MathProf - Interpolation nach Newton und Lagrange - Polynominterpolation

MathProf - Mathematik-Software - Interpolation nach Newton und Lagrange | Ableitung

Fachthemen: Newton-Interpolation und Lagrange-Interpolation

MathProf - Analysis - Ermöglicht wird die Präsentation statischer Darstellungen, wie auch dynamisch ablaufender Simulationen. Eine Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Interpolation nach Newton und Lagrange | Ableitung

Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung zweier verschiedener Interpolationsverfahren. Dies sind die Interpolation nach Newton und die Interpolation nach Lagrange mit frei festlegbaren Stützstellen (Stützpunkten).

In diesem Teilprogramm erfolgt mit dem durch die Anwendung der entsprechenden Interpolationsmethode ermittelten Interpolationspolynom die Durchführung einer Kurvendiskussion und somit das Berechnen der Nullstellen, der Extrempunkte (Extrema) und der Wendepunkte (Wendestellen) dessen.


Nach einer Praktizierung relevanter numerischer Untersuchungen durch den Rechner erfolgt die grafische Darstellung der entsprechenden Zusammenhänge. Dieses Modul ermöglicht die Berechnung der Werte aller wichtiger Größen zu diesem Fachthema.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Interpolationsverfahren - Polynominterpolation - Interpolationsmethoden - Interpolationspolynom - Lagrangesches Interpolationsverfahren - Lagrange Interpolation - Newton Interpolation - Interpolationspolynom - Interpolationsformel - Interpolationsmethode - Lagrange-Verfahren zur Ermittlung ganzrationaler Näherungsfunktionen - Näherungsfunktion - Näherungsverfahren - Interpolieren - Lagrange-Methode - Interpolationspolynome - Funktion interpolieren - Ableiten - Ableitung - Berechnung - Berechnen - Bild - Grafik - Numerik - Näherung - Eigenschaften - Tabelle - Beispiel - Schema - Stützwerte - Stützstellen - Stützpunkte - Koeffizienten - Grafische Darstellung - Newtonsches Interpolationsverfahren - Newtonsche Interpolation - Newtonsche Näherung - Newtonsches Näherungsverfahren - Näherungspolynom - Näherungskurve

 
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Interpolation nach Newton und Lagrange

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Interpolation nach Newton und Lagrange können Berechnungen mit Interpolationspolynomen durchgeführt und Näherungsfunktionen ermittelt werden.

 

MathProf - Interpolation - Newton - Kurvendiskussion - Ableitung - Extrema - Nichtlineare Interpolation - Polynominterpolation - Interpolationsmethoden - Interpolationsverfahren - Interpolationspolynom - Näherungspolynom

 

Das Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung von Näherungspolynomen mit Hilfe folgender Interpolationsverfahren:
 

  • Interpolation nach Newton
  • Interpolation nach Lagrange

Sind von einer unbekannten Funktion n+1 verschiedene Kurvenpunkte bekannt, so kann mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Newton, oder des Interpolationsverfahrens nach Lagrange ein ganzrationales Näherungspolynom n-ten Grades, und somit der Kurvenverlauf durch diese Stützpunkte, ermittelt werden.

Ein Newton'sches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form:

Interpolation - Gleichung  - 1

Interpolation - Gleichung  - 2

Ein Lagrange'sches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form:

Interpolation - Gleichung  - 3

Lagrange'sche Koeffizientenfunktionen sind Polynome n-ten Grades und wie nachfolgend aufgeführt definiert:

Interpolation - Gleichung  - 4

Interpolation - Gleichung  - 5

Interpolation - Gleichung  - 6

.

.

.

Interpolation - Gleichung  - 7

Interpolation - Gleichung  - 8

Interpolation - Gleichung  - 9

Die Abszissenwerte der Kurvenpunkte tragen hierbei die Bezeichnung Stützstellen, Ordinatenwerte die Bezeichnung Stützwerte. Die maximale Anzahl verwendbarer Stützstellen in diesem Unterprogramm beträgt 100.

