MathProf - Multiplikation komplexer Zahlen - Division komplexer Zahlen

MathProf - Mathematik-Software - Komplexe Zahlen | Multiplikation und Division grafisch

Fachthema: Multiplikation und Division komplexer Zahlen

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Darstellungen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Komplexe Zahlen | Multiplikation und Division grafisch

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung und grafischen
Veranschaulichung des Multiplizierens und Dividierens komplexer Zahlen.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit.

Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach
Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Division komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Zeigerdiagramm - Zeiger - Komplexe Zahlen multiplizieren - Komplexe Zahlen dividieren - Imaginäre Zahlen multiplizieren - Imaginäre Zahlen dividieren - Komplexes Produkt - Komplexer Quotient - Zeichnen von komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene - Grafische Darstellung komplexer Zahlen - Zeiger - Komplexe Zeiger - Graph - Grafisch - Bilder - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Rechenregeln komplexer Zahlen - Produkt komplexer Zahlen - Quotient komplexer Zahlen

  
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Multiplikation komplexer Zahlen - Division komplexer Zahlen

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Multiplikation komplexer Zahlen ermöglicht die Durchführung der Multiplikation und Division komplexer Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene.

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Multiplikation - Division - Multiplizieren - Dividieren - Zeigerdiagramm - Winkel - Betrag

 

Einleitung

 

MathProf - Komplexes Produkt - Komplexe Zahlen multiplizieren - Zeigerdiagramm

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z1 = r1·e jφ1 mit der komplexen Zahl z2 = r2·e jφ2 lässt sich geometrisch als Drehstreckung des Zeigers z1 darstellen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel φ2 im positiven Drehsinn gedreht und anschließend um das r2-fache gestreckt. Das Ergebnis ist das geometrische Bild des Produktes z1·z2.

 

MathProf - Komplexe Zahlen dividieren - Division komplexer Zahlen - Zeigerdiagramm

Die Division zweier komplexen Zahlen z1 = r1·e jφ1 und z2 = r2·e jφ2 lässt sich auf die Multiplikation dieser zurückführen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel φ2 im positiven Drehsinn gedreht, oder zurückgedreht, und anschließend um das 1/r2-fache gestreckt. Für φ2 > 0 erfolgt eine Drehung im negativen Drehsinn, für φ2 < 0 hingegen eine Drehung im positiven Drehsinn.

 

 

Zusammenhänge

 

r = |z| = (x² + y²)

tan φ = y / x

 

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z1 · z2 = (x1x2 - y1y2) + j (x1y2 + x2y1)

z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2) + j sin(φ1 + φ2)]

          = r1r2·e j(φ1+φ2)

 

Für die Division zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z1 / z2 = (x1x2 + y1y2) / (x2² + y2²) + j (x2y1 - x1y2) / (x2² + y2²)

z1 / z2 = r1 / r2[cos(φ1 - φ2) + j sin(φ1 - φ2)]

          = r1/ r2·e j(φ1-φ2)

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Darstellung

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Multiplikation bzw. Division, ob eine Multiplikation oder eine Division zweier komplexer Zahlen durchgeführt werden soll.
     

  2. Um einen Zeiger exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  3. Sollen die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändert werden, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     

  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Multiplizieren - Dividieren - Zeigerdiagramm
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Winkelpfeile: Darstellung der richtungsweisenden Winkelpfeile ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Schreibweisen komplexer Zahlen

Berechnungen mit komplexen Zahlen

Addition komplexer Zahlen

 

Beispiel

 

Wird Zeiger Z1 auf Punkt Z1 (-2 / -4) positioniert und Zeiger Z2 auf Punkt Z2 (-3 / 2) positioniert, so gibt das Programm Folgendes aus:

 

Zahl 1:

z1 = -2 - 4j

In Exponentialform gewandelt: z1 = 4,47214 · ej243,435°

 

Zahl 2:

z2 = -3 + 2j

In Exponentialform gewandelt: z2 = 3,60555 · ej146,31°

 

Multiplikation:

 

Nach Durchführung einer Multiplikation (bei Aktivierung des Kontrollschalters Multiplikation) wird für Zahl z3 ermittelt:

 

z3 = z1 · z2 = 14 + 8j

In Exponentialform gewandelt: z3 = 16,12452 · ej29,745°

 

Hierbei erfolgte eine Drehung des Zeigers Z1 um 146,31° (Winkel φ2) gegen den Uhrzeigersinn und eine anschließende Streckung des gedrehten Zeigers um den Faktor 3,606 (r2-faches).

 

Division:

 

Wird eine Division durchgeführt (nach Aktivierung des Kontrollschalters Division), so gibt das Programm für die Zahl z3 aus:

 

z3 = z1 / z2 = -0,154 + 1,231j

In Exponentialform gewandelt: z3 = 1,24035 · ej97,125°

 

Hierbei erfolgte eine Drehung des Zeigers Z1 um 146,31° (Winkel φ2) im positiven Uhrzeigersinn und eine anschließende Streckung des gedrehten Zeigers um den Faktor 0,277 (1/r2-faches).
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Gaußsche Zahlenebene - Multiplizieren - Multiplikation - Division - Dividieren - Betrag - Winkel - Realteil - Imaginärteil - Zeigerdiagramm - Beispiel
MathProf - Komplexe Zahlen - Gaußsche Zahlenebene - Multiplizieren - Multiplikation - Division - Dividieren - Betrag - Winkel - Realteil - Imaginärteil - Zeigerdiagramm - Beispiel
MathProf - Komplexe Zahlen - Gaußsche Zahlenebene - Multiplizieren - Multiplikation - Division - Dividieren - Betrag - Winkel - Realteil - Imaginärteil - Zeigerdiagramm - Beispiel

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl

 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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