MathProf - P-adische Brüche (Zahlen)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

P-adische Brüche (Zahlen)

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Zahlensysteme] - P-adische Brüche ermöglicht die Wandlung dezimaler Zahlen und Brüche in deren Darstellung als p-adische Brüche.

 

MathProf - p-adischer Bruch

 

Ein p-adischer Bruch kann in Potenzschreibweise als eine unendliche Reihe dargestellt werden. Sie besitzt die Gestalt:

 

Bruch - Gleichung  - 1


Hierbei ist die Basis b eine natürliche Zahl größer oder gleich 2; während für die Koeffizienten ak gilt: 0 ≤ ak ≤ b-1. Ist b eine natürliche Zahl größer 2, so lässt sich jede reelle Zahl in einen p-adischen Bruch umwandeln, d.h. zu jeder reellen Zahl gibt es einen p-adischen Bruch, welcher gegen diese konvergiert.

Berechnung


In diesem Unterprogramm können Sie Dezimalzahlen, sowie dezimale Brüche zu deren Darstellung als p-adische Brüche in verschiedenen Zahlensystemen wandeln lassen.

Das Programm ermittelt hierbei außerdem die Periode der p-adischen Zahl, sowie deren Länge im entsprechenden Stellenwertsystem. Ist die Länge der Periode des entsprechenden Bruchs in einem Stellenwertsystem kleiner als die im Eingabefeld Untersuchen bis Stellenzahl festgelegte Stellenanzahl, so gibt das Programm diese, sowie deren Länge aus.

Wählen Sie zunächst ob p-adische Brüche für Dezimalzahlen, oder dezimale Brüche ermittelt werden sollen. Führen Sie dies durch die Aktivierung des Kontrollschalters Bruch bzw. Dezimalzahl durch. Soll die Untersuchung für einen dezimalen Bruch durchgeführt werden, so legen Sie die Werte für dessen Zähler und Nenner in den Eingabefeldern Zähler und Nenner fest. Wird die Untersuchung einer Dezimalzahl gewünscht, so geben Sie deren Wert in das Feld mit der Bezeichnung Dezimalzahl ein.

Soll die Anzeige der Perioden des p-adischen Bruchs und dessen Längen erfolgen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Periodendetails. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle aus.

Ist die Länge der Periode einer p-adischen Zahl größer als der im Eingabefeld Untersuchen bis Stellenzahl festgelegte Wert, so wird diese nicht angezeigt.

 

Beispiel

 

Möchten Sie sich die Bruchzahl 23/133 als p-adischen Bruch in verschiedenen Stellenwertsystemen ausgeben lassen, so geben Sie die Zahlenwerte 23 und 133 in die entsprechenden Felder ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.

 

Bei einer voreingestellten Anzahl zu untersuchender Stellen von 50 erhalten Sie daraufhin folgende Ergebnisse:

 

Zu wandelnder Bruch: 23/133

Basis: 2
p-adischer Bruch: 0.00101100010001010100101100010001010100101100010001
Periode: 001011000100010101
Periodenlänge: 18

Basis: 3
p-adischer Bruch: 0.01120000121102222101120000121102222101120000121102
Periode: 011200001211022221
Periodenlänge: 18

Basis: 4
p-adischer Bruch: 0.02301011102301011102301011102301011102301011102301
Periode: 023010111
Periodenlänge: 9

Basis: 5
p-adischer Bruch: 0.04130201321213113404130201321213113404130201321213
Periode: 041302013212131134
Periodenlänge: 18

Basis: 6
p-adischer Bruch: 0.10120415524302234110120415524302234110120415524302
Periode: 101204155243022341
Periodenlänge: 18

Basis: 7
p-adischer Bruch: 0.11321321321321321321321321321321321321321321321321

Basis: 8
p-adischer Bruch: 0.13042513042513042513042513042513042513042513042513
Periode: 130425
Periodenlänge: 6

Basis: 9
p-adischer Bruch: 0.15005428715005428715005428715005428715005428715005
Periode: 150054287
Periodenlänge: 9

Basis: 10
p-adischer Bruch: 0.17293233082706766917293233082706766917293233082706
Periode: 172932330827067669
Periodenlänge: 18

Basis: 11
p-adischer Bruch: 0.19A19A19A19A19A19A19A19A19A19A19A19A19A19A19A19A19
Periode: 19A
Periodenlänge: 3

Basis: 12
p-adischer Bruch: 0.20A9B120A9B120A9B120A9B120A9B120A9B120A9B120A9B120
Periode: 20A9B1
Periodenlänge: 6

Basis: 13
p-adischer Bruch: 0.232C1743BA9A0B5891232C1743BA9A0B5891232C1743BA9A0B
Periode: 232C1743BA9A0B5891
Periodenlänge: 18

