MathProf - Lineare Gleichungssysteme - LGS lösen - Homogenes LGS

MathProf - Mathematik-Software - Lineares Gleichungssystem | Matrix | Lösungen | Addieren

Fachthema: Lineare Gleichungssysteme

MathProf - Algebra - Software für interaktive und technische Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich hierfür interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Lineares Gleichungssystem | Matrix | Lösungen | Addieren

Online-Hilfe
für das Modul zum Lösen linearer Gleichungssysteme höherer Ordnung.

Der in diesem Unterprogramm eingebundene
Rechner bietet die Möglichkeit ein lineares (quadratisches) Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten (Variablen) unter Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens lösen zu lassen. Hierbei kann es sich um ein homogenes Gleichungssystem oder ein inhomogenes Gleichungssystem handeln.

Es kann eine Koeffizentenmatrix bis zum Grad 20 (20 Unbekannte) festgelegt werden, um dieses Lösungsverfahren zum Berechnen der numerischen Lösungen eines Systems dieser Art zu verwenden.

Findet der im Programm implementierte LGS-Rechner keine Lösungsmenge, bzw. besitzt das LGS unendliche viele Lösungen, so wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

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Lineares Gleichungssystem - LGS


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Modul Lineares Gleichungssystem



Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - Lineares Gleichungssystem können die Lösungen eindeutig bestimmter, linearer Gleichungssysteme (LGS) mit bis zu 20 Unbekannten ermittelt werden.

 

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Ein lineares (quadratisches) Gleichungssystem ist dann eindeutig lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen n mit der Anzahl der Variablen n genau übereinstimmt, diese sich nicht widersprechen und nicht linear voneinander abhängig sind.

In diesem Modul können die Lösungen eindeutig bestimmter, linearer Gleichungssysteme (LGS) bis 20. Grades nachfolgend aufgeführter Form ermittelt werden:

a(1,1) · x(1) + ... + a(1,n) · x(n) = b(1)

 

....

 

....

 

....

 

a(n,1) · x(1) + ... + a(n,n) · x(n) = b(n)
 

Grundlegendes

 
Matrixschreibweise - Definition:

In Matrixschreibweise lautet die Darstellung eines linearen Gleichungssystems wie folgt:


MathProf - Matrixschreibweise - Definition - LGS - Koeffizienten - Lineares Gleichungssystem

oder Ax = B.

mit:
a: Koeffizientenmatrix
x: Lösungsvektor
b: Spaltenvektor
 

Sie gestaltet sich beispielsweise bei einem linearen Gleichungssystem vom Grad 3 wie folgt:

MathProf - Lineares Gleichungssystem - LGS - Matrix


Erweiterte Koeffizientenmatrix:

Die erweiterte Koeffizientenmatrix hilft dabei, ein LGS strukturiert darzustellen und schneller lösen können. Ihre Form sieht wie nachfolgend gezeigt aus:


MathProf - Koeffizientenmatrix - Erweiterte Matrix - Erweiterte Koeffizientenmatrix - Lineares Gleichungssystem - LGS

In genau dieser Darstellungsweise sind die entsprechenden Koeffizienten des LGS in diesem Unterprogramm festzulegen.


Anzahl möglicher Lösungen (Lösbarkeit):

Ein LGS kann entweder eine exakte sowie unendlich viele oder keine Lösung besitzen. Es existieren somit drei mögliche Lösungsfälle. Über deren Art erteilen der Rang der Koeffizientenmatrix sowie der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix Auskunft. Dieser entspricht der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren.
 

  • Entspricht der Rang der Koeffizientenmatrix rg(A) nicht dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix rg(A|b), so existiert keine Lösung für das LGS.
  • Eine eindeutige Lösung des LGS existiert, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix rg(A|b) exakt der Anzahl der verwendeten Variablen entspricht, beziehungsweise wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.
  • Unendlich viele Lösungen für das LGS existieren, wenn die Anzahl verwendeter Variablen geringer ist als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix rg(A|b).

