MathProf - Tangente – Sekante (Kurve)

MATHPROF 5.0
  Interaktive Mathematik-Software für Analysis, Algebra, Geometrie, Stochastik, Vektoralgebra und vieles andere mehr ...

 

  Tangente - Sekante (Kurve)

 

Das Modul [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Sekante stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar, und ermöglicht die Analyse der Herleitung der Differenzialrechnung anhand des 'Sekantenproblems'.

 

MathProf - Sekante


Die Steigung ms einer Sekante ist der Grenzwert einer Tangentensteigung mt. Sind zwei Punkte P(x0;y0) und Q(x0;+Δx),f(x0+Δx) die auf der Funktionskurve f(x) liegen gegeben, so errechnet sich die Sekantensteigung aus dem Differenzialquotienten

Tangente - Sekante - Gleichung  - 1

Wandert der Punkt Q auf der Kurve auf den Punkt P zu, so besitzt die Tangente in Punkt P den Steigungswert

Tangente - Sekante - Gleichung  - 2

Dieser Grenzwert wird als 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) an der Stelle x0, oder als Differenzialquotient bezeichnet. In diesem Programmteil wird diese Stelle x0 mit Px bzw. Qx bezeichnet.

MathProf - Sekante - Tangente

Das Modul ermöglicht es, diesen Sachverhalt zu analysieren. Hierbei werden u.a. die Ergebnisse folgender Berechnungen ausgegeben:

  • Funktionswerte an den Stellen Px und Qx
  • Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante
  • Steigungswinkel der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante
  • Gleichung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante
  • Abstand der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden zudem ermittelt:

  • Steigung der durch Punkt P verlaufenden Tangente
  • Steigungswinkel der durch Punkt P verlaufenden Tangente
  • Gleichung der durch Punkt P verlaufenden Tangente

Es werden zwei verschiedene Möglichkeiten angeboten, Untersuchungen grafisch durchzuführen.

Berechnung und Darstellung


Um Sekanten bzw. Tangenten an eine oder zwei verschiedene Stellen einer explizit definierten Funktion legen und untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie die Abszissenwerte der zu untersuchenden Stellen Px sowie Qx in den dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeldern fest.
     

  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
     

  4. Um den Sekantenverlauf bei bestimmten Stellen einer Funktion grafisch zu analysieren, sollten Sie folgendermaßen verfahren:

    Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

    Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm in diesem Fall stets die beiden in den Eingabefeldern festgelegten Abszissenwerte für Px und Qx. Möchten Sie die Position (Abszissenwerte) von Punkt P oder Punkt Q verändern, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die entsprechenden Zahlenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie auf die sich dort befindende Schaltfläche Ok klicken.
     
  5. Um eine prinzipielle grafische Analyse des Sekantenproblems durchführen zu lassen, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

    Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

    Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm in diesem Fall stets die Startwerte Px = 0 und Qx = 2 (die in Eingabefeldern definierten Koordinatenwerte werden ignoriert). Möchten Sie die Abszissenwerte der Punkte P oder Q innerhalb des vorgegebenen Wertebereichs -10
    x 10 verändern, so positionieren Sie die zur Verfügung stehenden Rollbalken.

    Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren und Punkt P horizontal zu bewegen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
     
  6. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Tangente können Sie die Einblendung der durch Punkt P an der Stelle Px verlaufenden Kurventangente veranlassen. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens 1. Ableitung bewirkt die Darstellung der 1. Ableitung der zu untersuchenden Funktion. Das ermittelte Sekantendreieck kann durch die Benutzung des Kontrollkästchens Sekantendreieck ein- bzw. ausgeblendet werden. Eine Darstellung von Hilfslinien kann durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Hilfslinien bewirkt werden.

Bedienformulare

 

Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden aktiviert (voreingestellt), so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Tangente - Ableitung

 

Wurde auf dem Hauptformular dieses Moduls das o.a. Kontrollkästchen deaktiviert, so blendet das Programm nachfolgend gezeigtes Bedienformular ein.

 

MathProf - Sekante - Ableitung
 

Analytische Ermittlung von Ableitungen

Unter dem Menüpunkt Ableitung analytisch können Sie sich die 1. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

  1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
     
  2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

Hinweis:

Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente und Normale von externem Punkt

Kurvendiskussion

 

Beispiel

 

Es gilt, Untersuchungen mit der Funktion f(x) = (x+5)²/10-4 an den Stellen Px = 1 und Qx = 2 durchführen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Eingabe des Terms (X+5)^2/10-4 in das Feld f(x) = sowie der Festlegung der Koordinatenwerte für die zu untersuchenden Stellen in den entsprechenden Feldern und einer Bedienung des Schalters Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

Funktionswert f(Px) = f(1) = -0,4  
(Y-Koordinatenwert der Funktion an Stelle Px = 1)


Funktionswert f(Qx) = f(2) = 0,9

(Y-Koordinatenwert der Funktion an Stelle Qx = 2)

Gleichung der Sekante: Y = 1,3·X - 1,7
Steigungswinkel der Sekante: 52,431°
Steigung der Sekante: ms = 1,3

Abstand der Sekante zum Koordinatenursprung (0|0): 1,036508
Nullstelle der Sekante: (1,307692 / 0)

 

Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden, lassen Sie sich die Funktion nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen grafisch ausgeben und verändern Sie den Abszissenwert des Punktes P unter der Bedienung des Rollbalkens X-Pos. Punkt P so (ohne Veränderung der Ursprungsposition von Punkt Q), dass dieser sich in Richtung des Punktes Q bewegt.

 

Hierbei kann festgestellt werden, dass die Sekante bei Px = 2 in eine Tangente übergeht und die 1. Ableitung der Funktion an Stelle x = 2 den Wert y' = 1,4 besitzt, da die (Sekanten-) Tangentensteigung in diesem Punkt mt = 1,4 beträgt.
 

Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen


Zur Inhaltsseite