MathProf - Inversion eines Kreises am Kreis

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

 Inversion eines Kreises am Kreis

 

Unter dem Menüpunkt [Geometrie] - [Inversion] - Inversion eines Kreises am Kreis kann die Inversion eines Kreises an einem Kreis vollzogen werden.

 

MathProf - Inversion - Kreis

 

Gegeben seien ein Kreis I mit dem Mittelpunkt O (dem Zentrum der Inversion) und dem Radius r sowie ein Punkt P, welcher von O verschieden ist. Dann ist der zu P inverse Punkt P' derjenige auf dem Strahl OP, der von O die Entfernung OP' = r²/OP besitzt. Punkt P' wird als inverser Punkt der Punkts P bezüglich I bezeichnet. Aus dieser Definition folgt, dass, falls P' der inverse Punkt zu P ist, auch P invers zu P' ist. Punkte die unverändert bleiben, sind die Punkte des Kreises I selbst.

 

Dieses Modul wendet das Verfahren nicht lediglich auf einen Punkt P, sondern auf die Menge aller Punkte die auf einem Kreis liegen, an.

 

Allgemein gilt:
 

Eine Inversion am Kreis I überführt

- eine Gerade, die durch O verläuft, in eine Gerade die durch O verläuft

- eine Gerade, die nicht durch O verläuft, in einen Kreis durch O

- einen Kreis durch O in eine Gerade, die nicht durch O verläuft

- einen Kreis, der nicht durch O verläuft, in einen Kreis der nicht durch O verläuft

 

Die hierbei vonstatten gehende Koordinatentransformation kann beschrieben werden durch:

 

x' = x0 + r² (x - x0) / ((x - x0)² + (y - y0)²)

y' = y0 + r² (y - y0) / ((x - x0)² + (y - y0)²)

 

mit:

x',y': Transformierte Koordinaten des Punkts P'

x,y: Koordinaten des zu transformierenden Punkts P

x0,y0: Kreismittelpunkt des Inversionskreises I

r: Radius des Inversionskreises I

 

In diesem Unterprogramm können Sie diese Sachverhalte anhand der Durchführung einer Inversion eines Kreises K2 an einem Ursprungskreis K1, dessen Mittelpunkt frei wählbar ist und dessen Radius eingestellt werden kann, analysieren. Der entstandene Kreis trägt die Bezeichnung K3.
 

Darstellung

Führen Sie Folgendes aus, um Zusammenhänge bei einer Inversion dieser Art zu analysieren:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Radius auf dem Bedienformular den Radius des Ursprungskreises K1 fest.
     
  2. Möchten Sie den Mittelpunkt M1 des Ursprungskreises K1, den Mittelpunkt M2 des zu invertierenden Kreises K2, oder Punkt P, exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Um den Radius des zu invertierenden Kreises K2 zu ändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des auf der Peripherie des Kreises positionierten Punkts P und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener linker Maustaste.
     
  4. Sollen die Positionen von Kreismittelpunkten mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in deren rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Möchten Sie die Inversion zudem nur für einen separaten Punkt P durchführen lassen und dessen Position auf der Peripherie des invertierten Kreises K3 lokalisieren, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Punkte darstellen. Der durch Inversion entstandene Punkt trägt die Bezeichnung P'.

Die Mittelpunkte aller Kreise liegen auf einer Geraden. Dies können Sie sich veranschaulichen, wenn Sie den Kontrollschalter Gerade aktivieren.

Bedienformular


MathProf - Inversion - Zentrum

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Inversion einer Geraden am Kreis

 

Beispiel


Legen Sie den Radius des Ursprungskreises K1 mit r1 = 8 fest und definieren Sie den Mittelpunkt dessen bei M1 (-5 / 3). Positionieren Sie den Mittelpunkt des zu invertierenden Kreises K2 bei M2 (1 / 2) und legen Sie die Koordinaten des Punktes auf  P (2 / 4) fest, so ermittelt das Programm folgende Ergebnisse:

Der durch Inversion des Kreises K1 an Kreis K2 entstandene Kreis K3 besitzt die Eigenschaften:

 

Mittelpunkt: M3 (7 / 1)

Radius: r3 = 4,472

 

Die Eigenschaften des, durch Positionierung des Punktes P bemessenen, Kreises K2 sind:

 

Mittelpunkt: M2 (1 / 2)

Radius: r2 = 2,236

 

Für den durch Inversion des Punkts P entstandenen Punkt P' ermittelt das Programm die Koordinatenwerte: P' (3,96 / 4,28)
 

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