MathProf - Zahlen I (Bernoulli-Zahlen - Zahlentripel)

Science for all - Maths for you

 

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Zahlen I

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Zahlen] - Zahlen I ermöglicht die Durchführung der numerischen Ermittlung von Werten verschiedener spezieller Zahlen.

 

MathProf - Zahlen - Heron

 

Berechnungen können durchgeführt werden mit:
 

  • Heron'sche Wurzelformel
  • Pythagoreische Zahlentripel
  • Kreiszahl Pi
  • Leibnitz-Formel
  • Zufallszahlen 1
  • Zufallszahlen 2
  • Buffon'sches Nadelexperiment
  • Zahlenfolge 3a+1
  • Wallis'sche Formel
  • Beinahe Pythagoreische Tripel
  • Pythagoreische Quadrupel
  • Quadratfreie Zahlen
  • Bernoulli-Zahlen

1. Heron'sche Wurzelformel


Die iterative Berechnung der beliebigen Wurzel einer Zahl nach Heron können Sie durchführen lassen, indem Sie den Eintrag Wurzelformel Heron aus der aufklappbaren Auswahlbox wählen, die Werte für den Radikanden, sowie den Wurzelexponenten in die dafür vorgesehenen Felder Radikand und Zahl eintragen und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Es werden alle Zwischenlösungen bis zum Erreichen eines bestimmten Fehlerwertes ausgegeben. Die Formel zur iterativen Errechnung von Wurzeln wird als Heron'sche Wurzelformel bezeichnet und besitzt die Form:

Zahlen - Symbol  - 1

Beispiel


Eine Berechnung des Werts 35, die über 5 Schritte hinweg ausgeführt wird, liefert folgende Ergebnisse:

Schritt 0:  2,5000000000

Schritt 1:  1,9333333333

Schritt 2:  1,7347866297

Schritt 3:  1,7103290941

Schritt 4:  1,7099760196

Schritt 5:  1,7099759467

Der exakte Wert (nicht mit dieser Methode errechnet) dieser Zahl lautet: 1,7099759466767

2. Pythagoreische Zahlentripel


Pythagoreische Zahlentripel sind die Tripel natürlicher Zahlen a, b, c, welche die Bedingung a² + b² = c² erfüllen.

Ein derartiges Tripel errechnet sich aus den Zusammenhängen:

a = u·v

b = (u² - v²)/2

c = (u² + v²)/2

unter der Voraussetzung, dass u und v teilerfremd sind und diese natürliche, ungerade Zahlen sind.

Nachdem Sie den Eintrag Pythagoreische Zahlentripel gewählt haben, den zu untersuchenden Zahlenbereich in den Eingabefeldern Von und Bis definierten und die Schaltfläche Berechnen bedienten, ermittelt das Programm derartige Tripel.

Möchten Sie Details bzgl. der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks erfahren, welches die Seitenlängen a,b und c besitzt, so fokussieren Sie den entsprechenden Tabelleneintrag und bedienen hierauf die Schaltfläche Eigenschaften

Beispiel


Über einen Wertebereich von 3 bis 20 erhalten Sie folgende Tripel:

a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17


Für die Eigenschaften des Phythagoreischen Dreiecks mit den Seitenlängen

a = 8
b = 15
c = 17

erhalten Sie darüber hinaus folgende Informationen:

Winkel
α = 28,072°
Winkel
β = 61,928°
Winkel
γ = 90°

Länge der
Seitenhalbierende sha = 15,524
Länge der
Seitenhalbierende shb = 10,966
Länge der
Seitenhalbierende shc = 8,5

Länge der
Winkelhalbierende wha = 15,462
Länge der
Winkelhalbierende whb = 9,330
Länge der
Winkelhalbierende whc = 7,379

Höhe ha = 1
Höhe hb = 8
Höhe hc = 7,059

Fläche A = 60
Umfang U = 40
Inkreisradius ri = 3
Umkreisradius ru = 8,5

3. Kreiszahl Pi


Nach einer Auswahl des Eintrags Kreiszahl Pi aus der aufklappbaren Auswahlbox, der Festlegung der Nachkomma-Stellengenauigkeit im Eingabefeld Anz. Stellen und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird die Kreiszahl Pi auf die angegebene Anzahl von Nachkommastellen (bis max. 10000) ermittelt und ausgegeben.

