MathProf - Allgemeines Dreieck (Seitenlängen und Innewinkel)

MathProf - Mathematik-Software - Allgemeines Dreieck | Winkel | Seiten | Fläche | Höhen
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Allgemeines Dreieck | Winkel | Seiten | Fläche | Höhen

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung von Dreiecksberechnungen (trigonometriescher Berechnungen) unter der Anwendung von Sinussatz, Cosinussatz und Tangenssatz mit allgemeinen Dreiecken (schiefwinkligen Dreiecken - unregelmäßigen Dreiecken) und derer grafischer Darstellung. Für das definierte Dreieck erfolgt u.a. die Ermittlung der Werte der folgenden Größen:  Schwerpunkt, Inkreis, Umkreis, Ankreise, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechten, Höhen, Innenwinkel und Flächeninhalt (Flächenberechnung). Dreieck berechnen aus Seitenlängen und Winkeln.

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Trigonometrie - Allgemeines Dreieck - Schiefwinkliges Dreieck - Unregelmäßiges Dreieck - Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Dreieck aus Seiten und Innenwinkeln - Dreiecksberechnung

 

Mit dem Unterprogramm [Trigonometrie] -[Allgemeines Dreieck] - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln können trigonometrische Berechnungen und Untersuchungen mit allgemeinen Dreiecken durchgeführt werden, welche durch Seitenlängen und Innenwinkel beschrieben werden.

 

MathProf - Dreieck - SWS - SWW - SSS - Seiten - Flächeninhalt - Eigenschaften - Umfang - Zeichnen - Innenwinkel - Trigonometrie- Dreiecksberechnung - Berechnung Dreieck - Dreieck berechnen
 

Dreiecks-Kongruenzsätze besagen, dass ein Dreieck eindeutig berechnet werden kann, wenn eine dieser Kombinationen an gegebenen Größen vorliegt:

  • zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)
  • eine Seite und zwei Winkel (SWW, WSW oder WWS)
  • drei Seiten (SSS)
  • zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel (SsW oder WsS)
 

Es stehen sechs Größen zur Auswahl, von welchen genau drei bekannt sein müssen, um die Werte aller anderen Größen des allgemeinen Dreiecks errechnen zu können.

Durch die Eingabe dreier Werte der nachfolgend aufgeführten Größen können Berechnungen durchgeführt werden:

  • Seite a des Dreiecks
  • Seite b des Dreiecks
  • Seite c des Dreiecks
  • Winkel α des Dreiecks
  • Winkel β des Dreiecks
  • Winkel γ des Dreiecks

Nach der Ausführung numerischer Berechnungen werden die Werte folgender Größen eines allgemeinen Dreiecks bestimmt:

  • Winkelhalbierende auf alle Seiten des Dreiecks
  • Seitenhalbierende auf alle Seiten des Dreiecks
  • Höhen auf alle Seiten des Dreiecks
  • Inkreisradius, Inkreismittelpunkt des Dreiecks
  • Umkreisradius, Umkreismittelpunkt des Dreiecks
  • Ankreisradien, Ankreismittelpunkte des Dreiecks
  • Umfang des Dreiecks
  • Flächeninhalt des Dreiecks (Dreiecksfläche)
  • Schwerpunkt (Flächenschwerpunkt) des Dreiecks

Es besteht zudem die Möglichkeit, die Eigenschaften des berechneten Dreiecks bei Ausgabe der grafischen Darstellung zu verändern und hierauf weitere Untersuchungen interaktiv durchzuführen.

Berechnung und Darstellung


MathProf - Allgemeines Dreieck - Höhe - Berechnen - Beispiel - Fläche - Inkreisradius - Koordinaten - Mittelpunkt - Umkreis - Dreieck - Dreiecksfläche - Flächenschwerpunkt - Inkreis - Ankreise - Dreiecksberechnung - Berechnung Dreieck - Dreieck berechnen - Höhen - Winkel - Winkelhalbierende - Seitenhalbierende - Dreieck

MathProf - Dreieck - Höhe - Seitenlänge - Fläche - Inkreis - Umkreis - Umfang - Zeichnen - Winkel - Dreiecksfläche - Flächenschwerpunkt - Ankreise- Dreiecksberechnung - Berechnung Dreieck - Dreieck berechnen - Höhen - Winkel - Hypotenuse - Winkelhalbierende - Seitenhalbierende - Dreieck

Gehen Sie folgendermaßen vor, um ein allgemeines Dreieck, von welchem drei der o.a. Größen bekannt sind, berechnen zu lassen und anschließend weitere Untersuchungen interaktiv durchzuführen:

  1. Geben Sie die Werte dreier o.a. Größen in die entsprechenden Felder ein und lassen Sie alle anderen Felder leer. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  2. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen gibt das Programm die ermittelten Resultate in einer Tabelle aus.
     
