MathProf - Funktionsgleichung - Graph Plotter - Verkettung von Funktionen - Funktionsgraph - 2D Plotter - Inverse Funktion - Konvexe Funktion - Konkave Funktion - Krümmungsverhalten

Das Unterprogramm [Analysis] - Mathematische Funktionen II ist implementiert, um Untersuchungen mit Optionen mathematischer Funktionen in expliziter Form durchführen zu können und diese zu plotten.

 

 

Möchten Sie grafische Analysen mit einem oder zwei Funktionstermen durchführen und sich diese darstellen lassen (zu plotten), so stehen hierzu folgende Optionen zur Verfügung.

 

Plotten der
 

• Funktion f(x,p)
• 1. Ableitungsfunktion (1. Ableitung) f'(x,p) von f(x,p)
• 2. Ableitungsfunktion (2. Ableitung) f''(x,p) von f(x,p)
• Umkehrfunktion (Umkehrkurve - Inverse Funktion) fu(x,p) von f(x,p)
• Krümmungskurve fk(x,p) von f(x,p)
• Spiegelung von f(x,p) an der y-Achse →  f(-x,p)
• Spiegelung von f(x,p) an der x-Achse →  -f(x,p)
• Spiegelung von f(x,p) am Koordinatenursprung → -f(-x,p)
• doppelten Anwendung der Funktionsargumente auf Funktion f(x,p) → f(f(x,p))
• Stammfunktion F(x,p)+C von f(x,p) mit Konstantenwert C = 0
• Evolute fe(x,p) von f(x,p) (Kurve der Krümmungsmittelpunkte)
   
• Funktion g(x,p)
• 1. Ableitungsfunktion (1. Ableitung) g'(x,p) von g(x,p)
• 2. Ableitungsfunktion (2. Ableitung) g''(x,p) von g(x,p)
• Umkehrfunktion (Umkehrkurve - Inverse Funktion) gu(x,p) von g(x,p)
• Krümmungskurve gk(x,p) von g(x,p)
• Spiegelung von g(x,p) an der y-Achse → g(-x,p)
• Spiegelung von g(x,p) an der x-Achse → -g(x,p)
• Spiegelung von g(x,p) an Koordinatenursprung → -g(-x,p)
• doppelten Anwendung der Funktionsargumente auf Funktion g(x,p) → g(g(x,p))
• Stammfunktion G(x,p)+C von g(x,p) mit Konstantenwert C = 0
• Evolute ge(x,p) von g(x,p) (Kurve der Krümmungsmittelpunkte)

Zudem können Sie sich Funktionsverknüpfungen (Verkettung von Funktionen) folgender Formen ausgeben lassen:

• Addition zweier Funktionen: f(x,p) + g(x,p)
• Subtraktion zweier Funktionen: f(x,p) - g(x,p)
• Multiplikation zweier Funktionen: f(x,p) · g(x,p)
• Division zweier Funktionen: f(x,p) / g(x,p)

Weiterhin wird (eingeschränkt) ermöglicht:
 

• Bildung der 1. und 2. analytischen Ableitung einer Funktion f(x)

• Bildung der 1. und 2. analytischen Ableitung einer Funktion g(x)
   

 

Die Aktivierungen der zur Verfügung stehenden Kontrollkästchen bewirken bei Ausgabe der grafischen Darstellung Folgendes:

 Funktion f(x,p): Darstellung der Funktion f(x,p)
1. Ableitung f'(x,p): Darstellung der 1. Ableitung der Funktion f(x,p)
2. Ableitung f''(x,p): Darstellung der 2. Ableitung der Funktion f(x,p)
Umkehrfunktion fu(x,p): Darstellung der Umkehrkurve (inversen Funktion) der Funktion f(x,p)
Krümmungsfunktion fk(x,p): Darstellung der Krümmungskurve der Funktion f(x,p)
f(-x,p): Darstellung der an der y-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird
-f(x,p): Darstellung der an der x-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird
-f(-x,p): Darstellung der am Koordinatenursprung gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird
f(f(x,p)): Darstellung einer Kurve bei doppelter Anwendung der Funktionsargumente auf die Funktion, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird
Stammfunktion F(x,p): Darstellung der Stammfunktion F(x,p) der Funktion f(x,p) mit C = 0
Evolute fe(x,p): Darstellung der Evolute (Kurve der Krümmungsmittelpunkte) der Funktion f(x,p)

