MathProf - Funktion - Mathematische Ausdrücke - Terme - Syntax

Themen: Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen zur Durchführung von Berechnungen sowie zur Ausgabe grafischer Darstellungen - Eigenschaften wichtiger und trigonometrischer Funktionen

MathProf - Ein Programm zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für angewandte Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
zu Syntaxregeln, welche zur Definition der Terme
mathematischer Funktionen, mathematischer Operatoren, mathematischer Zeichen, Variablen und mathematischer Konstanten in MathProf 5.0 gelten.

Nachfolgend aufgeführt finden Sie eine Übersicht der mathematischen Funktionen, welche in diesem Programm Verwendung finden können. Zudem werden Konstanten, Parameter und Operatoren sowie hierfür geltende Syntaxregeln, welche zur Definition von Funktionstermen verwendbar sind, aufgeführt. Sie haben Gültigkeit in allen hierfür relevanten Unterprogrammen.

Unter Anwendung dieser können sowohl Terme in Modulen zur Durchführung numerischer Berechnungen, wie auch in Programmteilen zur Darstellung zweidimensionaler oder dreidimensionalen Grafiken bzw. zum Plotten der Graphen von Funktionen definiert werden.

Bei korrekter Definition werden die entsprechenden Symbole und Funktionsterme vom Rechner in Fließkommazahlen gewandelt und zur Ermittlung relevanter interner Berechnungsergebnisse sowie zur Ausgabe grafischer Darstellungen verwendet.

 

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Themen und Stichworte I: Mathematische Ausdrücke - Funktionsrechner - Terme - Funktion - Regeln - Funktionsterme - Werte - Variablen - Parameter - Trigonometrische Funktionen - Hyperbelfunktionen - Logarithmusfunktionen - Wurzelfunktionen - Elementare Funktionen - Übersicht - Eingabe - Operatoren - Operationen - Mathematische Operationen - Mathematische Operatoren - Logische Operatoren - Mathematische Konstanten - Regeln zur Definition von Funktionen - Syntax - Mathematische Zeichen - Vorzeichen - Formelzeichen - Exponenten - Klammern - Klammerregeln - Definieren von Funktionstermen - Definierbar - Definieren - Trigonometrische Funktionen - Inverse trigonometrische Funktionen - Inverse Winkelfunktionen - Hyperbelfunktion - Fakultät berechnen - Betrag einer Zahl - Positive Zahlen - Potenzen - Negative Zahlen - Winkelfunktionen - Zum Quadrat - Wurzel - Quadratwurzel - Kubikwurzel - Dritte Wurzel - Kubische Wurzel - Vierte Wurzel - n-te Wurzel - Wurzelexponent - Trigonometrische Umkehrfunktionen - Gaußsches Fehlerintegral - Arcusfunktionen - Hyperbolische Funktionen - Areafunktionen - Sinus - Kosinus - Tangens - Cotangens - Logarithmus - Tangensfunktion - Cotangensfunktion - Sinusfunktion - Cosinusfunktion - Arcustangensfunktion - Arcussinusfunktion - Inverser Tangens - Inverser Sinus - Inverser Cosinus - Kehrwertfunktion - Tangens hyperbolicus - Sinus hyperbolicus - Cosinus hyperbolicus - Arcussinus - Arcuscosinus - Arcustangens - Sekans - Cosekans - Secans hyperbolicus - Cosekans hyperbolicus - Cotangens hyperbolicus - Arcussinus hyperbolicus - Arcuscosinus hyperbolicus - Arcustangens hyperbolicus - Arcuscotangens hyperbolicus - Areasinus hyperbolicus - Areatangens hyperbolicus - Inverse hyperbolische Funktionen - Inverse Funktionen - Inverse trigonometrische Funktionen - Hyperbolischer Tangens - Hyperbolischer Sinus - Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen - Allgemeine Logarithmusfunktion - Logarithmen - Logarithmus naturalis - Natürlicher Logarithmus - Logarithmus lg - Logarithmus ln - Logarithmus zur Basis 2 - Logarithmus zur Basis 10 - Logarithmus zu beliebiger Basis - Log zur Basis 2 - Log zur Basis 10 - Logarithmus dualis - Dekadischer Logarithmus - Zweierlogarithmus - Zehnerlogarithmus - Cosinus-Integral - Exponential-Integral - Logarithmisches Integral - Sinus-Integral - n-te Potenz - n-te Wurzel - Funktionsdefinition - Typen - Funktionstypen - Error function - Fehlerfunktion - Erf - Fresnel-Sinus - Fresnel-Cosinus - Gamma-Funktion - Psi-Funktion - Hyperbolisch - Winkelfunktionswerte - Absolute Werte - Absoluter Wert - * - - + - / - ^ - Hoch - tan^-1 - sin^-1 - cos^-1 - Sinh - Cosh - Tanh - Coth - Arcsin - Arccos - Arctan - Arccot - Ln - Ld - Log - Log base - Sin - Cos - Tan - Abs - Cot - Arcsinh - Arccosh - Arctanh - Arccoth - Arcsec - Arccsc - Sech - Csch - Arcsech - Exp2 - Exp10 - Abs - Sqrt - Sqr - Frac - Int - LnFac - X - Y - pi - pi/2 - pi/3 - pi/4 - pi/6 - pi - 0 - 1 - 0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,4 - 0,5 - 0,6 - 0,7 - 0,8 - 0,9 - Konstante e - Eulersche Zahl - E Zahl - Vorzeichenfunktion - Spezielle Funktionen - Ceil-Funktion - Signumsfunktion - Floor-Funktion - Sgn-Funktion - Sec-Funktion - Csc-Funktion - Degtorad - Radtodeg - Unbekannte - Definitionsbereich - Wertebereich - Wertemenge - Symmetrie - Eigenschaften - Boolesche Variable - If-Funktion - Abhängige Variable - Unabhängige Variable

