MathProf - Algebra - Mathematik für Schüler, Lehrer, Studenten, Ingenieure und Wissenschaftler
MathProf - Kurzbeschreibung einzelner Module zum Fachthema Algebra

Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzbeschreibungen zu
einigen Modulen, die im Programm
MathProf 5.0 unter dem
Hauptmenüpunkt
Algebra implementiert sind.


•  Matrizen

Durchführung von Operationen mit Matrizen reeller Zahlen, wie auch der Ausführung von Operationen mit komplexen Zahlen. Es sind dies u.a.:

1. Operationen mit Matrizen reeller Zahlen
  • Transponierung einer Matrix reeller Zahlen
  • Invertierung einer Matrix reeller Zahlen
  • Potenzierung einer Matrix reeller Zahlen
  • Faktorisierung einer Matrix reeller Zahlen
  • Multiplikation einer Matrix reeller Zahlen mit einer reellen Zahl
  • Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix reeller Zahlen
  • Bildung des Exponentials einer Matrix reeller Zahlen
  • Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD) reeller Zahlen
  • Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix reeller Zahlen (Norm, Rang, Dimension, maximales und minimales Element, Summe der Diagonalelemente)
  • Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix reeller Zahlen
  • Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix reeller Zahlen
Operationen mit zwei Matrizen reeller Zahlen:
  • Addition zweier Matrizen reeller Zahlen
  • Subtraktion zweier Matrizen reeller Zahlen
  • Multiplikation zweier Matrizen reeller Zahlen
  • Division zweier Matrizen reeller Zahlen
  • Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen reeller Zahlen
  • Division einzelner Elemente zweier Matrizen reeller Zahlen
2. Operationen mit Matrizen komplexer Zahlen:
  • Transponierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Invertierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Potenzierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Faktorisierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl oder einer komplexen Zahl
  • Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix komplexer Zahlen
  • Bildung des Exponentials einer Matrix komplexer Zahlen
  • Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix komplexer Zahlen (Norm, Rang, Dimension, maximales und minimales Element, Summe der Diagonalelemente)
  • Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix komplexer Zahlen
Operationen mit zwei Matrizen komplexer Zahlen:
  • Addition zweier Matrizen komplexer Zahlen
  • Subtraktion zweier Matrizen komplexer Zahlen
  • Multiplikation zweier Matrizen komplexer Zahlen
  • Division zweier Matrizen komplexer Zahlen
  • Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen komplexer Zahlen
  • Division einzelner Elemente zweier Matrizen komplexer Zahlen

•  Gaußscher Algorithmus

Schrittweise Lösung eines (lösbaren) linearen Gleichungssystems bis 8. Grades. Dieses Lösungsverfahren beruht auf der Bildung einer Matrix in Trapezform (Diagonalform) aus den Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems. Das Unterprogramm bildet diese Matrix schrittweise. Jede Zeile dieser wird bei jedem Schritt derart bearbeitet, dass in Zeile n die n-te Variable den Koeffizientenwert 1 besitzt.
 

•  Lineare Optimierung

Mit Hilfe dieser Methode können Extremwerte linearer Funktionen bestimmt werden, wobei es Nebenbedingungen zu beachten gibt. Diese Nebenbedingungen, welche oftmals Kapazitätsbedingungen ausdrücken, lassen sich in Form linearer Ungleichungen darstellen. Sind dabei nicht mehr als zwei Variablen zu beachten, so lässt sich dieses Problem grafisch mit diesem Unterprogramm lösen.
 

•  Simplex-Methode

Lösung von Optimierungsaufgaben mit Hilfe der Simplex-Methode. Dieses Modul ermöglicht die Lösung derartiger Aufgaben mit Zielfunktionen, welche bis zu 5 Koeffizienten besitzen darf und eine Festlegung von bis zu 10 Nebenbedingungen.
 

•  Gleichungen

Durchführung einer iterativen Ermittlung der Lösungen von Gleichungen der Form f1(x) = f2(x), innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs. Lösungen von Gleichungen dieser Art sind grafisch als Abszissenkoordinatenwerte der Schnittpunkte der Kurven der links- und rechtsseitig definierten Gleichungsterme zu interpretieren.
 

•  Ungleichungen - Prinzip

Grafische Darstellung der Lösungsmengen zweier linearer Ungleichungen. In diesem Modul stellt das Programm die Möglichkeit zur Verfügung, Untersuchungen mit einer oder zwei Ungleichungen der Form y > mx+b bzw. y < mx+b durchzuführen und sich die Lösungsmengen dieser grafisch darstellen zu lassen. Die blaue Gerade beschreibt die 1. Ungleichung, die grüne Gerade die 2. Ungleichung.
 

•  Gleichungen 2.- 4. Grades

Ermittlung reeller, wie komplexer Lösungen von Gleichungen 2. - 4. Grades, sowie Darstellung derer 1. und 2. Ableitung. Zudem erfolgt die Durchführung der Bestimmung der Nullstellen der entsprechenden Funktion.
 

•  Richtungsfelder von Differentialgleichungen

Richtungsfelder von Differentialgleichungen ermöglichen einen groben Überblick über den Verlauf der Lösungskurven einer Differentialgleichung. Mit Hilfe dieses Unterprogramms können Richtungsfelder von Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form dy = f(x,y) interaktiv grafisch untersucht werden.
 

