MathProf - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Unterbestimmtes LGS
Fachthema: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem
MathProf - Lineare Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen der Lösungen unterbestimmter
linearer Gleichungssysteme bis 20. Grades.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
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Themen und Stichworte:Unterbestimmtes LGS - Lösen unterbestimmter Gleichungssysteme - Pseudolösungen - Nullraum - Unterbestimmtes Gleichungssystem - Mehr Unbekannte als Gleichungen- Lösungen für 2 Gleichungen und 3 Unbekannte - Lösungen für 3 Gleichungen und 4 Unbekannte - Lösen - Berechnen - Lösungen für 2 Gleichungen und 4 Unbekannte - Tupel - Triviale Lösung - Lineares Gleichungssystem unterbestimmt |
Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem
Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - [Sonstige Gleichungssysteme] - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem können die Lösungen unterbestimmter, linearer Gleichungssysteme ermittelt werden.
Ein lineares Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen n mit der Anzahl der Variablen n genau übereinstimmt, diese sich nicht widersprechen und nicht linear voneinander abhängig sind. Ist die Anzahl der Gleichungen in einem Gleichungssystem kleiner als die Zahl Unbekannter, so spricht man von einem unterbestimmten Gleichungssystem. Lösungen von Gleichungssystemen dieser Art bis 20. Grades können mit Hilfe dieses Unterprogramms ermittelt werden.
Das Programm ermittelt sowohl die Lösungen des Systems, welche Parameter beinhalten wie auch eine triviale Näherungslösung dessen und gibt die entsprechenden Ergebnisse aus.
Berechnung
Vor der Eingabe von Zahlenwerten ist die Anzahl Unbekannter, sowie die Anzahl der Gleichungen des zu berechnenden Gleichungssystems durch die Benutzung der Steuerelemente Anz. Unbekannte und Anz. Gleichungen festzulegen. Bei jeder Bedienung eines dieser Steuerelemente werden alle Eingaben gelöscht.
Nach der Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die Lösungen des Systems ausgegeben.
Hinweise:
Die Anzahl der zu definierenden Gleichungen muss stets kleiner sein als die Anzahl Unbekannter.
Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.
Allgemein
Über den Menüpunkt Datei-Speichern können Sie die Koeffizienten des unterbestimmten Gleichungssystems speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei-Laden wieder laden.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Themenbereiche
Überbestimmtes lineares Gleichungssystem
Beispiel
Es gilt, die allgemeinen sowie eindeutige Lösungen des nachfolgend gezeigten, unterbestimmten linearen Gleichungssystems ermitteln zu lassen (4 Unbekannte, 3 Gleichungen):
6·x1 + 3·x2 + 4·x3 - 4·x4 = -10
-2·x1 + 2·x2 - 3·x3 + 5·x4 = 2
1·x1 + 5·x2 + 1·x3 - 6·x4 = 18
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Festlegung der Anzahl Unbekannter auf 4, der Festlegung der Anzahl zu definierender Gleichungen auf 3, der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:
6 3 4 -4
-2 2 -3 5
1 5 1 -6
und der Eingabe nachfolgend aufgeführter Koeffizientenwerte in die Tabelle Absolutglieder:
-10
2
18
gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die folgenden Ergebnisse aus:
X1 = -1·a+0·b+0·c-2,33333·d-8,66667
X2 = 0·a-1·b+0·c+0,90196·d+3,80392
X3 = 0·a+0·b-1·c+3,82353·d+7,64706
X4 = 0·a+0·b+0·c+1·d+0
Für ein Tupel an Näherungslösungen für das System ermittelt das Programm:
X1 = -3,02546
X2 = 1,62329
X3 = -1,59693
X4 = -2,41766
Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Algebra aufgerufen werden.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Underdetermined system zu finden.
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