Basis: 14
p-adischer Bruch: 0.25C7522D398168BB0A45C7522D398168BB0A45C7522D398168

Basis: 15
p-adischer Bruch: 0.28D9A74E681C1035B428D9A74E681C1035B428D9A74E681C10
Periode: 28D9A74E681C1035B4
Periodenlänge: 18

Basis: 16
p-adischer Bruch: 0.2C454B1152C454B1152C454B1152C454B1152C454B1152C454
Periode: 2C454B115
Periodenlänge: 9

Basis: 17
p-adischer Bruch: 0.2FGA831297D95AA6022FGA831297D95AA6022FGA831297D95A
Periode: 2FGA831297D95AA602
Periodenlänge: 18

Basis: 18
p-adischer Bruch: 0.3209D73209D73209D73209D73209D73209D73209D73209D732
Periode: 3209D7
Periodenlänge: 6

Basis: 19
p-adischer Bruch: 0.3582DAG582DAG582DAG582DAG582DAG582DAG582DAG582DAG5

Basis: 20
p-adischer Bruch: 0.39393939393939393939393939393939393939393939393939
Periode: 39
Periodenlänge: 2

Basis: 21
p-adischer Bruch: 0.3D5B1248HE7F9JIGC36D5B1248HE7F9JIGC36D5B1248HE7F9J

Basis: 22
p-adischer Bruch: 0.3HF89D1AGBK0762E4L3HF89D1AGBK0762E4L3HF89D1AGBK076
Periode: 3HF89D1AGBK0762E4L
Periodenlänge: 18

Basis: 23
p-adischer Bruch: 0.3MB1CI7E03MB1CI7E03MB1CI7E03MB1CI7E03MB1CI7E03MB1C
Periode: 3MB1CI7E0
Periodenlänge: 9

Basis: 24
p-adischer Bruch: 0.43EEJ31ENB047MD8BD43EEJ31ENB047MD8BD43EEJ31ENB047M
Periode: 43EEJ31ENB047MD8BD
Periodenlänge: 18

Basis: 25
p-adischer Bruch: 0.4821H786J4821H786J4821H786J4821H786J4821H786J4821H
Periode: 4821H786J
Periodenlänge: 9

Basis: 26
p-adischer Bruch: 0.4CNBO14CNBO14CNBO14CNBO14CNBO14CNBO14CNBO14CNBO14C
Periode: 4CNBO1
Periodenlänge: 6

Basis: 27
p-adischer Bruch: 0.4I1M8P4I1M8P4I1M8P4I1M8P4I1M8P4I1M8P4I1M8P4I1M8P4I
Periode: 4I1M8P
Periodenlänge: 6

Basis: 28
p-adischer Bruch: 0.4NG5P1D7A8NG5P1D7A8NG5P1D7A8NG5P1D7A8NG5P1D7A8NG5P

Basis: 29
p-adischer Bruch: 0.50CILN9H6FK81RQB3E50CILN9H6FK81RQB3E50CILN9H6FK81R
Periode: 50CILN9H6FK81RQB3E
Periodenlänge: 18

Basis: 30
p-adischer Bruch: 0.55J55J55J55J55J55J55J55J55J55J55J55J55J55J55J55J55
Periode: 55J
Periodenlänge: 3

Basis: 31
p-adischer Bruch: 0.5B5PJP5B5PJP5B5PJP5B5PJP5B5PJP5B5PJP5B5PJP5B5PJP5B
Periode: 5B5PJP
Periodenlänge: 6

Basis: 32
p-adischer Bruch: 0.5H2KM4AIOHAB259C8L5H2KM4AIOHAB259C8L5H2KM4AIOHAB25
Periode: 5H2KM4AIOHAB259C8L
Periodenlänge: 18

Basis: 33
p-adischer Bruch: 0.5NAM2O27MR9MAU8UPA5NAM2O27MR9MAU8UPA5NAM2O27MR9MAU
Periode: 5NAM2O27MR9MAU8UPA
Periodenlänge: 18

Basis: 34
p-adischer Bruch: 0.5TUVNQB8ES432A7MPJ5TUVNQB8ES432A7MPJ5TUVNQB8ES432A
Periode: 5TUVNQB8ES432A7MPJ
Periodenlänge: 18

Basis: 35
p-adischer Bruch: 0.61TGK97CVB1TGK97CVB1TGK97CVB1TGK97CVB1TGK97CVB1TGK

Basis: 36
p-adischer Bruch: 0.684BWR2FP684BWR2FP684BWR2FP684BWR2FP684BWR2FP684BW
Periode: 684BWR2FP
Periodenlänge: 9

 

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