MathProf - Funktion - Stetig - Stetigkeit - Pol - Lücke - Pole - Sprungstelle

 

Modul Funktionsstetigkeit

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Funktionsstetigkeit besteht die Möglichkeit Zusammenhänge bezüglich der Stetigkeit und Unstetigkeit mathematischer Funktionen zu analysieren.

 

Stetigkeit: Eine Funktion heißt stetig, wenn gilt:
 
lim f(x) = f(a)
x→a
 
Eine Funktion ist rechtsseitig stetig an der Stelle x = a, wenn ihr rechtsseitiger Grenzwert an dieser Stelle existiert und gleich dem Funktionswert ist:
 
lim f(x) = f(a)
x→a₊
 
Eine Funktion ist linksseitig stetig an der Stelle x = a, wenn ihr linksseitiger Grenzwert an dieser Stelle existiert und gleich dem Funktionswert ist:
 
lim f(x) = f(a)
x→a_-
 
Sprungstellen: Existieren der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert, sind beide jedoch nicht gleich dem Funktionswert, so spricht man von einer Sprungstelle.
 
Pole: Ist eine Funktion an der Stelle x₀ nicht definiert und sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte uneigentliche Grenzwerte, so spricht man von einem Pol.
 
Lücken: Ist eine Funktion ist an der Stelle x₀ nicht definiert, sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte jedoch identisch, so spricht man von einer Lücke.
 
In diesem Unterprogramm besteht die Möglichkeit Untersuchungen zu diesem Thema durchzuführen. Hierfür steht eine Funktion des Typs
 
f(x) = (ax³ + bx² +cx +d) / (x + e)
 
zur Verfügung, deren Parameter einstellbar sind. Findet das Programm Pole oder Lücken, so werden diese gekennzeichnet. Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, sich Asymptoten bzw. die Hüllkurve der Funktion darstellen zu lassen.
 
Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken a, b, c, d und e haben Sie die Möglichkeit die Parameter a, b, c, d und e dieser Funktion zu ändern und somit Untersuchungen bzgl. derer Pole und Lücken durchzuführen.
 
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
 

   


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Asymptote/Hüllkurve: Darstellung der Asympote/Hüllkurve der dargestellten Funktion ein-/ausschalten
• Polstelle: Darstellung der Polstellen der dargestellten Funktion ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte ermittelter Lücken ein-/ausschalten

    
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Mathematische Funktionen I
   
Werden die Schieberegler a, b, c, d und e zur Veränderung der Parameter so eingestellt, dass die gebrochenrationale Funktion Y = (-2·x³ + 2,2·x² +1·x - 1,2)/(x-1) ausgegeben wird, so ist zu erkennen, dass diese Funktion eine hebbare Lücke beim Abszissenwert x₀ = 1 besitzt. Diese kann behoben werden, ohne auf den restlichen Funktionsverlauf Einfluss zu nehmen, indem die Definition der Funktion um den Zusatz mit Y = -0,6 bei X = 1 erweitert wird. Für die Gleichung der Asymptote ermittelt das Programm: Y = -2·x² + 0,2·x + 1,2.
 
Wird der Schieberegler mit der Bezeichnung d hierauf auf die Position -1,3 eingestellt, so wird die Funktion Y = (-2·x³ + 2,2·x² +1·x - 1,3)/(x-1) ausgegeben und es ist zu erkennen, dass diese beim Abszissenwert X = 1 eine Polstelle besitzt, der linksseitige Funktionsgrenzwert gegen -¥ und der rechtsseitige Funktionsgrenzwert gegen +¥  tendiert.
  

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Stetigkeit zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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