 Funktion g(x,p): Plotten der Funktion g(x,p)
1. Ableitung g'(x,p): Plotten der 1. Ableitung der Funktion g(x,p)
2. Ableitung g''(x,p): Plotten der 2. Ableitung der Funktion g(x,p)
Umkehrfunktion gu(x,p): Plotten der Umkehrkurve (inverse Funktion) der Funktion g(x,p)
Krümmungsfunktion gk(x,p): Plotten der Krümmungskurve der Funktion g(x,p)
g(-x,p): Plotten der an der y-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird
-g(x,p): Plotten der an der x-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird
-g(-x,p): Plotten der am Koordinatenursprung gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird
g(g(x,p)): Plotten einer Kurve bei doppelter Anwendung der Funktionsargumente auf die Funktion, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird
Stammfunktion G(x,p): Plotten der Stammfunktion G(x,p) der Funktion g(x,p) mit C = 0
Evolute ge(x,p): Plotten der Evolute (Kurve der Krümmungsmittelpunkte) der Funktion g(x,p)

 

 

 

 

Um sich eine oder mehrere Funktionen, sowie Optionen dieser grafisch darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die zu analysierende Funktion in einem Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln. Geben Sie bei Bedarf einen weiteren Funktionsterm im zweiten Feld ein und aktivieren Sie das/die entsprechende(n) Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f(x,p)= bzw. g(x,p)=.
    
2. Aktivieren Sie die entsprechenden Kontrollkästchen, deren funktionalen Zusammenhang Sie sich ausgeben lassen möchten.
   
   Die links angeordnete Gruppe mit Kontrollkästchen Darstellen von f(x,p) bezieht sich auf das obere Eingabefeld für f(x,p), die rechts angeordnete Gruppe Darstellen von g(x,p) auf das untere Eingabefeld g(x,p). Die darunter angeordnete Gruppe Darstellen von f(x,p) und g(x,p) auf beide Eingabefelder.
    
3. Wählen Sie bei Bedarf den Menübefehl Optionen - Koordinatenwertanalyse, um zusätzlich eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
5. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Bei der Definition einer parameterhaltigen Funktion ist die Darstellung von Stammfunktionen, sowie Evoluten nicht möglich. Eine Funktionsverknüpfung Darstellen von f(x,p) und g(x,p) wird nur ausgegeben, wenn sich in beiden Eingabefeldern eine gültige Funktionsdeklaration befindet, andernfalls wird die Ausgabe dieser ignoriert.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Enthält ein Funktionsterm der auszugebenden Kurven das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

 

 

Wird der Menüeintrag Optionen - Koordinatenwertanalyse aktiviert, so kann eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden. Hierbei erscheint ein Bedienformular, durch welches es bei Ausgabe der grafischen Darstellung ermöglicht wird, sich Koordinatenwerte der dargestellten Kurve(n) ausgeben zu lassen.

 

 

Es bestehen folgende Möglichkeiten Koordinatenwertanalysen durchführen zu lassen:
 

• Klicken Sie in einen rechteckig umrahmten Mausfangbereich der markierten Untersuchungsstelle und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
   

• Bedienen Sie die Schaltfläche Punkt, geben Sie den entsprechenden Abszissen-Koordinatenwert ein und bestätigen Sie mit OK.
   

• Benutzen Sie den Schalter Simulation, um eine Koordinatenwertanalyse der Funktion über den gesamten Darstellungsbereich hinweg simulieren zu lassen.

