MathProf - Nadelproblem - Bernoulli - Pythagoreische Tripel - Zufall

MathProf - Mathematik-Software - Heron-Verfahren | Zahlenfolge | Bernoulli-Zahlen | Leibnitz

Fachthema: Spezielle Zahlen I

MathProf - Algebra - Eine Applikation für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Heron-Verfahren | Zahlenfolge | Bernoulli-Zahlen | Leibnitz

Online-Hilfe
für das Modul zur numerischen Berechnung der Werte verschiedener
spezieller Zahlen.

Dieses Teilprogramm erlaubt unter anderem das Berechnen der Pythagoreischen Zahlentripel, der quadratfreien Zahlen sowie der Bernoulli-Zahlen. Auch Pythagoreische Quadrupel können analysiert werden. Zudem ermöglicht der implementierte Zufallsgenerator die Erzeugung von Zufallszahlen. Der Rechner gibt die ermittelten Ergebnisse in einer Liste aus.


Auch die Anwendung des Heron-Verfahrens zur Bestimmung der n-ten Wurzel einer ganzen Zahl kann erfolgen und eine Simulation des Buffonschen Nadelexperiments kann ausgeführt werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit
und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Zahlen - Zufallszahl - Zahl - Zufällige Zahl - Generieren - Zufallszahlen - Zufallsgenerator - Generator - Erzeugen - Zufallszahlengenerator - Zahlengenerator - Wurzelformel - Pythagoreische Zahlentripel - Pythagoreische Tripel - Pythagoreisches Tripel - Pythagoreische Zahlen - Pythagoreisches Dreieck - Beinahe Pythagoreische Tripel - Quadrupel - Zahlenquadrupel - Quadratfreie Zahlen - Nachkommastellen von Pi - Buffonsches Nadelproblem - Buffonsches Nadelexperiment - Zahlenfolge 3a+1 - Wallis-Formel - Wallis-Produkt - Natürliche Zahlen - Ganze Zahlen - Quadratfreie Zahl - Leibniz-Formel - Leibnizsche Formel - Leibniz-Reihe - Gerade Zahlen - Ungerade Zahlen - Tripel - Herons Formel - Heron - Heronsche Formel - Heron Algorithmus - Beliebige Zahl - Ergebnis - Beliebige Zahlen - Verfahren - Algorithmus - Formel - Finden - Buffon - Nadelexperiment - Folge - Reihe - Methode - Quadratwurzel - Pi - Kreizahl - Random number generator - Bis - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 100 - Leibniz - Bernoulli - Zahl - Wurzel - Radikand - Wurzel-Näherung - Bernoulli-Zahlen - Ganzzahlig - Was - Was ist - Was sind - Warum - Weshalb - Bedeutung - Was bedeutet - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Erklärung - Einfach erklärt - Übersicht - Einführung - Beschreibung - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Definition - Untersuchen - Untersuchung - Begriff - Begriffe - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Mathe - Mathematik - Grundlagen - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Rechner - Berechnen - Berechnung - Generator - Generieren - Darstellen - Graph - Plotten - Tabelle - Werte - Quadratwurzel-Näherung - Heron-Verfahren - Heronsche Wurzelformel

  
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Zahlen I


MathProf - Quadratfreie Zahl - Leibniz-Formel - Leibnizsche Formel - Leibniz-Reihe - Gerade Zahlen - Ungerade Zahlen - Tripel - Heron - Verfahren - Algorithmus - Formel - Folge - Reihe - Methode - Quadratwurzel - Leibniz - Bernoulli - Zahl - Wurzel - Radikand - Wurzel-Näherung - Bernoulli-Zahlen - Ganzzahlig - Untersuchen - Untersuchung - Rechner - Berechnen - Berechnung - Generator - Generieren - Tabelle - Werte - Quadratwurzel-Näherung - Heronsche Wurzelformel
Modul Zahlen I



Das Unterprogramm [Algebra] - [Zahlen] - Zahlen I ermöglicht das Berechnen der Werte verschiedener spezieller Zahlen.
 

