MathProf - Sekante - Steigung - Änderungsrate - Sekantengleichung

MathProf - Mathematik-Software - Sekantensteigung | Sekante | Funktion | Gleichung

Fachthemen: Tangente - Sekante - Änderung - Linearisierung

MathProf - Differenzialgeometrie - Ein Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, die Oberstufenmathematik, die Abiturvorbereitung, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Sekantensteigung | Sekante | Funktion | Gleichung

Online-Hilfe
für das Modul zur Ermittlung und Darstellung der Sekanten und Tangenten mathematischer Funktionen bei bestimmten Positionen mit Hilfe des Sekanten-Näherungsverfahrens.

Dieses Unterprogramm behandelt unter anderem die Methode zur Berechnung des Differentialquotienten einer mathematischen Funktion. Er findet beim Berechnen der Sekantensteigung bzw. der Tangentensteigung einer Funktion bei einem beliebigen Punkt einer Kurve Anwendung.

Neben der grafischen Darstellung der definierten Funktion sowie derer 1. Ableitung erfolgt durch den Rechner auch die Ermittlung des bei einer frei wählbaren Position existierenden Tangentenwinkels bzw. Steigungswinkels sowie die Darstellung des entsprechenden Steigungsdreiecks.

Auch findet die Bestimmung der Koeffizienten einer entsprechenden Sekantengleichung und Tangentengleichung sowie das Berechnen des zugehörigen Sekantenwinkels statt.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf eignet sich unter anderem zum Einsatz im Unterricht der Oberstufe am Gymnasium sowie beim Abitur als Begleiter beim Leistungskurs Mathematik (LK Mathematik) und kann zur Erweiterung bereits erlangten Fachwissens in entsprechenden Themengebieten benutzt werden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Sekante - Tangente und Sekante - Steigung - Anstieg - Analysis - Grundlagen - Sekantensteigung - Berechnung - Aufgabe - Beispielaufgaben - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Darstellung - Berechnung - Winkel - Untersuchen - Ermitteln - Untersuchung - Herleitung - Formel - Näherung - Erklärung - Einfach erklärt - Bedeutung - Was bedeutet - Beschreibung - Definition - Bestimmung - Bestimmen - Einführung - LK Mathematik - Oberstufe - Mathematik - Gymnasium - Abitur - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Mathe - Mathematik - Berechnen - Rechner - Plotten - Graph - Grafisch - Zeichnen - Darstellen - Herleitung - Beweis - Begriff - Begriffe - Rechnerisch - Punkte - Grafische Darstellung - Grenzwertbildung - Sekantensteigungsfunktion - Positive Steigung - Negative Steigung - Änderungsrate - Änderungsraten - Durchschnittliche Steigung - Tangentenproblem - Lineare Näherung - Rechnerisch bestimmen - Differenzenquotient - Mittelwertsatz - Mittlere Änderungsrate - Lokale Änderungsrate - Absolute Änderung - Relative Änderung - Prozentuale Änderung - Koordinaten - Mittlere Änderung - Mittlere Steigung - Änderung - Änderungsmaße - Absolute Änderungsrate - Relative Änderungsrate - Prozentuale Änderungsrate - Durchschnittliche Änderungsrate - Momentane Änderungsrate - Änderungsfaktor - Relativkoordinaten - Linearisierung - Linearisierung einer Funktion - Linearisierte Funktion - Arbeitspunkt - Lineare Approximation - Bestimmung - Steigungswinkel

 
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  Tangente und Sekante

 

MathProf - Sekante - Tangente - Sekantensteigung - Tangentensteigung - Ableitung - Sekantenproblem - Grafisches Differenzieren - Sekantenverfahren - Näherungsverfahren - Differentialrechnung - Tangente berechnen - Sekante berechnen - Tangente zeichnen - Steigung berechnen - Grafisches Ableiten - Differentialquotient - Differenzieren - Tangentenproblem - Rechner - Berechnen
Modul Tangente - Sekante



MathProf ermöglicht neben der Anwendung als Berechnungs- und Visualisierungsprogramm die Durchführung von Untersuchungen zu Grundlagen sowie die Aneignung fundamentierten Fachwissens zu vielen Themengebieten der Analysis.

