MathProf - Komplexes Gleichungssystem (KGS)

MATHPROF 5.0
  Interaktive Mathematik-Software für Analysis, Algebra, Geometrie, Stochastik, Vektoralgebra und vieles andere mehr ...

 

Komplexes Gleichungssystem (KGS)

 

Im Programmteil [Algebra] - [Sonstige Gleichungssysteme] - Komplexes Gleichungssystem können Lösungen komplexer Gleichungssysteme ermittelt werden.

 

MathProf - Gleichungssystem komplex


Komplexe Gleichungssysteme werden häufig in der Elektrotechnik benötigt, um Berechnungen für Wechselstromnetzwerke durchführen zu können.

Mit Hilfe dieses Unterprogramms können die Lösungen komplexer Gleichungssysteme (KGS) bis 10. Grades nachfolgend aufgeführter Form ermittelt werden:

ar(1,1) · xr(1) + ... + ar(1,n) · xr(n) = br(1)

ai(1,1) · xi(1) + ... + ai(1,n) · xi(n) = bi(1)

....

....

....

ar(n,1) · xr(1) + ... + ar(n,n) · xr(n) = br(n)

ai(n,1) · xi(1) + ... + ai(n,n) · xi(n) = bi(n)

Berechnung


Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad des Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des Gleichungssystems definiert werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.

Nach der Eingabe der entsprechenden, reellen und imaginären Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die Lösungen des Systems ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.

Hinweis:

Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des KGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).

 

Allgemein

 

Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten des KGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.

 

Weitere Themenbereiche

 

Lineares Gleichungssystem

Gauß'scher Algorithmus

Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem

 

Beispiel


Gegeben sei ein Wechselspannungsnetz mit 5 Knoten:

MathProf - Komplexes Gleichungssystem

Unter Beachtung der Regeln der Knotenspannungsanalyse kann dieses durch ein komplexes Gleichungssystem mit vier Unbekannten, wie folgt beschrieben werden:

1/R1+jωC1 -jωC 0 0   U1_5   E/R1
-jωC1 1/R2-j/ωL1+jωC1 -1/R2 0   U2_5   0
        ·   =  
0 -1/R2 1/R2+jωC2 -jωC2   U3_5   0
0 0 -jωC2 jωC2+jωC3-1/jωL2   U4_5   0


Zudem seien bekannt:

Sinusförmige Frequenz: f = 50Hz

-> Kreisfrequenz w = 2·π·f = 314 1/s

 

Netzspannung: U = 220V (Amplitudenwert E(t) = 314 V)

Widerstände R1 = 100 Ω und R2 = 100 Ω

Kapazitäten: C1 = 0,1mF, C2 = 0,1mF, C3 = 0,1mF

Induktionen: L1 = 0,5H und L2 = 0,5H

Stromquelle: Imax = 3140 mA
 

Es gilt, die 4 Knotenspannungen U1, U2, U3 und U4 mittels der gegebenen Daten errechnen zu lassen.
 

Um das oben aufgeführte, komplexe Gleichungssystem unter Benutzung numerischer Zahlenwerte aufstellen zu können, wird die zahlenmäßige Größe jedes einzelnen Leitwerts (in der Maßeinheit MilliSiemens mS) ermittelt.

Leitwert 1/R1 1/R2 ωC1 ωC2 ωC3 1/ωL1 1/ωL2
Betrag 10 10 0,3142 0,3142 0,3142 6,37 6,37


Nach der Errechnung der Einzelkomponenten kann folgendes Gleichungssystem 4. Grades aufgestellt werden:

10 0 0 0   Re{U1_5}   3140
0,3142 -0,3142 0 0   Im{U1_5}   0
0 10 -10 0   Re{U2_5}   0
-0,3142 -6,0558 0 0   Im{U2_5}   0
       

·

 

=

 
0 -10 10 0   Re{U3_5}   0
0 0 0,3142 -0,3142   Im{U3_5}   0
0 0 0 0   Re{U4_5}   0
0 0 -0,3142 -5,7416   Im{U4_5}   0


Bei Festlegung des Grades des Systems auf 4 und der Eingabe der Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:

Re1 10 0 0 0
Im1 0,3142 -0,3142 0 0
Re2 0 10 -10 0
Im2 -0,3142 -6,0558 0 0
Re3 0 -10 10 0
Im3 0 0 0,3142 -0,3142
Re4 0 0 0 0
Im4 0 0 -0,3142 -5,7416


sowie der Eingabe der Koeffizienten in die Tabelle Absolutglieder:

3140

0

0

0

0

0

0

0
 

ermittelt das Programm nach der Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die Lösungen des KGS:

z1 = 312,845 - 9,831 i

z2 = -4,124 + 7,318 i

z3 = 0,0005 + 0,0003 i

z4 = -0,0003 - 0,0001 i
 

Die Real- und Imaginärteile der komplexen Lösungen entsprechen den gesuchten Knotenspannungen, wie nachfolgend aufgeführt:

Spannung Realteil Imaginärteil
U1 312,845 V -9,831 V
U2 -4,124 V 7,318 V
U3 0,0005 V 0,0003 V
U4 -0,0003 V -0,0001 V

 

Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL - Gleichungssystem (Differentialgleichungen) - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte


Zur Inhaltsseite