MathProf - Arithmetische Folgen - Geometrische Folge - Folge - Reihen

 

Modul Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Arithm. und geom. Zahlenfolgen können u.a. Untersuchungen mit arithmetischen und geometrischen Folgen, sowie geometrischen Reihen durchgeführt werden.

 

Abbildung 1 - Eingabefenster für arithmetische Zahlenfolgen


Abbildung 2 - Eingabefenster für geometrische Zahlenfolgen


Abbildung 3 - Eingabefenster für geometrische Reihen

Eine Folge wird als arithmetische Folge bezeichnet, wenn jedes Glied an für n ≥ 2 das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist. Eine Folge wird als geometrische Folge bezeichnet, wenn der Quotient q zweier benachbarter Glieder konstant ist (wenn q ≠ 1). Werden die Glieder einer geometrischen Folge addiert, so resultiert hieraus eine geometrische Reihe.

In diesem Modul stehen zur Auswahl:
 

• Berechnung und Darstellung der Glieder arithmetischer Folgen

• Berechnung und Darstellung der Glieder geometrischer Folgen

• Berechnung geometrischer Reihen

  

 
Monotonie:
 
Folgen deren Glieder mit zunehmender Gliednummer stets größer werden, werden als monotone Folgen bezeichnet. Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn jedes ihrer Glieder größer wird als das vorhergehende. Eine Folge wird als monoton fallend bezeichnet, wenn jedes ihrer Glieder kleiner ist als das vorhergehende.

Ist die Differenz zweier benachbarter Glieder einer Folge positiv, so ist sie streng monoton steigend. Ist sie hingegen negativ, so ist sie streng monoton fallend.

Beschränktheit von Folgen:

Eine Folge wird als nach oben beschränkt bezeichnet, wenn eine Zahl S existiert, sodass jedes Glied dieser Folge kleiner oder gleich T ist. Diese Zahl T wird als obere Schranke der Folge bzw. Supremum genannt. Eine Folge wird als nach unten beschränkt bezeichnet, wenn eine Zahl S existiert, sodass jedes Glied dieser Folge größer oder gleich S ist. Diese Zahl S wird als untere Schranke der Folge bzw. als Infimum bezeichnet. Folgen bei welchen kein Glied größer ist als die obere Schranke T und auch kein Glied kleiner ist als die untere Schranke S werden als beschränkt bezeichnet.

Jede beschränkte Folge besitzt eine eindeutig bestimmte obere Grenze sowie eine eindeutig bestimmte untere Grenze.

Folgen - Übersicht:

Endliche Folge: Folge, welche endlich viele Glieder besitzt
Unendliche Folge: Folge, welche unendlich viele Glieder besitzt
Teilfolge: Folge, die entsteht wenn Folgenglieder der ursprünglichen Folge weggelassen werden
Differenzenfolge: Folge, die durch das Bilden der Differenzen von je zwei benachbarten Folgengliedern entsteht: d_n = a_n+1 - a_n
Partialsummenfolge: Folge von Summanden, welche aufaddiert werden: s_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n
Alternierende Folge: Folge, deren Glieder wechselnde Vorzeichen besitzen
Monoton steigende Folge: Folge, deren Folgeglieder stets größer werden als vorhergehende: a_n+1 ≥ a_n
Monoton fallende Folge: Folge, deren Folgeglieder stets kleiner werden als vorhergehende: a_n+1 ≤ a_n
Streng monoton steigende Folge: Folge, bei welcher die Differenz zweier benachbarter Glieder einer Folge stets positiv ist: a_n+1 > a_n
Streng monoton fallende Folge: Folge, bei welcher die Differenz zweier benachbarter Glieder einer Folge stets negativ ist: a_n+1 < a_n
Konstante Folge: Folge, bei welcher jedes Folgenglied gleich dem vorangegangenen ist: a_n+1 = a_n = konstant
Beschränkte Folge: Folge, für welche eine untere Schranke S sowie eine obere Schranke T existieren, so dass gilt: S ≤ a_n ≤ T
Nullfolge: Folge, deren Grenzwert gegen Null konvergiert.

Ordnung einer Folge:

Mit der Ordnung einer Folge wird der Grad des Polynoms beschrieben, den eine Folge besitzt. Als Folgen höherer Ordnung werden Folgen bezeichnet, die sich aus einer arithmetische Folge herleiten lassen. Eine Folge 2. Ordnung ist die Folge der Quadratzahlen. Die Folge der Tetraederzahlen wird Folge dritter Ordnung genannt.
 

 
 

  

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen einer arithmetischen Zahlenfolge relevant sind.