Das Modul
[Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Sekante stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar, und ermöglicht die Analyse der Herleitung der Differentialrechnung anhand des 'Sekantenproblems' mittels dem grafischen Differenzieren von Funktionen.

 

MathProf - Sekante - Gleichung - Rechnerisch - Grenzwertbildung - Sekantensteigungsfunktion - Positive Steigung - Negative Steigung - Durchschnittliche Steigung - Lineare Näherung - Steigung - Tangentenanstieg - Steigungsdreieck - Sekantenverfahren - Sekantenproblem - Differentialrechnung - Sekantensteigung - Steigung berechnen - Grafisches Ableiten - Rechner - Berechnen

 
 
Mit dem Begriff Tangente wird eine Gerade bezeichnet, welche die Kurve einer Funktion in einem bestimmten Punkt berührt.

Durch die Bezeichnung Sekante wird eine Gerade charakterisiert, die die Kurve einer mathematischen Funktion oder eine geometrische Figur in zwei unterschiedlichen Punkten schneidet. Bei einer mathematischen Funktion verläuft sie durch zwei Punkte der hierdurch beschriebenen Kurve. Die Steigung der Sekante wird in diesem Fall durch die Schnittpunkte dieser Gerade mit der Funktion bestimmt.
  

Sekantensteigung - Tangentensteigung - Differentialquotient - Differenzenquotient - Infinitesimalrechnung

 
Der Differentialquotient an einer Stelle x0 lässt sich durch eine Grenzwertbildung des Differenzenquotienten erhalten. Die Steigung (der Anstieg) ms einer Sekante (Sekantensteigung) ist der Grenzwert einer Tangentensteigung mt. Sind zwei Punkte P(x0;y0) und Q(x0+Δx,f(x0+Δx)) die auf der Funktionskurve f(x) liegen gegeben, so errechnet sich die Sekantensteigung aus dem Differentialquotienten

 

Tangente - Sekante - Differentialquotient - Gleichung  - 1
 

Wandert der Punkt Q auf der Kurve auf den Punkt P zu, so besitzt die Tangente in Punkt P den Steigungswert
 

Tangente - Sekante - Gleichung - Differentialquotient - 2
 

Dieser Grenzwert wird als 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) an der Stelle x0, oder als Differentialquotient bezeichnet. Der Differenzenquotient zwischen den beiden Stellen x0​ und x0​+Δx ​erteilt Auskunft über die Steigung, die die Sekante zwischen den Punkten P und Q besitzt. Er berechnet die mittlere Änderungsrate.
 
In diesem Programmteil wird diese Stelle x0 mit Px bzw. Qx bezeichnet. Die Ermittelbarkeit einer Sekante bzw. Tangente hängt von der Differenzierbarkeit der zu untersuchenden Funktion ab.

Die Tangentensteigung beschreibt im Gegensatz zur Sekantensteigung, die Steigung einer Tangente, die eine Kurve in genau einem Punkt berührt.

Als Sekantengleichung oder Sekantensteigungsfunktion wird die Gleichung bzw. Funktion bezeichnet, die die Steigung einer Sekante beschreibt. Sie besitzt die Gestalt einer linearen Funktion der Form f(x) = mx + b.

Als Tangentenproblem wird die Aufgabe bezeichnet, bei der untersucht wird, ob in einem bestimmten Punkt einer Kurve eine Tangente existiert. Hierbei ist deren Steigung zu ermitteln und es wird sowohl der Differenzenquotient wie auch der Differentialquotient berechnet.
  

