MathProf - Höhenlinien - Kontur - Graph - Zeichnen - Plotten
Fachthema: Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II
MathProf - Analysis - Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Analysen bezüglich der Höhenverläufe von Flächen der Form z = f(x,y,p). Derartige Kurven werden auch als Schnittkurven mit der Ebene z = c bezeichnet.
Das Programm ermöglicht sowohl die grafische Darstellung von Höhenlinienverläufen (Isohypen) wie auch von Flächenkonturen. Zudem besteht die Möglichkeit Untersuchungen, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern durchzuführen.
Ausgegebene Grafiken können auf vielseitige Art und Weise verändert und angepasst werden.
Das Ermitteln der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.
| Themen und Stichworte zu diesem Modul: Höhenlinien - Kontur - Fläche - Flächen - Funktion - Graph - Darstellen - Zeichnen - Plotten |
Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II
Modul Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II
Im Unterprogramm [Analysis] - [Höhenlinien - Schnittkurven - Konturen] - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II besteht die Möglichkeit, sich den Verlauf von Höhenlinien und Flächenkonturen von Funktionen des Typs z = f(x,y) zu veranschaulichen.
Das Modul ermöglicht es, sich Folgendes zweidimensional grafisch ausgeben zu lassen:
- Darstellung der Höhenlinien (Isohypen) von Funktionen der Form z = f(x,y,p)
- Darstellung der Flächenkonturen von Funktionen der Form z = f(x,y,p)
In diesem Unterprogramm wird der Verlauf derartiger Schnittkurven ins Zweidimensionale projiziert und grafisch ausgegeben. Hierbei besteht sowohl die Möglichkeit, sich lediglich Schnittkurven grafisch ausgeben zu lassen, wie auch die Füllung der Flächenkonturverläufe zwischen den Höhenlinien zu veranlassen.
Das Programm benutzt verschiedene Farben zur Kennzeichnung der entsprechend gewählten Höhenbereiche (z-Werte). Die für die verschiedenen Höhenbereiche verwendeten Farben werden im linken Teil des Darstellungsbereichs unter Angabe der zugehörigen z-Werte der Schnittebenen angezeigt.
Um sich die Darstellung von Höhenlinien und Flächenkonturen grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie folgendermaßen verfahren:
- Definieren Sie die implizite, den geltenden Syntaxregeln gemäß formulierte, Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,y,p) =.
- Aktivieren Sie den Kontrollschalter Flächenkontur bei z =, wenn Höhenlinien bzw. Konturverläufe bei einer bestimmten z-Position ausgegeben werden sollen. Legen Sie durch die Eingabe eines Zahlenwerts in das dafür zur Verfügung stehende Feld den Konstantenwert für die Ebene fest, für welche das Programm die Höhenlinien bzw. den Konturverlauf ausgeben soll.
Um sich mehrere Höhenlinien bzw. Konturverläufe gemeinsam darstellen zu lassen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Flächenkonturen von z1 =, legen durch die Eingabe entsprechender Zahlen den Wertebereich fest, über welchen diese ausgegeben werden sollen und definieren einen Wert für die zu verwendende Schrittweite im Feld Schrittweite. Beachten Sie bei der Bemessung des Bereichs und der Schrittweite, dass eine gleichzeitige Darstellung von mehr als 20 Höhenlinien bzw. Konturverläufen nicht möglich ist.
- Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von x1 = und bis x2 =, sowie Von y1 = und bis y2 = den rechteckigen Flächenbereich über welchen die Höhenlinien bzw. die Flächenkontur ausgegeben werden soll.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
- Wählen Sie auf dem Bedienformular, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Flächenkontur bzw. Höhenlinien aus, ob Flächenkonturen oder Höhenlinienverläufe dargestellt werden sollen.
- Legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Auflösung die zu verwendende Auflösung fest. Je höher diese gewählt wird, desto langsamer erfolgt die Darstellungsaktualisierung.
- Um den auf dem Hauptformular des Unterprogramms voreingestellten Darstellungsbereich zu verändern, bestehen folgende Möglichkeiten:
Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
Verändern Sie die Position eines Fangpunktes mit der Maus. Klicken Sie hierbei mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Fangbereich und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Taste.
- Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Punkte beschriften: Beschriftung festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
- Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
- Bereichsmarkierung: Markierung der festgelegten Bereichsbegrenzung ein-/ausschalten
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Die nachfolgend gezeigte Abbildung verschafft ein Bild über die Zusammenhänge, wenn eine Fläche z = f(x,y) = x²+y² aufeinanderfolgend von, parallel zur (x,y)-Ebene liegenden, Ebenen z = c (konstant) geschnitten wird und die verschiedenen entstehenden Konturverläufe gemeinsam, zweidimensional in einem Diagramm ausgegeben werden.
Abb. 1: Zweidimensional ausgegebener Höhenkonturverlauf bei Durchführung mehrerer Schnitte mit Ebenen von z1 = -3 bis z2 = 3 bei Verwendung einer Schrittweite von 1.
Abb. 2: Schnittkurvenverlauf 1 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene z = c1, mit z1 £ c1 £ z2 (auf Boden projiziert).
Abb. 3: Schnittkurvenverlauf 1 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene z = c2, mit z1 £ c2 £ z2 (auf Boden projiziert).
Abb. 4: Schnittkurvenverlauf 3 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene z = c3, mit z1 £ c3 £ z2 (auf Boden projiziert).
Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I
Darstellung implizit definierter Funktionen
Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D)
Untersuchungen mit Flächen in expliziter Form (3D)
Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in expliziter Form (3D)
Um sich die Höhenlinien eines gleichförmigen, räumlich vertikal und zentrisch positionierten Paraboloids, welches durch die Funktion z = x²+y² beschrieben wird, über einen Bereich von z1 = -5 bis z2 = 1 ausgeben zu lassen, definieren Sie im Eingabefeld f(x,y,p) = den Funktionsterm X^2+Y^2.
Belassen Sie die Werte im Formularbereich Voreinstellung - Untersuchungsbereich auf den Vorgabeeinstellungen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Flächenkonturen von z1= und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Wie aus der Darstellung zu ersehen ist (nach der Festlegung einer linearen Skalierung), bilden sowohl die Flächenkontur- sowie auch die Höhenliniendarstellung (nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Höhenlinien) eine Schar zentrisch angeordneter Kreise mit unterschiedlichen Radien ab. Dies entspricht der Projektion der Abbildungen horizontaler Schnitte durch das räumlich angeordnete Paraboloid bei den festgelegten Höhenabschnitten von z1 bis z2 auf die zweidimensionale (x,y)-Ebene.
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 6
Grafische Darstellung - Beispiel 7
Grafische Darstellung - Beispiel 8
Grafische Darstellung - Beispiel 9
Grafische Darstellung - Beispiel 10
Grafische Darstellung - Beispiel 11
Grafische Darstellung - Beispiel 12
Grafische Darstellung - Beispiel 13
Grafische Darstellung - Beispiel 14
Grafische Darstellung - Beispiel 15
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Höhenlinien zu finden.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen - Geometrische Lösung quadratischer Gleichungen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton - Interaktiv - Interpolation nach Lagrange - Interaktiv - Polynomregression - Interaktiv - Nullstellen - Iterationsverfahren - Interaktiv - Tangente - Normale - Interaktiv - Tangente - Sekante - Interaktiv - Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv - Simpson-Regel - Keplersche Fassregel - Spline-Interpolation - Spline-Interpolation - Interaktiv - Bézier-Kurven - Astroide - Kardioide - Konstruktion einer Kardioide - Konstruktion einer Hypozykloide - Konchoide - Lemniskate - Cassinische Kurven - Pascalsche Schnecke - Trisektrix - Zweiblatt-Kurve - Konstruktion krummliniger Kurven - Logarithmische Spirale - Konstruktion - Hyperbolische Spirale - Fourier-Analyse (Fast Fourier Transformation - FFT) - Taylor- und Potenzreihen - Interaktiv - Harmonische Synthese - Analyse implizit definierter Gleichungen - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I - Schnittkurven von Flächen in expliziter Form - Zahlenfolgen - Interaktiv II - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II - Arithmetische Zahlenfolgen - Interaktiv - Geometrische Zahlenfolgen - Interaktiv - Funktionen in Parameterform - Polarkoordinaten - Funktionen in Polarform - Variante - Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform - Tangente - Normale mit Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Interaktiv - Inverse von Funktionen - Gemeinsame Darstellung von Kurven verschiedener Darstellungsformen - Ermittlung von Funktionsparametern - Funktionsschnittpunkte - Interaktiv - Kettenlinie - Funktionsstetigkeit
Unterprogramm Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II
MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
