MathProf - Geradensteigung - Steigung - Steigungsdreieck - Anstieg - Gefälle

Fachthema: Steigung einer Geraden
MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik und zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Ein Programm zum Einsatz im Mathematikunterricht sowie für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver grafischer Untersuchungen, um sich das Prinzip der Ermittlung einer Geradengleichung in Steigungsform verständlich zu machen.
In diesem Teil des Programms wird es bei Ausgabe der entsprechenden Grafik unter anderem ermöglicht, die Steigung (den Steigungsfaktor) sowie den y-Achsenabschnitt einer Gerade dieser Form festzulegen und den Steigungswinkel einer Geraden dieser Art berechnen zu lassen.
Auch das entsprechende Steigungsdreieck der definierten linearen Funktion wird dargestellt. Verläuft diese Gerade durch den Koordinatenursprung, so spricht man von einer proportionalen Funktion.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Steigung einer Gerade - Geradensteigung - m - Gerade - Geradengleichung - Steigung - Steigungsform - Vektoren - Anstieg - Steigungswinkel - Definitionsgleichung - Steigungsdreieck - Abschnitt - Achsenabschnitt - Achse - Ordinatenwert - Achsenabschnitt einer Gerade - Anstieg einer Geraden berechnen - Steigungswinkel einer Gerade berechnen - Steigung linearer Funktionen - Steigungsdreieck zeichnen - Steigung bestimmen - Steigungswinkel bestimmen - Steigungen - Verhältnis - Anstieg in Prozent - Anstieg um - Gefälle - Neigung - Prozent - Prozentual - Prozentualer Anstieg - Prozentuale Steigung - Prozentuales Gefälle - Prozentuale Zunahme - Prozentuale Abnahme - Prozentuales Verhältnis - Prozentuales Wachstum - Steigung in Grad - Gefälle berechnen - Grad - Grad in Prozent - Prozent in Grad - Neigungswinkel - Anstiegswinkel - Anstiegsdreieck - Verschiebung einer Gerade - Y-Achsenabschntt bestimmen - Lineare Steigung - Linearer Anstieg - Lineare Abnahme - Lineare Zunahme - Fallend - Steigend - Winkel - Positiv - Negativ - Tangens - Bild - Grafik - Ermitteln - Formel - Graph - Plotter - Bilder - Berechnen - Rechner - Bestimmen - Ermittlung - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Definition - Zeichnen - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Grafische Darstellung - Lineare Funktion berechnen - Höhenunterschied berechnen - Neigung - Hang - Hangneigung - Abszissenabschnitt - Ordinatenabschnitt - Höhendifferenz |
Geradensteigung
Modul Geradensteigung
Das kleine Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Geradensteigung stellt eine Methode zur Verfügung, um sich das Prinzip der Ermittlung einer Geradengleichung in Steigungsform verständlich zu machen.
Die Steigung (der Anstieg) einer Geraden (linearen Funktion) gibt Auskunft darüber, um wie viele Einheiten sich die y-Koordinate eines Punktes auf der Geraden verändert, wenn sich seine x-Koordinate um exakt eine Einheit verändert. Die Steigung einer Geraden, welche parallel zur x-Achse verläuft, beträgt 0. Die Steigung einer Geraden, welche parallel zur y-Achse verläuft, ist "unendlich". Ein Steigungsdreieck kann an jedem beliebigen Punkt einer Geraden angesetzt werden. Dieses wird von einem auf der Geraden liegenden Punkt P1 ausgehend mit dem Faktor m = Δy / Δx bzw. dy/dx gezeichnet.
Die Definitionsgleichung einer Geraden (linearen Funktion) in Steigungsform lautet:
y = m·x+b
m: Steigung (Anstieg) der Geraden
b: Achsenabschnitt der Geraden
Die Steigung m der Geraden wird aus zwei, auf ihr liegenden, Punkten P1 (x1;y1) und P2 (x2;y2) wie folgt ermittelt:
Der zugehörige y-Achsenabschnitt b (Ordinatenabschnitt) besitzt den Ordinatenwert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse.
Anstieg - Gefälle - Neigung - Prozentualer Anstieg - Prozentuales Gefälle
Nachfolgend wird auf die Berechnung eines Anstiegs bzw. eines Gefälles eingegangen. Diese Werte lassen sich durch die im Folgenden gezeigte Vorgehensweise ermitteln.
1. Berechnung einer Steigung (eines prozentualen Anstiegs):
Beispiel:
Gegeben seien eine waagerecht verlaufende Strecke a mit der Länge 10m sowie eine unter rechtem Winkel positionierte, vertikale Höhe (Höhendifferenz) h = 4m (siehe vorige Abbildung). Es ist der Wert für den prozentualen Anstieg dieser Anordnung zu ermitteln.