Mittelwertsatz - Änderung - Änderungsmaße - Änderungsrate - Mittlere Änderungsrate - Lokale Änderungsrate - Absolute Änderung - Relative Änderung - Prozentuale Änderung - Mittlere Änderung - Durchschnittliche Änderungsrate - Durchschnittliche Steigung - h-Methode - Änderungsfaktor

 
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung (mittlere Änderungsrate):

Ist f:[a,b]→ℝ eine stetige Funktion, welche im Bereich (a,b) differenzierbar ist, so gibt es eine Stelle x0 ∈ (a,b), für welche gilt:

Mittelwertsatz

Dieser Wert wird als mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Änderungsrate oder durchschnittliche Steigung bezeichnet.
    
Lokale Änderungsrate:

Die lokale Änderungsrate einer Funktion beschreibt deren Steigung in einem bestimmten Punkt. Sie ist wie folgt definiert:

MathProf - Lokale Änderungsrate - Formel

Lokale Änderungsrate unter Anwendung der h-Methode:

Die lokale Änderungsrate einer Funktion kann auch mit Hilfe der sogenannten h-Methode bestimmt werden. Sie ist eine alternative Interpretation der lokalen Änderungsrate. Ihre Definition lautet:

MathProf - Lokale Änderungsrate - h-Methode - Formel

Anstelle des Werts für x → x0 läuft in diesem Fall die Differenz h = x-x0 gegen den Wert 0.

Positive Steigung - Negative Steigung:

Steigt eine Funktion in positiver x-Richtung an, so ist ihre Steigung positiv (m > 0). Im umgekehrten Fall ist sie negativ (m < 0).

 
Änderungsmaße:

Absolute Änderung
von f in [a;b] f(b) - f(a) 
Relative Änderung
von f in [a;b](f(b) - f(a))/ f(a)
Prozentuale Änderung
von f in [a;b](f(b) - f(a))/ f(a)·100
Mittlere Änderung von f in [a;b](f(b) - f(a))/(b-a)
Änderungsfaktor von f in [a;b]f(a)/f(b)


Kurzbeschreibung oben aufgeführter Begriffe hinsichtlich Änderungsmaßen:

1. Als relative Änderung wird die absolute Änderung bezeichnet, die diese gegenüber dem Grudwert besitzt. Sie wird gebildet, indem der erste Wert von einem zweiten Wert subtrahiert wird und diese Differenz hierauf durch den Absolutwert des Ausgangswerts dividiert wird. Es gilt:

Relative Änderung = (Neuer Wert -  Anfangswert / Anfangswert

2. Als absolute Änderung wird die Differenz zweier Zahlen bezeichnet. Sie wird berechnet, indem der entsprechende Anfangswert von einem zweiten Wert subtrahiert wird. Es gilt:

Absolute Änderung = Neuer Wert − Anfangswert

3. Als prozentuale Änderung wird das Verhältnis zwischen einem alten Wert und einem neuen Wert bezeichnet. Es gilt:

Prozentuale Änderung = (Endwert -  Anfangswert) / Anfangswert
· 100

4. Als mittlere Änderungsrate wird die durchschnittliche Steigung m bezeichnet, die zwischen zwei Punkten a und b (einem Intervall) des Graphen einer Funktion vorhanden ist.

Die mittlere Änderungsrate beträgt: m = (f(b) - f(a))/ (b-a)

5. Als Änderungsfaktor wird die Zahl bezeichnet, mit welcher ein ursprünglicher Wert multipliziert wird um die entsprechende Menge nach der durchgeführten Änderung zu erhalten. Der Änderungsfaktor ist stets um den Wert 1 größer als die relative Änderung.

Die momentane Änderungsrate (Ableitung) entspricht der Steigung der Tangente in einem entsprechenden Punkt.

Alle zuvor aufgeführten Änderungen besitzen keine physikalische Einheiten.


   

Linearisierung einer Funktion - Arbeitspunkt

 
Linearisierung einer Funktion:

Eine in Punkt P(x0,y0) differenzierbare Funktion y = f(x) besitzt dort eine eindeutig bestimmte Tangente. In diesem meist als Arbeitspunkt bezeichneten Ort wird die dortige Kurventangente durch eine lineare Funktion ersetzt. Sie wird als linearisierte Funktion bezeichnet. Ihre Gleichung lautet:

y - y0 = f'(x0 - x)·(x - x0)

bzw.

