MathProf - Binomialverteilung - Wahrscheinlichkeit - Erwartungswert

 

Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - [Binomialverteilung] - Binomialverteilung lassen sich Berechnungen mit binomialverteilten Größen durchführen. Ermittelte Werte werden in Tabellen (Wahrscheinlichkeitstabellen) ausgegeben und Zusammenhänge zu diesem Fachthema können grafisch veranschaulicht werden.

 

 

Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, welche eintreten kann wenn ein Zufallsexperiment n-mal wiederholt wird, die einzelnen Versuche voneinander unabhängig sind und hierbei ein Ereignis E mit der Ereigniswahrscheinlichkeit p eintreten kann. Eine Funktion die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet wird als Zufallsgröße (Zufallsvariable) bezeichnet. Die Zufallsvariable k heißt binomialverteilt, wenn P(X = k) die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ereignis E genau k-mal bei n durchgeführten Versuchen eintritt. Für den Erwartungswert E(x) einer Binomialverteilung gilt: E(x) = n · p. Eine Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung. Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie in jedem beschränkten Intervall a ≤ x ≤ b lediglich endlich viele Ausprägungen besitzen kann.

Eine Bernoulli-Verteilung ist ein Sonderfall der Binomialverteilung. Diese liegt vor, wenn die Zufallsvariable k nur einen der beiden Werte wahr oder falsch annehmen kann. Diese liegt vor, wenn die Anzahl der Versuche bei n = 1 liegt.

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses wird in diesem Fall wie folgt mit der Bernoulli-Formel beschrieben:

Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis mindestens, oder höchstens zu erwarten ist, z.B. P(X ≤ k) oder P(X ≥ k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet. Diese Verteilung (kumulierte Wahrscheinlichkeit) wird hierbei beschrieben mit:

Besitzt eine Verteilung eine symmetrische Häufigkeitsverteilung, so wird sie als symmetrisch bezeichnet. Ist die Konzentration dieser bei einer Häufigkeitsverteilung auf der linken Seite jedoch stärker, so nennt man diese Verteilung linkssteil bzw. rechtsschief. Im umgekehrten Falls hingegen trägt sie die Bezeichnung rechtssteil bzw. linksschief.
 
Per Voreinstellung (ohne die Aktivierung des Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten) gibt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen die Wahrscheinlichkeit P(X=k) mit der dieses Ereignis genau k-mal eintritt, aus. Zudem werden die Wahrscheinlichkeiten ausgegeben, mit welchen das Auftreten dieses Ereignisses bis zu k-mal, oder höchstens k-mal eintritt F(X ≤ k).
 

Interessieren weitere Ereigniswahrscheinlichkeiten, wie

• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis genau k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mindestens k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mehr als k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis weniger als k-mal eintritt

so können Sie sich auch diese ausgeben lassen, nachdem vor der Ausführung eines Klicks auf díe Schaltfläche Berechnen das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten aktiviert wurde. Hierbei gelten folgende Zusammenhänge:

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis genau k-mal eintritt:

F(0) für k = 0

F(k) - F(k-1) für k ≥ 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mindestens k-mal eintritt:

1 für k = 0

1 - F(k-1) für k ≥ 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mehr als k-mal eintritt:

1 - F(k)

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis weniger als k-mal eintritt:

F(k-1)

Um Berechnungen durchführen zu lassen und derartige Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

1. Legen Sie im Feld Anzahl Versuche n die Anzahl durchzuführender Versuche fest. Geben Sie in das Feld Wahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit ein, mit welcher das interessierende Ereignis eintritt und tragen Sie in das Feld Anzahl Ereignisse x die Anzahl aufgetretener Ereignisse ein.
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und ist das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten deaktiviert, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X=k), sowie für die Verteilung F(X ≤ k) für k = 1...x in den Tabellen ausgegeben.
   
   Möchten Sie sich alle Arten berechenbarer Ereigniswahrscheinlichkeiten ausgeben lassen, so aktivieren Sie vor Durchführung der Berechnung das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten. Die in Tabelle p2 aufgelisteten Ereigniswahrscheinlichkeiten entsprechen den, auf dem Hauptformular des Unterprogramms in Tabelle Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X=k), angezeigten Wahrscheinlichkeitswerten.
    
3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.

Hinweis:

Sollen alle Ereigniswahrscheinlichkeiten für die festgelegte Anzahl von Ereignissen errechnet werden, so sind in die Eingabefelder Anzahl Ereignisse x und Anzahl Versuche n gleiche Werte einzugeben.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

Galton-Brett

 

 

Bimomialverteilung - Beispiel 1:

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel bei 5-maligen Werfen, genau 3 mal eine 6 zu werfen?

 

Mit p = 1/6 kann festgelegt werden:

 

n = 5

p = 0,166666

x = 3

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Deaktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X=k) entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit hierfür ca. 3,215% beträgt.

 

P(X=3) = 0,032149

 

Bimomialverteilung - Beispiel 2:

 

Ein Schüler hat für einen Multiple-Choice-Test nicht gelernt. Der Test besteht aus 10 Fragen mit je 4 Antworten. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mindestens die Hälfte der Fragen richtig beantwortet.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Es handelt sich um eine Binomialverteilung mit den Parametern n = 10 und p = 1/4 = 0,25. Somit sind die Eingabefelder mit folgenden Werten zu belegen:

 

n = 10

p = 0,25

x = 10 (mindestens jedoch 5)

 

Hierauf ist das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten zu aktivieren und die Schaltfläche Berechnen zu bedienen.

 

Da es sich um eine Wahrscheinlichkeit handelt, mit welcher ein Ereignis mindestens k-mal eintritt, und für k der Wert 5 (mindestens die Hälfte von 10) zu wählen ist, gilt bei der Suche nach dem entsprechenden Tabelleneintrag:
 

1 - F(k-1) für k ≥ 1

1- F(5-1) = 1-F(4)

Aus dem Eintrag 1-F(4) in Tabelle p3 kann somit entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens die Hälfte aller Fragen richtig zu beantworten P(X ≥ 5) = 1-F(4) = 0,07812 beträgt (7,812 %).

Diese Wahrscheinlichkeit kann auch durch eine Aufsummierung der entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten mit den Nummern 5-10 in der Tabelle Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X=k) ermittelt werden, da gilt: P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + ... + P(X = 10)
 

Bimomialverteilung - Beispiel 3:

 

In einer Urne befinden sich 30 verschiedenfarbige Kugeln, von welchen 10 die Farbe rot besitzen. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen liegt hiermit bei 0,33333333. Das Ziehen einer Kugel (mit darauffolgendem Zurücklegen) wird 10-mal durchgeführt.

 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden am häufigsten 3, 5 oder 8 rote Kugeln gezogen?
 

Vorgehensweise und Lösung:

3 Kugeln:

n = 10

p = 0,3

x = 3

 

Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 unter dem Eintrag F(3) - F(2) entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit hierfür 26,683% beträgt.
 

5 Kugeln:

n = 10

p = 0,3

x = 5
 

Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 unter dem Eintrag F(5) - F(4) entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit hierfür 10,292% beträgt.

8 Kugeln:

n = 10

p = 0,3

x = 8
 

Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 unter dem Eintrag F(8) - F(7) entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit hierfür 0,145% beträgt.
 

 

  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Binomialverteilung zu finden.
 

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