MathProf - Implizite Funktion - Implizite Gleichung - Implizit - Gleichung

 

Modul Analyse implizit definierter Gleichungen

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Implizit definierte Funktionen] - Analyse implizit definierter Gleichungen ermöglicht die Darstellung der Lösungsmengen von Gleichungen, welche durch implizit definierte Funktionen beschrieben werden.

 

 
Unter implizit definierten Funktionen werden Funktionen verstanden, welche nicht in der Zuordnungsvorschrift y = f(x) gegeben sind, sondern deren Funktionswerte implizit durch eine Gleichung der Form f(x,y) = 0 definiert sind.
 
Dieses Programmmodul ermöglicht Folgendes:
 

• Darstellung der Lösungsmengen von Gleichungen, welche die Bedingung f(x,y,p) = g(x,y,p) erfüllen
• Darstellung der Lösungsmengen von Gleichungen, welche die Bedingung f(x,y,p) ≤ g(x,y,p) erfüllen
• Darstellung der Lösungsmengen von Gleichungen, welche die Bedingung f(x,y,p) ≥ g(x,y,p) erfüllen
• Darstellung der Lösungsmengen von Gleichungen, deren partielle Ableitungen folgende Bedingungen erfüllen:
   
  fx(x,y,p) = gx(x,y,p)
  fx(x,y,p) ≤ gx(x,y,p)
  fx(x,y,p)  ≥ gx(x,y,p)
   
  fy(x,y,p) = gy(x,y,p)
  fy(x,y,p) ≤ gy(x,y,p)
  fy(x,y,p)  ≥ gy(x,y,p)
   
  fxx(x,y,p) = gxx(x,y,p)
  fxx(x,y,p) ≤ gxx(x,y,p)
  fxx(x,y,p)  ≥ gxx(x,y,p)
   
  fxy(x,y,p) = gxy(x,y,p)
  fxy(x,y,p) ≤ gxy(x,y,p)
  fxy(x,y,p)  ≥ gxy(x,y,p)

Die Definition einer impliziten Funktion kann auf eine der nachfolgenden Arten und Weisen erfolgen:
 
f(x,y,p) = 0
 
oder
 
f(x,y,p) = g(x,y,p)
 
wobei die linksseitig aufgeführte Gleichungsbedingung f(x,y,p) im oberen und die rechtsseitig aufgeführte Gleichungsbedingung 0, bzw. g(x,y,p) im unteren Eingabefeld definiert wird.
   
Die Darstellung der Lösungsmengen implizit definierter Funktionen können Sie sich ausgeben lassen, indem Sie folgendermaßen verfahren:
 

1. Definieren Sie die Terme der implizit definierten Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f(x,y,p) = sowie g(x,y,p) =.
    
2. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von x1 =  und bis x2, =  sowie Von y1 =  und bis y2 =  den rechteckigen Flächenbereich über welchen die Darstellung ausgegeben werden soll.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Per Voreinstellung wird die Untersuchung mit den definierten Funktionen durchgeführt (nicht mit deren partiellen Ableitungen) - Eintrag in Auswahlliste: Fkt. f(x,y) u. g(x,y). Es besteht jedoch die Möglichkeit diese Analysen mit den partiellen Ableitungen der Funktionen durchzuführen.
   
   Wählen Sie in diesem Fall aus der aufklappbaren Auswahlbox den entsprechenden Eintrag. Die verwendeten Bezeichnungskürzel haben folgende Bedeutung:
   
   1. part. Ableitung nach x: fx
   1. part. Ableitung nach y: fy
   2. part. Ableitung nach x: fxx
   2. part. Ableitung nach y: fyy
   2. part. Ableitung nach x und y: fxy
   
   Entsprechendes gilt für Ableitungen der Funktion g(x,y).
    
5. Wählen Sie auf dem Bedienformular, durch die Aktivierung des Kontrollschalters f(x,y,p) <  g(x,y,p), f(x,y,p) > g(x,y,p) oder f(x,y,p) = g(x,y,p) (bei Untersuchung von Ableitungen gelten entsprechende Synonymbezeichnungen) die Art der zu erfüllenden Bedingung aus.
    
6. Legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Auflösung die zu verwendende Auflösung fest. Je höher diese gewählt wird, desto langsamer erfolgt die Darstellungsaktualisierung.
    
7. Um den Untersuchungsbereich (Voreinstellung: -3 £ x £ 3, -3 £ y £ 3) zu verändern, bestehen folgende Möglichkeiten:
   
   Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Verändern Sie die Position eines Fangpunktes mit der Maus. Klicken Sie hierbei mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Fangbereich und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Taste.
    
8. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf den Bedienformularen, welche durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten 
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
• Bereichsmarkierung: Markierung der festgelegten Bereichsbegrenzung ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Darstellung implizit definierter Funktionen
   
Um sich die Lösungsmenge einer Gleichung mit der Bedingung sin(x+2y) ≤ 0 grafisch ausgeben zu lassen, geben Sie in das obere Feld mit der Bezeichnung Term 1: f(x,y,p) = die Zeichenfolge SIN(X+2*Y) und in das darunter angeordnete Feld mit der Bezeichnung Term 2: g(x,y,p) = die Zahl 0 ein.
 
Belassen Sie die Werte im Formularbereich Voreinstellung - Untersuchungsbereich auf den Vorgabeeinstellungen und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen, so wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung zunächst die Lösungsmenge der Gleichung mit der Bedingung f(x,y,p) ≤ g(x,y,p) ausgegeben (da Kontrollschalter f(x,y,p) < g(x,y,p) aktiviert ist) - in diesem Fall somit die Lösungsmenge der Bedingung: sin(x+2y) ≤ 0.
 
Um sich die Lösungsmenge der Bedingung sin(x+2y) ≥ 0 anzeigen zu lassen, aktivieren Sie den Kontrollschalter mit der Bezeichnung f(x,y,p)> g(x,y,p). Die Lösungsmenge (Linienkontur) der Bedingung sin(x+2y) = 0 wird ausgegeben, wenn der Kontrollschalter f(x,y,p) = g(x,y,p) aktiviert wird.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5
 

Grafische Darstellung - Beispiel 6
 

Grafische Darstellung - Beispiel 7
 

Grafische Darstellung - Beispiel 8
 

Grafische Darstellung - Beispiel 9
 

Grafische Darstellung - Beispiel 10

 
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Implizite Funktionen zu finden.

 

 

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Unterprogramm Spline-Interpolation
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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