Δy = f'(x0)·Δx

Δx und Δy sind die sogenannten Relativkoordinaten bzgl. des Arbeitspunkts P.

 

Analysen

 

MathProf - Sekante - Tangente - Sekantensteigung - Tangentensteigung - Rechnerisch bestimmen - Mittelwertsatz - Mittlere Änderungsrate - Lokale Änderungsrate - Absolute Änderung - Relative Änderung - Prozentuale Änderung - Sekantenproblem - Beispiel - Tangente zeichnen - Ableitung - Sekantenproblem - Grafisches Differenzieren - Rechner - Berechnen

 
Dieses Modul ermöglicht es, Untersuchungen zum Thema Tangente - Sekante durchzuführen. Hierbei werden u.a. die Ergebnisse folgender Berechnungen ausgegeben:
 

  • Funktionswerte an den Stellen Px und Qx
  • Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante (Sekantensteigung bzw. Änderungsrate)
  • Steigungswinkel der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante (Sekantenwinkel)
  • Gleichung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante (Sekantengleichung)
  • Abstand der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante

 
Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden zudem ermittelt:
 

  • Steigung der durch Punkt P verlaufenden Tangente (Tangentensteigung)
  • Steigungswinkel der durch Punkt P verlaufenden Tangente (Tangentenwinkel)
  • Gleichung der durch Punkt P verlaufenden Tangente (Tangentengleichung)

 
Es werden zwei verschiedene Möglichkeiten angeboten, Untersuchungen grafisch durchzuführen.
 

Berechnung und Darstellung

 
Um Sekanten bzw. Tangenten an eine oder zwei verschiedene Stellen einer explizit definierten Funktion legen und untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie die Abszissenwerte der zu untersuchenden Stellen Px sowie Qx in den dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeldern fest.
     

  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
     

  4. Um den Sekantenverlauf bei bestimmten Stellen einer Funktion grafisch zu analysieren, sollten Sie folgendermaßen verfahren:

    Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

    Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm in diesem Fall stets die beiden in den Eingabefeldern festgelegten Abszissenwerte für Px und Qx. Möchten Sie die Position (Abszissenwerte) von Punkt P oder Punkt Q verändern, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die entsprechenden Zahlenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie auf die sich dort befindende Schaltfläche Ok klicken.
     
  5. Um eine prinzipielle grafische Analyse des Sekantenproblems durchführen zu lassen, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

    Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

    Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm in diesem Fall stets die Startwerte Px = 0 und Qx = 2 (die in Eingabefeldern definierten Koordinatenwerte werden ignoriert). Möchten Sie die Abszissenwerte der Punkte P oder Q innerhalb des vorgegebenen Wertebereichs -10
    x 10 verändern, so positionieren Sie die zur Verfügung stehenden Rollbalken.

    Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren und Punkt P horizontal zu bewegen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
     
  6. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Tangente können Sie die Einblendung der durch Punkt P an der Stelle Px verlaufenden Kurventangente veranlassen. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens 1. Ableitung bewirkt die Darstellung der 1. Ableitung der zu untersuchenden Funktion. Das ermittelte Sekantendreieck kann durch die Benutzung des Kontrollkästchens Sekantendreieck ein- bzw. ausgeblendet werden. Eine Darstellung von Hilfslinien kann durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Hilfslinien bewirkt werden.
 
Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformulare

 

Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden aktiviert (voreingestellt), so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Tangente - Ableitung - Nullstelle - Sekantendreieck - Sekantenverfahren

 

Wurde auf dem Hauptformular dieses Moduls das o.a. Kontrollkästchen deaktiviert, so blendet das Programm nachfolgend gezeigtes Bedienformular ein.

 

MathProf - Sekante - Ableitung - Steigung - Tangente - Sekantenverfahren - Sekantendreieck - Grafisches Differenzieren
 

Analytische Ermittlung von Ableitungen

 
Unter dem Menüpunkt Ableitung analytisch können Sie sich die 1. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.
 