  

Themen und Stichworte II: Gammafunktion - Psi-Funktion - Error-Funktion - Ln-Funktion - Lg-Funktion - Exp-Funktion - Logbase-Funktion - Exp2-Funktion - Exp10-Funktion - Arctan2 - Grundfunktionen - Int - Integer - Max-Funktion - Min-Funktion - Trunc - Truncate - Clamp-Funktion - Sprungfunktion - Heavyside-Funktion - Fresnel-Integral - Fresnelsche Integrale - Integrallogarithmus - Fakultät - Ableiten - Ableitung - Rechner - Übersicht - Algebraische Terme - Quadratische Terme - Wurzelterm - Vorzeichenfunktion - Absolutbetrag - Absolutwerte - Beträge - Absolutwert - Basisfunktionen - Funktionsterm - Funktionsterme - Bruchterm - Wachstumsfunktion - Zahlen - Hoch - Hochzahlen - Maximalwert - Mininmalwert - Betrag einer Zahl - Signum - Signumfunktion - Betragsfunktion - Potenzfunktion - Negative Exponenten - Negative Hochzahlen - Negative Potenz - Vergleichszeichen - Integerfunktion - Aufrundungsfunktion - Abrundungsfunktion - Gaußklammerfunktion - Zufallsfunktion - Zufallsvariable - Random - Randomizer - Natürliche Exponentialfunktion - Absolute Zahlen - Absoluter Betrag - Absolutbetrag - Absolutbeträge - Absoluter Wert - Runden - Vorzeichen - Absolute Werte - Power-Funktion - Konstanten - Negation - Negierung - Integralsinus - Integralcosinus - Integralexponentialfunktion - Fehlerintegral - Signum - Min - Max - Minimum - Maximum - Minimalwert - Maximalwert - Maximum zweier Zahlen - Minimum zweier Zahlen - Gaußsche Fehlerfunktion - Mathematische Abkürzungen - Ausdrücke - Bedingungen - Anweisungen - Kriterien - Mathematische Zeichen - Natürliche Logarithmusfunktion - Potenzfunktionen mit negativer Basis - Mathematische Operatoren - Mathematische Symbole - Mathematische Bedingungen - Darstellungsformen - Darstellungsarten - Darstellungsformen von Funktionen - Kommazahlen - Rechenzeichen - Term berechnen - Berechnen - Erklärung - Beschreibung - Definition - Darstellung - Plotter - Plot - Darstellen - Plotten - Graph - Argumente von Funktionen - Terme addieren - Terme subtrahieren - Terme multiplizieren - Terme dividieren - Terme potenzieren - Boolesche Ausdrücke - Größer als - Kleiner als - Berechnung - Gleitkommawerte - Fließkommawerte - Sonderfunktionen - Addieren - Subtrahieren - Dividieren - Multiplizieren - Potenzieren - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Plus - Minus - Geteilt - Durch - Mal - Wenn - Dann - Sonst - Iff - Rechenoperationen - Fallunterscheidungen - Treppenfunktion - Beträge - Betragsungleichungen - Betragsstriche - Betragszeichen - Betragsquadrat - Verschachtelte Funktionen - Größer als-Zeichen - Kleiner als-Zeichen - Vergleichsoperatoren - Produktzeichen - Operationszeichen - Relationszeichen - Zeichen - Buchstaben - Erklärung - Beschreibung - Klammer - Klammern - Klammerzeichen - Operand - Operanden - Zahlzeichen - Negativer Exponent - Operator - Operatoren der Mathematik - Merkmale - Festkommadarstellung - Festkommazahl - Gleitkommadarstellung - Gleitkommazahl - Exponentialschreibweise - Exponentialdarstellung - Dezimaldarstellung - Dezimalschreibweise - Exponentialformat - Format - Notation - Stellenzahl - Beziehungen - Umrechnen - Mathematische Schreibweise - Schreibweise - Wissenschaftliche Schreibweise - Formel von Moivre - Arkusfunktionen - Arkuskosinus - Arkussinus - Arkustangens - Arkuskotangens - Arkussekans - Arkuskosekans - Umrechnung - Funktionseigenschaften