Ein lineares Gleichungssystem wird als homogen bezeichnet (homogenes LGS), wenn der Spaltenvektor (die rechte Seite des Systems) lediglich Nullen enthält (b1... bn = 0). Trifft dies nicht zu, so heißt es inhomogen (inhomogenes LGS). Parameter dienen dazu Zahlen zu ersetzen. Sie können beim Lösen eines linearen Gleichungssystems in gleicher Art und Weise wie Zahlen behandelt werden.
 

Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Variablen

 

Zum rechnerischen Lösen (Aufstellen und Bilden) linearer Gleichungssysteme stehen mehrere Verfahren zur Verfügung. Jedes dieser beruht darauf, eine der im System vorhandenen Variablen zu eliminieren und somit lediglich noch zwei lineare Gleichungen mit je einer Variablen lösen zu müssen. Nachfolgend sind drei der meist verwendeten Verfahren aufgeführt.

Einsetzverfahren:

Beim Einsetzungsverfahren (Einsetzverfahren) wird die Methode angewandt, eine Gleichung des Systems nach einer Variablen aufzulösen und hierauf den für diese Variable ermittelten Term in die andere Gleichung einzusetzen. Hierdurch entsteht eine Gleichung mit lediglich einer Variablen.

Gleichsetzungsverfahren:

Beim Gleichsetzungsverfahren (Gleichsetzverfahren) werden beide Gleichungen des Systems nach einer Variablen oder einer einem gemeinsamen Term aufgelöst. Hierauf werden die ermittelten Terme einender gleichgesetzt.

Additionsverfahren:

Beim Additionsverfahren wird durch die Multiplikation jeder der beiden Gleichungen erreicht, dass die Koeffizienten einer der Variablen der beiden Gleichungen unterschiedliche Vorzeichen besitzen. Durch eine Addition der beiden Terme kann hierauf die Variable eliminiert werden.

Anwerkung: In diesem Modul findet keines der drei zuvor aufgeführten Verfahren Anwendung. Vielmehr wird das Gauß-Jordan-Verfahren zur Ermittlung der Lösungen von Gleichungssystemen dieser Art eingesetzt.

 

Beispiele zur Lösung von Gleichungssystemen mit zuvor beschriebenen Verfahren

 

1. Beispiel - Einsetzungsverfahren:

Gegeben seien die beiden nachfolgend gezeigten Gleichungen. Es gilt, die Lösungen des durch sie beschriebenen Gleichungssystems zu ermitteln.

Gleichung I:  10x + 4y = 8
Gleichung II:  2x - 6y = 22

1.Schritt:

Im ersten Schritt erfolgt das Auflösen einer der gegebenen Gleichungen nach einer ihrer Variablen. Im vorliegenden Fall wird hierzu die Gleichung II verwendet. Diese wird durch entsprechendes Umstellen nach der dort vorkommenden Variable y aufgelöst.

aus II:

2x - 6y = 22
-6y - 22 -2x = 0
-6y = 22 - 2x
y = 1/3x - 11/3

2.Schritt:

Hierauf erfolgt das Einsetzen der im ersten Schritt ermittelten Variable y (somit der nach ihr umgestellten Gleichung) in die Gleichung II.

Hierbei wird die in der zweiten Gleichung vorkommende Variable y durch den zuvor ermittelten (in Klammern gesetzten) Term ersetzt.

II eingesetzt in I:

10x + 4y = 8
10x + 4(1/3x - 11/3) = 8
10x +4/3x - 44/3 = 8

Die Bezeichnung dieser neu ermttelten Gleichung lautet nun Gleichung III.

3.Schritt:

Diese Gleichung wird nun mittels der Durchführung der entsprechenden Rechenoperationen nach der gesuchten Variable aufgelöst.

10x +4/3x - 44/3 = 8
34/3x = 68/3
x = 2

4.Schritt:

Das im vorigen Schritt ermittelte Rechenergebnis für die Variable y wird hierauf in die Gleichung III eingesetzt.

y = 1/3x - 11/3
y = 1/3·2 - 11/3
y = -3

Die Ergebnisse lauten somit:

x = 2
y = -3

Es erfolgt das Einsetzen der ermittelten Lösungen x = 2 und y = -3 in die beiden gegebenen Gleichungen.

