MathProf - Skalarprodukt zweier Vektoren - Inneres Produkt (3D) - Vektorrechnung

MathProf - Mathematik-Software - Skalarprodukt | Vektoren | Skalar | 3D | Winkel
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Skalarprodukt | Vektoren | Skalar | 3D | Winkel

Online-Hilfe für das Modul
zur Berechnung und Darstellung des Skalarprodukts (inneres Produkt)
zweier Vektoren und der Ermittlung des von ihnen
eingeschlossenen Winkels im Raum sowie der Ausgabe der
Längen der beiden bildenden Vektoren.

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Skalarprodukt
Skalarprodukt zweier Vektoren - Inneres Produkt - Vektorrechnung (3D)

 

Im Unterprogramm [Vektoralgebra] - [Grundlegendes (3D)] - Skalarprodukt kann das Skalarprodukt (das innere Produkt) zweier Vektoren ermittelt werden.

 

MathProf - Skalarprodukt - Länge - Winkel - Vektoren - Inneres Produkt

 

Unter dem skalaren (inneren) Produkt zweier Vektoren versteht man einen Skalar, welcher gebildet wird mit:

 

Skalarprodukt - Gleichung 1

 

Der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel kann ermittelt werden mit:

 

Skalarprodukt - Gleichung 2

 

 (0 φ ≤ π)

 

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren

 

Skalarprodukt - Gleichung 3
und
Skalarprodukt - Gleichung 4
 

stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt (inneres Produkt) verschwindet:

 

Skalarprodukt - Gleichung 5
 

Parallelogramm dargestellt werden.
 

Screenshots


MathProf - Skalarprodukt - Inneres Produkt - Darstellung - Eigenschaften - Länge - Vektoren - Winkel - Skalarprodukt berechnen - Vektorrechnung - 1


MathProf - Skalarprodukt - Inneres Produkt - Darstellung - Eigenschaften - Länge - Vektoren - Winkel - Skalarprodukt berechnen - Vektorrechnung - 2

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Berechnung und grafische Darstellung

 

Um das Skalarprodukt zweier Vektoren (welche mit Skalaren multipliziert werden) ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Geben Sie die Koeffizienten der Vektoren a und b in die hierfür vorgesehenen Felder a und b ein.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  3. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm ermittelt außerdem den von den Vektoren a und b eingeschlossenen Winkel φ, sowie die Längen der Vektoren a und b.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Komponentendarstellung (3D)

Vektorprodukt (3D)

Spatprodukt (3D)

Vektorprojektion (3D)

Tripelprodukt (3D)

 

Beispiel


Es gilt, das Skalarprodukt der beiden nachfolgend aufgeführten Vektoren ermitteln zu lassen.

Skalarprodukt - Gleichung 6

Skalarprodukt - Gleichung 7

Vorgehensweise:

Nach einer Eingabe der Koeffizientenwerte für die beiden Vektoren, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse aus:

Das Skalarprodukt der Vektoren a und b besitzt den Wert:

Skalarprodukt - Gleichung 8

Die Länge des Vektors a beträgt 4,359.

Die Länge des Vektors b betägt 8,307.

 

Der von den beiden Vektoren a und b eingeschlossene Winkel beträgt 121,651°.
 

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