MathProf - Interpolation nach Newton und Lagrange

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Interpolation nach Newton und Lagrange

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Interpolation nach Newton und Lagrange können Berechnungen mit Interpolationspolynomen durchgeführt werden.

 

MathProf - Interpolation - Newton

 

Das Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung von Näherungspolynomen mit Hilfe folgender Verfahren:
 

  • Interpolation nach Newton
  • Interpolation nach Lagrange

Sind von einer unbekannten Funktion n+1 verschiedene Kurvenpunkte bekannt, so kann mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Newton, oder des Interpolationsverfahrens nach Lagrange ein ganzrationales Näherungspolynom n-ten Grades, und somit der Kurvenverlauf durch diese Stützpunkte, ermittelt werden.

Ein Newton'sches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form:

Interpolation - Gleichung  - 1

Interpolation - Gleichung  - 2

Ein Lagrange'sches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form:

Interpolation - Gleichung  - 3

Lagrange'sche Koeffizientenfunktionen sind Polynome n-ten Grades und wie nachfolgend aufgeführt definiert:

Interpolation - Gleichung  - 4

Interpolation - Gleichung  - 5

Interpolation - Gleichung  - 6

.

.

.

Interpolation - Gleichung  - 7

Interpolation - Gleichung  - 8

Interpolation - Gleichung  - 9

Die Abszissenwerte der Kurvenpunkte tragen hierbei die Bezeichnung Stützstellen, Ordinatenwerte die Bezeichnung Stützwerte. Die maximale Anzahl verwendbarer Stützstellen in diesem Unterprogramm beträgt 100.

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Interpolation - Lagrange


Um die oben beschriebenen Verfahren anzuwenden, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Wählen Sie den entsprechenden Eintrag Interpolation nach Newton bzw. Interpolation nach Lagrange aus der aufklappbaren Box.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Stützpunkte in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Legen Sie im Formularbereich Untersuchungsbereich für Kurvendiskussion, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen eine Analyse zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten durchgeführt werden soll (Von x1 = und bis x2 =). Voreingestellt ist ein Untersuchungsbereich -4 x 4.
     
  5. Kann mit den eingegebenen Werten eine Näherungsfunktion ermittelt werden, so werden die Resultate nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen im Formularbereich Ergebnisse ausgegeben. Zudem führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durch.
     
  6. Möchten Sie sich die ermittelte Näherungsfunktion grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Bestimmen Sie auf dem Bedienformular durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens Kurvendiskussion, ob Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte der ermittelten Funktion angezeigt werden sollen.
     
  8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung oder 2. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.

Hinweise:

Wird ein Abszissenwert mehrfach verwendet, so kann keine Näherungsfunktion ermittelt werden und Sie erhalten eine entsprechende Fehlermeldung. Die Mindestanzahl erforderlicher Stützstellen beträgt 2.

Bei der Ausgabe durch Kurvendiskussion ermittelter Punkte werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

N Nullstelle
H Hochpunkt
T Tiefpunkt
W Wendepunkt

 

Bedienformular


MathProf - Interpolation - Punkte

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Stützpunkte: Darstellung definierter Stützpunkte ein-/ausschalten
  • U-Bereich: Markierung des festgelegten Untersuchungsbereichs zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Stützpunkte sowie der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

Beispiele


Beispiel 1 - Interpolation nach Newton:

Um unter Verwendung der Interpolation nach Newton ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die vier Stützpunkte P1 (-3 / -2), P2 (-1,45 / 1,75), P3 (1,3 / -1) und P4 (2,8 / 1,4) beschrieben wird, selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Newton aus der Auswahlbox, übernehmen die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen hierauf die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,2425799·X3 - 0,031072068·X2 - 1,46738199·X + 0,42716031949

Für die Koeffizienten gibt es aus:

 

a[0] = -2

a[1] = 2,41935483870968

a[2] = -0,795198799699925

 

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 x 4:

 

Nullstellen: N1 (-2,534/ 0)
  N2 (0,293 / 0)
  N3 (2,368 / 0)
Hochpunkt: H1 (-1,378 / 1,755)
Tiefpunkt: T1 (1,463 / -1,027)
Wendepunkt: W1 (0,043 / 0,364)

Beispiel 2 - Interpolation nach Lagrange:

Mit Hilfe der Interpolation nach Lagrange ist ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die fünf Stützpunkte P1 (-2 / 1), P2 (-3 / 1,5), P3 (0,6 / -1,8) und P4 (1,5 / 0,6) beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Lagrange aus der Auswahlbox, übernehmen Sie die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,27330077·X3+1,04226699·X2-0,4813797·X-1,94542

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 x 4:

 

Nullstellen: N1 (-3,782 / 0)
  N2 (-1,388 / 0)
  N3 (1,356 / 0)
Hochpunkt: H1 (-2,755 / 1,577)
Tiefpunkt: T1 (0,213 / -1,998)
Wendepunkt: W1 (-1,271 / -0,211)

 

Module zum Themenbereich Analysis


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