MathProf - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichung)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

DGL (Differenzialgleichung) 1. Ordnung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Differenzialgleichungen] - DGL 1. Ordnung ermöglicht es, Differenzialgleichungen 1. Ordnung numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

MathProf - DGL - Ordnung

 

Eine Gleichung in der die 1. Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differenzialgleichung 1. Ordnung bezeichnet. Eine Differenzialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden.

 

DGL 1. Ordnung
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Darstellung - Differentialgleichung

 

Bei Wahl des Registerblatts DGL 1. Ordnung ermittelt dieses Unterprogramm die Lösungskurve y = y(x) einer derartigen Differenzialgleichung vom Typ dy/dx = y' = f(x,y) durch die Verwendung des Verfahrens nach Runge-Kutta, welches im Verhältnis zum Eulerschen Streckenzugverfahren eine höhere Stabilität aufweist, da es durch die Verwendung einer automatischen Schrittweitensteuerung versucht, auftretende Rundungsfehler möglichst klein zu halten.

 

Das Programm verwendet die in den Eingabefeldern x0 = und y0 = festgelegten Startwerte zur Durchführung der Berechnungen und zur Ausgabe der grafischen Darstellung.
 

Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um die Lösungskurve einer Differenzialgleichung 1. Ordnung ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:

  1. Definieren Sie die zu analysierende Gleichung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, in dem dafür vorgesehenen Eingabefeld dy/dx =.
     
  2. Tragen Sie in die Felder x0 = sowie y0 = die entsprechenden Startwerte ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse numerischer Berechnungen ausgegeben werden sollen.
     
  3. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken (Anz. Schritte) die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Um sich die Lösungskurve grafisch ausgeben zu lassen, bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.

    Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf ausgegeben.

 

Verfahrensvergleich

 

MathProf - Euler - Methode

 

Wird das Registerblatt Verfahrensvergleich gewählt, so ermöglicht es das Programm, die Lösungen von Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit Hilfe der folgenden Verfahren numerisch ermitteln zu lassen:
 

  • Runge-Kutta-Verfahren
  • Heun-Methode
  • Euler-Methode

Um zwei dieser Methoden zu vergleichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierte, Differenzialgleichung 1. Ordnung im Eingabefeld mit der Bezeichnung dy/dx =.
     
  2. Tragen Sie in die Felder x0 = sowie y0 = die entsprechenden Startwerte ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse ausgegeben werden sollen.
     
  3. Wählen Sie zwei (zu vergleichende) Verfahren aus den aufklappbaren Boxen.
     
  4. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken (Anz. Schritte) die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die ermittelten Werte werden in den Tabellen ausgegeben.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL n-ter Ordnung

DGL – Gleichungssystem

Richtungsfelder DGL - Interaktiv

 

Beispiel


Wird die Differenzialgleichung y' = dy/dx = y+ex analytisch gelöst, so ergibt sich die Funktionsschar y = (x+1)·ex·C.

Vorgehensweise:

Wählen Sie das Registerblatt DGL 1. Ordnung, um die Lösungen dieser DGL im Intervall 0  x 1 numerisch ermitteln zu lassen und definieren Sie die Differenzialgleichung dy/dx = y+ex, indem Sie im Eingabefeld dy/dx = die Zeichenfolge Y+E^X eingeben. Geben Sie die Zahlen 0 und 1 zur Festlegung der Startwerte in die dafür vorgesehenen Felder x0 = und y0 = ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 1 fest.

Positionieren Sie den Rollbalken Anz. Schritte auf 500, so erhalten Sie nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, für die gestellte Anfangswertbedingung y(0) = 1, folgende Ergebnisse (Auszug).
 

X Y
0 1,0000
0,1 1,21569
0,2 1,46368
0,3 1,75482
0,4 2,08855
0,5 2,47308
0,6 2,91539
0,7 3,42388
0,8 4,00597
0,9 4,67324
1,0 5,43656


Wie zu erkennen ist, entsprechen diese numerisch ermittelten Werte denen, welche die analytisch ermittelte Funktion y = (x+1)·ex in diesem Bereich besitzt, sehr gut.
 

Module zum Themenbereich Algebra


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