Definition - Formel:
 

a_n = a₁ + (n-1)·d

a_n+1 = a_n + d

 

Es gilt:

 

d < 0: Folge monoton fallend

d = 0: Folge konstant

d > 0: Folge monoton wachsend

Arithmetische Zahlenfolgen weisen eine konstante Differenzenfolge auf.

 

Partialsumme - Formel:

 

s_n = n/2[2a₁ + (n-1) d)] = n(a₁ + a_n)/2

Verwendete Bezeichnungen:

d:	Differenz zweier benachbarter Glieder
a1:	Anfangsglied einer Folge
an:	n-tes Glied einer Folge
n:	Anzahl der Glieder der Folge
sn:	n-te Partialsumme der ersten n Glieder
a(k):	Definitionsgleichung

Gaußsche Summenformel (Kleiner Gauß):
 
Die Gaußsche Summenformel ist eine Formel für die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Diese Reihe ist ein Spezialfall der arithmetischen Reihe. Sie lautet:


 

  
Um Berechnungen mit arithmetischen Zahlenfolgen durchführen und sich diese darstellen zu lassen, sollten Sie folgende Vorgehensweise anwenden:

1. Wählen Sie das Registerblatt Arithmetische Zahlenfolge.
    
2. Geben Sie die Werte von exakt 3 der 5 zur Verfügung stehenden Größen in die entsprechenden Felder ein.
    
3. Um sich zusätzlich die Werte der ersten Glieder der Reihe in der Tabelle ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tabellenwerte ausgeben. Die Anzahl der Werte auszugebender Glieder kann im dafür vorgesehenen Eingabefeld festgelegt werden (voreingestellt: 100).
    
4. Möchten Sie zudem das Ergebnis der Summation von Gliedern über einen bestimmten Wertebereich ermitteln lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Partialsumme errechnen und geben die entsprechenden Werte in die Felder Partialsumme von und Partialsumme bis ein.
    
5. Das Programm errechnet nach der Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Werte der noch zu ermittelnden Größen, sowie die Definitionsgleichung a(k) der arithmetischen Zahlenfolge, und gibt diese in der oben angeordneten Tabelle aus.
    
6. Soll die Folge grafisch ausgegeben werden, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.

Hinweis:

Nicht für jeden Fall existieren eindeutige Lösungen. Insbesondere gibt es Fälle, bei welchen zwei Lösungen existieren. Tritt dies ein, so werden auch diese ausgegeben, wobei zu überprüfen bleibt, welche dieser eine eindeutige Lösung darstellt. Dies kann bei der Vorgabe der Größen a1, d und sn, wie auch bei der Vorgabe der Größen an, d, und sn eintreten.

 

 

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen einer geometrischen Zahlenfolge relevant sind.

Definition - Formeln:
 

a_n = a₁ + q^n-1

a_n+1 = a_n·q 

a_n = √(a_n-1·a_n+1)

 

mit a₁ ≠ 0 und q ≠ 0

 

Es gilt:

 

q < 0: Folge alternierend

0 < q < 1: Folge monoton fallend

q = 1: Folge konstant

q > 1: Folge monoton wachsend

Geometrische Zahlenfolgen weisen eine konstante Quotientenfolge auf. Sie sind konvergent für -1 < q ≤  1 und divergent für q > 1 sowie q ≤ -1
 

Partialsumme - Formel:

 

mit q ≠ 1 gilt (geometrische Summenformel):

 

 

Folgende Kombinationen werden vom Programm analytisch gelöst:

a₁-a_n-s_n

a₁-q-s_n

a₁-q-n

a₁-q-a_n

a₁-n-a_n

q-n-a_n

q-n-s_n
 

Nachfolgend aufgeführte Kombinationen werden vom Programm numerisch iterativ gelöst:

n-a_n-s_n

q-a_n-s_n

a₁-n-s_n
 

Verwendete Bezeichnungen:

q:	Quotient zweier benachbarter Glieder
a1:	Anfangsglied einer Folge
an:	n-tes Glied einer Folge
n:	Anzahl der Glieder der Folge
sn:	n-te Partialsumme der ersten n Glieder
a(k):	Definitionsgleichung

 
Um Berechnungen mit geometrischen Zahlenfolgen durchführen und diese grafisch auszugeben zu lassen, sollten Sie folgende Vorgehensweise anwenden:

1. Wählen Sie das Registerblatt Geometrische Zahlenfolge.
    
2. Geben Sie die Werte von exakt 3 der 5 zur Verfügung stehenden Größen in die entsprechenden Felder ein.
    
3. Um sich zusätzlich die Werte der ersten Glieder der Reihe in der Tabelle ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tabellenwerte ausgeben. Die Anzahl der Werte auszugebender Glieder kann im dafür vorgesehenen Eingabefeld festgelegt werden (voreingestellt: 100).
    
