MathProf - Tangente und Normale - Externer Punkt - Tangentengleichung bestimmen

MathProf - Mathematik-Software - Tangente extern | Punkt | Funktion | Kurve | Steigung

Fachthema: Tangente durch Punkt

MathProf - Differenzialgeometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Tangente extern | Punkt | Funktion | Kurve | Steigung

Online-Hilfe
für das Modul zur Ermittlung und Berechnung der Tangenten und Normalen an Kurven, gesetzt dem Fall, dass diese durch einen extern (außen) dieser liegenden Punkt verlaufen.

Dieses Unterprogramm ermöglicht neben anderem auch die Darstellung dieser. Sie verlaufen durch den Berührpunkt einer Kurve sowie durch den definierten Punkt.

Existiert eine Lösung des zu behandelnden Problems, so erfolgt die Bestimmung der Tangente sowie der Normale, welche durch den außerhalb der Kurve liegenden Punkt verläuft. Das Programm gibt die ermittelte Tangentengleichung und Normalengleichung aus.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Berechnen der Tangentengleichung durch einen extern liegenden Punkt - Berechnen der Normalengleichung durch einen extern liegenden Punkt - Tangente von einem Punkt außerhalb - Tangente extern - Tangente durch Punkt - Normale extern - Tangentenproblem - Gleichung der Tangente - Tangente zeichnen - Tangente durch Kurvenpunkt - Tangente durch Punkt - Darstellung der Tangente einer Funktion an eine Kurve durch einen extern liegenden Punkt - Berührpunkt - Grafik - Rechner - Bilder - Darstellung - Berechnung - Darstellen

 
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Tangente und Normale von externem Punkt und Berührpunkt

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente und Normale von externem Punkt ermöglicht die Ermittlung von Tangenten und Normalen an Kurven, welche durch einen extern dieser liegenden Punkt verlaufen.

 

MathProf - Tangente - Punkt - Tangentengleichung - Normalengleichung - Normale - Externer Punkt - Tangente und Normale

 

Das Programm ermittelt hierbei u.a. die durch einen von der Kurve extern liegenden Punkt verlaufenden Tangenten an diese und gibt Folgendes aus:
 

  • Gleichungen der Tangenten an eine Kurve, die durch einen extern liegenden Punkt, sowie einen auf der Kurve liegenden Punkt (Berührpunkt) verlaufen

  • Tangentenpunkte der Kurve, durch welche zuvor aufgeführte Tangenten verlaufen

  • Steigungswinkel zuvor aufgeführter Tangenten

  • Gleichungen der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen

  • Steigungswinkel der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen

Die Kurven sind durch eine Funktion der Form y = f(x) zu beschreiben.

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Tangente - Externer Punkt - Berührpunkt - Normale - Funktion - Kurve - Graph - Beispiel - Tangentengleichung - Normalengleichung - Gleichung - Tangente außerhalb


Um die durch einen extern liegenden Punkt verlaufenden Tangenten an eine Kurve, sowie die durch den sich auf der Kurve befindenden Tangentenpunkt verlaufenden Normalen ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die entsprechende Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln unter Berücksichtigung der unter Hinweise aufgeführten Einschränkungen.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte des nicht auf der Kurve liegenden Punkts P in das dafür vorgesehene Feld ein (Zu untersuchender Punkt).
     
  3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen eine entsprechende Tangente/Normale ermittelt werden soll (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =).
     
  4. Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel oder Fein legen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung der Tangenten fest.
     
  5. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle ausgegeben.
     
  6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Das Programm verwendet zunächst die Koordinatenwerte des im Hauptformular des Unterprogramms definierten extern liegenden Punkts P. Möchten Sie die Koordinatenwerte dieses Punktes mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste an eine beliebige Position.

