MathProf - Differentialgleichung - Differentialgleichung 1. Ordnung - Gewöhnliche Differentialgleichungen - Berechnung - DGL erster Ordnung - Anfangswertproblem

MathProf - Mathematik-Software - Differentialgleichungen lösen | Ordnung | Lineare DGL

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MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Differentialgleichungen lösen | Ordnung | Lineare DGL

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und Zeichnen der Graphen der Lösungskurven von Differentialgleichungen 1. Ordnung (DGL 1. Ordnung).

In diesem Unterprogramm kann neben der Berechnung und Darstellung der Lösungskurven derartiger Differentialgleichungen zudem ein Verfahrensvergleich zwischen der Heun-Methode, dem expliziten Euler-Verfahren und dem Runge-Kutta-Verfahren veranlasst werden, welche zur numerischen Berechnung der Lösungen von DGL erster Ordnung unter Anwendung der sukzessiven Approximation durchgeführt werden.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Differentialgleichung 1. Ordnung lösen - DGL 1. Ordnung lösen - Rechner für DGL 1. Ordnung - Lineare Differentialgleichung - Lineare DGL lösen - Nichtlineare DGL lösen - Anfangswertprobleme lösen - Anfangswert - Anfangswertbedingung - Explizites Euler-Verfahren - Euler-Methode - Runge-Kutta-Verfahren - Heun-Verfahren - Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung - Lösungskurve von DGL 1 . Ordnung - Numerische Lösung von Differentialgleichungen - Inhomogene Differentialgleichung - Numerische Lösung einer DGL - Rechner zum Lösen von Differentialgleichungen 1. Ordnung - Homogene DGL lösen - Anfangswertaufgabe - Numerische Verfahren zur Ermittlung der Lösungen von Differentialgleichungen - Lösungsverfahren zur Ermittlung der Lösungen von DGL 1. Ordnung - Tabelle der Lösungen von Differentialgleichungen 1. Ordnung

 

DGL 1. Ordnung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Differentialgleichungen] - DGL 1. Ordnung ermöglicht es, (u.a. lineare) Differentialgleichungen erster Ordnung numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

MathProf - DGL erster Ordnung - Differentialgleichung 1. Ordnung - Lösen - Homogen - Beispiel - Rechner - DGL lösen - Nichtlineare DGL - Anfangswertproblem


Eine Gleichung in der die 1. Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differentialgleichung 1. Ordnung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden.

 

DGL 1. Ordnung
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - DGL 1. Ordnung - Lösen - Homogen - Beispiel - Rechner - Lineare DGL - Lösungskurve - DGL erster Ordnung - Differentialgleichung - DGL lösen - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Nichtlineare DGL - Anfangswertproblem - Lösungskurve

 

Bei Wahl des Registerblatts DGL 1. Ordnung ermittelt dieses Unterprogramm die Lösungskurve y = y(x) einer derartigen Differentialgleichung erster Ordnung vom Typ dy/dx = y' = f(x,y) durch die Verwendung des Verfahrens nach Runge-Kutta, welches im Verhältnis zum Eulerschen Streckenzugverfahren eine höhere Stabilität aufweist, da es durch die Verwendung einer automatischen Schrittweitensteuerung versucht, auftretende Rundungsfehler möglichst klein zu halten.

 

Das Programm verwendet die in den Eingabefeldern x0 = und y0 = festgelegten Startwerte zur Durchführung der Berechnungen und zur Ausgabe der grafischen Darstellung.
 

Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um die Lösungskurve einer Differenzialgleichung 1. Ordnung ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:

  1. Definieren Sie die zu analysierende Gleichung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, in dem dafür vorgesehenen Eingabefeld dy/dx =.
     
  2. Tragen Sie in die Felder x0 = sowie y0 = die entsprechenden Startwerte (Anfangswerte) ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse numerischer Berechnungen ausgegeben werden sollen.
     
  3. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken (Anz. Schritte) die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Um sich die Lösungskurve grafisch ausgeben zu lassen, bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.

    Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf ausgegeben.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Verfahrensvergleich

 

MathProf - Runge-Kutta-Methode - Heun-Methode - Euler-Methode - Differentialgleichnung - DGL 1. Ordnung - DGL lösen - Differentialgleichung 1. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Beispiel - DGL 1. Ordnung - Rechner - Anfangswertproblem - Euler-Verfahren - Runge-Kutta-Verfahren - Heun-Verfahren

 

Wird das Registerblatt Verfahrensvergleich gewählt, so ermöglicht es das Programm, die Lösungen von Differentialgleichungen 1. Ordnung mit Hilfe der folgenden Verfahren numerisch ermitteln zu lassen:
 

  • Runge-Kutta-Verfahren
  • Heun-Methode (Heun-Verfahren)
  • Euler-Methode (Euler-Verfahren)

Um zwei dieser Methoden zu vergleichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierte, Differentialgleichung 1. Ordnung im Eingabefeld mit der Bezeichnung dy/dx =.
     
  2. Tragen Sie in die Felder x0 = sowie y0 = die entsprechenden Startwerte (Anfangswerte) ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse ausgegeben werden sollen.
     
  3. Wählen Sie zwei (zu vergleichende) Verfahren aus den aufklappbaren Boxen.
     
  4. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken (Anz. Schritte) die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die ermittelten Werte werden in den Tabellen ausgegeben.
 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL n-ter Ordnung

DGL–Gleichungssystem

Richtungsfelder DGL - Interaktiv

 

Beispiel - Differentialgleichung 1. Ordnung


Wird die Differentialgleichung y' = dy/dx = y+ex analytisch gelöst, so ergibt sich die Funktionsschar y = (x+1)·ex·C.

Vorgehensweise:

Wählen Sie das Registerblatt DGL 1. Ordnung, um die Lösungen dieser DGL im Intervall 0  x 1 numerisch ermitteln zu lassen und definieren Sie die Differentialgleichung dy/dx = y+ex, indem Sie im Eingabefeld dy/dx = die Zeichenfolge Y+E^X eingeben. Geben Sie die Zahlen 0 und 1 zur Festlegung der Startwerte (Anfangswerte) in die dafür vorgesehenen Felder x0 = und y0 = ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 1 fest.

Positionieren Sie den Rollbalken Anz. Schritte auf 500, so erhalten Sie nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, für die gestellte Anfangswertbedingung y(0) = 1, folgende Ergebnisse (Auszug).
 

X Y
0 1,0000
0,1 1,21569
0,2 1,46368
0,3 1,75482
0,4 2,08855
0,5 2,47308
0,6 2,91539
0,7 3,42388
0,8 4,00597
0,9 4,67324
1,0 5,43656


Wie zu erkennen ist, entsprechen diese numerisch ermittelten Werte denen, welche die analytisch ermittelte Funktion y = (x+1)·ex in diesem Bereich besitzt, sehr gut.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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