 

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu MathProf 5.0, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend aufgeführte Zeichen und Symbole sind in Unterprogrammen verwendbar, welche die Definition von Funktionstermen erfordern. Diese können sowohl zur Durchführung von Berechnungen wie auch zur Darstellung von zweidimensionalen und dreidimensionalen funktionalen Zusammenhängen mit Hilfe von Funktionen in expliziter Form, in Parameterdarstellung sowie in Polarform verwendet werden.

Verwendung von IF und IFF - Anweisungen und logischen Verknüpfungen - Boolesche Variablen

Operatoren und logische Verknüpfungen bei Verwendung von IF oder IFF-Anweisungen:

Eine IF-Anweisung führt eine Wenn-Dann-Anweisung (if then) aus. Wird die gestellte Bedingung erfüllt, so wird die Anweisung abgearbeitet, ansonsten wird nichts ausgegeben, bzw. dargestellt.

Eine IFF-Anweisung führt eine Wenn-Dann-Sonst-Anweisung (if then else) aus. Wird die gestellte Bedingung erfüllt, so wird die Dann-Anweisung abgearbeitet, andernfalls wird die Sonst-Anweisung abgearbeitet.

Deklarationsformen:

IF(Bedingung;Dann-Anweisung)

IFF(Bedingung;Dann-Anweisung;Sonst-Anweisung)

Als Separatoren zwischen Bedingung und Anweisung(en) werden Semikola verwendet.

Bedingungsanweisungen (und somit auch Operatoren) werden vor dem ersten Semikolon innerhalb des IF- bzw. IFF-Befehls definiert. Dann-Anweisungen werden zwischen dem ersten und dem zweiten Semikolon, und Sonst-Anweisungen (bei IFF-Bedingung) nach dem zweiten Semikolon zugewiesen.

Bedingungsanweisungen müssen vor dem ersten Semikolon stets Vergleichsoperatoren (<,>,=,>=,<=,<>) und/oder das Verknüpfungssymbol & beinhalten. Vergleichsoperatoren und Verknüpfungssymbole müssen sich logischerweise stets vor dem ersten Semikolon (bei der Bedingungsdefinition) und nicht dahinter befinden.

Hinweise:

Das Programm prüft die verwendete Deklaration (Syntax) vor Durchführung einer Berechnung bzw. Ausgabe einer grafischen Darstellung in diesem Fall nur bedingt. Es gilt daher auf die korrekte Benutzung dieser Anweisungen selbst zu achten. Die o.a. Vergleichsoperatoren (<,>,=,>=,<=,<>) sowie das Symbol & (AND) für die logische UND-Verknüpfung sind stets nur im ersten Teil (vor dem ersten Semikolon - also zur Definition der Bedingungsanweisung) innerhalb einer IF- oder IFF-Anweisung zu verwenden. Wird dies nicht befolgt, so erhalten Sie eine Fehlermeldung oder es erfolgt eine mit Sicherheit nicht ohne Weiteres nachvollziehbare Darstellung oder numerische Auswertung. Außerhalb der Klammerung von IF- oder IFF-Anweisungen ist eine Verwendung der o.a. Zeichensymbole grundsätzlich zu unterlassen!

Mit Hilfe der zuvor aufgeführten Operatoren können auch Betragsungleichungen definiert werden.

Wichtige Hinweise

•  

  X^(0,5)

  SQRT(X)

  X^(1/2)

  WURZEL(X)
   

• Als Dezimaltrennzeichen werden Komma oder Punkt akzeptiert
   

• Die Berechnung der Werte trigonometrischer Funktionen erfolgt in allen Unterprogrammen stets im Bogenmaß!
   

