MathProf - Ganzrationale Funktion - Polynomfunktion - Polynome - Nullstellen

MathProf - Mathematik-Software - Polynome | Quotient | Restpolynom | Ableitung | Division

Fachthema: Ganzrationale Funktionen - Polynome

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Animationen, 2D- und 3D-Simulationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Polynome | Quotient | Restpolynom | Ableitung | Division

Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Analyse und zum Zeichnen der Graphen ganzrationaler Polynomfunktionen.

In diesem Teil des Programms erfolgt unter anderem die Ausführung der Polynomdivision und Polynommultiplikation für eine definierte ganzrationale Funktion sowie die Ausführung einer Kurvendiskussion mit dieser. Auch das Plotten der Graphen der ersten und zweiten Ableitung eines definierten Polynoms ist möglich. Zudem besteht die Möglichkeit der Untersuchung einer Parametervariation mit der definierten Funktion.


Das Bestimmen sowie die Darstellung der Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte dieser kann nach einer Definition der Koeffizienten dieser ebenfalls veranlasst werden.

Die Berechnung der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar.

Die Praktizierung von Untersuchungen dieser Art wird ermöglicht für ganzrationale Funktionen 2. Grades, ganzrationale Funktionen 3. Grades, ganzrationale Funktionen 4. Grades, ganzrationale Funktionen 5. Grades, ganzrationale Funktionen 6. Grades und ganzrationale Funktionen 7. Grades.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Polynom - Polynomfunktionen - Polynomiale Funktion - Polynomgleichungen lösen - Algebraische Gleichungen - Algebraische Funktion - Algebraische Zahlen - Ableitungen von Polynomen - Addition von Polynomen - Multiplikation von Polynomen - Division von Polynomen - Subtraktion von Polynomen - Polynomgrad - Polynomdivision - Polynom plotten - Koeffizienten - Analyse der Eigenschaften einer Polynomfunktion 2. Grades, einer Polynomfunktion 3. Grades, einer Polynomfunktion 4. Grades sowie einer Polynomfunktion 5. Grades - Addition von Polynomen - Relle Polynome - Parameter - Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen - Verhalten von ganzrationalen Funktionen - Extrema ganzrationaler Funktionen - Steigung einer Polynomfunktion - Eigenschaften ganzrationaler Funktionen - Gleichung - Untersuchen - Untersuchung - Graph - Plotten - Präsentation - Grafisch - Nullstellen bestimmen von ganzrationalen Funktionen

 
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Ganzrationale Funktionen - Interaktiv

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Ganz- und gebrochenrationale Funktionen] - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv können Polynome (Polynomfunktionen) bis 7. Grades interaktiv untersucht und dargestellt werden.
 

Es können Analysen mit zwei Polynomen (algebraischen Gleichungen) A(x) und B(x) folgender Formen durchgeführt werden:

A(x) = anxn + an-1xn-1 +  ... + a (mit n 7)

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 +  ... + b0    (mit n 7)
 

Hierbei werden u.a. ermittelt:

  • Produkt der Polynome A(x) und B(x)
  • Quotient der Polynome A(x) und B(x)
  • Restpolynom bei Division der Polynome A(x) und B(x)
  • Summe der Polynome A(x) und B(x)

Zudem können dargestellt werden:
 

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Polynoms A(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Polynoms B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Produkts der Polynome A(x) · B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Quotienten der Polynome A(x) / B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) des Restpolynoms nach Division der Polynome A(x) / B(x)

  • Erste Ableitung (1. Ableitungsfunktion) der Summe der Polynome A(x) + B(x)
     

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Polynoms A(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Polynoms B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Produkts der Polynome A(x) · B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Quotienten der Polynome A(x) / B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) des Restpolynoms nach Division der Polynome A(x) / B(x)

  • Zweite Ableitung (2. Ableitungsfunktion) der Summe der Polynome A(x) + B(x)

    Zudem erfolgt die Bestimmung der Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte (Wendestellen) der Polynome

     

Darstellung

 

MathProf - Polynom - Ableitung - Nullstellen - Quotient - Ganzrationale Funktion - Kurvendiskussion - Ableitungsfunktion - Polynomdivision - Polynommultiplikation - Polynome addieren - Polynome multiplizieren - Polynomfunktion


Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine interaktive Analyse mit Polynomen durchführen zu lassen:

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens auf dem weiter unten abgebildeten Bedienformular die Funktion die Sie sich darstellen lassen möchten. Zur Auswahl stehen:

    Polynom A(x): Polynom 1
    Polynom B(x): Polynom 2
    Produkt: Produkt der Polynome A(x) · B(x)
    Quotient: Quotient der Polynome A(x) / B(x)
    Rest: Restpolynom nach Division der Polynome A(x) / B(x)
    Summe: Summe der Polynome A(x) + B(x)
     
  2. Verändern Sie durch die Positionierung der entsprechenden Schieberegler a0, a1, a2 ... a7 bzw. b0, b1, b2 ... b7 auf dem Bedienformular die Werte der Koeffizienten a0 - a7, bzw. b0 - b7 der Polynome.
     
  3. Es besteht die Möglichkeit interaktive Kurvendiskussionen durchführen zu lassen. Diese werden für Kurven durchgeführt, welche unter Kurvendisk. durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters ausgewählt wurden. Sie werden lediglich dann ausgeführt, wenn das Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema oder Wendep. aktiviert wurde.

    Wird eines dieser Kontrollkästchen aktiviert, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit derjenigen Kurve durch, welche durch die Aktivierung des entsprechenden, ganz unten angeordneten Kontrollschalters festgelegt wurde. Wurde dort beipielsweise der Kontrollschalter Polynom A(x) aktiviert, so wird eine Kurvendiskussion mit dem Polynom A(x) durchgeführt, wird hingegen der Kontrollschalter Produkt angeklickt, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit dem ermittelten Produkt der beiden Polynome durch, usw.
     