  Beenden können Sie diese Simulation wieder, indem Sie den Schalter, welcher nun die Bezeichnung Sim. Stop. trägt, bedienen.

Hinweise:

Die Kontrollkästchen Linien und Koordinaten ermöglichen die Ein-/Ausblendung von Hilfslinien und Koordinatenwerten. Für Stammfunktionen und Evoluten wird keine Koordinatenwertanalyse durchgeführt.

 

Untersuchen Sie parameterhaltige Funktionen, so besteht nicht die Möglichkeit eine Koordinatenwertanalyse über den gesamten Darstellungsbereich hinweg simulieren zu lassen. In diesem Fall jedoch kann diese, wie zuvor beschrieben, per Mausbewegung oder mittels einer Bedienung der Schaltfläche Punkt durchgeführt werden.

 

Analytische Ermittlung von Ableitungen

Unter dem Menüpunkt Ableitung - Ableitung analytisch können Sie sich die 1. und 2. Ableitung einer Funktion symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

1. Definieren Sie den Funktionsterm, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
    
2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. und 2. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex, um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch einen Klick auf die dortige Schaltfläche Schließen kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

Hinweis:

Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.
 

 

Für Evoluten und Stammfunktionen wird keine Koordinatenwertanalyse durchgeführt.

 

Die Durchführung von Koordinatenwertanalysen ist bei Einstellung einer logarithmischen Skalierung bzgl. der Y-Achse bzw. der X- und Y-Achse nicht möglich. Wurde eine dieser vor Durchführung einer Koordinatenwertanalyse eingestellt, so schaltet das Programm nach erstmaligem Wiederaufruf automatisch auf die logarithmische Skalierung bzgl. der X-Achse bzw. nichtlineare Skalierung um.

 

Funktionen können Sie in diesem Unterprogramm auch definieren, bzw. aus der Funktionsbibliothek übernehmen, während sich das Programm im Darstellungsmodus befindet. Wählen Sie den Menüeintrag Datei / Funktionsterm(e) holen, so wird ein Formular geöffnet, auf welchem Sie dies durch einen Doppelklick auf den entsprechenden Eintrag (falls vorhanden) in der Tabelle, oder die Definition einer Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld vornehmen können.

 

In diesem Modul steht ferner eine kleine Funktionsbibliothek zur Verfügung, die es ermöglicht, sich die geltenden Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen verständlich zu machen. Aufgerufen werden kann sie unter dem Menüpunkt Beispiele I - Beispiel - Funktionsbibliothek laden.

 

Eine Anleitung zur Durchführung von Kurvenpunktmarkierungen finden Sie unter Kurvenpunktmarkierung.

 

 

Mathematische Funktionen I

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Beispiel 1 - Graph ohne Funktionsparameter:

Um den Zusammenhang zu prüfen, wie sich die 1. Ableitung der Funktion y = f(x) = 3·sin(-cos(x/2)) verhält, definieren Sie den Term 3*SIN(-COS(X/2)) im oberen Eingabefeld und aktivieren die Kontrollkästchen f(x,p) =, Funktion f(x,p) und 1. Ableitung f'(x,p) auf der linken Seite.

Deaktivieren Sie alle anderen Kontrollkästchen im Auswahlformularbereich und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Der Funktionsgraph der entsprechenden Kurven wird hierauf wie nachfolgend gezeigt, ausgegeben:

Beispiel 2 - Graph mit Funktionsparameter:

Um die Kombinationen f(x,p) + g(x,p) sowie f(x,p) - g(x,p) der beiden Funktionsterme f(x,p) = 3·sin(p-cos(x/2)) und g(x) = x/2 zu untersuchen, löschen Sie die Einträge bereits beschriebener Eingabefelder.

 

Hierauf geben Sie den Term 3*SIN(P-COS(X/2)) in das Feld mit Bezeichnung f(x,p) = und den Term X/2 in das Feld mit Bezeichnung g(x,p) = ein.