• Die Verwendung der Zeichenfolge E^X bewirkt dasselbe wie die Nutzung der Zeichenfolge EXP(X)
   

• Bei Funktionen die einen ganzzahligen Parameterwert n verlangen, wie z.B. FAC(n), LNFAC(n), darf der entsprechende ganzzahlige Wert n nicht durch die Ausführung einer Operation zugewiesen werden. D.h., um der Funktion FAC beispielsweise den ganzzahligen Wert 6 zuzuweisen, ist alleine die Ziffer 6 zwischen den Klammern einzubinden -> FAC(6). Wird die Anweisung FAC(2*3) definiert, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da der Operator * verwendet wurde. Auch die Übergabe eines Gleitkommawerts, oder des Symbols P (zur Durchführung von Simulationen) wird für Funktionsparameter und Konstanten, die ganzzahlige Werte erforderlich machen, nicht akzeptiert.

Häufige Ursachen fehlerhafter Funktionsdeklaration

• Nicht jede geöffnete Klammer wurde wieder geschlossen.
  Die Anzahl sich öffnender Klammerzeichen in einem Funktionsterm, muss der Anzahl schließender Klammerzeichen entsprechen.
   

• Fehlerhafte Klammerung der Symbolzeichen von Standardfunktionen.
  Beispiel:
  Falsch: COS X      Richtig: COS(X)
   

• Multiplikationszeichen wurden nicht verwendet.
  Beispiel:
  Falsch: 2X             Richtig: 2*X
  Falsch: SIN(4X)      Richtig: SIN(4*X)
   

• Fehlerhafte Verwendung von Potenzzeichen.

  Beispiel:
  Falsch X²        Richtig: X^2
   

• Fehlerhafte Klammerung von Exponenten.
  Beispiel:
  Soll der Term ³√X² definiert werden, so ist einzugeben: X^(2/3). Falsch hingegen wäre die Eingabe des Terms X^2/3, denn dieser wird interpretiert mit 1/3·X².
   

Anmerkungen

• Im Unterprogramm Mathematische Funktionen I steht eine Beispiel-Formelbibliothek zur Verfügung, die es ermöglicht sich die geltenden Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen verständlich zu machen. Aufgerufen werden kann diese unter dem Menüpunkt Beispiele I - Beispiel - Funktionsbibliothek laden.
   

• Möchten Sie Konstanten benutzen, so weisen Sie den Konstanten C1-C5 die entsprechenden Werte unter dem Menüpunkt Datei - Globale Optionen auf dem Hauptformular des Programms zu. Voreingestellt sind für alle Konstanten die Werte 0 (Näheres hierzu siehe Globale Optionen - Registerblatt Konstanten).
   

• Enthält die Deklaration eines Funktionsterms Leerzeichen, so werden diese bei Aufruf eines Befehls automatisch eliminiert.
   

Elementare Funktionen

Festkommadarstellung - Gleitkommadarstellung - Festkommazahlen - Gleitkommazahlen

Exponentialschreibweise - Exponentialdarstellung - Dezimaldarstellung - Dezimalschreibweise - Wissenschaftliche Schreibweise - Format

Abhängige Variable - Unabhängige Variable

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sin(x)  |  Funktion f(x) = cos(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = tan(x)  |  Funktion f(x) = cot(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arcsin(x)  |  Funktion f(x) = arccos(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arctan(x)  |  Funktion f(x) = arccot(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sinh(x)  |  Funktion f(x) = cosh(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = tanh(x)  |  Funktion f(x) = coth(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arsinh(x)  |  Funktion f(x) = arcosh(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = artanh(x)  |  Funktion f(x) = arcoth(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sec(x)  |  Funktion f(x) = csc(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arcsec(x)  |  Funktion f(x) = arccsc(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sech(x)  |  Funktion f(x) = csch(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arcsech(x)  |  Funktion f(x) = arccsch(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) =arctan2(2,x)  |  Funktion f(x) = ln(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = ld(x)  |  Funktion f(x) = log(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = logbase(3;x)  |  Funktion f(x) = exp(x)
    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = exp2(x)  |  Funktion f(x) = exp10(x)

    
Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = abs(x)  |  Funktion f(x) = sqrt(x)
    
   Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sqr(x)  |  Funktion f(x) = int(x)
  

Screenshots von Wertetabellen

 

    
 

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen - Funktionseigenschaften - Übersicht

 

In den nachfolgend gezeigten Tabellen sind wesentliche Eigenschaften wichtiger trigonometrischer Funktionen aufgeführt. Unter Wertemenge (Wertebereich) wird die Menge aller möglichen Werte verstanden, welche die entsprechende Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs annehmen kann.

