MathProf - Splines - Parabolisch - Extrapoliert - Extrapolation - Ableitung

 

Modul Spline-Interpolation - Interaktiv

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Glättungskurven] - Spline-Interpolation - Interaktiv können interaktive Untersuchungen zum Fachthema Spline-Interpolation mit kubischen Splines durchgeführt werden.

 

 
Oftmals ist es notwendig, möglichst glatte Kurven durch eine Anzahl vorgegebener Punkte zu approximieren. Unter Zuhilfenahme von Polynominterpolationen entstehen jedoch starke Oszillationen, da Polynome n-ten Grades auch n-1 Extremstellen aufweisen.

Mit Hilfe der Spline-Interpolation kann dieses Problem umgangen werden. Hierzu werden für einzelne Segmente des Kurvenverlaufs kubische Polynome der Form
 
f(x) = a₃ (x – x_n)³ + a₂ (x – x_n)² + a₁ (x – x_n) + a₀
 
verwendet. Eine derartige Funktion ist eine zweimal stetig differenzierbare Spline-Funktion. An allen Punkten, die als Stützstellen der Kurve gewissermaßen Nahtstellen zwischen den einzelnen Teilkurven darstellen, wird gefordert dass die Funktionswerte sowohl derer ersten, wie auch zweiten Ableitungen übereinstimmen. Dies bedeutet, dass zwei aneinandergrenzende Splines an den entsprechenden Nahtstellen dieselben Steigungswerte besitzen müssen.
 
Werden oben aufgeführte Bedingungen an allen Punkten berücksichtigt und sind die Werte der 2. Ableitungen an den Randpunkten gleich dem Wert 0, so spricht man von natürlichen Splines.
 
Auch besteht die Möglichkeit der Festlegung besonderer Vorgabebedingungen an den äußeren Randpunkten (Randpunkt-Restriktionen). Hierbei wird von nicht-natürlichen Splines gesprochen.
 
Zu diesen Vorgabebedingungen gehören:

• Parabolisch: Der Wert der 2. Ableitung in der Nähe des linken bzw. rechten Randpunkts wird als konstant betrachtet
• Extrapoliert: Extrapolation des Werts der 2. Ableitung im linken bzw. rechten Randpunkt
• Werte der 1. Ableitung an Randpunkten: Festlegung eines Werts der 1. Ableitung im linken bzw. rechten Randpunkt
• Werte der 2. Ableitung an Randpunkten: Festlegung eines Werts der 2. Ableitung im linken bzw. rechten Randpunkt

Das Programm ermittelt die entsprechenden Funktionsterme der einzelnen Splines und gibt diese (in aufgelöster Form) aus. Zudem führt es eine Kurvendiskussion mit den Spline-Funktionen durch.
   
Um Spline-Interpolationen interaktiv durchführen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Wählen Sie auf dem Hauptformular des Unterprogramms durch die Aktivierung des Kontrollschalters Natürlich, Parabolisch, Extrapoliert, Werte der 1. Abl. an Randp. bzw. Werte der 2. Abl. an Randp. die Art der durchzuführenden Spline-Interpolation.
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
3. Erzeugen können Sie Punkte, indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste anklicken. Löschen können Sie einen Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und die rechte Maustaste bedienen.
    
4. Möchten Sie Punkte exakt positionieren, so führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular aus und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
5. Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
6. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung oder 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung bzw. der 2. Ableitung der ermittelten Splines ausgegeben werden soll.
    
7. Durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema bzw. Wendepunkte legen Sie fest, ob eine Kurvendiskussion mit den ermittelten Splines durchgeführt werden soll.
    
8. Wurde die interaktive Darstellung von Splines mit der Restriktion Werte der 1. Abl. an Randp. bzw. Werte der 2. Abl. an Randp. gewählt, so stehen stehen Rollbalken mit den Bezeichnungen P'(x0) und P'(xn) bzw. P''(x0) und P''(xn) zur Verfügung, durch welche Sie die Werte der 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung im linken bzw. rechten Randpunkt der Spline-Funktion einstellen.
    
