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Modul Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen

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Das Modul [Komplex] - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen ermöglicht die Darstellung von zweidimensionalen Vektorfeldern von Funktionen komplexer Zahlen, sowie die Ausgabe zugehöriger Feldlinienverläufe.

 

 
Ein Vektorfeld ordnet den Punkten eines ebenen oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Vektor zu. Ein Vektorfeld (eine vektorwertige Funktion) bildet Vektoren einer Fläche (des Urbildraums) (x, y,z) auf Vektoren eines anderen Raums ab, wie z.B. u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z).

Stationäres Vektorfeld - Instationäres Vektorfeld:
Von einem stationaren Vektorfeld wird gesprochen, wenn dessen Zustand nicht von der Zeit abhängig ist. Ein instationäres Vektorfeld hingegen verändert sich im Laufe der Zeit.

Homogenes Vektorfeld - Inhomogenes Vektorfeld:
Ein Vektorfeld wird als homogen bezeichnet, wenn dessen Richtung, sowie der Betrag nicht ortsabhängig sind. In diesem Fall werden alle Vektoren des Urbildraums auf den gleichen Vektor im Zielraum abgebildet.

Für ein ebenes Vektorfeld von Funktionen komplexer Zahlen der Form w = f(z) = f(x+iy) gilt für das Vektorfeld:
 


Als Rotation eines Vektorfeldes wird das Maß für die Drehbewegung eines Vektorfeldes bezeichnet. Das Ergebnis dieser Drehung ist ebenfalllse ein Vektorfeld.
 
Das Programm gibt das durch derartige Gleichungen beschriebene Vektorfeld in Form einer Pfeildarstellung aus. Außerdem besteht die Möglichkeit, sich Feldlinien im Vektorfeld grafisch ausgeben zu lassen. Die Startwerte zur Ermittlung von Feldlinien sind frei definierbar.
 
Um sich zweidimensionale Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen darstellen zu lassen, sollten Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:
 

1. Definieren Sie den Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung dz/dt = unter Beachtung der geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
2. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Vektorfeld von Re z = und Vektorfeld bis Re z = sowie Vektorfeld von Im z = und Vektorfeld bis Im z = den rechteckigen Flächenbereich, über welchen die Darstellung des Vektorfelds ausgegeben werden soll.
    
3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Das Programm gibt das durch die Gleichung beschriebene Vektorfeld in Form einer Pfeildarstellung aus.
    
5. Bedienen Sie die Rollbalken Pfeillänge und Dichte um die Länge der dargestellten Vektorpfeile, sowie die gewünschte Auflösung festzulegen.

Um sich Feldlinienverläufe im Vektorfeld für bestimmte Startwerte Re z(t_n);Im z(t_n) ausgeben zu lassen, führen Sie zudem Folgendes aus:
 

1. Gehen Sie wie zuvor erläutert vor, legen Sie vor Aufruf der grafischen Darstellung in den Eingabefeldern Einstellungen für Kurvendarstellung den zur Ermittlung eines entsprechenden Kurvenverlaufs zu verwendenden Wertebereich für Parameter t fest (voreingestellt: 0 £ t £ 10) und wählen Sie durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel oder Fein, mit welcher Schrittweite Parameter t durchlaufen werden soll (voreingestellt: mittel).
    
2. Die Startwerte Re z(t_n);Im z(t_n) für bis zu 10 gleichzeitig darstellbare Feldlinienverläufe können Sie mit Hilfe frei positionierbarer Punkte festlegen:
    
   Erzeugen lassen können Sie Feldlinienverläufe, indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste anklicken. Löschen können Sie einen Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und die rechte Maustaste bedienen.
   
   Möchten Sie Punkte exakt positionieren und somit exakte Startwerte Re z(t_n);Im z(t_n) zur Ermittlung der Feldlinienverläufe festlegen, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
    
3. Benutzen Sie ggf. den Schieberegler Parameter t, um den voreingestellten, zu durchlaufenden Wertebereich für Parameter t zur Darstellung der Feldlinien zu verändern.
    
4. Enthält der Term das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des reellwertigen Parameters P zu untersuchen.
    
5. Um Untersuchungspositionen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung dieser wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt.
   
   Wählen Sie durch Aktivierung eines Kontrollschalters die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.
   
   Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 
   
Wurde ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines reellwertigen Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

 
Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines reellwertigen Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
• Punktmarkierung: Darstellung der Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Differenzialgleichungen komplexer Zahlen
Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv
   
Es gilt, sich das Vektorfeld ausgeben zu lassen, welches durch die komplexe Differenzialgleichung dz/dt = f(z) = sin(z/5) beschrieben wird und es sind Feldlinienverläufe mit verschiedenen Startwerten darzustellen.
 
Vorgehensweise:
 
Definieren Sie den Term SIN(Z/5) im dafür vorgesehenen Eingabefeld. Legen Sie in den Feldern Parameter t von t1 = und bis t2 = durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte einen zur Darstellung der Feldlinien zu durchlaufenden Parameterwertebereich 0 £ t £ 10 fest und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Das Vektorfeld wird grafisch ausgegeben.
 
Um sich auch Feldlinienverläufe anzeigen zu lassen, führen Sie einen einmaligen Klick mit der linken Maustaste auf den Darstellungsbereich aus. Es wird ein Punkt erzeugt und eine Feldlinie dargestellt.
 
Unter der Durchführung von Mausoperationen (Klick in rechteckig umrahmten Mausfangbereich und Bewegung des Mauscursors bei gedrückt gehaltener Maustaste) können Sie die Lage dieses Punktes P1 (die Werte der gestellten Anfangsbedingungen Re z(t1) und Im z(t1) für diesen Punkt) verändern und somit das Verhalten der Kurve untersuchen.
 
Positionieren Sie den Mauscursor an eine beliebige Stelle und führen Sie einen Klick auf die linke Maustaste durch, so stellt das Programm eine zweite Feldlinie dar. Für die Startwerte zur Ermittlung dieser Kurve verwendet das Programm die Koordinatenwerte dieses Punktes. Um exakte Startwerte festzulegen, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte. Um sich weitere Kurven ausgeben zu lassen, gehen Sie wie zuvor beschrieben vor.
 
Durch eine Bedienung des Rollbalkens Parameter t verändern Sie den voreingestellten (0 £ t £ 10), zu durchlaufenden Parameterwertebereich zur Darstellung der Feldlinien.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Vektorfeld
Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion
 

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

 

Startfenster des Unterprogramms Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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