).

 

Division:

 

Wird eine Division durchgeführt (nach Aktivierung des Kontrollschalters Division), so gibt das Programm für die Zahl z3 aus:

 

z3 = z1 / z2 = -0,154 + 1,231j

In Exponentialform gewandelt: z3 = 1,24035 · ej97,125°

 

Hierbei erfolgte eine Drehung des Zeigers Z1 um 146,31° (Winkel φ2) im positiven Uhrzeigersinn und eine anschließende Streckung des gedrehten Zeigers um den Faktor 0,277 (1/r2-faches).
 

Module zum Themenbereich Algebra


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