9. Möchten Sie die sich zusätzlich die Gesamtfunktion eines Splines darstellen lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Ges.-Fkt. und wählen aus der aufklappbaren Auswahlliste den entsprechenden Eintrag (S1(x) .. Sn(x)).
    
10. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die Auswahl der zu simulierenden Größe durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters treffen und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden nach Aktivierung des dafür zur Verfügung stehenden Kontrollkästchens angezeigt:
 

• Nullstellen der Splines (N: Nullstelle
• Extrema der Splines  (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)
• Wendepunkte der Splines (W: Wendepunkt)

Hinweise:
Beim Aufruf dieser Darstellung sind bereits drei Punkte vordefiniert, da nur ab dieser Punktanzahl eine Darstellung von Splines möglich ist. Besitzen zwei Punkte die gleichen x-Koordinatenwerte, so ist eine Ermittlung von Spline-Kurven nicht möglich.
 
Definierte Punkte können gespeichert werden. Bedienen Sie hierzu die Schaltfläche Punkte und wählen Sie auf dem erscheinenden Bedienformular den Menüpunkt Speichern. Sollen gespeicherte Punkte wieder verwendet werden, so wählen Sie den sich dort befindenden Menüpunkt Laden. Beim Öffnen einer Datei werden alle bereits vorhandenen Punkte gelöscht!
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wurde die interaktive Darstellung von Splines mit der Restriktion natürlich, parabolisch oder extrapoliert gewählt, so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

 
Wurde die interaktive Darstellung von Splines mit der Restriktion Werte der 1. Abl. an Randp. bzw. Werte der 2. Abl. an Randp. gewählt, so wird bei Ausgabe das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.
 


Auf den Bedienformularen, welche durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Beschriftung definierter Punkte ein-/ausschalten
• Koord.: Ausgabe der Koordinatenwerte definierter Punkte ein-/ausschalten
• Beschriftung: Beschriftung ermittelter Kurvenpunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte ermittelter Kurvenpunkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Spline - Interpolation
Mathematische Funktionen I
Mathematische Funktionen II
   
Bei der Untersuchung natürlicher Splines und nach einer Erzeugung von 5 Stützpunkten durch Mausklicks sowie der exakten Positionierung dieser, nach einer Bedienung der Schaltfläche Punkte, auf die Koordinatenwerte P1 (-6 / -1), P2 (-4 / -2), P3 (-1 / 0), P4 (5 / 2) und P5 (8 / 3) ermittelt das Programm:
 
Spline-Funktion im Bereich von x1 = -6 bis x2 = -4:
 
P1-P2: S1(x) = 0,06512·X ³ + 1,17219·X ² + 6,27263·X + 8,5033 (aufgelöst)
 
Spline-Funktion im Bereich von x1 = -4 bis x2 = -1:
 
P2-P3: S2(x) = -0,05849·X ³ -0,31125·X ²+0,33885·X+0,59161 (aufgelöst)
 
Spline-Funktion im Bereich von x1 = -1 bis x2 = 5:
 
P3-P4: S3(x) = 0,01006·X ³-0,10559·X ²+0,544518·X+0,66016 (aufgelöst)
 
Spline-Funktion im Bereich von x1 = 5 bis x2 = 8:
 
P4-P5: S4(x) = -0,00503·X ³+0,120676·X ²-0,586828·X+2,54574 (aufgelöst)
 
Für die Eigenschaften der ermittelten Funktionen S1(x) - S4(x) gibt das Programm nach einer Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen aus:

Nullstelle:

N (-1 / 0)

Tiefpunkt:    

T (-4,027 / -2)

Wendepunkte:

W1 (-6 / -1)    
W2 (-1,774 / -0,662)
W3 (3,5 / 1,704)
W4 (8 / 3)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Spline-Interpolation zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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