  3. Um sich das Dreieck grafisch ausgeben zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Es wird das Dreieck dargestellt, welches durch Eingabewerte definiert wurde.
     
  4. Lassen Sie sich bei Bedarf Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Umkreis, Höhe, Mittelsenkrechten, Inkreis und Ankreise durch die Aktivierung entsprechender Kontrollkästchen darstellen.
     
  5. Sollen die Eigenschaften des berechneten Dreiecks interaktiv verändert werden und das gesamte Dreieck mittels Mausoperationen bewegt werden, so aktivieren Sie zunächst das Kontrollkästchen Anfasser, klicken anschließend in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Markierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  6. Sollen die Koordinatenwerte einzelner Punkte verwendet werden, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular bedienen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  7. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Wurden die Werte zu weniger oder zu vieler Größen eingegeben, so erhalten Sie eine Fehlermeldung. Eine weitere Voraussetzung zur Durchführbarkeit von Berechnungen ist, dass mit den eingegebenen Größen ein Dreieck eindeutig bestimmt werden kann - ist dies nicht der Fall, so wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Durch bestimmte Werteingaben kann es vorkommen, dass ein Dreieck nicht eindeutig beschrieben werden kann. Es wird hierbei aber stets eine der möglichen Lösungen ausgegeben und dargestellt. Die Schaltfläche Darstellen ist ausschließlich nach einer zuvor erfolgreich durchgeführten Berechnung bedienbar.

 

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks bei dessen Darstellung anzeigen zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung wird Ihnen nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt, mit welchem Sie die Möglichkeit haben weitere Untersuchungen mit einem Dreieck durchzuführen. Durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen können Sie folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung wirksam werden:

 

MathProf - Dreieck - Mittelsenkrechte - Seitenhalbierende - Höhe - Innenwinkel - Ankreis - Sinussatz
 

  • Seitenhalbierende: Ein-/Ausblendung der Seitenhalbierenden des Dreiecks
  • Winkelhalbierende: Ein-/Ausblendung der Winkelhalbierenden des Dreiecks
  • Umkreis: Ein-/Ausblendung des Umkreises des Dreiecks
  • Höhe: Ein-/Ausblendung der Höhe des Dreiecks
  • Mittelsenkrechten: Ein-/Ausblendung der Mittelsenkrechten des Dreiecks
  • Inkreis: Ein-/Ausblendung des Inkreises des Dreiecks
  • Ankreise: Ein-/Ausblendung der Ankreise des Dreiecks
     
  • P beschriften: Beschriftung der Mausfangpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung der Dreiecksfläche ein-/ausschalten
  • Seitenbez.: Seitenbezeichnung des Dreiecks ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte

Allgemeines Dreieck – Interaktiv

 

Beispiel


Von einem beliebigen Dreieck seien die Werte folgender Größen bekannt:

Seitenlänge: a = 1

Seitenlänge: c = 3

Innenwinkel: β = 30°

Nach Eingabe dieser in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen erhalten Sie die Werte für die restlichen Größen des Dreiecks:

Seitenlänge: b = 2,192

 

Innenwinkel: α = 13,187°

Innenwinkel: γ = 136,813°

 

Höhe ha = 1,5

Höhe hb = 0,684

Höhe hc = 0,5

 

Flächeninhalt des Dreiecks: A = 0,75 FE

Umfang des Dreiecks: U = 6,192

 

Radius des Inkreises: ri = 0,242

Mittelpunkt des Inkreises: MI (2,096 / 0,242)

 

Radius des Umkreises: ru = 2,192

Mittelpunkt des Umkreises: MU (1,5 / -1,598)

 

Länge der Winkelhalbierende auf Seite a: wa = 2,516

Länge der Winkelhalbierende auf Seite b: wb = 1,449

Länge der Winkelhalbierende auf Seite c: wc = 0,505

 

Länge der Seitenhalbierende auf Seite a: sa = 2,579

Länge der Seitenhalbierende auf Seite b: sb = 1,949

Länge der Seitenhalbierende auf Seite c: sc = 0,807

 

Radius des Ankreises auf Seite a: ra = 0,358

Mittelpunkt des Ankreises auf Seite a: MPA (3,096 / 0,358)

 

Radius des Ankreises auf Seite b: rb = 0,83

Mittelpunkt des Ankreises auf Seite b: MPB (-0,096 / 0,83)

 

Radius des Ankreises auf Seite c: rc = 7,822

Mittelpunkt des Ankreises auf Seite c: MPC (0,904 / -7,822)

 

Die Ortskoordinatenwerte der Eckpunkte A, B und C des Dreiecks werden ausgegeben mit:

 

A (0 / 0)

B (3 / 0)

C (2,134 / 0,5)

 

Der Schwerpunkt des Dreiecks besitzt die Koordinatenwerte: S (1,711 / 0,167)
 

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