MathProf - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras

 

Im kleinen Unterprogramm [Trigonometrie] - [Satz des Pythagoras] - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras können Untersuchungen zur Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras durchgeführt werden.

 

MathProf - Satz - Pythagoras

 

Werden über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ähnliche Polygone errichtet, so ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenpolygone gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenpolygons. Dies gilt ebenso für Halbkreise sowie für andere Flächen.

 

Darstellung

 

Veranschaulichen können Sie sich oben beschriebene Zusammenhänge, wenn Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB die Hypotenusenlänge c des Dreiecks fest.
     
  2. Benutzen Sie den Schieberegler Anzahl, um die Anzahl der Eckpunkte dargestellter Polygone einzustellen.
     
  3. Möchten Sie die Koordinatenwerte der Eckpunkte des Polygons exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  4. Soll die Lage des Lotfußpunktes F des Dreiecks, oder eines Eckpunkts des Polygons mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts, bzw. nach oben oder unten.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Pythagoras - Winkel
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Seiten: Beschriftung einzelner Dreieckseiten ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck – Interaktiv

Satz des Thales

Satz des Pythagoras

Höhensatz

Kathetensatz

 

Beispiel

 

Werden die Rollbalken Strecke AB und Anzahl auf die Positionen 16 sowie 8 eingestellt und werden beliebige Mausfangpunkte des blauen Polygons angefasst und an frei festlegbare Positionen verschoben, so gilt stets:

 

Der Flächeninhalt des blauen Polygons entspricht der Summe der Flächeninhalte des rot markierten und des grün markierten Polygons Ablau = Arot + Agrün.

 

Wird die Position des Lotfußpunktes F des Dreiecks ABC auf (2 / 0) eingestellt, so gibt das Programm für die Eigenschaften dieses Dreiecks aus:

 

Länge der Strecke AC: b = 12,649

Länge der Strecke BC: a = 9,798

Länge der Strecke AB: c = 16

 

Länge der Strecke AF: q = 10

Länge der Strecke FB: p = 6

 

Höhe h (Länge der Strecke FC): h = 7,746

 

Innenwinkel des Dreiecks CAB: 37,761°

Innenwinkel des Dreiecks ABC: 52,239°

Innenwinkel des Dreiecks ACB: 90°

 

Für Punktkoordinaten des Dreiecks ermittelt das Programm:

 

Punkt A (-8 / 0)

Punkt B (8 / 0)

Punkt C (2 / 7,746)

Punkt F (2 / 0)
 

Module zum Themenbereich Trigonometrie


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