MathProf - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differenzengleichung

MathProf - Mathematik-Software - Differentialgleichungen lösen | Ordnung | Lineare DGL

Fachthemen: Differentialgleichungen 1. Ordnung - Heun-Verfahren - Euler-Verfahren - Runge-Kutta-Verfahren

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zur Anwendung verschiedener Algorithmen, zum Lösen vieler Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte und Zusammenhänge mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur und das Ingenieurstudium sowie für alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Differentialgleichungen lösen | Ordnung | Lineare DGL

Online-Hilfe
für das Modul zur Berechnung der Lösungen von Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Das Programm berechnet hierbei die Lösung der gestellten Aufgabe und gibt die ermittelten Ergebnisse in einer Tabelle aus. Des Weiteren erfolgt das Zeichnen des Graphen der zugehörigen Lösungskurve.

Auch besteht in diesem Unterprogramm unter Anwendung der Numerik die Möglichkeit der Durchführung eines Verfahrensvergleichs zwischen dem Heun-Verfahren, dem expliziten Euler-Verfahren und dem Runge-Kutta-Verfahren. Methoden dieser Art werden zur numerischen Berechnung der Lösungen von DGL erster Ordnung unter Einsatz der sukzessiven Approximation verwendet.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Differentialgleichung - Numerische Verfahren - DGL - Numerische Lösung - Differentialgleichung 1. Ordnung lösen - DGL 1. Ordnung lösen - Differenzengleichung - Differentialrechner - Differentialgleichung lösen - Rechner für DGL 1. Ordnung - Lineare Differentialgleichung - Lineare Differenzengleichung - Differentialgleichung erster Ordnung - Lineare DGL lösen - Nichtlineare DGL lösen - DGL lösen - Nichtlineare Differentialgleichung - Anfangswertprobleme lösen - Anfangswert - Anfangswertbedingung - Explizites Euler-Verfahren - Euler-Verfahren - Heun-Verfahren - Euler-Methode - Runge-Kutta-Verfahren - Heun-Methode - Einschrittverfahren - Mehrschrittverfahren - Polygonzugverfahren - Numerik - Numerische Methoden zur Ermittlung der Lösungen von Differentialgleichungen - Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung - Lösungskurve von DGL 1. Ordnung - Numerische Lösung von Differentialgleichungen - Numerik - Lösungskurven berechnen - Lineare Systeme - Inhomogene Differentialgleichung - Homogene Differenzengleichung - Numerische Lösung einer DGL - Rechner zum Lösen von Differentialgleichungen 1. Ordnung - Exakte DGL - Homogene DGL lösen - DGL numerisch lösen - Exakte Lösungen von DGL - Exakte Lösung - Exakte Differentialgleichung - Anfangswertaufgabe - Anfangswertproblem - Randwertproblem - Randwerte - Randwertbedingung - Homogene Funktion - Integrationskonstante - Numerische Lösungen von Differentialgleichungen 1. Ordnung - Numerisch - Plotten - Methoden - Verfahren - Berechnen - Graph - Grafisch - Plotter - Rechner - Grafik - Bilder - Darstellung - Plot - Lösungskurven - Berechnung - Lösung - Darstellen - Tabelle - Lösen - Beispiel - Präsentation - Konstante Koeffizienten - Koeffizienten - Numerische Verfahren zur Ermittlung der Lösungen von Differentialgleichungen - Lösungsverfahren zur Ermittlung der Lösungen von DGL 1. Ordnung - DGL numerisch lösen - Lösungsverfahren für DGL - Tabelle der Lösungen von Differentialgleichungen 1. Ordnung - DGL erster Ordnung

 
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DGL 1. Ordnung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Differentialgleichungen] - DGL 1. Ordnung ermöglicht es, (u.a. lineare) Differentialgleichungen erster Ordnung numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

MathProf - DGL erster Ordnung - Differentialgleichung 1. Ordnung - Lösen - Homogen - Beispiel - Rechner - DGL lösen - Nichtlineare DGL - Anfangswertproblem


Eine Gleichung in der die 1. Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differentialgleichung 1. Ordnung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden.

 

DGL 1. Ordnung
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - DGL 1. Ordnung - Lösen - Homogen - Beispiel - Rechner - Lineare DGL - Lösungskurve - DGL erster Ordnung - Differentialgleichung - DGL lösen - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Nichtlineare DGL - Anfangswertproblem - Lösungskurve

 

Bei Wahl des Registerblatts DGL 1. Ordnung ermittelt dieses Unterprogramm die Lösungskurve y = y(x) einer derartigen Differentialgleichung erster Ordnung vom Typ dy/dx = y' = f(x,y) durch die Verwendung des Verfahrens nach Runge-Kutta, welches im Verhältnis zum Eulerschen Streckenzugverfahren eine höhere Stabilität aufweist, da es durch die Verwendung einer automatischen Schrittweitensteuerung versucht, auftretende Rundungsfehler möglichst klein zu halten.

