MathProf - Rekursive Folgen - Grenzwert - Berechnen - Rechner - Graph
Fachthema: Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II
MathProf - Analysis - Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Analyse von rekursiven Zahlenfolgen.
In diesem Teilprogramm wird es ermöglicht, sich sich die ersten Glieder einer rekursiven Zahlenfolge der Form a(k) = (a·(k-1) + b) / (c·(k-1) + d) darstellen zu lassen und diese hinsichtlich derer Eigenschaften zu untersuchen.
Alle vier Parameter a, b, c und d dieser Folge können verändert werden und es bestehen einige Möglichkeiten, das Layout der dargestellten Zahlenfolge zu verändern und anzupassen.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.
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| Themen und Stichworte zu diesem Modul: Rekursive Folge - Grenzwert - Berechnen - Rechner - Graph - Darstellen - Zeichnen - Parameter - Plotten |
Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II
Modul Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II
Zu einer prinzipiellen Analyse der Zusammenhänge bei rekursiven Zahlenfolgen steht das Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II zur Verfügung.
Reelle Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich eine Gesamt- bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen.
Von einer rekursiven Definition einer Zahlenfolge spricht man, wenn mindestens ein Glied einer Folge durch eine Verknüpfung mit einem zuvor berechneten Glied der Folge enthalten ist. Zahlenfolgen heißen konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzen, andernfalls sind sie divergent.
In diesem Modul lassen sich die ersten Glieder einer speziellen rekursiven Zahlenfolge des nachfolgend aufgeführten Typs darstellen:
a(k) = (a·(k-1) + b) / (c·(k-1) + d)
Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine interaktive Parameteranalyse mit rekursiven Zahlenfolgen o.a. Art durchzuführen:
- Legen Sie durch die Bedienung des Rollbalkens 1. Glied das 1. Glied der rekursiven Zahlenfolge fest.
- Die Parameter a, b, c und d dieser Zahlenfolge können Sie durch manuelle oder simulative Veränderung der Position der entsprechenden Rollbalken Parameter a, Parameter b, Parameter c und Parameter d einstellen.
- Definieren Sie den Startwert a(k-1) der rekursiven Zahlenfolge durch eine Positionierung des Rollbalkens Startw. A(K-1).
- Mit Hilfe des Rollbalkens Eta-Umgeb. können Sie einen Wert für die ε-Umgebung einstellen. Das Programm ermittelt, ab dem wievielten Glied sämtliche weiteren Glieder dieser rekursiven Zahlenfolge innerhalb dieser Umgebung liegen und gibt das Ergebnis aus. Die Markierung der ε-Umgebung wird lediglich dann angezeigt, wenn die entsprechende Zahlenfolge über einen Grenzwert verfügt ! Der Schieberegler steht jedoch immer zur Verfügung.
- Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.
- Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation, um die Auswirkung der Änderung von Parametergrößen zu untersuchen und beenden Sie diese wieder durch einen erneuten Klick auf diese Schaltfläche. Vor dem Start einer Simulation wird ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diese bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
- Beschr.: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Zahlenfolgen
Zahlenfolgen - Interaktiv I
Zahlenfolgen - Interaktiv II
Rekursive Zahlenfolgen
Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv I
Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen
Arithmetische Zahlenfolgen - Interaktiv
Geometrische Zahlenfolgen - Interaktiv
Werden die Rollbalken wie folgt eingestellt:
Parameter a: 11
Parameter b: 1
Parameter c: 4
Parameter d: 1
1. Glied: 0
Startwert A(K-1): 0
und wird eine ε-Umgebung von 0,2 festgelegt, so wird die Darstellung der rekursiven Zahlenfolge
11*(A(K-1)+1)/(4*A(K-1)+1) ausgegeben. Als erstes Glied in der ε - Umgebung ermittelt das Programm das Glied 2 mit dem Wert 2,4. Der Grenzwert der Zahlenfolge lautet: lim ak = 0,2.
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 6
Grafische Darstellung - Beispiel 7
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Folge zu finden.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen - Geometrische Lösung quadratischer Gleichungen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton - Interaktiv - Interpolation nach Lagrange - Interaktiv - Polynomregression - Interaktiv - Nullstellen - Iterationsverfahren - Interaktiv - Tangente - Normale - Interaktiv - Tangente - Sekante - Interaktiv - Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv - Simpson-Regel - Keplersche Fassregel - Spline-Interpolation - Spline-Interpolation - Interaktiv - Bézier-Kurven - Astroide - Kardioide - Konstruktion einer Kardioide - Konstruktion einer Hypozykloide - Konchoide - Lemniskate - Cassinische Kurven - Pascalsche Schnecke - Trisektrix - Zweiblatt-Kurve - Konstruktion krummliniger Kurven - Logarithmische Spirale - Konstruktion - Hyperbolische Spirale - Fourier-Analyse (Fast Fourier Transformation - FFT) - Taylor- und Potenzreihen - Interaktiv - Harmonische Synthese - Analyse implizit definierter Gleichungen - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II - Schnittkurven von Flächen in expliziter Form - Zahlenfolgen - Interaktiv II - Arithmetische Zahlenfolgen - Interaktiv - Geometrische Zahlenfolgen - Interaktiv - Funktionen in Parameterform - Polarkoordinaten - Funktionen in Polarform - Variante - Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform - Tangente - Normale mit Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Interaktiv - Inverse von Funktionen - Gemeinsame Darstellung von Kurven verschiedener Darstellungsformen - Ermittlung von Funktionsparametern - Funktionsschnittpunkte - Interaktiv - Kettenlinie - Funktionsstetigkeit
MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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