  4. Möchten Sie den Untersuchungsbereich zur Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  5. Um die Einflüsse von Parametergrößen (Koeffizienten) vom Programm simulieren zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Verwendete Bezeichnungskürzel haben folgende Bedeutung:
 

  • N - Nullstellen der ganzrationalen Funktion

  • H/T - Extrema/Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) der ganzrationalen Funktion

  • W - Wendepunkte (Wendestellen) der ganzrationalen Funktion

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Bei Ausgabe der Darstellung wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Polynom - Produkt - Quotient - Summe - Rest - Kurvendiskussion - Nullstellen - Algebraische Gleichung

 

Die Parameter folgender Einflussgrößen können hierauf verändert werden:

 

Koeffizient a0 ... a7 der Polynomfunktion A(x)

Koeffizient b0 ... b7 der Polynomfunktion B(x)

 

Durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen können ausgegeben werden:
 

  • Polynom A(x)

  • Polynom B(x)

  • Produkt der Polynome A(x) · B(x)

  • Quotient der Polynome A(x) / B(x)

  • Restpolynom nach Division der Polynome A(x) / B(x)

  • Summe der Polynome A(x) + B(x)

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung: Markierung und Nummerierung der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Ganzrationale Funktionen

Mathematische Funktionen I

 

Beispiel

 

Aktivieren Sie die Kontrollkästchen Polynom A(x) und Polynom B(x) und deaktivieren Sie alle anderen. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:
 

a7: -2

a6: -2

a5: 3

a4: -1

a3: -1

a2: 2

a1: 2

a0: 1

b7: -1

b6: 0

b5: -1

b4: 2

b3: 0

b2: -2

b1: 4

b0: 2


Das Programm stellt hierauf folgende Polynome (algebraische Gleichungen) dar:

Polynom A(x) = -2·x7-2·x6+3·x5-x4-x3+2·x2+2·x+1

Polynom B(x) = -x7-x5+2·x4-2·x2+4·x+2
 

Nach einer Aktivierung der dafür vorgesehenen Kontrollkästchen werden folgende Funktionsterme ermittelt und die entsprechenden Kurven dargestellt:

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Produkt:
 

Produkt der Polynome A(x) und B(x): f(x) = 2*X^14+2*X^13-X^12-X^11-6*X^10

+9*X^9-7*X^8-23*X^7+12*X^6
+7*X^5-8*X^4+2*X^3+10*X^2
+8*X+2

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Quotient:
 

Quotient der Polynome A(x) und B(x): f(x) = 2

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Rest:
 

Rest bei Division der Polynome A(x) und B(x): f(x) = -2*X^6+5*X^5-4*X^4-X^3+6*X^2+6*X-3

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Summe:
 

Summe der Polynome A(x) und B(x): f(x) = -3*X^7-2*X^6+2*X^5+X^4-X^3+6*X+3

 

Belassen Sie die Kontrollkästchen Polynom A(x) und Polynom B(x) aktiviert und deaktivieren Sie alle anderen. Aktivieren Sie hierauf die Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema sowie Wendep. und fokussieren Sie den Kontrollschalter Polynom A(x) im Formularbereich Kurvendisk. Das Programm führt nun eine Kurvendiskussion mit Polynom A(x) durch und ermittelt für den voreingestellten Untersuchungsbereich -3 x 3:

 

Polynom A(x) besitzt innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs:

 

Nullstellen: N (-1,833 / 0) N (-0,732 / 0) N (1,108 / 0)
Extrempunkt: HP (0,792 / 2,999)    
Wendepunkte: W (-0,399 / 0,523) W (0,466 / 2,253)  

 

Wird hierauf der Kontrollschalter Polynom B(x) im Formularbereich Kurvendisk. aktiviert, so wird eine Kurvendiskussion mit Polynom B(x) innerhalb des voreingestellten Untersuchungsbereichs -3 x 3 durchgeführt. Das Programm gibt aus:

 

Polynom B(x) besitzt innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs:

 

Nullstellen: N (-1 / 0) N (-0,429 / 0) N (1,285 / 0)
Extremstellen: TP (-0,777 / -1,132) HP (0,864 / 4,237)  
Wendepunkt: W (-0,349 / 0,394)    

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Ganzrationale Funktion - Gleichung - Lösen - Nullstellen - Eigenschaften - Punkte - Ableitung - Koeffizienten - Beispiel - Lokale Extrema - Polynom - Polynome - Polynomdivision - Polynommultiplikation - Polynome addieren - Polynome multiplizieren - Polynomfunktion
MathProf - Ganzrationale Funktionen - Gleichung - Lösen - Bestimmen - Eigenschaften - Punkte - Bedingungen - Graph - Beispiel - Lokale Extrema - Nullstellen - Polynom - Polynome - Hochpunkt - Tiefpunkt - Wendepunkt - Polynomdivision - Polynommultiplikation - Polynome addieren - Polynome multiplizieren - Polynomfunktion
MathProf - Ganzrationale Funktion - Ermittlung - Punkte - Extremstellen - Wertetabelle - Punkte - Bedingungen - Graph - Beispiel - Lokale Extrema - Nullstellen - Polynom - Polynome - Hochpunkt - Tiefpunkt - Polynomdivision - Polynommultiplikation - Polynome addieren - Polynome multiplizieren - Polynomfunktion
   

Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Ganzrationale Funktion
Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Extremwert

 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


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Weitere Produkte
  
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PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einfussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik


Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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