MathProf - Tangente und Normale - Externer Punkt - Tangentengleichung bestimmen - Tangentenproblem

MathProf - Mathematik-Software - Tangente extern | Punkt | Funktion | Kurve | Steigung

MathProf - Differenzialgeometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Tangente extern | Punkt | Funktion | Kurve | Steigung

Online-Hilfe
für das Modul zur Ermittlung der Tangenten und Normalen an Kurven,
wenn diese durch einen extern (außen) liegenden Punkt verlaufen.

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Darstellung der Tangenten und der Normalen, welche durch den Berührpunkt einer Kurve sowie einen externen Punkt verlaufen.

Existiert eine Lösung des Problems, so erfolgt die Bestimmung der Tangente sowie der Normale, welche durch den außerhalb der Kurve liegenden Punkt verläuft. Das Programm gibt hierbei die entsprechende Tangentengleichung und Normalengleichung aus.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer praktizierten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Berechnen der Tangentengleichung durch einen extern liegenden Punkt - Berechnen der Normalengleichung durch einen extern liegenden Punkt - Tangente außerhalb - Tangente extern - Normale extern - Gleichung der Tangente - Darstellung der Tangente einer Funktion an eine Kurve durch einen extern liegenden Punkt

 

Tangente und Normale von externem Punkt und Berührpunkt

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente und Normale von externem Punkt ermöglicht die Ermittlung von Tangenten und Normalen an Kurven, welche durch einen extern dieser liegenden Punkt verlaufen.

 

MathProf - Tangente - Punkt - Tangentengleichung - Normalengleichung - Normale - Externer Punkt - Tangente und Normale

 

Das Programm ermittelt hierbei u.a. die durch einen von der Kurve extern liegenden Punkt verlaufenden Tangenten an diese und gibt Folgendes aus:
 

  • Gleichungen der Tangenten an eine Kurve, die durch einen extern liegenden Punkt, sowie einen auf der Kurve liegenden Punkt (Berührpunkt) verlaufen

  • Tangentenpunkte der Kurve, durch welche zuvor aufgeführte Tangenten verlaufen

  • Steigungswinkel zuvor aufgeführter Tangenten

  • Gleichungen der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen

  • Steigungswinkel der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen

Die Kurven sind durch eine Funktion der Form y = f(x) zu beschreiben.

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Tangente - Externer Punkt - Berührpunkt - Normale - Funktion - Kurve - Graph - Beispiel - Tangentengleichung - Normalengleichung - Gleichung - Tangente außerhalb


Um die durch einen extern liegenden Punkt verlaufenden Tangenten an eine Kurve, sowie die durch den sich auf der Kurve befindenden Tangentenpunkt verlaufenden Normalen ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die entsprechende Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln unter Berücksichtigung der unter Hinweise aufgeführten Einschränkungen.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte des nicht auf der Kurve liegenden Punkts P in das dafür vorgesehene Feld ein (Zu untersuchender Punkt).
     
  3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen eine entsprechende Tangente/Normale ermittelt werden soll (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =).
     
  4. Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel oder Fein legen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung der Tangenten fest.
     
  5. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle ausgegeben.
     
  6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Das Programm verwendet zunächst die Koordinatenwerte des im Hauptformular des Unterprogramms definierten extern liegenden Punkts P. Möchten Sie die Koordinatenwerte dieses Punktes mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste an eine beliebige Position.

    Um Punkt P exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  8. Soll der voreingestellte Untersuchungsbereich (-5 x 5) verändert werden, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Markierung des Bereichs und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  9. Legen Sie durch eine Selektion des entsprechenden Eintrags (Tangenten, Normalen, Tangenten und Normalen) aus der Auswahlbox fest, ob eine Darstellung ermittelter Tangenten und Normalen erfolgen soll. Ist zudem die 1. Ableitung der definierten Funktion auszugeben, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung 1. Ableitung.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Tangente - Externer Punkt - Berührpunkt - Tangente - Normale - Funktion - Kurve - Graph - Beispiel


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Anzeige der Beschriftung des extern liegenden Punkts und der Bereichsmarkierung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des extern liegenden Punkts und der Bereichsmarkierung ein-/ausschalten
  • U-Bereich mark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Hinweise


Nicht für alle im Programm standardmäßig zur Verfügung stehenden, mathematischen Funktionen kann die Ermittlung einer externen Tangente durchgeführt werden. Bei Verwendung nicht dafür vorgesehener Funktionen wird eine entsprechende Meldung ausgegeben, bzw. bei Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.

Zugelassene Funktionen sind:
SIN,COS,TAN,ARCSIN,ARCCOS,
ARCTAN,SINH,COSH,TANH,LN,
LOG,LG und ABS.

Zur Definition einer Wurzelfunktion verwenden Sie die Syntax: X^(0,5) bzw. X^(1/2).
Die Deklaration einer Funktion der Form EXP(X) ist mit E^X festzulegen.

Unter bestimmten Voraussetzungen, bei der Verwendung entsprechender Terme bzw. der Zuweisung entsprechender Untersuchungsstellen, kann es bei der Benutzung dieses Moduls zum Absturz des Programms (bzw. sehr lange andauernder Berechnungszeit) kommen und es erfolgt keine Reaktion mehr auf durchzuführende Ereignisse. Verwenden Sie in diesem Fall die Tastenkombination Strg-Alt-Entf und beenden Sie das Programm im Taskmanager. Nach einem erneuten Start kann es hierauf wieder uneingeschränkt benutzt werden.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente – Sekante

Kurvendiskussion

 

Beispiel

 

Es gilt, Tangenten an eine Kurve ermitteln zu lassen, die durch den Term f(x) = 4·sin(x²/10-x/5-2) beschrieben wird. Der extern liegende Punkt, durch welchen die Tangenten und Normalen der Kurve verlaufen sollen, sei P (8 / -8) und die Untersuchung ist innerhalb eines gewählten Untersuchungsbereichs -5 x 5 durchzuführen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach der Eingabe des Terms 4*SIN(X^2/10-X/5-2) in das Feld f(x) =, der Festlegung der Koordinatenwerte für Punkt P und der Eingabe der Zahlenwerte zur Festlegung des Untersuchungsbereichs, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Tangente 1:

 

Tangentenpunkt der Kurve: T1 (-4,894 / 3,923)
Funktionswert der 1. Ableitung bei T1: -0,925

Steigungswinkel der Tangente: -42,769°
Gleichung der Tangente: Y = -0,925·X - 0,603
Tangenten-Nullstelle: (-0,651892 / 0)
 

Normale 1:


Steigungswinkel der Normale: 47,231°
Gleichung der Normale: Y = 3,15457·X + 1,12757

Tangente 2:


Tangentenpunkt der Kurve: T2 (-1,694 / -3,923)
Funktionswert der 1. Ableitung bei T2: -0,421

Steigungswinkel der Tangente: -22,831°
Gleichung der Tangente: Y = -0,421·X - 4,635
Tangenten-Nullstelle: (-11,009501 / 0)
 

Normale 2:


Steigungswinkel der Normale: 67,169°
Gleichung der Normale: Y = 1,08108·X + 9,21387

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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