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Interpolation - Lagrange - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - Ableitung - Näherungsfunktion - Interpolationsverfahren - Polynominterpolation - Interpolationsmethoden - Interpolationspolynom - Näherungspolynom


Um die oben beschriebenen Verfahren anzuwenden, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Wählen Sie den entsprechenden Eintrag Interpolation nach Newton bzw. Interpolation nach Lagrange aus der aufklappbaren Box.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Stützpunkte in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
     
  3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  4. Legen Sie im Formularbereich Untersuchungsbereich für Kurvendiskussion, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen eine Analyse zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten durchgeführt werden soll (Von x1 = und bis x2 =). Voreingestellt ist ein Untersuchungsbereich -4 x 4.
     
  5. Kann mit den eingegebenen Werten eine Näherungsfunktion ermittelt werden, so werden die Resultate nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen im Formularbereich Ergebnisse ausgegeben. Zudem führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durch.
     
  6. Möchten Sie sich die ermittelte Näherungsfunktion grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Bestimmen Sie auf dem Bedienformular durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens Kurvendiskussion, ob Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte der ermittelten Funktion angezeigt werden sollen.
     
  8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung oder 2. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.

Hinweise:

Wird ein Abszissenwert mehrfach verwendet, so kann keine Näherungsfunktion ermittelt werden und Sie erhalten eine entsprechende Fehlermeldung. Die Mindestanzahl erforderlicher Stützstellen beträgt 2.
 

Bei der Ausgabe durch Kurvendiskussion ermittelter Punkte werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

N: Nullstelle
H: Hochpunkt
T: Tiefpunkt
W: Wendepunkt/Wendestelle

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular


MathProf - Interpolation - Newton - Lagrange - Ableitung - Kurvendiskussion - Stützstellen

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Stützpunkte: Darstellung definierter Stützpunkte ein-/ausschalten
  • U-Bereich: Markierung des festgelegten Untersuchungsbereichs zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Stützpunkte sowie der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

Beispiele


Beispiel 1 - Interpolation nach Newton:

Um unter Verwendung der Interpolation nach Newton ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die vier Stützpunkte (Stützstellen) P1 (-3 / -2), P2 (-1,45 / 1,75), P3 (1,3 / -1) und P4 (2,8 / 1,4) beschrieben wird, selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Newton aus der Auswahlbox, übernehmen die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen hierauf die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,2425799·X3 - 0,031072068·X2
        - 1,46738199·X + 0,42716031949

Für die Koeffizienten gibt es aus:

 

a[0] = -2

a[1] = 2,41935483870968

a[2] = -0,795198799699925

 

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 x 4:

 

Nullstellen: N1 (-2,534/ 0)
  N2 (0,293 / 0)
  N3 (2,368 / 0)
Hochpunkt: H1 (-1,378 / 1,755)
Tiefpunkt: T1 (1,463 / -1,027)
Wendepunkt: W1 (0,043 / 0,364)

Beispiel 2 - Interpolation nach Lagrange:

Mit Hilfe der Interpolation nach Lagrange ist ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die fünf Stützpunkte P1 (-2 / 1), P2 (-3 / 1,5), P3 (0,6 / -1,8) und P4 (1,5 / 0,6) beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Lagrange aus der Auswahlbox, übernehmen Sie die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,27330077·X3+1,04226699·X2
         
-0,4813797·X-1,94542

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 x 4:

 

Nullstellen: N1 (-3,782 / 0)
  N2 (-1,388 / 0)
  N3 (1,356 / 0)
Hochpunkt: H1 (-2,755 / 1,577)
Tiefpunkt: T1 (0,213 / -1,998)
Wendepunkt: W1 (-1,271 / -0,211)
 
Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Interpolation zu finden.

 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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