MathProf - Tangente und Sekante - Steigung einer Funktion - Berechnen - Rechner

MathProf - Mathematik-Software - Sekantensteigung | Sekante | Funktion | Gleichung

Fachthemen: Tangente - Sekante

MathProf - Differenzialgeometrie - Ein Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, die Oberstufenmathematik, die Abiturvorbereitung, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Sekantensteigung | Sekante | Funktion | Gleichung

Online-Hilfe
für das Modul zur Ermittlung und Darstellung der Sekanten und Tangenten mathematischer Funktionen bei bestimmten Positionen mit Hilfe des Sekanten-Näherungsverfahrens.

Dieses Unterprogramm behandelt unter anderem die Methode zur Berechnung des Differentialquotienten einer mathematischen Funktion. Er findet beim Berechnen der Sekantensteigung bzw. der Tangentensteigung einer Funktion bei einem beliebigen Punkt einer Kurve Anwendung.

Neben der grafischen Darstellung der definierten Funktion sowie derer 1. Ableitung erfolgt durch den Rechner auch die Ermittlung des bei einer frei wählbaren Position existierenden Tangentenwinkels bzw. Steigungswinkels sowie die Darstellung des entsprechenden Steigungsdreiecks.

Auch findet die Bestimmung der Koeffizienten einer entsprechenden Sekantengleichung und Tangentengleichung sowie das Berechnen des zugehörigen Sekantenwinkels statt.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Tangente und Sekante - Tangenten - Sekanten - Sekantenverfahren unter Bildung des Differentialquotienten - Näherungsverfahren zur Ermittlung der Tangentensteigung - Ermittlung und Darstellung der Sekantensteigung - Ermittlung der Tangentensteigung - Differenzierbarkeit - Infinitesimalrechnung - Berechnung der Steigung eines Graphen - Berechnen der Steigung einer Ableitung - Steigung einer Sekante - Sekante berechnen - Differenzenquotient und Steigung - Funktionen differenzieren - Steigungsdreieck - Sekantenwinkel - Tangentenwinkel - Sekantengleichung - Tangentengleichung - Kurventangente - Berechnen der Tangentensteigung - Berechnen der Sekantensteigung - Näherungsverfahren zur Bestimmung der Tangentensteigung - Näherungsrechnung zur Ermittlung der Tangentensteigung - Tangentenproblem analysieren und lösen - Berechnen einer Sekante - Tangente zeichnen - Gleichung einer Tangente - Tangente grafisch bestimmen - Ableiten - Ableitung - Bild - Grafik - Beispiel - Darstellung - Berechnung - Rechner - Plotten - Graph - Darstellen - Grafische Darstellung - Tangentengleichung berechnen - Tangentengleichung bestimmen - Tangentenanstieg - Anwendung der Differentialrechnung - Sekantenproblem - Tangentenproblem - Grafisches Ableiten - Numerische Differentiation - Grafisches Differenzieren - Lineare Näherung - Steigungswinkel einer Tangente - Infinitesimalrechnung - Anstieg einer Tangente - Momentane Änderungsrate - Lineare Approximation zur Bestimmung der ersten Ableitung einer Funktion - Steigungsverhalten einer Funktion - Steigungsformel - Steigungswinkel einer Sekante - Steigung einer Tangente bestimmen - Steigung einer Sekante bestimmen

 

  Tangente und Sekante

 

Das Modul [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Sekante stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar, und ermöglicht die Analyse der Herleitung der Differentialrechnung anhand des 'Sekantenproblems' mittels dem grafischen Differenzieren (Sekantenverfahren) von Funktionen.

 

MathProf - Sekante - Gleichung - Steigung - Winkel - Steigungdreieck - Sekantenverfahren - Sekantenproblem - Differentialrechnung - Sekantensteigung - Steigung berechnen - Grafisches Ableiten - Differenzenquotient - Differentialquotient - Differenzieren

 

Sekantenverfahren (Infinitesimalrechnung):
Der Differentialquotient an einer Stelle x0 lässt sich durch eine Grenzwertbildung des Differenzenquotienten
erhalten. Die Steigung ms einer Sekante (Sekantensteigung) ist der Grenzwert einer Tangentensteigung mt. Sind zwei Punkte P(x0;y0) und Q(x0;+Δx),f(x0+Δx) die auf der Funktionskurve f(x) liegen gegeben, so errechnet sich die Sekantensteigung aus dem Differentialquotienten

Tangente - Sekante - Differentialquotient - Gleichung  - 1

Wandert der Punkt Q auf der Kurve auf den Punkt P zu, so besitzt die Tangente in Punkt P den Steigungswert

Tangente - Sekante - Gleichung - Differentialquotient - 2

Dieser Grenzwert wird als 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) an der Stelle x0, oder als Differentialquotient bezeichnet. In diesem Programmteil wird diese Stelle x0 mit Px bzw. Qx bezeichnet. Die Ermittelbarkeit einer Sekante bzw. Tangente hängt von der Differenzierbarkeit der zu untersuchenden Funktion ab.

