MathProf - Komplexes Gleichungssystem (KGS)
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Komplexes Gleichungssystem (KGS)
Im Programmteil [Algebra] - [Sonstige Gleichungssysteme] - Komplexes Gleichungssystem können Lösungen komplexer Gleichungssysteme ermittelt werden.
Komplexe Gleichungssysteme werden häufig in der Elektrotechnik benötigt, um Berechnungen für Wechselstromnetzwerke durchführen zu können.
Mit Hilfe dieses Unterprogramms können die Lösungen komplexer Gleichungssysteme (KGS) bis 10. Grades nachfolgend aufgeführter Form ermittelt werden:
ar(1,1) · xr(1) + ... + ar(1,n) · xr(n) = br(1)
ai(1,1) · xi(1) + ... + ai(1,n) · xi(n) = bi(1)
....
....
....
ar(n,1) · xr(1) + ... + ar(n,n) · xr(n) = br(n)
ai(n,1) · xi(1) + ... + ai(n,n) · xi(n) = bi(n)
Berechnung
Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad des Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des Gleichungssystems definiert werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.
Nach der Eingabe der entsprechenden, reellen und imaginären Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die Lösungen des Systems ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.
Hinweis:
Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des KGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).
Allgemein
Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten des KGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.
Weitere Themenbereiche
Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem
Überbestimmtes lineares Gleichungssystem
Beispiel
Gegeben sei ein Wechselspannungsnetz mit 5 Knoten:
Unter Beachtung der Regeln der Knotenspannungsanalyse kann dieses durch ein komplexes Gleichungssystem mit vier Unbekannten, wie folgt beschrieben werden:
| 1/R1+jωC1 | -jωC | 0 | 0 | U1_5 | E/R1 | ||
| -jωC1 | 1/R2-j/ωL1+jωC1 | -1/R2 | 0 | U2_5 | 0 | ||
| · | = | ||||||
| 0 | -1/R2 | 1/R2+jωC2 | -jωC2 | U3_5 | 0 | ||
| 0 | 0 | -jωC2 | jωC2+jωC3-1/jωL2 | U4_5 | 0 |
Zudem seien bekannt:
Sinusförmige Frequenz: f = 50Hz
-> Kreisfrequenz w = 2·π·f = 314 1/s
Netzspannung: U = 220V (Amplitudenwert E(t) = 314 V)
Widerstände R1 = 100 Ω und R2 = 100 Ω
Kapazitäten: C1 = 0,1mF, C2 = 0,1mF, C3 = 0,1mF
Induktionen: L1 = 0,5H und L2 = 0,5H
Stromquelle: Imax = 3140 mA
Es gilt, die 4 Knotenspannungen U1, U2, U3 und U4 mittels der gegebenen Daten errechnen zu lassen.
Um das oben aufgeführte, komplexe Gleichungssystem unter Benutzung numerischer Zahlenwerte aufstellen zu können, wird die zahlenmäßige Größe jedes einzelnen Leitwerts (in der Maßeinheit MilliSiemens mS) ermittelt.
| Leitwert | 1/R1 | 1/R2 | ωC1 | ωC2 | ωC3 | 1/ωL1 | 1/ωL2 |
| Betrag | 10 | 10 | 0,3142 | 0,3142 | 0,3142 | 6,37 | 6,37 |
Nach der Errechnung der Einzelkomponenten kann folgendes Gleichungssystem 4. Grades aufgestellt werden:
| 10 | 0 | 0 | 0 | Re{U1_5} | 3140 | ||
| 0,3142 | -0,3142 | 0 | 0 | Im{U1_5} | 0 | ||
| 0 | 10 | -10 | 0 | Re{U2_5} | 0 | ||
| -0,3142 | -6,0558 | 0 | 0 | Im{U2_5} | 0 | ||
|
· |
= |
||||||
| 0 | -10 | 10 | 0 | Re{U3_5} | 0 | ||
| 0 | 0 | 0,3142 | -0,3142 | Im{U3_5} | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | Re{U4_5} | 0 | ||
| 0 | 0 | -0,3142 | -5,7416 | Im{U4_5} | 0 |
Bei Festlegung des Grades des Systems auf 4 und der Eingabe der Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:
| Re1 | 10 | 0 | 0 | 0 |
| Im1 | 0,3142 | -0,3142 | 0 | 0 |
| Re2 | 0 | 10 | -10 | 0 |
| Im2 | -0,3142 | -6,0558 | 0 | 0 |
| Re3 | 0 | -10 | 10 | 0 |
| Im3 | 0 | 0 | 0,3142 | -0,3142 |
| Re4 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Im4 | 0 | 0 | -0,3142 | -5,7416 |
sowie der Eingabe der Koeffizienten in die Tabelle Absolutglieder:
3140
0
0
0
0
0
0
0
ermittelt das Programm nach der Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die Lösungen des KGS:
z1 = 312,845 - 9,831 i
z2 = -4,124 + 7,318 i
z3 = 0,0005 + 0,0003 i
z4 = -0,0003 - 0,0001 i
Die Real- und Imaginärteile der komplexen Lösungen entsprechen den gesuchten Knotenspannungen, wie nachfolgend aufgeführt:
| Spannung | Realteil | Imaginärteil |
| U1 | 312,845 V | -9,831 V |
| U2 | -4,124 V | 7,318 V |
| U3 | 0,0005 V | 0,0003 V |
| U4 | -0,0003 V | -0,0001 V |
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