MathProf - Satz von Ceva

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Satz von Ceva

 

Das Unterprogramm [Trigonometrie] - Satz von Ceva ermöglicht es, Untersuchungen mit Ceva-Dreiecken durchzuführen.

 

MathProf - Satz von Ceva

 

Satz von Ceva:

 

Schneiden sich in einem Dreieck die drei Ecktransversalen CR, BS und AT in einem Punkt P, dann gilt:

 

BT/CT · CS/AS · AR/BR = 1

 

(Das Produkt dieser Teilverhältnisse ist gleich 1)

Ecktransversalen sind Strecken eines Dreiecks, die von einer Ecke aus, die gegenüberliegende Strecke, oder deren Verlängerung schneiden. (Die Strecken CR, BS und AT sind Ecktransversalen)

Das Dreieck RST, welches aus den Schnittpunkten der Ecktransversalen mit den Seiten des Dreiecks gebildet wird, bezeichnet man als Ceva-Dreieck. Diese Zusammenhänge können in diesem Programmmodul untersucht werden, wenn das Kontrollkästchen Ceva-Dreieck Nr. 1 aktiviert ist. Wird das Kontrollkästchen Ceva-Dreieck Nr. 2 aktiviert, so wird das Ceva-Dreieck RST an den Mittelpunkten der Seiten des Außendreiecks gespiegelt, und das zweite Ceva-Dreieck mit den Eckpunkten U, V und W dargestellt. Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, sich die Umkreise der Ceva-Dreiecke ausgeben zu lassen. Dies kann durch eine Aktivierung der Kontrollkästchen Umkreis 1 bzw. Umkreis 2 veranlasst werden. Die Aktivierung des Kontrollkästchens Abschn. mark. bewirkt eine Hervorhebung der Streckenverhältnisse der Seiten am Ausgangsdreieck.

 


Führen Sie Folgendes durch, um die Eigenschaften des Ausgangsdreiecks, oder die Lage des Punktes P zu verändern:
 

  1. Zur exakten Positionierung der Eckpunkte des Dreiecks klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  2. Sollen die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
     

  3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Ein Ceva-Dreieck existiert nur, wenn sich Punkt P innerhalb der Fläche des Ausgangsdreiecks befindet.

 

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Ceva - Dreieck
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Seiten-MP: Darstellung der Mittelpunkte einzelner Seiten des Ausgangsdreiecks ABC ein-/ausschalten
  • Transvers. durch P: Darstellung der Transversalen durch Punkt P ein-/ausschalten
     
  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte: Darstellung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung der Ceva-Dreiecke ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln

Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte

Allgemeines Dreieck – Interaktiv

 

Beispiel

 

Lassen Sie sich ein Dreieck darstellen, welches durch die Eckpunkte A (-8 / 9), B (-6 / -8) und C (6 / -2) beschrieben wird und positionieren Sie Punkt P auf (-2 / -2), so werden die Streckenabschnitte der Dreiecksseiten wie folgt bemessen:

 

BT = 6,389

CS = 6,677

AR = 11,076

 

CT = 7,028

AS = 11,128

BR = 6,041

 

Hieraus kann entnommen werden, dass gilt:

 

BT·CS·AR = CT·AS·BR

 

denn

 

6,389·6,677·11,076 = 472,45

 

und

 

7,028·11,128·6,041 = 472,45

 

Die Punkte auf den Dreiecksseiten besitzen die Koordinaten:

 

Punkt R (-6,706 / -2)

Punkt S (0,75 / 2,125)

Punkt T (-0,286 / -5,143)

 

Der Kreis, der durch die drei auf seiner Peripherie liegenden Punkte R, S und T beschrieben wird, besitzt folgende Eigenschaften:

 

Mittelpunkt: M (-2,309 / -1,147)

Radius: r1 = 4,479

 

Wird das Kontrollkästchen Ceva-Dreieck Nr. 2 aktiviert, so wird das Ceva-Dreieck DRST an den Mittelpunkten der Seiten des Außendreiecks gespiegelt, und das zweite Ceva-Dreieck mit den Eckpunkten U, V und W dargestellt.

 

Diese Punkte besitzen die Koordinaten:

 

Punkt U (-2,75 / 4,875)

Punkt V (0,286 / -4,857)

Punkt W (-7,294 / 3)

 

Der Kreis, der durch die drei auf seiner Peripherie liegenden Punkte U, V und W beschrieben wird, besitzt folgende Eigenschaften:

 

Mittelpunkt: N (-3,154 / -0,59)

Radius: r2 = 5,48

 

Für die Innenwinkel des Dreiecks ABC wird ausgegeben:

 

Winkel BAC: 45,133°

Winkel ABC: 70,145°

Winkel ACB: 64,722°
 

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