10x + 4y = 8
10·2 + 4·(-3) = 8

2x - 6y = 22
2·2 - 6·(-3) = 22

Nach Durchführung dieses Schritts kann entnommen werden, dass die errechneten Werte für die Variablen x und y die festgelegten Gleichungsbedingungen erfüllen.

2. Beispiel - Gleichsetzungsverfahren:
 
Das Gleichsetzungsverfahren findet hauptsächlich Anwendung, wenn lediglich die Lösungen eines Systems mit zwei Gleichungen zu ermitteln sind.

Gegeben seien die beiden nachfolgend gezeigten Gleichungen. Es gilt, die Lösungen des durch sie beschriebenen Gleichungssystems zu ermitteln.

Gleichung I:  10x + 4y = 8
Gleichung II:  2x - 6y = 22

Beide Gleichungen werden aufeinanderfolgend nach einer ihrer beiden Variablen aufgelöst. In beiden Fällen ist dies für dieselbe Variable zu anzuwenden.

1. Schritt:

Auflösung der Gleichung I nach Variable y:

10x + 4y = 8
4y = 8 - 10x
y = -5/2x + 2  (Gleichung III)

Auflösung der Gleichung II nach Variable y:

2x - 6y = 22
-6y = 22 -2x
y = 1/3x  - 11/3  (Gleichung IV)

2. Schritt:

Hierauf erfolgt das Gleichsetzen der beiden nach y aufgelösten Gleichungen III und IV.

y = -5/2x + 2  (Gleichung III)
y = 1/3x  - 11/3   (Gleichung IV)

Gleichsetzen:

-5/2x + 2 = 1/3x  - 11/3

Diese Gleichung beinhaltet lediglich noch die Variable x. Es erfolgt das Auflösen dieser.

-5/2x + 2 = 1/3x  - 11/3
-5/2x - 1/3x = -11/3 - 2
-17/6x = -34/6
x = 2

3.Schritt:

Das im vorigen Schritt ermittelte Rechenergebnis für die Variable y wird hierauf in die Gleichung III eingesetzt.

y = 1/3x - 11/3
y = 1/3·2 - 11/3
y = -3

Die Ergebnisse lauten somit:

x = 2
y = -3

Es erfolgt das Einsetzen der ermittelten Lösungen x = 2 und y = -3 in die beiden gegebenen Gleichungen.

10x + 4y = 8
10·2 + 4·(-3) = 8

2x - 6y = 22
2·2 - 6·(-3) = 22

Nach Durchführung dieses Schritts kann entnommen werden, dass die errechneten Werte für die Variablen x und y die festgelegten Gleichungsbedingungen erfüllen.

3. Beispiel - Additionsverfahren:

Bei der Anwendung des Additionsverfahrens gilt es, eine der in beiden Gleichungen vorkommenden Variablen durch eine Addition (Subtraktion) dieser beiden Gleichungen zu eliminieren.

Gegeben seien die beiden nachfolgend gezeigten Gleichungen. Es gilt, die Lösungen des durch sie beschriebenen Gleichungssystems zu ermitteln.
 
Gleichung I:  10x + 4y = 8
Gleichung II:  2x - 6y = 22

1. Schritt:

Es erfolgt das Anordnen der beiden gegebenen Gleichungen und die Multiplikation der Gleichung II mit dem Faktor -5.

10x + 4y = 8
2x - 6y = 22     | ·(-5)

Hieraus resultiert das nachfolgend gezeigte Gleichungssystem:

10x + 4y = 8
10x + 30y = -110  

2. Schritt:

Durch die Addition der beiden nachfolgend gezeigten Terme

10x + 4y = 8
-10x + 30y = -110  
-----------------------
34y = -102

wird die Variable x aus diesem Gleichungssystem eliminiert und es resultiert das Ergebnis:

34y = -102

bzw.

y = -3

3.Schritt:

Das im vorigen Schritt ermittelte Rechenergebnis für die Variable y wird hierauf in eine der beiden gegebenen Gleichungen (z.B. Gleichung I) eingesetzt.