 

MathProf - Zahlen - Zufallszahl - Zufällige Zahl - Generieren von Zufallszahlen - Zufallsgenerator für Zahlen - Zufallszahlengenerator - Zahlengenerator - Wurzelformel - Pythagoreische Zahlentripel - Pythagoreische Tripel - Pythagoreische Zahlen - Pythagoreisches Dreieck - Beinahe Pythagoreische Tripel - Quadrupel - Kreiszahl Pi bestimmen - Zahlenquadrupel - Quadratfreie Zahlen - Nachkommastellen von Pi - Zahlenfolge 3a+1 - Wallis-Formel - Wallis-Produkt - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle


 
In diesem Modeul können Berechnungen durchgeführt werden mit:
 

  • Heronsche Wurzelformel (Heron-Verfahren)
  • Pythagoreische Zahlentripel (Pythagoreische Tripel)
  • Kreiszahl Pi
  • Leibniz-Formel
  • Zufallszahlen 1
  • Zufallszahlen 2
  • Buffonsches Nadelexperiment (Buffonsches Nadelproblem)
  • Zahlenfolge 3a+1
  • Wallis-Formel
  • Beinahe Pythagoreische Tripel
  • Pythagoreische Quadrupel
  • Quadratfreie Zahlen
  • Bernoulli-Zahlen
  

1. Heronsche Wurzelformel (Heron-Verfahren)

 

MathProf - Heronsche Wurzelformel - Heron-Verfahren - Heronsche Formel - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Heron Algorithmus
 
Die iterative Berechnung der beliebigen Wurzel einer Zahl nach Heron können Sie durchführen lassen, indem Sie den Eintrag Wurzelformel Heron aus der aufklappbaren Auswahlbox wählen, die Werte für den Radikanden, sowie den Wurzelexponenten in die dafür vorgesehenen Felder Radikand und Zahl eintragen und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Es werden alle Zwischenlösungen bis zum Erreichen eines bestimmten Fehlerwertes ausgegeben. Die Formel zur iterativen Errechnung von Wurzeln wird als Heron'sche Wurzelformel bezeichnet und besitzt die Form:

Zahlen - Symbol  - 1
 

Beispiel

 
Eine Berechnung des Werts 35, die über 5 Schritte hinweg ausgeführt wird, liefert folgende Ergebnisse:

Schritt 0:  2,5000000000

Schritt 1:  1,9333333333

Schritt 2:  1,7347866297

Schritt 3:  1,7103290941

Schritt 4:  1,7099760196

Schritt 5:  1,7099759467
 

Der exakte Wert (nicht mit dieser Methode errechnet) dieser Zahl lautet: 1,7099759466767
 

2. Pythagoreische Zahlentripel (Pythagoreische Tripel)

 
MathProf - Pythagoreische Zahlentripel - Pythagoreische Tripel - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle

Pythagoreische Zahlentripel sind die Tripel natürlicher Zahlen a, b, c, welche die Bedingung a² + b² = c² erfüllen.

Ein derartiges Tripel errechnet sich aus den Zusammenhängen:

a = u·v

b = (u² - v²)/2

c = (u² + v²)/2
 

unter der Voraussetzung, dass u und v teilerfremd sind und diese natürliche, ungerade Zahlen sind.

Nachdem Sie den Eintrag Pythagoreische Zahlentripel gewählt haben, den zu untersuchenden Zahlenbereich in den Eingabefeldern Von und Bis definierten und die Schaltfläche Berechnen bedienten, ermittelt das Programm derartige Tripel.

Möchten Sie Details bzgl. der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks erfahren, welches die Seitenlängen a,b und c besitzt, so fokussieren Sie den entsprechenden Tabelleneintrag und bedienen hierauf die Schaltfläche Eigenschaften
 

Beispiel

 
Über einen Wertebereich von 3 bis 20 erhalten Sie folgende Tripel:

a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17


Für die Eigenschaften des Pythagoreischen Dreiecks mit den Seitenlängen

a = 8
b = 15
c = 17

erhalten Sie darüber hinaus folgende Informationen:

Winkel
α = 28,072°
Winkel
β = 61,928°
Winkel
γ = 90°

Länge der
Seitenhalbierende sha = 15,524
Länge der
Seitenhalbierende shb = 10,966
Länge der
Seitenhalbierende shc = 8,5