Beispiel


Nach der Festlegung einer Anzahl von Nachkommastellen von 40, erhalten Sie folgendes Ergebnis:

π = 3,1415926535897932384626433832795028841971

4. Leibnitz-Formel


Im Jahre 1682 steuerte Gottfried Wilhelm Leibniz der Suche nach einer bestmöglichen Annäherung an die Kreiszahl Pi folgende Regel (auch als Leibnitz-Reihe bekannt):

1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 ... = π/4

Hierbei erhöht sich der Wert des Nenners eines jeden Summanden im Vergleich zum vorherigen, um jeweils 2.

Da dieses Verfahren eine langsame Konvergenzgeschwindigkeit aufweist, bedarf es der Nutzung vieler Schritte um einen guten Näherungswert für die Zahl π zu erreichen. Dies können Sie untersuchen, wenn Sie den Eintrag Leibnitz-Formel aus der aufklappbaren Auswahlbox und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Das Programm addiert die entsprechenden Summanden und gibt die ermittelten Zwischensummen derer, nach jeweils 2000 durchgeführten Berechnungen, aus.

Die prozentuale Abweichung der Werte der Zwischenergebnisse zu einem sehr genauen Wert für π wird jeweils nach Durchführung der vorgegebenen Anzahl von Berechnungen ausgegeben.

5. Zufallszahlen 1


Unter Zufallszahlen 1 werden Zufallszahlen von einem Zufallsgenerator im Bereich von 0 bis 1 erzeugt und nach einer Bedienung des Schalters Berechnen ausgegeben. Die Anzahl zu erzeugender Zufallszahlen kann durch Eingabe eines ganzzahligen Werts in das hierfür vorgesehene Feld Anzahl festgelegt werden.

6. Zufallszahlen 2


Wird der Eintrag Zufallszahlen 2 aus der aufklappbaren Auswahlbox gewählt, so werden durch einen Zufallsgenerator ganzzahlige Zufallszahlen erzeugt, die innerhalb eines Bereichs von 0 bis zum, im Eingabefeld Bereich festgelegten, Wert liegen. Nach einer Bedienung des Schalters Berechnen werden die Zufallszahlen ausgegeben. Die Anzahl zu erzeugender Zufallszahlen ist im entsprechenden Eingabefeld Anzahl festzulegen.

7. Buffon'sches Nadelexperiment


Durch eine Selektion des Eintrags Buffon'sches Nadelexperiment aus der aufklappbaren Auswahlbox können Sie sich dieses Prinzip zur Ermittlung der Kreiszahl π grafisch veranschaulichen.

Eine Nadel der Länge 0 < a < 1 werde auf eine Ebene geworfen, auf welcher im Abstand von einer Längeneinheit horizontale Striche gezogen seien. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Linie schneidet? Es stellt sich heraus, dass diese Wahrscheinlichkeit a/π beträgt. Somit kann π durch eine derartige Simulation näherungsweise bestimmt werden.

Im Formularbereich Einstellungen / Ergebnisse können Sie die Anzahl horizontal angeordneter Linien, sowie die Anzahl durchzuführender Würfe (Bedienelement mit der Beschriftung Faktor) vorgeben. Die Bedienung des Schalters Berechnen löst die Simulation dieser Würfe aus.

In den Anfangszustand versetzen können Sie dieses relativ ungenaue Experiment durch die Bedienung des Schalters Zurücksetzen.