Als Arkusfunktionen werden Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen bezeichnet. Diese sind auf bestimmte Intervalle beschränkt. Aereafunktionen sind streng monoton wachsende und umkehrbare Funktionen. Sie sind Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Hyperbelfunktionen sind nicht umkehrbar. Sie lassen sich unter Verwendung der Exponentialfunktionen e^x und e^-x beschreiben.
 
Eigenschaften von Sinusfunktionen und Cosinusfunktionen:
  

	y = sin(x)	y = cos(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Periode	2π	2π
Symmetrie	ungerade	gerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Relative Maxima	xk = π/2 + k·2π	xk = k·2π
Relative Minima	xk = 3π/2 + k·2π	xk = π + k·2π

 

Eigenschaften von Tangensfunktionen und Cotangensfunktionen:
 

	y = tan(x)	y = cot(x)
Definitionsbereich	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = π/2 + k·π	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = k·π
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Periode	π	π
Symmetrie	ungerade	ungerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Pole	xk = π/2 + k·π	xk = k·π
Vertikale Asymptoten	x = π/2 + k·π	x = k·π

 

Eigenschaften von Arkussinusfunktionen und Arkuscosinusfunktionen:
 

	y = arcsin(x)	y = arccos(x)
Definitionsbereich	-1 ≤ x ≤ 1	-1 ≤ x ≤ 1
Wertebereich / Wertemenge	-π/2 ≤ y ≤ π/2	0 ≤ y ≤ π
Periode	π	π
Symmetrie	ungerade	-
Nullstellen	x1 = 0	x1 = 1
Monotonie	streng monoton wachsend	streng monoton fallend

Eigenschaften von Arkustangensfunktionen und Arkuscotangensfunktionen:
 

	y = arctan(x)	y = arccot(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	-π/2 ≤ y ≤ π/2	0 ≤ y ≤ π
Symmetrie	ungerade	-
Asymptoten	y = ± π	y = 0; y = π
Monotonie	streng monoton wachsend	streng monoton fallend

Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen sinh(x) und cosh(x):
 

	y = sinh(x)	y = cosh(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞	1 ≤ y < ∞
Symmetrie	ungerade	gerade
Nullstellen	x1 = 0	-
Extremwerte	-	x1 = 0 (Minimum)
Monotonie	streng monoton wachsend	-

Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen tanh(x) und coth(x):

 

	y = tanh(x)	y = coth(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	|x| > 0
Wertebereich / Wertemenge	-1 < y < 1	|y| > 1
Symmetrie	ungerade	ungerade
Pole	-	x1 = 0
Asymptoten	y = ±1	x = 0 ; y = ±1
Monotonie	streng monoton wachsend	-

Eigenschaften der Areafunktionen arsinh(x) und arcosh(x):
 

	y = arsinh(x)	y = arcosh(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	x ≥ 1
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞	y ≥ 0
Symmetrie	ungerade	-
Nullstellen	x1 = 0	x1 = 1
Monotonie	streng monoton wachsend	streng monoton wachsend

Eigenschaften der Areafunktionen artanh(x) und arcoth(x):
 

	y = artanh(x)	y = arcoth(x)
Definitionsbereich	-1 < x < 1	|x| ≥ 1
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞	|y| ≥ 0
Symmetrie	ungerade	ungerade
Nullstellen	x1/2 = ±1	-
Monotonie	streng monoton wachsend	-
Asymptoten	x = ±1	x = ±1 ; y = 0

 

    

Beziehungen zwischen Arkusfunktionen

 

Im Weiteren sind einige wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen aufgeführt.

 
arctan x + arccos x = π/2
arcsin x = arctan (x/√1 - x²)
arccos x = arccot (x/√1 - x²)
arctan x + arccot x = π/2
arctan x = arcsin (x/√1 + x²)
arccot x = arccos (x/√1 + x²)
arccot x + arctan (1/x) für x > 0
arccot x + arctan (1/x) + π für x < 0

sin (arccos x) = √1 - x²
cos (arcsin x) = √1 - x²
tan (arcsin x) = x/√1 - x²
sin (arctan x) = x/√1 + x²
cos(arctan x) = x/√1 + x²
tan (arccos x) = √1 - x²/x
 
arcsin (-x) = -arcsin (x)
arctan (-x) = -arctan (x)
arccos (-x) = π - arccos (x)
arccot (-x) = π - arccot (x)

arccot x = π/2 - arctan x
 

Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus aufgeführt.

