MathProf - Interpolation - Newton - Lagrange - Interpolieren

MathProf - Mathematik-Software - Interpolation nach Newton und Lagrange | Ableitung

Fachthemen: Newton-Interpolation und Lagrange-Interpolation

MathProf - Analysis - Ermöglicht wird die Präsentation statischer Darstellungen, wie auch dynamisch ablaufender Simulationen. Eine Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Interpolation nach Newton und Lagrange | Ableitung

Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung zweier verschiedener Interpolationsverfahren. Dies sind die Interpolation nach Newton und die Interpolation nach Lagrange mit frei festlegbaren Stützstellen (Stützpunkten).

In diesem Teilprogramm erfolgt mit dem durch die Anwendung der entsprechenden Interpolationsmethode ermittelten Interpolationspolynom die Durchführung einer Kurvendiskussion und somit das Berechnen der Nullstellen, der Extrempunkte (Extrema) und der Wendepunkte (Wendestellen) dessen.


Nach einer Praktizierung relevanter numerischer Untersuchungen durch den Rechner erfolgt die grafische Darstellung der entsprechenden Zusammenhänge. Dieses Modul ermöglicht die Berechnung der Werte aller wichtiger Größen zu diesem Fachthema.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Interpolationsverfahren - Newton - Lagrange - Interpolation - Interpolieren - Polynom - Polynominterpolation - Interpolationsmethode - Interpolationspolynom - Lagrangesches Interpolationsverfahren - Lagrangesches Interpolationspolynom - Lagrange Interpolation - Newton Interpolation - Interpolationsformel - Lagrange-Verfahren - Lagrangesche Interpolation - Lagrangesche Interpolationsformel - Ermittlung ganzrationaler Näherungsfunktionen - Näherung - Newtonsches Interpolationspolynom - Näherungsfunktion - Näherungsverfahren - Approximation - Approximieren - Verfahren - Methode - Lagrange-Methode - Iterationsvorschrift - Interpolationspolynome - Newtonsche Interpolationsformel - Funktion interpolieren - Ableiten - Ableitung - Annähern - Annäherung - Berechnung - Berechnen - Definition - Einführung - Erklärung - Linear - Funktion - Begriff - Begriffe - Zeichnen - Plotten - Methoden - Bedingung - Darstellung - Koordinaten - Bild - Rechner - Grafik - Punkte - Numerik - Darstellen - Plotter - Programm - Graph - Formel - Rechnerisch - Koeffizienten - Herleitung - Beweis - Eigenschaften - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Tabelle - Beispiel - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Mathe - Mathematik - Anwendungsaufgaben - Schema - Beispielaufgabe - Werte - Stützwerte - Stützstellen - Stützpunkte - Grafische Darstellung - Newtonsches Interpolationsverfahren - Newtonsche Interpolation - Newtonsche Näherung - Newtonsches Näherungsverfahren - Näherungspolynom - Näherungskurve

 
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Interpolation nach Newton und Interpolation nach Lagrange

 

MathProf - Interpolation - Newton - Lagrange - Koeffizienten - Verfahren - Punkte - Stützstellen - Extrempunkte - Näherungsfunktion - Beispiel - Interpolation - Interpolationsverfahren - Polynominterpolation - Interpolationsmethoden - Interpolationspolynom - Näherungspolynom - Plotten - Rechner - Berechnen - Plotter
Modul Interpolation nach Newton und Lagrange



Im Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Interpolation nach Newton und Lagrange können Berechnungen mit Interpolationspolynomen durchgeführt und Näherungsfunktionen ermittelt werden.

 

MathProf - Interpolation - Newton - Nichtlineare Interpolation - Polynominterpolation - Interpolationsmethoden  - Newtonsche Interpolationsformel - Funktion interpolieren - Näherungspolynom - Lagrange - Interpolieren - Polynom - Lagrangesches Interpolationsverfahren - Tabelle - Rechner - Berechnen

 

Mit dem Begriff Polynominterpolation wird die Suche nach einem Polynom bezeichnet, dessen Kurvenverlauf exakt durch vorgegebene Punkte stattfindet. Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung von Näherungspolynomen mit Hilfe folgender Interpolationsverfahren (Interpolationsmethoden):
 

  • Interpolation nach Newton
  • Interpolation nach Lagrange

 
Sind von einer unbekannten Funktion n+1 verschiedene Kurvenpunkte bekannt, so kann mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Newton, oder des Interpolationsverfahrens nach Lagrange ein ganzrationales Näherungspolynom n-ten Grades, und somit der Kurvenverlauf der Näherungskurve durch diese Stützpunkte, ermittelt werden. Ein derartiges Polynom trägt die Bezeichnung Interpolationspolynom.