Beispiel


Nach der Festlegung der Anzahl horizontal verlaufenden Linien auf 30 und der Einstellung des Faktors auf 1000, erhalten Sie nach 10-maligem Bedienen der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Anzahl der Würfe: 10000

Anzahl der Schnitte: 6288

Die Kreiszahl π wird hierdurch näherungsweise mit dem Wert π = 3,180662 ermittelt.

8. Zahlenfolge 3a+1

 

Eine Zahlenfolge natürlicher Zahlen, welche grundsätzlich periodisch mit den Werten 4, 2 und 1 endet, können Sie nach einer Wahl des Eintrags Zahlenfolge 3a+1 aus der aufklappbaren Auswahlbox untersuchen.
 

Ist das Startglied a(1) der Zahlenfolge eine beliebige natürliche Zahl und werden die Glieder der Zahlenfolge wie folgt definiert, so endet diese grundsätzlich mit den Zahlen 4, 2 und 1.

an+1 = an / 2 (wenn an gerade ist)

an+1 = 3·an + 1 (wenn an ungerade ist)
 

Nach der Eingabe des Startwerts in das entsprechende Feld Startzahl und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse ausgegeben.

Beispiel


Nach einer Festlegung der Startzahl auf 10, ermittelt das Programm:

Nr. Glied der Folge
1        5
2       16
3        8
4        4
5        2
6        1


Bei einer Startzahl von 6 werden ausgegeben:

Nr. Glied der Folge
1        3
2       10
3        5
4        16
5        8
6        4
7        2
8        1


Wie hierbei zu erkennen ist, besitzen die letzten drei Glieder dieser Folgen in beiden Fällen die Werte 4, 2 und 1.

9. Wallis'sche Formel

 

Eine Möglichkeit zur Ermittlung der Kreiszahl π durch die Bildung eines unendlichen Produkts wurde im 17. Jahrhundert vom englischen Mathematiker John Wallis entdeckt:

(2/1 · 2/3) · (4/3 · 4/5) · (6/5 · 6/7) · (8/7 · 8/9) ... = π/2

Die Genauigkeit dieses Verfahrens können Sie untersuchen, indem Sie den Eintrag Wallis'sche Formel aus der aufklappbaren Auswahlbox wählen und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Das Programm führt die entsprechenden Berechnungen durch und gibt den ermittelten Wert für die Kreiszahl π nach jeweils 100 Schritten aus.

Die prozentuale Abweichung der Werte der Zwischenergebnisse zu einem sehr genauen Wert für π wird jeweils nach Durchführung der vorgegebenen Anzahl von Berechnungen angezeigt. Die u.U. lang andauernde Berechnung können Sie anhalten, indem Sie den Schalter Abbrechen bedienen.

10. Beinahe Pythagoreische Tripel


Wird der Eintrag Beinahe Pythagoreische Tripel gewählt, so kann nach Tripeln natürlicher Zahlen gesucht werden, für welche gilt:

 a² + b² = c² ± k

Möchten Sie die Untersuchung mit einem Wert für k durchführen für welchen k < 0 gilt, so aktivieren Sie den Kontrollschalter a² + b² = c² - k, soll k hingegen größer 0 sein, so wählen Sie den Kontrollschalter a² + b² = c² + k. Geben Sie hierauf den ganzzahligen Wert für k in das Feld mit der Bezeichnung k ein.

Nach der Festlegung des Untersuchungsbereichs, durch die Eingabe entsprechender Werte für die Koeffizienten a und b der Gleichung in die Felder von a und bis b, ermittelt das Programm die ganzzahligen Koeffizienten für a, b und c nachdem die Taste Berechnen bedient wurde.

Möchten Sie Details zu den Eigenschaften eines Dreiecks erfahren, welches die Seitenlängen a,b und c besitzt, so fokussieren Sie hierfür den entsprechenden Tabelleneintrag und bedienen hierauf die Schaltfläche Eigenschaften. Dreiecke dieser Art sind nahezu rechtwinklig. 