•  Differentialgleichungen 1. Ordnung

Darstellung der Lösungskurven von Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form dy/dx = y' = f(x,y) unter Festlegung von Startwerten. Dieses Unterprogramm ermittelt die Lösungskurve y = y(x) derartiger Differentialgleichungen u.a. durch die Verwendung des Runge-Kutta-Verfahrens.
 

•  Differentialgleichungen höherer Ordnung

Ermittlung und Darstellung der Lösungskurven von Differentialgleichungen 2. bis 8. Ordnung unter Verwendung frei festlegbarer Startwerte.
 

•  Differentialgleichungssystem

Numerisch iterative Ermittlung und Darstellung der Lösungskurven von Differentialgleichungssystemen 1. Ordnung, bestehend aus bis zu 8 Einzelgleichungen der Form dy/dx = f(x;y1;y2;y3...).
 

•  Mengenelemente

Kleines Unterprogramm zur Ermittlung der Vereinigungsmenge, Differenzmengen, Komplementmengen und Durchschnittsmengen von einer Gesamtmenge.
 

•  Venn-Diagramm

Grafische Veranschaulichung von Mengenbeziehungen anhand eines Venn-Diagramms unter Durchführung von Mengenoperationen. Dieses Modul stellt die drei Mengen A, B und C einer Gesamtmenge zur Verfügung, mit welchen folgende Operationen durchgeführt werden können:
 
  • Bildung des Durchschnitts von Mengen
  • Bildung der Vereinigung von Mengen
  • Bildung der Differenz von Mengen
  • Bildung der symmetrischen Differenz von Mengen
  • Bildung der Komplementmenge bzgl. der Grundgesamtheit

•  Zahluntersuchung

Untersuchung zweier natürlicher Zahlen A und B u..a. bezüglich:
 
  • ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
  • der Anzahl ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
  • der Summe der Zahlen A und B
  • des ggT (größten gemeinsamen Teilers der Zahlen A und B)
  • des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen A und B)
  • des Quotienten der Zahlen A und B
  • ganzzahligen Rests bei Division der Zahlen A und B
  • des Produkts der Zahlen A und B
Untersuchung einer natürlichen Zahl auf folgende Eigenschaften:
  • Anzahl derer Teiler
  • Teilersumme
  • Echtteilersumme
  • Teiler

•  Einheitskreis komplexer Zahlen

Kleines Modul zur Veranschaulichung des Prinzips der Darstellung komplexer Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es für die n-te Wurzel einer Zahl exakt n verschiedene Lösungen. Mit Hilfe der Gauß'schen Zahlenebene lassen sich derartige Zahlen grafisch darstellen. Bei dieser Darstellung wird ersichtlich, dass alle Lösungen der n-ten Wurzel der komplexen Zahl -1 ein regelmäßiges n-Eck bilden, dessen Umkreis den Radius r = 1 besitzt. Es gilt: Ist eine komplexe, nicht reelle Zahl z die n-te Wurzel von 1, so ist auch die zu z konjugiert komplexe Zahl, die an der rellen Achse (x-Achse) gespiegelte Zahl.
 

•  Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

Veranschaulichung der Durchführung der Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene. Die Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen erfolgt komponentenweise. Es gelten hierbei die gleichen Regeln wie bei zweidimensionalen Vektoren, wobei die Vektorkomponenten dem Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl entsprechen. Geometrisch erfolgt eine Vektoraddition durch die Parallelverschiebung des Vektors z1 an den Vektor z2. Der resultierende Vektor ist z3 = z1 + z2.
 

•  Multiplikation und Division komplexer Zahlen

Veranschaulichung der Durchführung der Multiplikation und Division komplexer Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene. Die Multiplikation einer komplexen Zahl z1 mit der komplexen Zahl z2 lässt sich geometrisch als Drehstreckung des Zeigers z1 darstellen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel j2 im positiven Drehsinn gedreht und anschließend um das r2-fache gestreckt. Das Ergebnis ist das geometrische Bild des Produktes z1·z2. Die Division zweier komplexen Zahlen z1 und z2 lässt sich auf die Multiplikation dieser zurückführen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel j2 im positiven Drehsinn gedreht, oder zurückgedreht, und anschließend um das 1/r2-fache gestreckt. Für j2 > 0 erfolgt eine Drehung im negativen Drehsinn, für j2 < 0 hingegen eine Drehung im positiven Drehsinn.
 

•  Zahlen II

Durchführung verschiedener numerischer Berechnungen mit ganzen Zahlen. Hierbei stehen Untersuchungen zu folgenden Themengebieten zur Auswahl:
  • Partitionen
  • Perrin-Zahlen
  • Undulierende Zahlen
  • Multiplikative Beharrlichkeit
  • k-Permutationen
  • Quasibefreundete Zahlen
  • Zeckendorf-Zerlegung
  • Gray-Code
  • Biquadratische Quadrupel
  • Abundante und defiziente Zahlen
 

•  Binomische Formel

Kleines Unterprogramm, welches eine grafische Interpretation der Zusammenhänge bei der binomischen Formel 2. Grades ermöglicht.
 

•  Addition - Subtraktion

Verdeutlichung der Methode der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen am Zahlenstrahl.
 

•  Irrationale Zahlen

Kleines Unterprogramm zur grafischen Veranschaulichung der Methode der Bildung irrationaler Zahlen mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
 

•  Wurzellupe

Möglichkeit, sich das Prinzip der Intervallschachtelung zur Ermittlung der Dezimaldarstellung reeller Zahlen am Beispiel des Radizierens zu veranschaulichen.