PhysProf - Gedämpfte Schwingung - Aperiodische Schwingungen
Fachthema: Gedämpfte mechanische Schwingung
PhysProf - Mechanik - Physik verstehen - Ein Programm zur Visualisierung physikalischer Sachverhalte aus der Naturwissenschaft mittels Simulationen und 2D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure und alle die sich hierfür interessieren. Es beinhaltet Anwendungen zu Grundlagen der Physik wie auch zu komplexeren Fachthemen.
Online-Hilfe für das Modul
zur Veranschaulichung geltender Gesetzmäßigkeiten und vorliegender Sachverhalte, welche bei der Bewegung eines vertikal angeordneten Federpendels herrschen.
Dieses Unterprogramm ermöglicht die Durchführung der Steuerung entsprechender Abläufe zur Echtzeit und bietet die Möglichkeit, die Einflüsse relevanter Größen interaktiv zu untersuchen.
Es unterstützt dabei ein tiefergehendes Verständnis zu diesem Themengebiet zu erlangen und kann zum Lösen vieler diesbezüglich relevanter Aufgaben eingesetzt werden.
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Gedämpfte mechanische Schwingung
Modul Gedämpfte mechanische Schwingung
Mit Hilfe des Unterprogamms [Mechanik I] - [Gedämpfte mechanische Schwingung] können Zusammenhänge, welche bei der Bewegung eines vertikal angeordneten Federpendels vorherrschen, untersucht werden.
Gedämpfte Schwingung - Abbildung 1
Gedämpfte Schwingung - Abbildung 2
Allgemeines
Gedämpfte harmonische Schwingung - Freie gedämpfte Schwingung:
Mit dem Begriff freie gedämpfte Schwingung (oder gedämpfte harmonische Schwingung) wird eine Schwingung beschrieben, bei der sich ein Körper um eine Ruhelage bewegt. Als Dämpfung wird das Abnehmen einer Amplitude während des zeitlichen Verlaufs einer Schwingung bezeichnet. Sie resultiert aus der Umwandlung der Schwingungsenergie in andere Energieformen wie beispielsweise Wärmeenergie, welche unter anderem durch wirkende Reibungskräfte und Luftwiderstand verursacht wird. Als Auswirkung dieser Einflüsse zeigt sich die Abnahme der Auslenkung bis zum Erreichen der Ausgangsposition.
Hinweis:
Die nachfolgend verwendeten Zeichen d und δ für den Abklingkoeffizienten eines schwingenden Systems besitzen die selbe Bedeutung.
Elongation (Auslenkung):
Die zeitabhängige Elongation (Auslenkung) der Amplitude einer derartigen Schwingung wird mit einer Exponentialfunktion beschrieben. Diese lautet:
Der Wert einer zu einer bestimmten Zeit vorhandenen Elongation kann wie folgt beschrieben werden:
oder
Hierbei wird die Stärke (Intensität) der Dämpfung mit der Dämpfungskonstante D beschrieben und die Abnahme der Elongation in Bezug zur Zeit wird durch den Faktor e-dt bestimmt.
Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad):
Das Dämpfungsmaß (oder Lehrsches Dämpfungsmaß) ist ein Maß für die Dämpfung eines schwingenden Systems. Für dieses gilt:
Eine Dämpfung bewirkt die zeitliche Veränderung der Schwingungsdauer und der Frequenz eines derartigen Systems.
Freie Schwingung:
Freie Schwingungen werden von einem schwingungsfähigen System ausgeführt, welches nach dem Auftreten einer Störung selbstständig in seinen Gleichgewichtszustand zurückkehrt.
Eigenfrequenzen:
Als Eigenfrequenzen werden die Frequenzen eines derartigen Systems bezeichnet, mit denen dieses ohne den Einfluss externer Kräfte nach dessen erstmaligem Anstoß schwingen kann. Jede Schwingung eines Systems kann mittels seiner Eigenschwingungen interpretiert werden.
Amplitudenverhältnis (Dämpfungsverhältnis):
Als Amplitudenverhältnis (Dämpfungsverhältnis) wird der Quotient bezeichnet, der aus den Amplituden zweier aufeinanderfolgender Amplituden gebildet wird. Für dieses gilt:
qn = ŷi / ŷi+1
qn: Amplitudenverhältnis
d,δ: Abklingkoeffizient
e: Eulersche Zahl = 2,71828 ...
t: Zeit [s]
ŷ: Amplitude
ŷ0: Anfangswert der Amplitude (bei t = 0)
D: Dämpfungsmaß
m: Masse
ω0: Eigenkreisfrequenz der Schwingung
Gedämpftes Federpendel
Ein Körper mit der Masse m befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante D. Der Körper und die Feder können sich ausschließlich in vertikaler Richtung bewegen. Das gesamte System befindet sich in einem viskosen Medium z.B. Wasser. Auf den Körper (und die Feder) wirken Reibungskräfte. Eine solche Anordnung wird als gedämpftes Federpendel bezeichnet.
Lenkt man den Körper in vertikaler Richtung aus der Ruhelage aus, hält ihn dort fest und lässt ihn daraufhin wieder los, so führt er eine periodische Bewegung aus.