Beispiel


Über einen Wertebereich von a = 1 bis b = 12 und bei einer Festlegung des Parameterwerts k = 1 erhalten Sie für a² + b² = c² - k folgende Tripel:

a b c
2 2 3
4 8 9
12 12 17


Diese Werte für a, b und c erfüllen die Gleichungsbedingung:

a² + b² = c² - 1

Für die Eigenschaften des Phythagoreischen Dreiecks mit den Seitenlängen

a = 4
b = 8
c = 9

erhalten Sie zudem folgende Informationen:

Winkel
α: 26,384°
Winkel
β: 62,72°
Winkel
γ: 90,895°

Seitenhalbierende sha = 8,276
Seitenhalbierende shb = 5,701
Seitenhalbierende shc = 4,444

Winkelhalbierende wha = 8,247
Winkelhalbierende whb = 4,729
Winkelhalbierende whc = 3,742

Höhe ha = 7,999
Höhe hb = 4
Höhe hc = 3,555

Fläche: A = 15,998 FE
Umfang: U = 21
Inkreisradius: ri = 1,524
Umkreisradius: ru = 4,501

11. Pythagoreische Quadrupel

 

Pythagoreische Quadrupel sind die Quadrupel natürlicher Zahlen a, b, c und d, die die Bedingungen a² + b² + c² = d² und a b c d erfüllen. Diese können Sie ermitteln lassen, indem Sie den Eintrag Pythagoreische Quadrupel aus der aufklappbaren Auswahlbox wählen.

 

Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Alle Quadrupel bzw. Pythagoreische Quadrupel, ob alle Quadrupel, oder lediglich Pythagoreische Quadrupel ermittelt werden sollen. Den Wertebereich für a, innerhalb dem nach Quadrupeln gesucht werden soll, bestimmen Sie durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder von und bis. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die entsprechenden Quadrupel in der Tabelle ausgegeben.

 

Beispiel


Nach der Festlegung eines Untersuchungsbereichs von 10 bis 14 zur Auffindung Pythagoreischer Quadrupel gibt das Programm folgende Ergebnisse für die Koeffizienten a, b, c und d der Gleichung aus:

a b c d
12 12 14 22

Diese erfüllen die Bedingung: 12² + 12² + 14² = 22²

12. Quadratfreie Zahlen


Eine quadratfreie, natürliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die kein Vielfaches einer Quadratzahl > 1 ist. Es sind dies genau die Zahlen, welche sich als Produkt von paarweise verschiedenen Primzahlen schreiben lassen. Kubikfreie natürliche Zahlen sind natürliche Zahlen, die kein Vielfaches einer Kubikzahl > 1 sind. Diese Zahlen können Sie sich ausgeben lassen, nachdem Sie den entsprechenden Untersuchungsbereich durch Eingabe von Werten in die Felder Von und Bis festgelegt haben. Sollen quadratfreie Zahlen ermittelt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Quadratfrei, andernfalls den Kontrollschalter Kubikfrei und bedienen hierauf die Schaltfläche Berechnen.

Beispiel


Bei einer Suche nach quadratfreien Zahlen im Bereich von 1 bis 10 ermittelt das Programm:

1,2,3,5,6,7,10 ......

Bei der Suche kubikfreier Zahlen, innerhalb eines Bereichs von 1 bis 10, werden die Zahlen

1,2,3,4,5,6,7,9,10 ....

ausgegeben.

13. Bernoulli-Zahlen

 

Die Bernoulli-Zahlen 1, ±1/2, 1/6, 0, -1/30, ... sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: In den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

 

Beispiel

 

n   Bernoulli-Zahl

 

0    1

1    -0.5 und 0.5

2    0,1666666

4    -0,033333

6    0,02380952

8    -0,0333333

10   0,0757575

 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlen II

 

Allgemein

 

Hinweis:

Da die Durchführung einiger Berechnungen sehr zeitaufwändig sein kann, können Sie diese jederzeit durch einmaliges Drücken der Taste ESC abbrechen.
 

Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL - Gleichungssystem (Differentialgleichungen) - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte


Zur Inhaltsseite