Länge der
Winkelhalbierende wha = 15,462
Länge der
Winkelhalbierende whb = 9,330
Länge der
Winkelhalbierende whc = 7,379

Höhe ha = 1
Höhe hb = 8
Höhe hc = 7,059

Fläche A = 60
Umfang U = 40
Inkreisradius ri = 3
Umkreisradius ru = 8,5
 

3. Kreiszahl Pi

 
MathProf - Kreiszahl - Pi - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle

Nach einer Auswahl des Eintrags Kreiszahl Pi aus der aufklappbaren Auswahlbox, der Festlegung der Nachkomma-Stellengenauigkeit im Eingabefeld Anz. Stellen und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird die Kreiszahl Pi auf die angegebene Anzahl von Nachkommastellen (bis max. 10000) ermittelt und ausgegeben.
 

Beispiel

 
Nach der Festlegung einer Anzahl von Nachkommastellen von 40, erhalten Sie folgendes Ergebnis:

π = 3,1415926535897932.....
 

4. Leibniz-Formel

 

MathProf - Leibniz - Formel - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle

 
Im Jahre 1682 steuerte Gottfried Wilhelm Leibniz der Suche nach einer bestmöglichen Annäherung an die Kreiszahl Pi folgende Regel (auch als Leibniz-Reihe bekannt):

1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 ... = π/4

Hierbei erhöht sich der Wert des Nenners eines jeden Summanden im Vergleich zum vorherigen, um jeweils 2.

Da dieses Verfahren eine langsame Konvergenzgeschwindigkeit aufweist, bedarf es der Nutzung vieler Schritte um einen guten Näherungswert für die Zahl π zu erreichen. Dies können Sie untersuchen, wenn Sie den Eintrag Leibniz-Formel aus der aufklappbaren Auswahlbox und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Das Programm addiert die entsprechenden Summanden und gibt die ermittelten Zwischensummen derer, nach jeweils 2000 durchgeführten Berechnungen, aus.

Die prozentuale Abweichung der Werte der Zwischenergebnisse zu einem sehr genauen Wert für π wird jeweils nach Durchführung der vorgegebenen Anzahl von Berechnungen ausgegeben.
 

5. Zufallszahlen 1

 
MathProf - Zufallszahlen - Beliebige Zahl - Beliebige Zahlen - Random number generator - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle

Unter Zufallszahlen 1 werden Zufallszahlen von einem Zufallsgenerator im Bereich von 0 bis 1 erzeugt und nach einer Bedienung des Schalters Berechnen ausgegeben. Die Anzahl zu erzeugender Zufallszahlen kann durch Eingabe eines ganzzahligen Werts in das hierfür vorgesehene Feld Anzahl festgelegt werden.
 

6. Zufallszahlen 2

 
MathProf - Zufallszahlen - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle

Zufallszahlen finden unter anderem Anwendung bei statistischen Versuchen, bei Codierungen, in der Kryptographie sowie bei Glücksspielen und Wetten.

Der Einsatz von einem Zufallszahlengenerator (Zufallsgenerator) ermöglicht es, Zufallszahlen aus einem frei festlegbaren Zahlenbereich ermitteln zu lassen. Es handelt sich hierbei um eine Menge ganzer Zahlen. Ein Generator für Zufallszahlen kann beispielsweise zur Erzeugung von Lotteriezahlen verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit 6 Richtige aus 49 zu erzeugen liegt jedoch bei einer Wahrscheinlichkeit von 1: 13.983.816.

 
Wird der Eintrag Zufallszahlen 2 aus der aufklappbaren Auswahlbox gewählt, so werden durch einen Zufallsgenerator ganzzahlige Zufallszahlen erzeugt, die innerhalb eines Bereichs von 0 bis zum, im Eingabefeld Bereich festgelegten, Wert liegen. Nach einer Bedienung des Schalters Berechnen werden die Zufallszahlen ausgegeben. Die Anzahl zu erzeugender Zufallszahlen ist im entsprechenden Eingabefeld Anzahl festzulegen.
 