Es erfolgt die Auflösung dieser Gleichung nach Variable x:

10x + 4y = 8
10x + 4·(-3) = 8
10x = 8 + 12
10x = 20
x = 2

Die Ergebnisse lauten somit:

x = 2
y = -3

Es erfolgt das Einsetzen der beiden ermittelten Lösungen x = 2 und y = -3 in die gegebenen Gleichungen.

10x + 4y = 8
10·2 + 4·(-3) = 8

2x - 6y = 22
2·2 - 6·(-3) = 22

Nach Durchführung dieses Schritts kann entnommen werden, dass die errechneten Werte für die Variablen x und y die festgelegten Gleichungsbedingungen erfüllen.

 

Durchführung numerischer Berechnungen mit diesem Modul


Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad (Anzahl Unbekannter) des zu berechnenden Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des LGS festgelegt werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.

Nach der Festlegung der entsprechenden Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die Lösungen des Systems numerisch ermittelt und ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung. Beinhaltet das Gleichungssystem eine Nullzeile, so existiert keine Lösung.

Hinweise:

Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des LGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).

 
Um Berechnungen mit unter- oder überbestimmten Gleichungssystemen durchführen zu lassen, benutzen Sie die Programmmodule Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem bzw. Überbestimmtes lineares Gleichungssystem.

 

Allgemein

 

Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten eines LGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.
 

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Weitere Themenbereiche

 

Gaußscher Algorithmus

Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem

Komplexes Gleichungssystem

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel - Aufgabe 1:

Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit den 3 Unbekannten x1, x2 und x3 ermitteln zu lassen:

-3·x1 - 1·x2 - 4·x3 = 4

3·x1 + 3·x2 + 2·x3 = 0

4·x1 + 3·x2 + 5·x3 = 3

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Festlegung des Grades des LGS auf 3, der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:

 

-3   -1    -4

3     3      2

4     3      5
 

und der Eingabe nachfolgend aufgeführter Koeffizientenwerte in die Tabelle Absolutglieder:

4

0

3

 

ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die reellen Lösungen des LGS mit:

 

x1 = -8,25

x2 = 5,75

x3 = 3,75

Die Lösungsmenge dieses LGS lautet somit L = {(-8,25|5,75|3,75)}

Beispiel - Aufgabe 2:

Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit den 4 Unbekannten x1, x2, x3 und x4 ermitteln zu lassen:

-x4 + 2·x3 - 9·x2 + 8·x1 = 5

-6·x4 + 6·x3 - 4·x2 + 5·x1 = -4

2·x4 + x3 + 7·x2 - 4·x1 = 2
x4 + 3·x3 + 9·x2 - 8·x1 = 6


Nach einer Durchführung der zuvor beschriebenen Vorgehensweise ermttelt das Programm:
 

x1 = 2,095012

x2 = 0,942993
x3 = -0,211401
x4 = 0,413302


Die Lösungsmenge dieses LGS lautet somit L = {(2,095012|0,942993|-0,211401|0,413302)}

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Lineares Gleichungssystem - Unbekannte - LGS berechnen - LGS - Systeme linearer Gleichungen - LGS - Numerisches Verfahren - Lösungsmenge bestimmen - Homogenes LGS - Homogenes lineares Gleichungssystem - Homogenes Gleichungssystem - Lineare Gleichungen - Numerisches Verfahren - Lösungen linearer Gleichungssysteme - Rechner - Berechnen
Beispiel 1 - LGS mit 3 Unbekannten

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Beispiel 2 - LGS mit 5 Unbekannten

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Beispiel 3 - LGS mit 2 Unbekannten

       

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Lineares Gleichungssystem zu finden. 

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

Screenshots weiterer Module von MathProf


Gaußscher Algorithmus - Gauß - Algorithmus - Verfahren - Methode - Gleichsetzungsverfahren - Koeffizientenmatrix - Gaußsches Eliminationsverfahren - Gaußsche Elimination - Additionsverfahren - Gauß Jordan Verfahren - Gauß Jordan Algorithmus - Gauß Jordan - Gaußsches Verfahren - Lösen - Rechner - Berechnen - Berechnung
MathProf 5.0 - Unterprogramm Gaußscher Algorithmus



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0