Aufgrund dieser Annahmen wirken auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung zwei Kräfte. Es sind dies:
- die rücktreibende Kraft der Feder
- die Reibungskraft zwischen dem Medium und dem Körper
Aus diesen Zusammenhängen kann die nachfolgend gezeigte homogene Differentialgleichung 2. Ordnung (Schwingungsgleichung) zur Beschreibung der Elongation hergeleitet werden. Diese lautet:
Die Lösung dieser Differentialgleichung führt zu folgenden Fällen:
1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall): D/m > δ2
2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall): D/m > δ2
3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall): D/m < δ2
mit
und
Lösung der DGL im 1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall) D/m > δ2:
Lösung der DGL im 2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall) D/m > δ2:
Lösung der DGL im 3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall) D/m < δ2:
mit
ŷ: Anfangswert der Amplitudenhüllkurve [m]
y: Elongation (Auslenkung zur Zeit t) [m]
t: Zeit [s]
ω0: Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung [1/s]
δ: Dämpfungskoeffizient [1/s]
k: Reibungskonstante [kg/s]
e: Eulersche Zahl = 2,71828 ...
D: Federkonstante [N/m]
m: Masse des Körpers [kg]
Programmbedienung
Dieses Unterprogramm simuliert eine gedämpfte mechanische Schwingung anhand des Beispiels einer an eine Feder angehängten Masse. Wird die Feder nach zuvor beschriebener Methode gedehnt und losgelassen, so entsteht eine Schwingung, deren Elongation im Laufe der Zeit t durch oben aufgeführte Einflüsse abnimmt.
Um eine derartig ablaufende Animation ausführen zu lassen, legen Sie durch die Benutzung der Rollbalken die Werte für die Parameter Masse m, Federkonstante D, Dämpfungskoeffizient δ und den Amplitudenwert ymax fest. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens Hüllkurven veranlasst das Programm dazu, die Hüllkurven der Amplituden darzustellen.
Starten können Sie den Vorgang, indem Sie den Schalter Start bedienen. Durch die Ausführung eines erneuten Klicks auf diese Schaltfläche, welche hierauf die Bezeichnung Stop besitzt, beenden Sie die ablaufende Simulation wieder. Ein Klick auf die Schaltfläche Urzustand versetzt die Darstellung wieder in ihren Anfangszustand.
Während der Simulation werden die momentane Elongation (Y-Wert), sowie die seit dem Start verstrichene Zeit t in s angezeigt. Besitzen die Amplitudenwerte der Schwingung einen Wert nahe 0, so wird die Animation automatisch beendet.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Mechanik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Elektrotechnik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Optik - Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik sowie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Linear gedämpfte Schwingung zu finden.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Schräger Wurf - Schiefer Wurf, Waagerechter Wurf - Horizontaler Wurf, Hookesches Gesetz, Mechanische Arbeit, Zweites Newtonsches Gesetz, Drittes Newtonsches Gesetz, Gedämpfte mechanische Schwingung, Bewegungen auf einer Kreisbahn, Hebelgesetz, Chaotisches Doppelpendel, Mathematisches Pendel, Freier Fall und Luftwiderstand, Harmonische Schwingungen, Molekularbewegungen, Brownsche Bewegungen, Potentielle und kinetische Energie, Ideale Strömung - Volumenstrom, Druck in Flüssigkeiten, Wellen - Simulationen, Zusammengesetzte Bewegung, Bewegungen in der Ebene, Carnotscher Kreisprozess, Adiabatische Zustandsänderung, Isotherme Zustandsänderung, Isobare Zustandsänderung, Isochore Zustandsänderung, Beugung am Spalt, Hohlspiegel, Sammellinse, Zerstreuungslinse, Wechselstromkreise, RLC-Kreis - RLC-Schaltung, RL-Kreis - RL-Schaltung, RC-Kreis - RC-Schaltung, Resonanz - Resonanzkurve, Widerstände im Wechselstromkreis, Schwingungen und deren Überlagerung, Plattenkondensator, Ladung und Entladung von Kondensatoren, Reihenschaltung und Parallelschaltung, Lissajou-Figuren, 1. Keplersches Gesetz, 2. Keplersches Gesetz, 3. Keplersches Gesetz
4-Takt-Ottomotor - Impulssatz - Gleichförmige und gleichförmig beschleunigte Bewegung - Bewegung und Geschwindigkeit - Geschwindigkeit und Beschleunigung - Wellen - Druck in Flüssigkeiten - Ideale Strömung - Kinetische und potentielle Energie - Brownsche Bewegung - Molekularbewegung - Harmonische Schwingungen - Kreisbahnbewegung - Auftrieb - Geneigte Ebene - Freier Fall - Waagerechter und schiefer Wurf - Pendel - Chaos-Doppelpendel - Rolle und Flaschenzug - Balkenwaage - Hebelgesetz - Zweites Newtonsches Gesetz - Drittes Newtonsches Gesetz - Mechanische Arbeit - Hookesches Gesetz
Unterprogramm Gedämpfte mechanische Schwingung
PhysProf 1.1 - Unterprogramm RLC-Kreis
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven in Parameterform
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Physik interaktiv
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm,welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Eine Übersicht aller in MathProf 5.0 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im MathProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