 

Aktivieren Sie die Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f(x,p) =, Funktion f(x,p), f(x,p) + g(x,p), f(x,p) - g(x,p), deaktivieren Sie alle anderen Kontrollkästchen und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 

Das Programm hat hierbei automatisch erkannt, dass es sich um parameterhaltige Funktionen handelt und stellt deshalb ein Bedienformular zur Parameterkonfiguration zur Verfügung.

 

Somit werden zunächst folgende Funktionen mit dem voreingestellten Parameterwert p = -5 dargestellt:

 

f(x,p) = 3·sin((-5)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-5)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-5)-cos(x/2))-(x/2)

 

Durch die Positionsveränderung des auf dem Bedienformular vorhandenen Schiebereglers Parameter P werden bei einem voreingestellten Parameterwertebereich von -5 ≤ p ≤; 5 und einer Parameterschrittweite von 0,1 nacheinander folgende Funktionen dargestellt:

 

f(x,p) = 3·sin((-4,9)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,9)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,9)-cos(x/2))-(x/2)

 

f(x,p) = 3·sin((-4,8)-COS(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,8)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,8)-cos(x/2))-(x/2)

 

f(x,p) = 3·sin((-4,7)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,7)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,7)-cos(x/2))-(x/2)

 

f(x,p) = 3·sin((-4,6)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,6)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,6)-cos(x/2))-(x/2)

.

.

.

usw.

 

Ändern können Sie diese Parametereinstellungen, indem Sie die Schaltfläche Parameter P anklicken. Eine Parameter-Autosimulation starten Sie durch die Bedienung der Schaltfläche Simulation.
 

Beispiel 3 - Koordinatenwertanalyse:

Gilt es, den Verlauf der 1. und 2. Ableitung einer Funktion y = f(x) = 3·cos(cos(x/2)-2·sin(x/2) mittels Koordinatenwertanalyse ermitteln zu lassen, so kann folgendermaßen vorgegangen werden:

 

 

Nach Löschung aller bisher definierten Funktionsterme wird der Ausdruck 3*COS(COS(X/2))-2*SIN(X/2) in das oberste Eingabefeld eingetragen. Aktivieren Sie die Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f(x,p) =, 1. Ableitung f'(x,p), 2. Ableitung f''(x,p) und deaktivieren Sie alle anderen.

 

Nach einer Aktivierung des Menüeintrags Optionen - Koordinatenwertanalyse und einem anschließenden Klick auf die Schaltfläche Darstellen werden die Funktionsgraphen der Kurven ausgegeben.

 

Durch Mauspositionierung (oder eine Bedienung der Schaltfläche Punkt und der Eingabe des gewünschten Werts in das linke Eingabefeld, mit anschließender Bestätigung durch Ok) werden die Koordinatenwerte an gewünschter Untersuchungsstelle ausgegeben.

 

Folgende Koordinatenwerte werden bei Stelle x = 7 angezeigt:

 

Funktionswert: y = f(7) = 0,07

Funktionswert der 1. Ableitung: y = f'(7) = 0,07

Funktionswert der 2. Ableitung: y = f''(7) = -0,245

 

Um sich die Funktionswerte der Ableitungen an jeder Stelle innerhalb des gesamten Darstellungsintervalls anzeigen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation.
 

Beispiel 4 - Analytische Ableitung:

Es gilt, die 1. und 2. Ableitung der Funktion f(x) = cos(x)·sin(x-1) algebraisch, analytisch ermitteln zu lassen.

 

Nachdem Sie den Term COS(X)*SIN(X-1) im oberen Eingabefeld f(x,p) = definiert haben, den Menüeintrag Ableitung - Ableitung analytisch aktivierten und den Schalter Ermitteln bedient haben, werden folgende Ergebnisse in algebraischer Form ausgegeben:

 

1. Ableitung f'(x) = COS(X)*COS(X-1)-SIN(X)*SIN(X-1)

2. Ableitung f''(x) = -2*COS(X)*SIN(X-1)-2*COS(X-1)*SIN(X)
 

 

 

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