PhysProf - Gedämpfte mechanische Schwingung

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Gedämpfte mechanische Schwingung


Mit Hilfe des Unterprogamms [Mechanik I] - [Gedämpfte mechanische Schwingung] können Zusammenhänge, welche bei der Bewegung eines vertikal angeordneten Federpendels vorherrschen, untersucht werden.

PhysProf - Gedämpfte Schwingung

Ein Körper mit der Masse m befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante D. Der Körper und die Feder können sich ausschließlich in vertikaler Richtung bewegen. Das gesamte System befindet sich in einem viskosen Medium z.B. Wasser. Auf den Körper (und die Feder) wirken viskose Reibungskräfte. Eine solche Anordnung wird als gedämpftes Federpendel bezeichnet.

Lenkt man den Körper in vertikaler Richtung aus der Ruhelage aus, hält ihn dort fest und lässt ihn daraufhin wieder los, so führt er eine periodische Bewegung aus.

Aufgrund dieser Annahmen wirken auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung zwei Kräfte. Es sind dies:

- Die rücktreibende Kraft der Feder.
- Die Reibungskraft zwischen dem Medium und dem Körper.

 

Aus diesen Zusammenhängen kann die nachfolgend gezeigte homogene Differentialgleichung 2. Ordnung zur Beschreibung der Elongation hergeleitet werden:
 

Gedämpfte Schwingung - Gleichung - 1

Die Lösung dieser Differentialgleichung führt zu folgenden Fällen:

1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall): D/m > δ2

2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall): D/m > δ2

3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall): D/m < δ2

mit
 

Gedämpfte Schwingung - Gleichung - 2

und

Gedämpfte Schwingung - Gleichung - 3

Lösung der DGL im 1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall) D/m > δ2:

Gedämpfte Schwingung - Gleichung - 4

Lösung der DGL im 2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall) D/m > δ2:
 

Gedämpfte Schwingung - Gleichung - 5

Lösung der DGL im 3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall) D/m < δ2:

Gedämpfte Schwingung - Gleichung - 6

mit

Gedämpfte Schwingung - Gleichung - 7

ymax: Anfangswert der Amplitudenhüllkurve [m]

y: Elongation (Auslenkung zur Zeit t) [m]

t: Zeit [s]

ω0: Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung [1/s]

δ: Dämpfungskoeffizient [1/s]

k: Reibungskonstante [kg/s]

D: Federkonstante [N/m]

m: Masse des Körpers [kg]
 

Programmbedienung

Dieses Unterprogramm simuliert eine gedämpfte mechanische Schwingung anhand des Beispiels einer an eine Feder angehängten Masse. Wird die Feder nach zuvor beschriebener Methode gedehnt und losgelassen, so entsteht eine Schwingung, deren Elongation im Laufe der Zeit t durch oben aufgeführte Einflüsse abnimmt.

Um eine derartig ablaufende Animation ausführen zu lassen, legen Sie durch die Benutzung der Rollbalken die Werte für die Parameter Masse m, Federkonstante D, Dämpfungskoeffizient δ und den Amplitudenwert ymax fest. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens Hüllkurven veranlasst das Programm dazu, die Hüllkurven der Amplituden darzustellen.

Starten können Sie den Vorgang, indem Sie den Schalter Start bedienen. Durch die Ausführung eines erneuten Klicks auf diese Schaltfläche, welche hierauf die Bezeichnung Stop besitzt, beenden Sie die ablaufende Simulation wieder. Ein Klick auf die Schaltfläche Urzustand versetzt die Darstellung wieder in ihren Anfangszustand.

Während der Simulation werden die momentane Elongation (Y-Wert), sowie die seit dem Start verstrichene Zeit t in s angezeigt. Besitzen die Amplitudenwerte der Schwingung einen Wert nahe 0, so wird die Animation automatisch beendet.
 

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