7. Buffon'sches Nadelexperiment - Buffonsches Nadelproblem

 
MathProf - Buffon - Buffon'sches Nadelexperiment - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle

Durch eine Selektion des Eintrags Buffon'sches Nadelexperiment aus der aufklappbaren Auswahlbox können Sie sich dieses Prinzip zur Ermittlung der Kreiszahl π grafisch veranschaulichen.

Eine Nadel der Länge 0 < a < 1 werde auf eine Ebene geworfen, auf welcher im Abstand von einer Längeneinheit horizontale Striche gezogen seien. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Linie schneidet? Es stellt sich heraus, dass diese Wahrscheinlichkeit a/π beträgt. Somit kann π durch eine derartige Simulation näherungsweise bestimmt werden.

Im Formularbereich Einstellungen / Ergebnisse können Sie die Anzahl horizontal angeordneter Linien, sowie die Anzahl durchzuführender Würfe (Bedienelement mit der Beschriftung Faktor) vorgeben. Die Bedienung des Schalters Berechnen löst die Simulation dieser Würfe aus.

In den Anfangszustand versetzen können Sie dieses relativ ungenaue Experiment durch die Bedienung des Schalters Zurücksetzen.
 

Beispiel

 
Nach der Festlegung der Anzahl horizontal verlaufenden Linien auf 30 und der Einstellung des Faktors auf 1000, erhalten Sie nach 10-maligem Bedienen der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Anzahl der Würfe: 10000

Anzahl der Schnitte: 6288
 

Die Kreiszahl π wird hierdurch näherungsweise mit dem Wert π = 3,180662 ermittelt.
 

8. Zahlenfolge 3a+1

 
MathProf - Zahlenfolge 3a+1 - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle
 

Eine Zahlenfolge natürlicher Zahlen, welche grundsätzlich periodisch mit den Werten 4, 2 und 1 endet, können Sie nach einer Wahl des Eintrags Zahlenfolge 3a+1 aus der aufklappbaren Auswahlbox untersuchen.
 

Ist das Startglied a(1) der Zahlenfolge eine beliebige natürliche Zahl und werden die Glieder der Zahlenfolge wie folgt definiert, so endet diese grundsätzlich mit den Zahlen 4, 2 und 1.

an+1 = an / 2 (wenn an gerade ist)

an+1 = 3·an + 1 (wenn an ungerade ist)
 

Nach der Eingabe des Startwerts in das entsprechende Feld Startzahl und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse ausgegeben.
 

Beispiel

 
Nach einer Festlegung der Startzahl auf 10, ermittelt das Programm:

Nr. Glied der Folge
1        5
2       16
3        8
4        4
5        2
6        1


Bei einer Startzahl von 6 werden ausgegeben:

Nr. Glied der Folge
1        3
2       10
3        5
4        16
5        8
6        4
7        2
8        1


Wie hierbei zu erkennen ist, besitzen die letzten drei Glieder dieser Folgen in beiden Fällen die Werte 4, 2 und 1.
 

9. Wallissche Formel

 
MathProf - Wallis-Formel - Wallis-Produkt - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle


Eine Möglichkeit zur Ermittlung der Kreiszahl π durch die Bildung eines unendlichen Produkts wurde im 17. Jahrhundert vom englischen Mathematiker John Wallis entdeckt:
 

(2/1 · 2/3) · (4/3 · 4/5) · (6/5 · 6/7) · (8/7 · 8/9) ... = π/2

Die Genauigkeit dieses Verfahrens können Sie untersuchen, indem Sie den Eintrag Wallis'sche Formel aus der aufklappbaren Auswahlbox wählen und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Das Programm führt die entsprechenden Berechnungen durch und gibt den ermittelten Wert für die Kreiszahl π nach jeweils 100 Schritten aus.

Die prozentuale Abweichung der Werte der Zwischenergebnisse zu einem sehr genauen Wert für π wird jeweils nach Durchführung der vorgegebenen Anzahl von Berechnungen angezeigt. Die u.U. lang andauernde Berechnung können Sie anhalten, indem Sie den Schalter Abbrechen bedienen.
  

