MathProf - Geradensteigung - Steigung - Steigungsdreieck - Anstieg - Gefälle

Modul Geradensteigung

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Das kleine Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Geradensteigung stellt eine Methode zur Verfügung, um sich das Prinzip der Ermittlung einer Geradengleichung in Steigungsform verständlich zu machen.

 

Die Steigung (der Anstieg) einer Geraden (linearen Funktion) gibt Auskunft darüber, um wie viele Einheiten sich die y-Koordinate eines Punktes auf der Geraden verändert, wenn sich seine x-Koordinate um exakt eine Einheit verändert. Sie wird als Geradensteigung bezeichnet und ist ein Maß für ihre Steilheit. Die Steigung einer Geraden, welche parallel zur x-Achse verläuft, beträgt 0. Die Steigung einer Geraden, welche parallel zur y-Achse verläuft, ist "unendlich". Ein Steigungsdreieck kann an jedem beliebigen Punkt einer Geraden angesetzt werden. Dieses wird von einem auf der Geraden liegenden Punkt P1 ausgehend mit dem Faktor m = Δy / Δx bzw. dy/dx gezeichnet.

Die Definitionsgleichung einer Geradengleichung (linearen Funktion) in Steigungsform lautet:

y = m·x+b

m: Steigung (Anstieg) der Geraden

b: Achsenabschnitt der Geraden
 

Die Steigung m der Geraden wird aus zwei, auf ihr liegenden, Punkten P1 (x1;y1) und P2 (x2;y2) wie folgt ermittelt:

Der zugehörige y-Achsenabschnitt b (Ordinatenabschnitt) besitzt den Ordinatenwert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse.
 

 
Anstieg: Unter dem Begriff Anstieg wird in der Mathematik die Steigung einer Geraden (bzw. eines Funktionsgraphen) in einem kartesischen Koordinatensystem verstanden.

Neigung: Eine Neigung beschreibt in der Mathematik den Verlauf einer Geraden bezüglich der horizontalen Achse oder der Lotachse.

Nachfolgend wird auf die Berechnung eines Anstiegs bzw. eines Gefälles eingegangen. Diese Werte lassen sich durch die im Folgenden gezeigte Vorgehensweise ermitteln.
 
1. Berechnung einer Steigung (eines prozentualen Anstiegs):


Beispiel:

Gegeben seien eine waagerecht verlaufende Strecke a mit der Länge 10 m sowie eine unter rechtem Winkel positionierte, vertikale Höhe (Höhendifferenz) h = 4 m (siehe vorige Abbildung). Es ist der Wert für den prozentualen Anstieg dieser Anordnung zu ermitteln.

Gegeben sind somit:

a = 10 m
h = 4 m

Der Neigungswinkel (bzw. der Anstiegswinkel) kann durch die Nutzung der trigonometrischen Winkelfunktion Tangens sowie derer Umkehrfunktion Arcustangens berechnet werden. Hierbei gilt:

tan α = h/a

Somit beträgt der in diesem Fall vorliegende Neigungswinkel (im Bogenmaß):

α = arctan(h/a) = arctan(4/10) = arctan(0,4) = 0,3805

Ergebnisse:

Die Steigung besitzt demzufolge den Wert 0,3805.
Im Gradmaß beträgt der Steigungswinkel α = 0,3805·180/Pi = 21,8°
Dies entspricht einem prozentualen Anstieg (einer prozentualen Zunahme bzw. einem prozentualen Wachstum) von 40%, da das Verhältnis a/h = 4/10 = 0.4 beträgt.

2. Berechnung eines Gefälles (einer prozentualen Neigung):



Beispiel:

Gegeben seien eine waagerecht verlaufende Strecke a mit der Länge 12 m sowie eine unter rechtem Winkel positionierte, vertikale  Höhe (Höhendifferenz) h = 3 m (siehe vorige Abbildung). Es ist der Wert für das prozentuale Gefälle dieser Anordnung zu ermitteln.

Gegeben sind somit:

a = 12 m
h = 3 m

Der Neigungswinkel (bzw. der Anstiegswinkel) kann durch die Nutzung der trigonometrischen Winkelfunktion Tangens sowie derer Umkehrfunktion Arcustangens berechnet werden. Hierbei gilt:

tan α = h/a

Somit beträgt der in diesem Fall vorliegende Neigungswinkel (im Bogenmaß):

α = arctan(h/a) = arctan(3/12) = arctan(0,25) = 0,245

Ergebnisse:

Das Gefälle (die Hangneigung) besitzt demzufolge den Wert 0,245.
Im Gradmaß beträgt der Steigungswinkel α = 0,245·180/Pi = 14,036°
Dies entspricht einem prozentualen Gefälle (einer prozentualen Abnahme) von 25%, da das Verhältnis (das prozentuale Verhältnis) 3/12 = 0,25 beträgt.
 

