MathProf - Interpolationsverfahren - Interpolationspolynom - Newton

 

Modul Interpolation nach Newton - Interaktiv

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Interpolation nach Newton - Interaktiv kann das Interpolationsverfahren nach Newton interaktiv ausgeführt werden.

Sind von einer unbekannten Funktion n+1 verschiedene Kurvenpunkte bekannt, so kann mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Newton ein ganzrationales Näherungspolynom n-ten Grades, und somit der Kurvenverlauf durch diese Stützpunkte, ermittelt werden.

Ein Newton'sches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form:





Das Programm ermittelt aus bis zu 5 vorgegebenen Punkten interpolativ eine ganzrationale Funktion, die näherungsweise durch diese Punkte verläuft.

Die Abszissenwerte der Kurvenpunkte tragen hierbei die Bezeichnung Stützstellen, Ordinatenwerte die Bezeichnung Stützwerte.
 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine derartige Interpolation interaktiv durchführen zu lassen: 
 

1. Wählen Sie durch eine Bedienung des Steuerelements Anz. Stützpunkte auf dem Bedienformular die Anzahl von Stützstellen mit Hilfe derer ein Näherungspolynom ermittelt werden soll.
    
2. Verändern Sie durch die Positionierung der zur Verfügung stehenden Rollbalken x0, x1, x2 ... a5 bzw. y0, y1, y2 ... y5 die Abszissen- und Ordinatenwerte der Stützpunkte.
    
3. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung des Kontrollkästchens Kurvendiskussion fest, ob mit der ermittelten Polynomfunktion eine Kurvendiskussion durchgeführt werden soll.
   
   Möchten Sie den Untersuchungsbereich zur Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung U-Bereich, klicken in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich eines Bereichsmarkierungspunkts und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
4. Um sich die Markierung definierter Stützpunkte anzeigen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Stützpunkte darstellen.
    
5. Es besteht die Möglichkeit eine Veränderung von Stützstellen- und Stützwertenwerten vom Programm simulieren zu lassen. Bedienen Sie hierfür die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die simulativ zu verändernden Vorgabebedingungen durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:
 

• Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)
• Extrema der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)
• Wendepunkte der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt)

Beachten Sie:
Nicht für alle gegebenen Bedingungen existieren eindeutige Lösungen. Ist keine Lösung vorhanden, so wird dies angezeigt.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Es wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die Bedingungen zur Ermittlung von Funktionen bis 5. Grades mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Newton festlegen können.
 

 
Auf dem Bedienformular verwendete Bezeichnungen:
 

• X0 ... X5: X-Koordinaten der Stützpunkte
• Y0 ... Y5: Y-Koordinaten der Stützpunkte

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten durch Kurvendiskussion ermittelter Punkte

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Interpolation nach Newton und Lagrange
Interpolation nach Lagrange- Interaktiv
Kurvendiskussion
 
Es gilt, ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die folgenden vier Stützpunkte beschrieben wird:
 

X3:	2	Y3:	-4
X2:	-3	Y2:	0
X1:	4	Y1:	1
X0:	-1	Y0:	3

Vorgehensweise und Lösung:

Mit dem Steuerelement Anz. Stützpunkte wird der Wert 4 eingestellt und die Rollbalken X0, X1, X2, X3 sowie Y0, Y1, Y2, Y3 werden entsprechend positioniert. Für die Funktionsgleichung der ermittelten Näherungsfunktion gibt das Programm hierauf aus:

f(x) = -0,248·X³-0,271·X²-2,805·X+0,714

Wird das Kontrollkästchen Kurvendiskussion aktiviert, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durch und gibt bei einem voreingestellten Untersuchungbereich -3 £ x £ 3 aus:

Nullstelle:

N (0,25 / 0)    

Extrema:

HP (-1,612 / 3,493)    
TP (2,343 / -4,162)

Wendepunkt:

W (0,365 / -0,335)   
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Interpolation zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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