10. Beinahe Pythagoreische Tripel

 

MathProf - Beinahe Pythagoreische Tripel - Pythagoreisches Tripel - Pythagoreisches - Dreieck - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle

 
Wird der Eintrag Beinahe Pythagoreische Tripel gewählt, so kann nach Tripeln natürlicher Zahlen gesucht werden, für welche gilt:

 a² + b² = c² ± k

Möchten Sie die Untersuchung mit einem Wert für k durchführen für welchen k < 0 gilt, so aktivieren Sie den Kontrollschalter a² + b² = c² - k, soll k hingegen größer 0 sein, so wählen Sie den Kontrollschalter a² + b² = c² + k. Geben Sie hierauf den ganzzahligen Wert für k in das Feld mit der Bezeichnung k ein.

Nach der Festlegung des Untersuchungsbereichs, durch die Eingabe entsprechender Werte für die Koeffizienten a und b der Gleichung in die Felder von a und bis b, ermittelt das Programm die ganzzahligen Koeffizienten für a, b und c nachdem die Taste Berechnen bedient wurde.

Möchten Sie Details zu den Eigenschaften eines Dreiecks erfahren, welches die Seitenlängen a,b und c besitzt, so fokussieren Sie hierfür den entsprechenden Tabelleneintrag und bedienen hierauf die Schaltfläche Eigenschaften. Dreiecke dieser Art sind nahezu rechtwinklig. 
 

Beispiel

 
Über einen Wertebereich von a = 1 bis b = 12 und bei einer Festlegung des Parameterwerts k = 1 erhalten Sie für a² + b² = c² - k folgende Tripel:

a b c
2 2 3
4 8 9
12 12 17


Diese Werte für a, b und c erfüllen die Gleichungsbedingung:

a² + b² = c² - 1

Für die Eigenschaften des Phythagoreischen Dreiecks mit den Seitenlängen

a = 4
b = 8
c = 9

erhalten Sie zudem folgende Informationen:

Winkel
α: 26,384°
Winkel
β: 62,72°
Winkel
γ: 90,895°

Seitenhalbierende sha = 8,276
Seitenhalbierende shb = 5,701
Seitenhalbierende shc = 4,444

Winkelhalbierende wha = 8,247
Winkelhalbierende whb = 4,729
Winkelhalbierende whc = 3,742

Höhe ha = 7,999
Höhe hb = 4
Höhe hc = 3,555

Fläche: A = 15,998 FE
Umfang: U = 21
Inkreisradius: ri = 1,524
Umkreisradius: ru = 4,501

 

11. Pythagoreische Quadrupel

 
MathProf - Pythagoreische Quadrupel - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle
 

Pythagoreische Quadrupel sind die Quadrupel natürlicher Zahlen a, b, c und d, die die Bedingungen a² + b² + c² = d² und a b c d erfüllen. Diese können Sie ermitteln lassen, indem Sie den Eintrag Pythagoreische Quadrupel aus der aufklappbaren Auswahlbox wählen.

 

Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Alle Quadrupel bzw. Pythagoreische Quadrupel, ob alle Quadrupel, oder lediglich Pythagoreische Quadrupel ermittelt werden sollen. Den Wertebereich für a, innerhalb dem nach Quadrupeln gesucht werden soll, bestimmen Sie durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder von und bis. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die entsprechenden Quadrupel in der Tabelle ausgegeben.
 

 

Beispiel

 
Nach der Festlegung eines Untersuchungsbereichs von 10 bis 14 zur Auffindung Pythagoreischer Quadrupel gibt das Programm folgende Ergebnisse für die Koeffizienten a, b, c und d der Gleichung aus:
 

a b c d
12 12 14 22

 
Diese erfüllen die Bedingung: 12² + 12² + 14² = 22²

 

12. Quadratfreie Zahlen

 
MathProf - Quadratfreie Zahlen - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle


Eine quadratfreie, natürliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die kein Vielfaches einer Quadratzahl > 1 ist. Es sind dies genau die Zahlen, welche sich als Produkt von paarweise verschiedenen Primzahlen schreiben lassen. Kubikfreie natürliche Zahlen sind natürliche Zahlen, die kein Vielfaches einer Kubikzahl > 1 sind. Diese Zahlen können Sie sich ausgeben lassen, nachdem Sie den entsprechenden Untersuchungsbereich durch Eingabe von Werten in die Felder Von und Bis festgelegt haben. Sollen quadratfreie Zahlen ermittelt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Quadratfrei, andernfalls den Kontrollschalter Kubikfrei und bedienen hierauf die Schaltfläche Berechnen.
 