    Um Punkt P exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  8. Soll der voreingestellte Untersuchungsbereich (-5 x 5) verändert werden, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Markierung des Bereichs und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  9. Legen Sie durch eine Selektion des entsprechenden Eintrags (Tangenten, Normalen, Tangenten und Normalen) aus der Auswahlbox fest, ob eine Darstellung ermittelter Tangenten und Normalen erfolgen soll. Ist zudem die 1. Ableitung der definierten Funktion auszugeben, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung 1. Ableitung.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Tangente - Externer Punkt - Berührpunkt - Tangente - Normale - Funktion - Kurve - Graph - Beispiel


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Anzeige der Beschriftung des extern liegenden Punkts und der Bereichsmarkierung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des extern liegenden Punkts und der Bereichsmarkierung ein-/ausschalten
  • U-Bereich mark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Hinweise


Nicht für alle im Programm standardmäßig zur Verfügung stehenden, mathematischen Funktionen kann die Ermittlung einer externen Tangente durchgeführt werden. Bei Verwendung nicht dafür vorgesehener Funktionen wird eine entsprechende Meldung ausgegeben, bzw. bei Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.

Zugelassene Funktionen sind:
SIN,COS,TAN,ARCSIN,ARCCOS,
ARCTAN,SINH,COSH,TANH,LN,
LOG,LG und ABS.

Zur Definition einer Wurzelfunktion verwenden Sie die Syntax: X^(0,5) bzw. X^(1/2).
Die Deklaration einer Funktion der Form EXP(X) ist mit E^X festzulegen.

Unter bestimmten Voraussetzungen, bei der Verwendung entsprechender Terme bzw. der Zuweisung entsprechender Untersuchungsstellen, kann es bei der Benutzung dieses Moduls zum Absturz des Programms (bzw. sehr lange andauernder Berechnungszeit) kommen und es erfolgt keine Reaktion mehr auf durchzuführende Ereignisse. Verwenden Sie in diesem Fall die Tastenkombination Strg-Alt-Entf und beenden Sie das Programm im Taskmanager. Nach einem erneuten Start kann es hierauf wieder uneingeschränkt benutzt werden.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente – Sekante

Kurvendiskussion

 

Beispiel

 

Es gilt, Tangenten an eine Kurve ermitteln zu lassen, die durch den Term f(x) = 4·sin(x²/10-x/5-2) beschrieben wird. Der extern liegende Punkt, durch welchen die Tangenten und Normalen der Kurve verlaufen sollen, sei P (8 / -8) und die Untersuchung ist innerhalb eines gewählten Untersuchungsbereichs -5 x 5 durchzuführen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach der Eingabe des Terms 4*SIN(X^2/10-X/5-2) in das Feld f(x) =, der Festlegung der Koordinatenwerte für Punkt P und der Eingabe der Zahlenwerte zur Festlegung des Untersuchungsbereichs, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Tangente 1:

 

Tangentenpunkt der Kurve: T1 (-4,894 / 3,923)
Funktionswert der 1. Ableitung bei T1: -0,925

Steigungswinkel der Tangente: -42,769°
Gleichung der Tangente: Y = -0,925·X - 0,603
Tangenten-Nullstelle: (-0,651892 / 0)
 

Normale 1:


Steigungswinkel der Normale: 47,231°
Gleichung der Normale: Y = 3,15457·X + 1,12757

Tangente 2:


Tangentenpunkt der Kurve: T2 (-1,694 / -3,923)
Funktionswert der 1. Ableitung bei T2: -0,421

Steigungswinkel der Tangente: -22,831°
Gleichung der Tangente: Y = -0,421·X - 4,635
Tangenten-Nullstelle: (-11,009501 / 0)
 

Normale 2:


Steigungswinkel der Normale: 67,169°
Gleichung der Normale: Y = 1,08108·X + 9,21387

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Tangente - Normale - Tangentensteigung - Punkt - Externer Punkt - Tangentengleichung - Steigung - Berührpunkt - Beispiel - Gleichung - Tangente außerhalb
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Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.
  
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Tangente zu finden. 

 
Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


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Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen und wissenschaftlichen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozessabläufe zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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