 
Als Steigungswinkel (Neigungswinkel) einer Geraden wird derjenige im mathematisch positiven Sinne gemessene Winkel α bezeichnet, den die Gerade mit dem positiven Bereich der Abszisse (x-Achse ) einschließt.

Ein Steigungsdreieck gibt die Steigung m einer Geraden an. Es erteilt Auskunft darüber, wie stark eine Funktion ansteigt bzw. fällt.

Als Achsenabschnitt (Abschnitt) wird der Abstand bezeichnet, der zwischen dem Schnittpunkt der Gerade mit einer der Koordinatenachsen und dem Koordinatenursprung vorliegt.

Prozentualer Anstieg (prozentualer Zuwachs oder prozentuale Zunahme) - Prozentuales Gefälle - Prozentuale Abnahme - Prozentuales Wachstum:

Der prozentuale Anstieg (der prozentuale Zuwachs, die prozentuale Zunahme,der Anstieg in Prozent oder die Geradensteigung) wird errechnet, indem der Anfangswert und Endwert durch den Anfangswert geteilt wird und dieses Ergebnis mit der Zahl 100 multipliziert wird. Bei einem prozentualen Gefälle (einer prozentualen Abnahme) geschieht dies in gleicher Form unter Berücksichtigung, dass in diesem Fall der Anfangswert größer dem Endwert zu sein hat.

Steigung in Prozent: Eine Steigung in Prozent kann berechnet werden, indem die Höhe durch die horizontale Strecke geteilt wird und dieses Ergebnis mit der Zahl 100 multipliziert wird.

Prozentuales Verhältnis: Ein prozentuales Verhältnis wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Grundwert geteilt wird und das Ergebnis hierauf mit der Zahl 100 multipliziert wird.

Steigung (Geradensteigung) in Grad umrechnen: Um aus einer Prozentangabe eine Steigung in Grad zu ermitten, wird der arcustangens des durch 100 geteilten Prozentwerts berechnet.

Eine Steigung (Geradensteigung) von Grad in Prozent umrechnen: Gradangaben können wie nachfolgend gezeigt in Prozentangaben umgerechnet werden: Steigung in Prozent = 100·tan(α), mit α in Grad.

Eine Steigung (Geradensteigung) von Prozent in Grad umrechnen: Prozentangaben können wie nachfolgend gezeigt in Grad umgerechnet werden: α = 360·p/100, mit p in Prozent.

Der Neigungswinkel zwischen einer Hangfläche und der Horizontalen wird als Hangneigung bezeichnet.

Als Abszissenabschnitt ist der Abszissenwert definiert bei dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet.
Als Ordinatenabschnitt ist der Ordinatenwert definiert bei dem der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet.
 

In diesem Modul können durch die Positionierung der entsprechenden Schieberegler die Werte für die Steigung m, wie auch für den Achsenabschnitt b einer Geraden eingestellt werden. Außerdem kann durch die Positionierung des Schiebereglers Verschiebung ein Steigungsdreieck entlang des Geradenverlaufs bewegt werden.

Wird Kontrollschalter Q einblenden aktiviert, so kann durch die Bedienung des Schiebereglers X-Pos. Punkt Q, ein auf der Geraden liegender Punkt Q, entlang des Geradenverlaufs verschoben werden und dessen horizontaler, wie vertikaler Abstand zum Koordinatenursprung abgelesen werden. Der Abszissenwert des Punkts Q wird hierbei durch die Position dieses Schiebereglers bestimmt.

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
• Punkte beschriften: Beschriftung der Punkte des Steigungsdreiecks und des Punktes Q ein-/ausschalten
• Q einblenden: Darstellung eines auf der Gerade positionierbaren Punktes Q, sowie die Ermittlung der Abstände dessen zu den Koordinatenachsen, ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

 

Wurde der Schieberegler Steigung m auf den Wert -1,5 und der Schieberegler Achsenabschnitt b auf den Wert 3 eingestellt, so wird die Gerade mit der Gleichung Y = -1,5·X+3 dargestellt. Wird hierauf die Position des Rollbalkens Verschiebung verändert, so kann u.a. festgestellt werden, dass der Wert der ermittelten Geradensteigung stets konstant bleibt.

Wird die Steigung der Geraden in den Punkten P1 (0,5 / 2,3) und P2 (1,5 / 0,8) ermittelt, so besitzt sie den Wert:

Wird sie hierauf beispielsweise in den Punkten P1 (2,1 / -0,2) und P2 (3,1 / -1,7) ermittelt, so besitzt sie ebenfalls den Wert:

Da der Achsenabschnitt der Geraden mit b = 3 festgelegt wurde, kann die Gleichung der Geraden beschrieben werden mit: Y = -1,5·X+3
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Punkt-Steigungsform zu finden.

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gerade - Punkt

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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