MathProf - Lineare Gleichungssysteme - LGS lösen - Homogenes LGS

MathProf - Mathematik-Software - Lineares Gleichungssystem | Matrix | Lösungen | Addieren

Fachthema: Lineare Gleichungssysteme

MathProf - Algebra - Software für interaktive und technische Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich hierfür interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Lineares Gleichungssystem | Matrix | Lösungen | Addieren

Online-Hilfe
für das Modul zum Lösen linearer Gleichungssysteme höherer Ordnung.

Der in diesem Unterprogramm eingebundene
Rechner bietet die Möglichkeit ein lineares (quadratisches) Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten (Variablen) unter Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens lösen zu lassen. Hierbei kann es sich um ein homogenes Gleichungssystem oder ein inhomogenes Gleichungssystem handeln.

Es kann eine Koeffizentenmatrix bis zum Grad 20 (20 Unbekannte) festgelegt werden, um dieses Lösungsverfahren zum Berechnen der numerischen Lösungen eines Systems dieser Art zu verwenden.

Findet der im Programm implementierte LGS-Rechner keine Lösungsmenge, bzw. besitzt das LGS unendliche viele Lösungen, so wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

LGS - Lineares Gleichungssystem - Lineare Gleichungssysteme - Lösen - Lösung - Methoden - Koeffizentenmatrix - Lösungsverfahren - Lösungen von Gleichungssystemen - LGS lösen - Gleichungssystem lösen - Homogene Gleichungssysteme -  Gauß-Verfahren - Lösungen eines LGS - Homogenes LGS - Lineares System - LGS berechnen - Systeme linearer Gleichungen - Rechner zum Lösen linearer Gleichungssysteme - Rechner für LGS - Numerisches Verfahren zum Berechnen der Lösungen linearer Gleichungssysteme - Rechner für lineare Gleichungssysteme - Lösungsmenge bestimmen - Lineare Gleichungssysteme mit 3 bis 20 Unbekannten - Homogenes LGS - Homogenes lineares Gleichungssystem - Homogenes Gleichungssystem - Lineare Gleichungen - Numerisches Verfahren - Lösungen linearer Gleichungssysteme - Lösungen für Systeme mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten - Variablen - Koeffizienten - Quadratisches Gleichungssystem lösen - Quadratisches LGS - Quadratisches Gleichungssystem - Drei Variablen - Vier Variablen - Keine Lösung - Rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme - Zwei Unbekannte - Drei Unbekannte - Vier Unbekannte - 5 Unbekannte - Gleichungssystem mit 4 Unbekannten - 2 Gleichungen und 2 Unbekannte - 3 Gleichungen und 3 Unbekannte - 4 Gleichungen und 4 Unbekannte - 5 Gleichungen und 5 Unbekannte - 6 Gleichungen und 6 Unbekannte - Gleichungen mit mehreren Variablen lösen - Gleichungen mit mehreren Unbekannten lösen - Lösbare Gleichungssysteme - Unbestimmtes Gleichungssystem - Unendlich viele Lösungen - Lösbarkeit - Lösbarkeit von Gleichungssystemen - Berechnen - Rechner - Solver - Unbekannte - Beispiel - Bestimmen - Lösungsmenge - LGS Solver - LGS berechnen - LGS numerisch lösen - LGS rechnersich lösen - Verfahren - Lösungen - Formel - Nullzeile - Unbekannte - Eigenschaften - Matrixschreibweise - Matrizenschreibweise - Solver für lineare Gleichungssysteme - Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme - Numerische Lösung - System - Lgs mit 2 Variablen - LGS mit 3 Variablen - LGS mit 3 Unbekannten - LGS mit 4 Unbekannten - Lösungen für Systeme mit 20 Gleichungen und 20 Unbekannten - Systeme linearer Gleichungen

  
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Lineares Gleichungssystem


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Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - Lineares Gleichungssystem können die Lösungen eindeutig bestimmter, linearer Gleichungssysteme (LGS) mit bis zu 20 Unbekannten ermittelt werden.

 

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Ein lineares Gleichungssystem ist dann eindeutig lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen n mit der Anzahl der Variablen n genau übereinstimmt, diese sich nicht widersprechen und nicht linear voneinander abhängig sind.

In diesem Modul können die Lösungen eindeutig bestimmter, linearer Gleichungssysteme (LGS) bis 20. Grades nachfolgend aufgeführter Form ermittelt werden:

a(1,1) · x(1) + ... + a(1,n) · x(n) = b(1)

 

....

 

....

 

....

 

a(n,1) · x(1) + ... + a(n,n) · x(n) = b(n)

Die Matrixschreibweise eines linearen Gleichungssystems (der Koeffizientenmatrix) vom Grad 3 lautet beispielsweise:

MathProf - Lineares Gleichungssystem - LGS - Matrix

 

Hinweis:

Um Berechnungen mit unter- oder überbestimmten Gleichungssystemen durchführen zu lassen, benutzen Sie die Programmmodule Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem bzw. Überbestimmtes lineares Gleichungssystem.

 

Berechnung


Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad (Anzahl Unbekannter) des zu berechnenden Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des LGS festgelegt werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.

Nach der Festlegung der entsprechenden Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die Lösungen des Systems ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung. Beinhaltet das Gleichungssystem eine Nullzeile, so existiert keine Lösung.

Hinweis:

Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des LGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).

 

Allgemein

 

Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten eines LGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Weitere Themenbereiche

 

Gaußscher Algorithmus

Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem

Komplexes Gleichungssystem

 

Beispiel


Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit den 3 Unbekannten x1, x2 und x3 ermitteln zu lassen:

-3·x1 - 1·x2 - 4·x3 = 4

3·x1 + 3·x2 + 2·x3 = 0

4·x1 + 3·x2 + 5·x3 = 3

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Festlegung des Grades des LGS auf 3, der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:

 

-3   -1    -4

3     3      2

4     3      5
 

und der Eingabe nachfolgend aufgeführter Koeffizientenwerte in die Tabelle Absolutglieder:

4

0

3

 

ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die reellen Lösungen des LGS mit:

 

x1 = -8,25

x2 = 5,75

x3 = 3,75

Die Lösungsmenge dieses LGS lautet somit L = {(-8,25|5,75|3,75)}
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Lineares Gleichungssystem zu finden. 

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0