Beispiel

 
Bei einer Suche nach quadratfreien Zahlen im Bereich von 1 bis 10 ermittelt das Programm:

1,2,3,5,6,7,10 ......

Bei der Suche kubikfreier Zahlen, innerhalb eines Bereichs von 1 bis 10, werden die Zahlen

1,2,3,4,5,6,7,9,10 ....

ausgegeben.
 

13. Bernoulli-Zahlen

 
MathProf - Bernoulli-Zahlen - Definition - Rechner - Berechnen - Berechnung - Tabelle


Die Bernoulli-Zahlen 1, ±1/2, 1/6, 0, -1/30, ... sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: In den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

 

Beispiel

 

n   Bernoulli-Zahl

 

0    1

1    -0.5 und 0.5

2    0,1666666

4    -0,033333

6    0,02380952

8    -0,0333333

10   0,0757575

  

Liste aller natürlicher Zahlen von 1 bis 1000

 
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Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden. Dieses Programm kann auch dabei behilflich sein, einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlen II

 

Allgemein

 

Hinweis:

Da die Durchführung einiger Berechnungen sehr zeitaufwändig sein kann, können Sie diese jederzeit durch einmaliges Drücken der Taste ESC abbrechen.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Buffonsches Nadelproblem - Buffonsches Nadelexperiment - Buffon - Nadelexperiment - Zahlen - Beispiel - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Beispiel 1 - Buffonsches Nadelexperiment

MathProf - Quadratfreie Zahl - Leibniz-Formel - Leibnizsche Formel - Leibniz-Reihe - Gerade Zahlen - Ungerade Zahlen - Tripel - Heron - Algorithmus - Formel - Folge - Reihe - Methode - Quadratwurzel - Pi - Kreiszahl - Leibniz - Bernoulli - Zahl - Wurzel - Radikand - Wurzel-Näherung - Bernoulli-Zahlen - Ganzzahlig - Untersuchen - Untersuchung - Rechner - Berechnen - Berechnung - Generator - Generieren - Tabelle - Werte - Quadratwurzel-Näherung - Heron-Verfahren - Heronsche Wurzelformel
Beispiel 2 - Leibniz-Formel

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Heron-Verfahren
Wikipedia - Pythagoreisches Tripel
Wikipedia - Buffonsches Nadelproblem
Wikipedia - Leibniz-Formel
Wikipedia - Wallissches Produkt
Wikipedia - Quadratfreie Zahl
Wikipedia - Bernoulii-Zahl

 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Algebra


MathProf - Unterbestimmtes LGS - Gleichungssystem - Unterbestimmt - LGS - System - Lösen unterbestimmter Gleichungssysteme - Unterbestimmtes Gleichungssystem - Mehr Unbekannte als Gleichungen - Lösungen für 2 Gleichungen und 3 Unbekannte - Lösungen für 3 Gleichungen und 4 Unbekannte - Rechner - Berechnen - LösungMathProf - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Definition - Lösen - Rechner - Berechnen - Lösungsmenge - Lösungen für 2 Gleichungen und 4 Unbekannte - Spezielle Lösung - Tupel - Triviale Lösung - Lineares Gleichungssystem unterbestimmt
 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Partitionen - Perrin-Zahlen - Undulierende Zahlen - Multiplikative Beharrlichkeit - k-Permutationen - Quasi befreundete Zahlen - Zerlegungen - Reihenfolge - Summe - Formel - Teiler - Fibonacci-Folge - Natürliche Zahlen - Berechnen - Untersuchen - Untersuchung - Tabelle - Liste - Berechnung - Werte - Rechner
MathProf 5.0 - Unterprogramm Zahlen II



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0