 

	sinh x	cosh x
sinh x	-	± √cosh² x - 1
cosh x	√sinh² x + 1	-
tanh x	sinh(x)/√sinh² x + 1	± √cosh² x - 1/cosh(x)
coth x	√sinh² x + 1/sinh(x)	± cosh(x)/√cosh² x - 1

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus aufgeführt.

 

	tanh x	coth x
sinh x	tanh(x)/√1- tanh² x	± 1/√coth² x - 1
cosh x	1/√1- tanh² x	coth(x)/√coth² x -1
tanh x	-	1/coth(x)
coth x	1/tanh(x)	-

 

Zusammenhänge zwischen Hyperbelfunktionen

 

Im Weiteren sind einige elemantare Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen aufgeführt.

 
cosh² x - sinh² x = 1
tanh x = sinh(x) / cosh(x)
coth x = cosh(x) / sinh(x) = 1/tanh(x)
    

Hyperbelfunktionen - Definition - Additionstheoreme - Doppelte Winkel - Potenzen - Summen - Differenzen - Produkte - Formeln

Definition von Hyperbelfunktionen:

sinh(x) = (e^x - e^-x)/2
cosh(x) = (e^x + e^-x)/2
tanh(x) = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)
coth(x) = (e^x + e^-x)/(e^x - e^-x)

Additionstheoreme hyperbolischer Funktionen:

sinh(x₁ ± x₂) = sinh x₁· cosh x₂ ± cosh x₁· sinh x₂
cosh(x₁ ± x₂) = cosh x₁· cosh x₂ ± sinh x₁· sinh x₂
tanh(x₁ ± x₂) =  (tanh x₁ ± tanh x₂)/(1 ± tanh x₁ · tanh x₂)
coth(x₁ ± x₂) =  (1 ± coth x₁ · coth x₂)/(coth x₁ ± coth x₂)
 

Formeln für doppelte Argumente von hyperbolischen Funktionen:

 
sinh(2x) = 2 · sinh(x) · cosh(x)
sinh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2 · cosh²(x) - 1
tanh(2x) = 2 · tanh(x) / (1 + tanh²(x))

 

Formeln für dreifache Argumente von hyperbolischen Funktionen:

 
sinh(2x) = 3 · sinh(x) + 4 · sinh³(x)
cosh(3x) = 4 · cosh³(x) - 3 · cosh(x)
tanh(3x) = ( 3 · tanh(x) + 3 · tanh³(x) ) / ( 1+ 3 · tanh²(x) )

Formeln für Potenzen von hyperbolischen Funktionen:

sinh²(x) = 1/2 [cosh(2x) - 1]
sinh³(x) = 1/4 [sinh(3x) - 3 · sinh(x)]
sinh⁴(x) = 1/8 [cosh(4x) - 4 · cosh(2x) +3]

cosh²(x) = 1/2 [cosh(2x) + 1]
cosh³(x) = 1/4 [cosh(3x) + 3 · cosh(x)]
cosh⁴(x) = 1/8 [cosh(4x) + 4 · cosh(2x) +3]

Formeln für Summen und Differenzen von hyperbolischen Funktionen:

sinh(x₁) + sinh(x₂) = 2 · sinh((x₁ + x₂)/2) · cosh((x₁ - x₂)/2)
sinh(x₁) - sinh(x₂) = 2 · cos((x₁ + x₂)/2) · sinh((x₁ - x₂)/2)
cosh(x₁) + cosh(x₂) = 2 · cosh((x₁ + x₂)/2) · cosh((x₁ - x₂)/2)
cosh(x₁) - cosh(x₂) = 2 · sinh((x₁ + x₂)/2) · sinh((x₁ - x₂)/2)
tanh(x₁) ± tanh(x₂) = sinh(x₁ ± x₂) / (cosh(x₁) · cosh(x₂))
 
Formeln für Produkte von hyperbolischen Funktionen:

sinh(x₁) · sinh(x₂) = 1/2 · [cosh(x₁ + x₂) - cosh(x₁ - x₂)]
cosh(x₁) · cosh(x₂) = 1/2 · [cosh(x₁ + x₂) + cosh(x₁ - x₂)]
sinh(x₁) · cosh(x₂) = 1/2 · [sinh(x₁ + x₂) + sinh(x₁ - x₂)]
tanh(x₁) · tanh(x₂) = (tanh(x₁) + tanh(x₂)) / (coth(x₁) + coth(x₂))
 
Satz von Moivre:

(cosh(x) ± sinh(x))ⁿ = cosh(nx) ± sinh(nx) mit n = 2, 3, 4 ...