  1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
     
  2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

 
Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

Hinweis:

Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente und Normale von externem Punkt

Kurvendiskussion

 

Beispiel - Aufgabe

 

Es gilt, Untersuchungen mit der Funktion f(x) = (x+5)²/10-4 an den Stellen Px = 1 und Qx = 2 bzgl. der Ermittlung von Sekanten durchführen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Eingabe des Terms (X+5)^2/10-4 in das Feld f(x) = sowie der Festlegung der Koordinatenwerte für die zu untersuchenden Stellen in den entsprechenden Feldern und einer Bedienung des Schalters Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

Funktionswert f(Px) = f(1) = -0,4  
(Y-Koordinatenwert der Funktion an Stelle Px = 1)


Funktionswert f(Qx) = f(2) = 0,9

(Y-Koordinatenwert der Funktion an Stelle Qx = 2)

Gleichung der Sekante (Sekantengleichung): Y = 1,3·X - 1,7
Steigungswinkel der Sekante: 52,431°
Steigung der Sekante: ms = 1,3

Abstand der Sekante zum Koordinatenursprung (0|0): 1,036508
Nullstelle der Sekante: (1,307692 / 0)

 

Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden, lassen Sie sich die Funktion nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen grafisch ausgeben und verändern Sie den Abszissenwert des Punktes P unter der Bedienung des Rollbalkens X-Pos. Punkt P so (ohne Veränderung der Ursprungsposition von Punkt Q), dass dieser sich in Richtung des Punktes Q bewegt.

 

Hierbei kann festgestellt werden, dass die Sekante bei Px = 2 in eine Tangente übergeht und die 1. Ableitung der Funktion an Stelle x = 2 den Wert y' = 1,4 besitzt, da die (Sekantensteigung) Tangentensteigung in diesem Punkt mt = 1,4 beträgt.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Sekante - Sekantenverfahren - Sekantensteigung - Sekanten - Ableitung - Beispiel - Näherungsverfahren - Differentialrechnung - Tangentensteigung - Tangente berechnen - Sekante berechnen - Tangente zeichnen - Steigung berechnen - Tangentenproblem - Rechner - Berechnen - Zeichnen
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Sekante - Tangente - Sekantenmethode - Berechnung - Aufgabe - Beispielaufgaben - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Beispiel - Sekantenverfahren - Formel - Tangente zeichnen - Steigung berechnen - Differenzenquotient - Tangentenwinkel - Sekantengleichung - Tangentengleichung - Steigungsdreieck - Darstellen - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Sekante - Differentialquotient - Steigungsdreieck - Ableitung - Berechnung - Untersuchen - Untersuchung - Herleitung - Formel - Erklärung - Definition - Bestimmung - Grafisch - Punkte - Durchschnittliche Steigung - Rechnerisch bestimmen - Mittlere Steigung - Prozentuale Änderungsrate - Lineare Approximation - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Sekante - Sekanten bestimmen - Sekantensatz - Tangentensteigung - Tangente berechnen - Sekante berechnen - Relativkoordinaten - Linearisierung - Formel - Linearisierung einer Funktion - Linearisierte Funktion - Arbeitspunkt - Lineare Approximation - Tangente - Änderungsrate - Steigungsverhalten - Kurventangente - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Sekantenmethode - Sekantengleichung - Mittlere Änderung - Mittlere Steigung - Änderung - Änderungsmaße - Absolute Änderungsrate - Relative Änderungsrate - Prozentuale Änderungsrate - Durchschnittliche Änderungsrate - Änderungsfaktor - Beispiel - Formel - Kurventangente - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Sekante - Steigungsdreieck - Tangentenwinkel - Sekantengleichung - Sekantenproblem - Formel - Ableiten - Beispiel - Sekantenverfahren - Näherungsverfahren - Differentialrechnung - Sekantensteigung - Sekante berechnen - Tangente zeichnen - Steigung berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 6
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Tangente und unter Wikipedia - Sekante zu finden.

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis


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PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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