 

Das Programm verwendet die in den Eingabefeldern x0 = und y0 = festgelegten Startwerte zur Durchführung der Berechnungen und zur Ausgabe der grafischen Darstellung.
 

Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um die Lösungskurve einer Differenzialgleichung 1. Ordnung ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:

  1. Definieren Sie die zu analysierende Gleichung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, in dem dafür vorgesehenen Eingabefeld dy/dx =.
     
  2. Tragen Sie in die Felder x0 = sowie y0 = die entsprechenden Startwerte (Anfangswerte) ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse numerischer Berechnungen ausgegeben werden sollen.
     
  3. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken (Anz. Schritte) die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Um sich die Lösungskurve grafisch ausgeben zu lassen, bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.

    Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf ausgegeben.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Verfahrensvergleich

 

MathProf - Runge-Kutta-Methode - Heun-Methode - Euler-Methode - Differentialgleichnung - DGL 1. Ordnung - DGL lösen - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Beispiel - DGL 1. Ordnung - Rechner - Anfangswertproblem - Euler-Verfahren - Runge-Kutta-Verfahren - Heun-Verfahren

 

Wird das Registerblatt Verfahrensvergleich gewählt, so ermöglicht es das Programm, die Lösungen von Differentialgleichungen 1. Ordnung mit Hilfe der folgenden Verfahren numerisch ermitteln zu lassen:
 

  • Runge-Kutta-Verfahren
  • Heun-Methode (Heun-Verfahren)
  • Euler-Methode (Euler-Verfahren)

Um zwei dieser Methoden zu vergleichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierte, Differentialgleichung 1. Ordnung im Eingabefeld mit der Bezeichnung dy/dx =.
     
  2. Tragen Sie in die Felder x0 = sowie y0 = die entsprechenden Startwerte (Anfangswerte) ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse ausgegeben werden sollen.
     
  3. Wählen Sie zwei (zu vergleichende) Verfahren aus den aufklappbaren Boxen.
     
  4. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken (Anz. Schritte) die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die ermittelten Werte werden in den Tabellen ausgegeben.
 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL n-ter Ordnung

DGL–Gleichungssystem

Richtungsfelder DGL - Interaktiv

 

Beispiel - Differentialgleichung 1. Ordnung


Wird die Differentialgleichung y' = dy/dx = y+ex analytisch gelöst, so ergibt sich die Funktionsschar y = (x+1)·ex·C.

Vorgehensweise:

Wählen Sie das Registerblatt DGL 1. Ordnung, um die Lösungen dieser DGL im Intervall 0  x 1 numerisch ermitteln zu lassen und definieren Sie die Differentialgleichung dy/dx = y+ex, indem Sie im Eingabefeld dy/dx = die Zeichenfolge Y+E^X eingeben. Geben Sie die Zahlen 0 und 1 zur Festlegung der Startwerte (Anfangswerte) in die dafür vorgesehenen Felder x0 = und y0 = ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 1 fest.

Positionieren Sie den Rollbalken Anz. Schritte auf 500, so erhalten Sie nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, für die gestellte Anfangswertbedingung y(0) = 1, folgende Ergebnisse (Auszug).
 

X Y
0 1,0000
0,1 1,21569
0,2 1,46368
0,3 1,75482
0,4 2,08855
0,5 2,47308
0,6 2,91539
0,7 3,42388
0,8 4,00597
0,9 4,67324
1,0 5,43656


Wie zu erkennen ist, entsprechen diese numerisch ermittelten Werte denen, welche die analytisch ermittelte Funktion y = (x+1)·ex in diesem Bereich besitzt, sehr gut.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - DGL 1. Ordnung - Differentialgleichungen erster Ordnung - Lösungskurve - Lösungskurven - DGL - Homogen - Inhomogen - Lösung - Rechner - Berechnen - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL erster Ordnung - DGL lösen - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Nichtlineare DGL - Anfangswertproblem
MathProf - DGL 1. Ordnung - Differentialgleichungen erster Ordnung - DGL erster Ordnung - Lösen - Differentialgleichung - Graphisch - Plotten - Graph - Zeichnen - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL erster Ordnung - DGL lösen - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Nichtlineare DGL - Anfangswertproblem
MathProf - DGL 1. Ordnung - Differentialgleichungen - Anfangsbedingungen - Numerisch - Ordnung - Startwert - Anfangswert - Rechner - Runge-Kutta - Lösen - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL erster Ordnung - DGL lösen - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Nichtlineare DGL - Anfangswertproblem

MathProf - Differentialgleichungen - Heun-Methode - Heun-Verfahren - Euler-Methode - Euler-Verfahren - Runge-Kutta-Verfahren - Runge-Kutta-Methode - Rechner - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL erster Ordnung - DGL lösen - Anfangswertproblem

    
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten. 
  
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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