1. Newton-Interpolation - Interpolationspolynom

Ein Newtonsches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form (Interpolationsformel):
 

Interpolation - Gleichung - Interpolationsformel  - 1

Interpolation - Gleichung  - 2



2. Lagrange-Interpolation - Interpolationspolynom

Ein Lagrangesches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form (Interpolationsformel):
 

Interpolation - Gleichung - Interpolationsformel - 3
 

Lagrangesche Koeffizientenfunktionen sind Polynome n-ten Grades und wie nachfolgend aufgeführt definiert:
 

Interpolation - Gleichung  - 4

Interpolation - Gleichung  - 5

Interpolation - Gleichung  - 6

.

.

.

Interpolation - Gleichung  - 7
 

Interpolation - Gleichung  - 8

Interpolation - Gleichung  - 9

 



Das Interpolationsverfahren nach Lagrange trägt auch die Bezeichnung Lagrangesches Interpolationsverfahren oder Lagrange Interpolation.

Die Interpolationsmethode nach Newton ist auch bekannt als Newton Interpolation, Newtonsches Interpolationsverfahren, Newtonsche Interpolation, Newtonsche Näherung oder Newtonsches Näherungsverfahren.
 
Mit dem Begriff Stützstelle (Stützstellen) oder Stützpunkt(e) werden in der numerischen Mathematik die Argumente von Funktionen bezeichnet, die für die weitere Berechnung verwendet werden. Die Abszissenwerte verwendeter Kurvenpunkte tragen die Bezeichnung Stützstellen, Ordinatenwerte die Bezeichnung Stützwerte. Die maximale Anzahl verwendbarer Stützstellen in diesem Unterprogramm beträgt 100.
 
Mit Approximation wird im mathematischen Sinn eine Annäherung bezeichnet. Sie ist das Synonym für eine 'Näherung'. Die beiden in diesem Modul beschriebenen Verfahren sind Methoden, die ein derartiges Vorgehen zur Ermittlung einer entsprechenden Näherungsfunktion mittels definierter Stützpunkte anwenden. Der Rechner ermittelt das entsprechende Interpolationspolynom mit dem Newton-Verfahren oder dem Lagrange-Verfahren für beliebige definierbare Punkte.
  

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Interpolation - Lagrange - Ableitung - Newton Interpolation - Lagrangesche Interpolation - Lagrangesche Interpolationsformel - Näherung - Näherungsfunktion - Interpolationsverfahren - Interpolationsmethoden - Interpolationspolynom - Näherungspolynom - Interpolationsformel - Interpolationsmethode - Lagrange-Verfahren - Rechner - Berechnen


Um die zuvor beschriebenen Verfahren anzuwenden, gehen Sie folgendermaßen vor:
 

  1. Wählen Sie den entsprechenden Eintrag Interpolation nach Newton bzw. Interpolation nach Lagrange aus der aufklappbaren Box.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Stützpunkte in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Legen Sie im Formularbereich Untersuchungsbereich für Kurvendiskussion, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen eine Analyse zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten durchgeführt werden soll (Von x1 = und bis x2 =). Voreingestellt ist ein Untersuchungsbereich -4 x 4.
     
  5. Kann mit den eingegebenen Werten eine Näherungsfunktion ermittelt werden, so werden die Resultate nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen im Formularbereich Ergebnisse ausgegeben. Zudem führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durch.
     
  6. Möchten Sie sich die ermittelte Näherungsfunktion grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Bestimmen Sie auf dem Bedienformular durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens Kurvendiskussion, ob Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte der ermittelten Funktion angezeigt werden sollen.
     
  8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung oder 2. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.


Hinweise:

Wird ein Abszissenwert mehrfach verwendet, so kann keine Näherungsfunktion ermittelt werden und Sie erhalten eine entsprechende Fehlermeldung. Die Mindestanzahl erforderlicher Stützstellen beträgt 2.
 

Bei der Ausgabe durch Kurvendiskussion ermittelter Punkte werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

N: Nullstelle
H: Hochpunkt
T: Tiefpunkt
W: Wendepunkt/Wendestelle

 

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular


MathProf - Interpolation - Newton - Lagrange - Ableitung - Kurvendiskussion - Stützstellen

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Stützpunkte: Darstellung definierter Stützpunkte ein-/ausschalten
  • U-Bereich: Markierung des festgelegten Untersuchungsbereichs zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Stützpunkte sowie der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte Punkte ein-/ausschalten
 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

Beispiele


Beispiel 1 - Interpolation nach Newton:

Um unter Verwendung der Interpolation nach Newton ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die vier Stützpunkte (Stützstellen) P1 (-3 / -2), P2 (-1,45 / 1,75), P3 (1,3 / -1) und P4 (2,8 / 1,4) beschrieben wird, selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Newton aus der Auswahlbox, übernehmen die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen hierauf die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,2425799·X3 - 0,031072068·X2
        - 1,46738199·X + 0,42716031949

Für die Koeffizienten gibt es aus:

 

a[0] = -2

a[1] = 2,41935483870968

a[2] = -0,795198799699925

 

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 x 4:

 

Nullstellen: N1 (-2,534/ 0)
  N2 (0,293 / 0)
  N3 (2,368 / 0)
Hochpunkt: H1 (-1,378 / 1,755)
Tiefpunkt: T1 (1,463 / -1,027)
Wendepunkt: W1 (0,043 / 0,364)


Beispiel 2 - Interpolation nach Lagrange:

Mit Hilfe der Interpolation nach Lagrange ist ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die fünf Stützpunkte P1 (-2 / 1), P2 (-3 / 1,5), P3 (0,6 / -1,8) und P4 (1,5 / 0,6) beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Lagrange aus der Auswahlbox, übernehmen Sie die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,27330077·X3+1,04226699·X2
         
-0,4813797·X-1,94542

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 x 4:

 

Nullstellen: N1 (-3,782 / 0)
  N2 (-1,388 / 0)
  N3 (1,356 / 0)
Hochpunkt: H1 (-2,755 / 1,577)
Tiefpunkt: T1 (0,213 / -1,998)
Wendepunkt: W1 (-1,271 / -0,211)
 
Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Interpolation - Newton - Newtonsches Näherungsverfahren - Koeffizienten - Verfahren - Punkte - Stützstellen - Schema - Werte - Stützwerte - Stützpunkte - Näherungsfunktion - Beispiel - Interpolationsverfahren - Polynominterpolation - Interpolationsmethoden - Interpolationspolynom - Formel - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Interpolation - Newtonsche Näherung - Lagrange - Newtonsches Interpolationspolynom  - Näherungspolynom - Newtonsche Interpolationsformel - Näherungsverfahren - Iterationsvorschrift - Interpolationspolynome - Berechnung - Definition - Stützpunkte - Polynom - Programm - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Interpolation - Lagrange - Newtonsche Interpolationsformel - Funktion interpolieren - Koordinaten -  Rechnerisch - Newtonsches Interpolationsverfahren - Newtonsche Interpolation - Lagrangesches Interpolationspolynom - Berechnen - Formel - Newton - Software - Rechner - Näherungsfunktion - Beispiel
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Interpolationspolynom - Lagrange Interpolation - Interpolieren - Polynom - Näherungspolynom - Formel - Approximation - Approximieren - Verfahren - Lagrangesche Interpolation - Ermittlung ganzrationaler Näherungsfunktionen - Methode - Lagrange-Methode - Polynominterpolation - Darstellen - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Interpolation zu finden.

 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 

MathProf - Rekonstruktion - Funktionsrekonstruktion - Ganzrationale Polynomfunktionen - Funktion - Polynom - Polynomfunktion - Koeffizienten - Steckbriefaufgaben - Bestimmen - Bestimmung - Ermitteln - Berechnen - Bedingungen - Ableitung - Funktionswert - Funktionsvorschrift - Funktionsgleichnung - Ganzrationale Funktionen - Rekonstruieren - Rechner - Berechnen - Zeichnen - DarstellenMathProf - Funktionsgleichung bestimmen - Punkte - Funktion bestimmen - Funktion aufstellen - Aufstellen - Polynom bestimmen - Polynomfunktion bestimmen - Polynome - Punkte - Funktionsterm - Extremstellen - Funktion 2. Grades - Funktion 3. Grades - Funktion 4. Grades - Funktionsterm bestimmen - Funktionsbestimmung - Bestimmung von Funktionen - Rekonstruktion von Funktionen - Rechner - Berechnen - Zeichnen - Darstellen
 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Interpolation - Verfahren - Newton - Lagrange - Interpolation - Interpolieren - Polynom - Polynominterpolation - Interpolationsmethoden - Interpolationspolynom - Ableitung - Berechnung - Berechnen - Bild - Rechner - Grafik - Schema - Werte - Stützwerte - Stützstellen - Stützpunkte
Startfenster des Unterprogramms Interpolation nach Newton und Lagrange
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Polynominterpolation - Interpolation - Polynomfunktion - Polynomapproximation - Stützstellen - Näherungspolynom - Polynomiale Interpolation -   Ganzrationale Polynome - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunte - Graph - Plotten - Grafisch - Grafik - Bilder - Darstellung - Berechnung - Rechner - Darstellen - Nullstellen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Polynominterpolation



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0