 

Umrechnungen zwischen den Areafunktionen

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Areafunktionen Area sinus hyperbolicus und Area cosinus hyperbolicus aufgeführt.

 

	arsinh x	arcosh x
arsinh x	-	± arcosh√x² + 1
arcosh x	arsinh√x² - 1	-
artanh x	arsinh(x/√1 - x²)	± arcosh(1/√1 - x²)
arcoth x	arsinh(1/√x² - 1)	± arcosh(x/√x² - 1)

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Areafunktionen Area tangens hyperbolicus und Area cotangens hyperbolicus aufgeführt.

 

	artanh x	arcoth x
arsinh x	artanh(x/√x² + 1)	arcoth(√x² + 1/x)
arcosh x	artanh(√x² - 1/x)	arcoth(x/√x² - 1)
artanh x	-	arcoth(1/x)
arcoth x	artanh(1/x)	-

 
 

Areafunktionen - Definition - Additionstheoreme

Definition von Areafunktionen:

arsinh(x) = ln (x + √x² + 1)
arcosh(x) = ln (x + √x² - 1)
artanh(x) = 1/2 · ln ((1 + x)/(1 - x))
arcoth(x) = 1/2 · ln ((x + 1)/(x - 1))
 
Additionstheoreme von Areafunktionen:

arsinh(x₁) ± arsinh(x₂) = arsinh [x₁√1 + x₂² ± x₂√1 + x₁²]
arcosh(x₁) ± arcosh(x₂) = arcosh [x₁x₂ ± √(x₁² - 1)(x₂² - 1)]

artanh(x₁) ± artanh(x₂) = artanh ((x₁ ± x₂)/(1 ± x₁x₂))
arcoth(x₁) ± arcoth(x₂) = arcoth ((1 ± x₁x₂)/(x₁ ± x₂))
 
 

Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktionen

Nachfolgend aufgeführt sind einige wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktionen:
 

1. e-Funktion

y = e^x

Defintionsbereich:  -_∞ < x < _∞
Wertebereich: 0 < y < _∞
e: Eulersche Zahl
 
2. Allgemeine Exponentialfunktion

y = a^x

Basis: a > 0 ; a ≠ 1
Defintionsbereich: -_∞ < x < _∞
Wertebereich: 0 < y < _∞
Asymptote: y = 0

Eine Funktion y = a^x ist ebenfalls als e-Funktion darstellbar:

y = a^x = e^ln(a)x
 

Definition und Eigenschaften der Logarithmusfunktionen

Nachfolgend aufgeführt sind einige wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktionen:
 

1. Allgemeine Logarithmusfunktion

y = log_ax

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Asymptote: x = 0
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

Monotonie:
0 < a < 1: streng monoton fallend
a > 1: streng monoton wachsend

2. Natürliche Logarithmusfunktion

y = ln x

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

3. Zehnerlogarithmusfunktion

y = log₁₀x = lg x

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

4. Zweierlogarithmusfunktion

y = log₂x = ld x

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

 

Spezielle Funktionen

Im Folgenden finden Sie die Liste spezieller mathematischer Funktionen, die verwendet werden können.

Exponential-Integrale und verwandte Integrale

Error-Funktion und verwandte Funktionen

Gamma-Funktion und verwandte Funktionen

Einige dieser Funktionen benötigen mehrere Parameter bzw. Variablen. Einzelne Parameter/Variablen sind durch Semikola voneinander zu trennen. Im Unterprogramm Mathematische Funktionen I können Sie sich durch Aufrufe von Beispielen aus den entsprechenden Menüpunkten ein Bild darüber verschaffen, welche Syntaxregeln zu beachten sind und sich die erforderliche Parameterübergabe zur Verwendung einzelner Sonderfunktionen verdeutlichen. Es gilt auch die Art der zu übergebenden Werte der entsprechenden Funktionen zu beachten. Benötigt eine Funktion beispielsweise für einen Parameter n einen ganzzahligen Wert und es wird hierfür eine Gleitkommazahl eingegeben, so gibt das Programm lediglich die Meldung aus, dass der Funktionsterm nicht korrekt definiert wurde und keinen detaillierten, auf diesen Fehler aufmerksam machenden, Hinweis. Selbstverständlich kann für ganzzahlige Parameterwerte auch kein Parameter P übergeben werden, da dieser in der Regel Gleitkommawerte annimmt.