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Das Modul ermöglicht es, diesen Sachverhalt zu analysieren. Hierbei werden u.a. die Ergebnisse folgender Berechnungen ausgegeben:

  • Funktionswerte an den Stellen Px und Qx
  • Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante (Sekantensteigung bzw. Änderungsrate)
  • Steigungswinkel der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante (Sekantenwinkel)
  • Gleichung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante (Sekantengleichung)
  • Abstand der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden zudem ermittelt:

  • Steigung der durch Punkt P verlaufenden Tangente (Tangentensteigung)
  • Steigungswinkel der durch Punkt P verlaufenden Tangente (Tangentenwinkel)
  • Gleichung der durch Punkt P verlaufenden Tangente (Tangentengleichung)

Es werden zwei verschiedene Möglichkeiten angeboten, Untersuchungen grafisch durchzuführen.

Berechnung und Darstellung


Um Sekanten bzw. Tangenten an eine oder zwei verschiedene Stellen einer explizit definierten Funktion legen und untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie die Abszissenwerte der zu untersuchenden Stellen Px sowie Qx in den dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeldern fest.
     

  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
     

  4. Um den Sekantenverlauf bei bestimmten Stellen einer Funktion grafisch zu analysieren, sollten Sie folgendermaßen verfahren:

    Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

    Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm in diesem Fall stets die beiden in den Eingabefeldern festgelegten Abszissenwerte für Px und Qx. Möchten Sie die Position (Abszissenwerte) von Punkt P oder Punkt Q verändern, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die entsprechenden Zahlenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie auf die sich dort befindende Schaltfläche Ok klicken.
     
  5. Um eine prinzipielle grafische Analyse des Sekantenproblems durchführen zu lassen, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

    Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

    Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm in diesem Fall stets die Startwerte Px = 0 und Qx = 2 (die in Eingabefeldern definierten Koordinatenwerte werden ignoriert). Möchten Sie die Abszissenwerte der Punkte P oder Q innerhalb des vorgegebenen Wertebereichs -10
    x 10 verändern, so positionieren Sie die zur Verfügung stehenden Rollbalken.

    Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren und Punkt P horizontal zu bewegen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
     
  6. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Tangente können Sie die Einblendung der durch Punkt P an der Stelle Px verlaufenden Kurventangente veranlassen. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens 1. Ableitung bewirkt die Darstellung der 1. Ableitung der zu untersuchenden Funktion. Das ermittelte Sekantendreieck kann durch die Benutzung des Kontrollkästchens Sekantendreieck ein- bzw. ausgeblendet werden. Eine Darstellung von Hilfslinien kann durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Hilfslinien bewirkt werden.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformulare

 

Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden aktiviert (voreingestellt), so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Tangente - Ableitung - Nullstelle - Sekantendreieck - Sekantenverfahren

 

Wurde auf dem Hauptformular dieses Moduls das o.a. Kontrollkästchen deaktiviert, so blendet das Programm nachfolgend gezeigtes Bedienformular ein.

 

MathProf - Sekante - Ableitung - Steigung - Tangente - Sekantenverfahren - Sekantendreieck - Grafisches Differenzieren
 

Analytische Ermittlung von Ableitungen

Unter dem Menüpunkt Ableitung analytisch können Sie sich die 1. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

  1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
     
  2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

Hinweis:

Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente und Normale von externem Punkt

Kurvendiskussion

 

Beispiel

 

Es gilt, Untersuchungen mit der Funktion f(x) = (x+5)²/10-4 an den Stellen Px = 1 und Qx = 2 bzgl. des Sekantenverfahrens durchführen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Eingabe des Terms (X+5)^2/10-4 in das Feld f(x) = sowie der Festlegung der Koordinatenwerte für die zu untersuchenden Stellen in den entsprechenden Feldern und einer Bedienung des Schalters Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

Funktionswert f(Px) = f(1) = -0,4  
(Y-Koordinatenwert der Funktion an Stelle Px = 1)


Funktionswert f(Qx) = f(2) = 0,9

(Y-Koordinatenwert der Funktion an Stelle Qx = 2)

Gleichung der Sekante (Sekantengleichung): Y = 1,3·X - 1,7
Steigungswinkel der Sekante: 52,431°
Steigung der Sekante: ms = 1,3

Abstand der Sekante zum Koordinatenursprung (0|0): 1,036508
Nullstelle der Sekante: (1,307692 / 0)

 

Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden, lassen Sie sich die Funktion nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen grafisch ausgeben und verändern Sie den Abszissenwert des Punktes P unter der Bedienung des Rollbalkens X-Pos. Punkt P so (ohne Veränderung der Ursprungsposition von Punkt Q), dass dieser sich in Richtung des Punktes Q bewegt.

 

Hierbei kann festgestellt werden, dass die Sekante bei Px = 2 in eine Tangente übergeht und die 1. Ableitung der Funktion an Stelle x = 2 den Wert y' = 1,4 besitzt, da die (Sekantensteigung) Tangentensteigung in diesem Punkt mt = 1,4 beträgt.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Kurzbeschreibungen einiger Module zum Themenbereich Analysis

 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Analysis aufgerufen werden.
 

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Tangente und unter Wikipedia - Sekante zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


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