MathProf - Kubische Gleichung in spezieller Form

 

Online-Hilfe für das Modul
zur Analyse und Darstellung kubischer Funktionen (kubische Gleichung - Parabel dritter Ordnung - kubische Parabel) in spezieller Form unter dem Einfluss verschiedener Parameter inkl. der Durchführung einer Kurvendiskussion zur Bestimmung derer Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. Die Darstellung der 1. Ableitung und der 2. Ableitung der kubischen Funktion kann ebenfalls veranlasst werden.

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Mit Hilfe des Moduls [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Kubische Funktion in spezieller Form können Untersuchungen mit kubischen Funktionen in spezieller Form durchgeführt werden.

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Analyse einer Funktion 3. Grades (kubische Gleichung - Parabel dritter Ordnung - kubische Parabel - Parabel dritten Grades) der Form:

f(x) = a (x – b)³ + c.
 

Eine Veränderung der Parameter beeinflusst/bewirkt:

a: Streckung bzw. Stauchung der kubischen Funktion

b: Verschiebung der Parabel dritter Ordnung in x-Richtung

c: Verschiebung der Parabel dritter Ordnung in y-Richtung

Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken können die Parameter a, b und c der Funktion variiert werden. Das Programm ermittelt außerdem vorhandene Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der dargestellten Funktion und ermöglicht eine Einblendung derer 1. sowie 2. Ableitung. Die Gleichung der dargestellten Funktion in allgemeiner Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d wird ebenfalls ausgegeben.
 

Darstellung

Um das Verhalten der Funktion 3. Grades in Abhängigkeit von Parametern zu untersuchen, sollten Sie Folgendes durchführen:

1. Verändern Sie die Parameter a, b und c der Funktion durch die Bedienung der entsprechenden Rollbalken Parameter a, Parameter b und Parameter c.
    
2. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung bzw. der 2. Ableitung der Funktion erfolgen soll.
    

3. Wählen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung des Kontrollkästchens Kurvendiskussion, ob mit der dargestellten Funktion eine Kurvendiskussion durchgeführt werden soll.
    

4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:

- Nullstellen der dargestellten Funktion (N: Nullstelle)

- Extrema (Extremstellen) der dargestellten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)

- Wendepunkte (Wendestellen) der dargestellten Funktion (W: Wendepunkt ; Wendestelle)

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Hilfslinien: Anzeige von Hilfslinien ein-/ausschalten
• P darstellen: Anzeige der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Mathematische Funktionen I

Kubische Funktionen in allgemeiner Form

Kurvendiskussion

Werden den Parametern der Funktionsgleichung durch die Positionierung der entsprechenden Rollbalken die Werte a = 3, b = -0,5 und c = 1 zugewiesen, so ermittelt das Programm für die Eigenschaften der dargestellten Funktion f(x) = 3·(x + 0,5)³ + 1 Folgendes:

Sie besitzt eine reelle Nullstelle in Punkt N1 (-1,193 / 0) sowie einen Wendepunkt bei W (-0,5 / 1) und schneidet die y-Achse in Punkt S1 (0 / 1,375). Die Gleichung dieser Funktion in allgemeiner Form lautet: f(x) = 3·x³ +  4,5·x² +  2,25·x + 1,375.
 

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