MathProf - Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - Interaktiv

MathProf - Mathematik-Software - Polynome | Quotient | Restpolynom | Ableitung | Division
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Polynome | Quotient | Restpolynom | Ableitung | Division

Online-Hilfe für das Modul
zur interaktiven Analyse und Darstellung
ganzrationaler Polynomfunktionen (algebraischer Gleichungen).
Es erfolgt u.a. die Durchführung der Polynomdivision und Polynommultiplikation für eine ganzrationale Funktion sowie die Praktizierung einer Kurvendiskussion, die Darstellung der ersten und zweiten Ableitung einer definierten Funktion
und die Auffindung von Nullstellen und lokalen Extrema nach Definition der Koeffizienten der zu untersuchenden Polynome.

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Ganzrationale Funktionen - Polynome - Algebraische Gleichungen - Interaktiv

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Ganz- und gebrochenrationale Funktionen] - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv können Polynome (Polynomfunktionen) bis 7. Grades interaktiv untersucht und dargestellt werden.
 

Es können Analysen mit zwei Polynomen (algebraischen Gleichungen) A(x) und B(x) folgender Formen durchgeführt werden:

A(x) = anxn + an-1xn-1 +  ... + a (mit n 7)

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 +  ... + b0    (mit n 7)
 

Hierbei werden u.a. ermittelt:

  • Produkt der Polynome A(x) und B(x)
  • Quotient der Polynome A(x) und B(x)
  • Restpolynom bei Division der Polynome A(x) und B(x)
  • Summe der Polynome A(x) und B(x)

Zudem können dargestellt werden:
 

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Polynoms A(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Polynoms B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Produkts der Polynome A(x) · B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Quotienten der Polynome A(x) / B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Restpolynoms nach Division der Polynome A(x) / B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) der Summe der Polynome A(x) + B(x)
     

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Polynoms A(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Polynoms B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Produkts der Polynome A(x) · B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Quotienten der Polynome A(x) / B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Restpolynoms nach Division der Polynome A(x) / B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) der Summe der Polynome A(x) + B(x)

    Zudem erfolgt die Bestimmung der Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte (Wendestellen) der Polynome

Darstellung

 

MathProf - Polynom - Ableitung - Nullstellen - Quotient - Ganzrationale Funktion - Kurvendiskussion - Ableitungsfunktion


Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine interaktive Analyse mit Polynomen durchführen zu lassen:

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens auf dem weiter unten abgebildeten Bedienformular die Funktion die Sie sich darstellen lassen möchten. Zur Auswahl stehen:

    Polynom A(x): Polynom 1
    Polynom B(x): Polynom 2
    Produkt: Produkt der Polynome A(x) · B(x)
    Quotient: Quotient der Polynome A(x) / B(x)
    Rest: Restpolynom nach Division der Polynome A(x) / B(x)
    Summe: Summe der Polynome A(x) + B(x)
     
  2. Verändern Sie durch die Positionierung der entsprechenden Schieberegler a0, a1, a2 ... a7 bzw. b0, b1, b2 ... b7 auf dem Bedienformular die Werte der Koeffizienten a0 - a7, bzw. b0 - b7 der Polynome.
     
  3. Es besteht die Möglichkeit interaktive Kurvendiskussionen durchführen zu lassen. Diese werden für Kurven durchgeführt, welche unter Kurvendisk. durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters ausgewählt wurden. Sie werden lediglich dann ausgeführt, wenn das Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema oder Wendep. aktiviert wurde.

    Wird eines dieser Kontrollkästchen aktiviert, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit derjenigen Kurve durch, welche durch die Aktivierung des entsprechenden, ganz unten angeordneten Kontrollschalters festgelegt wurde. Wurde dort beipielsweise der Kontrollschalter Polynom A(x) aktiviert, so wird eine Kurvendiskussion mit dem Polynom A(x) durchgeführt, wird hingegen der Kontrollschalter Produkt angeklickt, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit dem ermittelten Produkt der beiden Polynome durch, usw.
     