Beispiel:

Es gilt, eine Funktion des Typs EN(2;X) (Exponential-Integral) darstellen zu lassen. Wird der Term EN(2,7;X) bzw. EN(2.7;X) eingegeben, so gibt das Programm eine Fehlermeldung aus, da Parameter N ein ganzzahliger Wert sein muss. Wird der Term EN(3,X) definiert, so erfolgt ebenfalls eine Fehlermeldung, da der Separator Komma, anstelle des erforderlichen Semikolons verwendet wurde. Eine korrekte Definition würde z.B. lauten: EN(3;X).

Beschreibung spezieller Funktionen

 

 

 

Exponential-Integrale und verwandte Integrale

 

 

Cosinus-Integral Ci

 

 

Syntax:

CI(x)

 

Definitionsbeispiele:

CI(X)

CI(X/2+3)-2

 

 

Vollständiges Cosinus-Integral Cin

 

 

Syntax:

CIN(x)

 

Definitionsbeispiele:

CIN(X)

1-CIN(X/2-3)

 

 

Exponential-Integral Ei

 

 

Syntax:

EI(x)

 

Definitionsbeispiele:

EI(X)

2*EI(X+1)-X

 

 

Vollständiges Exponential-Integral Ein

 

 

Syntax:

EIN(x)

 

Definitionsbeispiele:

EIN(X)

EIN(X-1)/5

 

 

Exponential-Integral En

 

 

Syntax:

EN(n;x)

mit n ≥ 0

 

Definitionsbeispiele:

EN(2;X)

3*EN(2;X/4)

 

 

Logarithmisches Integral Li

 

 

Syntax:

LI(x)

 

Definitionsbeispiele:

LI(X)

LI(2*X)/2

 

 

Sinus-Integral Si

 

 

Syntax:

SI(x)

 

Definitionsbeispiele:

SI(X)

SI(X+1)/2

 

 

Error-Funktion und verwandte Funktionen

 

 

Error-Funktion (Gaußsche Fehlerfunktion)

 

 

Syntax:

ERF(x)

 

Definitionsbeispiele:

ERF(X)

3*ERF(2*X)-1

 

 

Fresnel-Cosinus

 

Syntax:

FRESNELCOS(x)

 

Definitionsbeispiele:

FRESNELCOS(X)

1-FRESNELCOS(X/2)

 

 

Fresnel-Sinus

 

Syntax:

FRESNELSIN(x)

 

Definitionsbeispiele:

FRESNELSIN(X)

3*FRESNELSIN(X/3-4)

 

 

Gamma-Funktion und verwandte Funktionen

 

 

Gamma-Funktion

 

 

Syntax:

GAMMA(x)

 

Definitionsbeispiele:

GAMMA(X)

3*GAMMA(X/2-2)

 

 

Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion

 

für x ≠ 0,-1,-2,-3....

 

Syntax:

LNGAMMA(x)

 

Definitionsbeispiele:

LNGAMMA(X)

LNGAMMA(X/3)-2

 

 

Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion (Sonderform)

 

für x+1 ≠ 0,-1,-2,-3....

 

Syntax:

LNGAMMAP(x)

 

Definitionsbeispiele:

LNGAMMAP(X)

2*LNGAMMAP(1/3-X)+2

 

 

Pentagamma-Funktion

 

 

für x ≠; 0,-1,-2,-3....

 

Syntax:

PENTAGAMMA(x)

 

Definitionsbeispiele:

PENTAGAMMA(X)

2*PENTAGAMMA(X/3+2)

 

 

Psi-(Digamma)-Funktion

 

 

für x ≠ 0,-1,-2,-3....

 

Syntax:

PSI(x)

 

Definitionsbeispiele:

PSI(X)

2*PSI(-X+2)


 

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Integralkosinus
Wikipedia - Integralexponentialfunktion
Wikipedia - Exponential-Integral
Wikipedia - Integrallogarithmus
Wikipedia - Sinc-Funktion
Wikipedia - Fehlerfunktion
Wikipedia - Fresnel-Integral
Wikipedia - Gammafunktion
Wikipedia - Digammafunktion
 

Relevante Unterprogramme

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Gleichungen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D)

 

Screenshots einiger Module von MathProf

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurvendiskussion

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform

 

Screenshot eines Moduls von PhysProf

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

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