MathProf - Binomialkoeffizienten - Pascalsches Dreieck - Formel

Fachthemen: Binomialkoeffizient - Pascalsches Dreieck
MathProf - Stochastik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen zur Erlangung des Wissens der Grundlagen der Statistik für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das kleine Modul zur numerischen Berechnung der Binomialkoeffizienten natürlicher Zahlen und zur Analyse der Zusammenhänge beim Pascalschen Dreieck.
Beispiele, welche Aufschluss zur Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Binomialkoeffizienten - Pascalsches Dreieck - Tabelle - Berechnen - n - k - Binomialkoeffizient - Pascal - Dreieck - n über 1 - n über 2 - n über k - 2 über 3 - 2 über 4 - 3 über 2 - 3 über 4 - 4 über 2 - 4 über 3 - 4 über 5 - 4 über 6 - 5 über 2 - 5 über 3 - 6 über 2 - 6 über 3 - 7 über 3 - 7 über 4 - 7 über 5 - 7 über 6 - 8 über 2 - 9 über 3 - 1- 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 9 - 9 - 10 - Über - Werte - Binomisch - Rechner - Wahrscheinlichkeit - Beispiel - Formeln - Fakultät - Taschenrechner - Koeffizienten - Anwendung - Addieren - Darstellung - Elemente - Zahlen - Kombinatorik - Schreibweise - Stochastik - Statistik - Binomische Formeln - Binom - Binomial - Summe - Rechenregeln - Eigenschaften - Graph - Multiplizieren - Formel - Was sind - Was ist - Wieviel - Wie viele - Bedeutung - Was bedeutet - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Definition - Lösungen - Summe - Diagonalen - Zeilen - Berechnung - Summe der Binomialkoeffizienten |
Binomialkoeffizient
Modul Binomialkoeffizienten
Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - [Binomialverteilung] - Binomialkoeffizienten lassen sich die Binomialkoeffizienten natürlicher Zahlen berechnen.
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten bestehen aus einer Menge von n Elementen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge sowie ohne Zurücklegen, k verschiedene Elemente auszuwählen.
Formel: Er wird in nachfolgend aufgeführter Form dargestellt:
Er wird durch die beiden natürlichen Zahlen n und k (sprich: n über k) gebildet.
Beispiel zur Anwendung des Binomialkoeffizienten ( Kombinatorik):
Bei der Ziehung der Lottozahlen werden von 49 nummerierten Kugeln aufeinanderfolgend 6 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen). Wieviele Möglichkeiten bestehen 6 Zahlen auszuwählen?
Die Anzahl der Kugeln beträgt: n = 49
Die Anzahl der Ziehungen beträgt: k = 6
A = n! / ( (n - k)! · k! ) = 49! / ( (49 - 6)! · 6! ) = 13983816
Dies bedeutet: Es existieren 13983816 mögliche Kombinationen und die Wahrscheinlichkeit 6 Richtige zu ziehen beträgt demnach 1 zu 13.983.816.
Nachfolgend aufgeführt sind einige besondere Eigenschaften des Binomialkoeffizienten:
Pascalsches Dreieck
Das Pascalsche Dreieck ist eine grafische Zahlenanordnung in Dreiecksform, mit welchem sich Binomialkoeffizienten bestimmen lassen. Binomialkoeffizienten sind in diesem Dreieck so angeordnet, dass jeder Zahleneintrag der Summe der beiden darüberstehenden Einträge entspricht. Durch Addition zweier benachbarter Zahlen entsteht die darunter stehende Zahl (siehe rote Markierung in oben angeordneter Darstellung). Das besagte Dreieck ermöglicht es, beliebige Potenzen von Binomen auf einfache Weise auszumultiplizieren. Den Koeffizienten n über k findet man in der Zeile n+1 an der Stelle k+1.
Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks lässt sich das Lösungsschema für binomische Formeln herleiten. Die ersten dieser lauten:
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
( a - b )4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
Berechnung
Um sich alle Binomialkoeffizienten über einen bestimmten Wertebereich von n berechnen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
- Wählen Sie das Registerblatt Tabelle und definieren Sie im dafür vorgesehenen Eingabefeld den ganzzahligen Wert für n.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die entsprechenden Ergebnisse in der sich darunter befindenden Tabelle ausgegeben.
Möchten Sie lediglich einen bestimmten Binomialkoeffizienten ermitteln lassen, so wählen Sie das Registerblatt Einzelwert, geben die entsprechenden Werte für n und k in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Weitere Themenbereiche
Beispiel
Sollen alle Binomialkoeffizienten für n = 8 ausgegeben werden, so erhält man nach Eingabe des Werts 8 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:
k = 7 | 8 |
k = 6 | 28 |
k = 5 | 56 |
k = 4 | 70 |
k = 3 | 56 |
k = 2 | 28 |
k = 1 | 8 |
Beispiel 1
Beispiel 2
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Binomialkoeffizient zu finden.
Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Binomialverteilung
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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