Gegeben sind somit:
a = 10m
h = 4m
Zu Berechnung des Neigungswinkels bedarf es der Nutzung der trigonometrischen Winkelfunktion Tangens sowie derer Umkehrfunktion Arcustangens. Hierbei gilt:
tan α = h/a
Somit beträgt der in diesem Fall vorliegende Neigungswinkel (im Bogenmaß):
α = arctan(h/a) = arctan(4/10) = arctan(0,4) = 0,3805
Ergebnisse:
Die Steigung besitzt demzufolge den Wert 0,3805.
Im Gradmaß beträgt der Steigungswinkel α = 0,3805·180/Pi = 21,8°
Dies entspricht einem prozentualen Anstieg (einer prozentualen Zunahme bzw. einem prozentualen Wachstum) von 40%, da das Verhältnis a/h = 4/10 = 0.4 beträgt.
2. Berechnung eines Gefälles (einer prozentualen Neigung):
Beispiel:
Gegeben seien eine waagerecht verlaufende Strecke a mit der Länge 12m sowie eine unter rechtem Winkel positionierte, vertikale Höhe (Höhendifferenz) h = 3m (siehe vorige Abbildung). Es ist der Wert für das prozentuale Gefälle dieser Anordnung zu ermitteln.
Gegeben sind somit:
a = 12m
h = 3m
Zu Berechnung des Neigungswinkels bedarf es der Nutzung der trigonometrischen Winkelfunktion Tangens sowie derer Umkehrfunktion Arcustangens. Hierbei gilt:
tan α = h/a
Somit beträgt der in diesem Fall vorliegende Neigungswinkel (im Bogenmaß):
α = arctan(h/a) = arctan(3/12) = arctan(0,25) = 0,245
Ergebnisse:
Das Gefälle (die Hangneigung) besitzt demzufolge den Wert 0,245.
Im Gradmaß beträgt der Steigungswinkel α = 0,245·180/Pi = 14,036°
Dies entspricht einem prozentualen Gefälle (einer prozentualen Abnahme) von 25%, da das Verhältnis (das prozentuale Verhältnis) 3/12 = 0,25 beträgt.
Darstellung
Durch die Positionierung der entsprechenden Schieberegler können sowohl der Wert für die Steigung m, wie auch für den Achsenabschnitt b der Geraden eingestellt werden. Außerdem kann durch die Positionierung des Schiebereglers Verschiebung ein Steigungsdreieck entlang des Geradenverlaufs bewegt werden.
Wird Kontrollschalter Q einblenden aktiviert, so kann durch die Bedienung des Schiebereglers X-Pos. Punkt Q, ein auf der Geraden liegender Punkt Q, entlang des Geradenverlaufs verschoben werden und dessen horizontaler, wie vertikaler Abstand zum Koordinatenursprung abgelesen werden. Der Abszissenwert des Punkts Q wird hierbei durch die Position dieses Schiebereglers bestimmt.
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
- Punkte beschriften: Beschriftung der Punkte des Steigungsdreiecks und des Punktes Q ein-/ausschalten
- Q einblenden: Darstellung eines auf der Gerade positionierbaren Punktes Q, sowie die Ermittlung der Abstände dessen zu den Koordinatenachsen, ein-/ausschalten
- Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Achsenabschnittsform einer Geraden
Punkt-Richtungs-Form einer Geraden
Zwei-Punkte-Form einer Geraden
Hessesche Normalenform einer Geraden
Beispiel
Wurde der Schieberegler Steigung m auf den Wert -1,5 und der Schieberegler Achsenabschnitt b auf den Wert 3 eingestellt, so wird die Gerade mit der Gleichung Y = -1,5·X+3 dargestellt. Wird hierauf die Position des Rollbalkens Verschiebung verändert, so kann u.a. festgestellt werden, dass der Wert der ermittelten Geradensteigung stets konstant bleibt.
Wird die Steigung der Geraden in den Punkten P1 (0,5 / 2,3) und P2 (1,5 / 0,8) ermittelt, so besitzt sie den Wert:
Wird sie hierauf beispielsweise in den Punkten P1 (2,1 / -0,2) und P2 (3,1 / -1,7) ermittelt, so besitzt sie ebenfalls den Wert:
Da der Achsenabschnitt der Geraden mit b = 3 festgelegt wurde, kann die Gleichung der Geraden beschrieben werden mit: Y = -1,5·X+3
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Punkt-Steigungsform zu finden.
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Gerade - Punkt
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
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