  4. Möchten Sie den Untersuchungsbereich zur Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  5. Um die Einflüsse von Parametergrößen (Koeffizienten) vom Programm simulieren zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Verwendete Bezeichnungskürzel haben folgende Bedeutung:

  • N - Nullstellen der ganzrationalen Funktion

  • H/T - Extrema/Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) der ganzrationalen Funktion

  • W - Wendepunkte (Wendestellen) der ganzrationalen Funktion

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Bei Ausgabe der Darstellung wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Polynom - Produkt - Quotient - Summe - Rest - Kurvendiskussion - Nullstellen - Algebraische Gleichung

 

Die Parameter folgender Einflussgrößen können hierauf verändert werden:

 

Koeffizient a0 ... a7 der Polynomfunktion A(x)

Koeffizient b0 ... b7 der Polynomfunktion B(x)

 

Durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen können ausgegeben werden:
 

  • Polynom A(x)

  • Polynom B(x)

  • Produkt der Polynome A(x) · B(x)

  • Quotient der Polynome A(x) / B(x)

  • Restpolynom nach Division der Polynome A(x) / B(x)

  • Summe der Polynome A(x) + B(x)

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung: Markierung und Nummerierung der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Ganzrationale Funktionen

Mathematische Funktionen I

 

Beispiel

 

Aktivieren Sie die Kontrollkästchen Polynom A(x) und Polynom B(x) und deaktivieren Sie alle anderen. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:
 

a7: -2

a6: -2

a5: 3

a4: -1

a3: -1

a2: 2

a1: 2

a0: 1

b7: -1

b6: 0

b5: -1

b4: 2

b3: 0

b2: -2

b1: 4

b0: 2


Das Programm stellt hierauf folgende Polynome (algebraische Gleichungen) dar:

Polynom A(x) = -2·x7-2·x6+3·x5-x4-x3+2·x2+2·x+1

Polynom B(x) = -x7-x5+2·x4-2·x2+4·x+2
 

Nach einer Aktivierung der dafür vorgesehenen Kontrollkästchen werden folgende Funktionsterme ermittelt und die entsprechenden Kurven dargestellt:

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Produkt:
 

Produkt der Polynome A(x) und B(x): f(x) = 2*X^14+2*X^13-X^12-X^11-6*X^10

+9*X^9-7*X^8-23*X^7+12*X^6
+7*X^5-8*X^4+2*X^3+10*X^2
+8*X+2

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Quotient:
 

Quotient der Polynome A(x) und B(x): f(x) = 2

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Rest:
 

Rest bei Division der Polynome A(x) und B(x): f(x) = -2*X^6+5*X^5-4*X^4-X^3+6*X^2+6*X-3

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Summe:
 

Summe der Polynome A(x) und B(x): f(x) = -3*X^7-2*X^6+2*X^5+X^4-X^3+6*X+3

 

Belassen Sie die Kontrollkästchen Polynom A(x) und Polynom B(x) aktiviert und deaktivieren Sie alle anderen. Aktivieren Sie hierauf die Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema sowie Wendep. und fokussieren Sie den Kontrollschalter Polynom A(x) im Formularbereich Kurvendisk. Das Programm führt nun eine Kurvendiskussion mit Polynom A(x) durch und ermittelt für den voreingestellten Untersuchungsbereich -3 x 3:

 

Polynom A(x) besitzt innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs:

 

Nullstellen: N (-1,833 / 0) N (-0,732 / 0) N (1,108 / 0)
Extrempunkt: HP (0,792 / 2,999)    
Wendepunkte: W (-0,399 / 0,523) W (0,466 / 2,253)  

 

Wird hierauf der Kontrollschalter Polynom B(x) im Formularbereich Kurvendisk. aktiviert, so wird eine Kurvendiskussion mit Polynom B(x) innerhalb des voreingestellten Untersuchungsbereichs -3 x 3 durchgeführt. Das Programm gibt aus:

 

Polynom B(x) besitzt innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs:

 

Nullstellen: N (-1 / 0) N (-0,429 / 0) N (1,285 / 0)
Extremstellen: TP (-0,777 / -1,132) HP (0,864 / 4,237)  
Wendepunkt: W (-0,349 / 0,394)    

 

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