4. Möchten Sie zudem das Ergebnis der Summation von Gliedern über einen bestimmten Wertebereich ermitteln lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Partialsumme errechnen und geben die entsprechenden Werte in die Felder Partialsumme von und Partialsumme bis ein.
    
5. Das Programm errechnet nach der Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Werte der noch zu ermittelnden Größen, sowie die Definitionsgleichung a(k) der geometrischen Zahlenfolge, und gibt diese in der oben angeordneten Tabelle aus.
    
6. Soll die Folge grafisch ausgegeben werden, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.

Hinweis:

Nicht für jeden Fall existieren eindeutige Lösungen. Dies trifft insbesondere auf iterativ zu lösende Aufgaben zu, jedoch können auch interne Rundungsfehler dazu führen, dass bei arithmetisch lösbaren Aufgaben keine Lösung gefunden wird. Bei Einteten einer solchen Situation wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.

 

 
Die Summe von Gliedern einer Folge wird als Reihe bezeichnet:
 

Eine unendliche Reihe ist exakt dann konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge konvergiert. Divergiert diese, so ist die Reihe divergent. Der Grenzwert S einer Partialsummenfolge heißt Summe der Reihe.

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Ist der Betrag des Quotienten |q| einer geometrischen Reihe kleiner 1, so konvergiert sie. Ist |q| ≥ 1 (Grenzwert der Partialsummenfolge), so divergiert sie.

 

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen einer geometrischen Reihe relevant sind.

Definition - Formel:
 

 

konvergent für |q| < 1

 

Partialsumme:

 

s_n = a₁ / (1 - q)

 

Verwendete Bezeichnungen:

 

a1:	Anfangsglied einer Folge
q:	Quotient zweier benachbarter Glieder
sn:	n-te Partialsumme der ersten n Glieder
n:	Anzahl der Glieder der Folge

 

 
Um Berechnungen mit einer geometrischen Reihe durchführen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:

1. Wählen Sie das Registerblatt Geometrische Reihe.
    
2. Geben Sie die Werte für a₁ und q in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so wird das Ergebnis der Summe der geometrischen Reihe ausgegeben.

Hinweis:

Ist die Reihe konvergent, so wird das Ergebnis angezeigt, andernfalls erhalten Sie eine Fehlermeldung.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Bedienformular

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

• Beschriftung: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Zahlenfolgen

Zahlenfolgen - Interaktiv

Rekursive Zahlenfolgen

Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

 

Beispiel 1 - Arithmetische Zahlenfolgen:

Als bekannte Größen einer arithmetischen Zahlenfolge seien gegeben:

Glied a(1): 2

Glied a(n): 5

Anzahl n: 12

 

Es gilt die Differenz d sowie die Summe sn der Zahlenfolge ermitteln zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach einer Wahl des Registerblatts Arithmetische Zahlenfolgen, einer Eingabe der o.a. Werte in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Differenz d: 0,272

Summe sn: 42
 

Ferner ermittelt das Programm für die Definitionsgleichung der Zahlenfolge den Term:

a(k) = 1,7272+0,2727·K

Beispiel 2 - Geometrische Zahlenfolgen:

Von einer geometrischen Zahlenfolge seien folgende bekannte Größen gegeben:

Glied a(1): 3

Glied a(n): 1

Anzahl n: 6

 

Es ist der Quotient q sowie die Summe sn der Zahlenfolge zu ermitteln.
 

Vorgehensweise und Lösung:

Wird das Registerblatt Geometrische Zahlenfolgen aktiviert und werden die zuvor aufgeführten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder eingegeben, so gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:

Quotient q: 0,802

Summe sn: 11,138
 

Ferner wird für die Definitionsgleichung der Zahlenfolge der nachfolgend aufgeführte Term angezeigt:

a(k) = 3·0,80274^(K-1)

Beispiel 3 - Geometrische Reihe:

 

Einem Quadrat mit der Seitenlänge a = 1 ist ein zweites Quadrat derart eingeschrieben, dass dessen Eckpunkte die Seiten des ersten Quadrats im Verhältnis 1:2 teilen; dem zweiten Quadrat wird ein drittes Quadrat nach derselben Vorschrift eingeschrieben usw.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Wahl des Registerblatts Geometrische Reihe, einer Eingabe der Zahlenwerte für a = 1 und q = 0,5, sowie der Bedienung der Schaltfläche Berechnen erhalten Sie das Ergebnis:

 

Summe der geom. Reihe: 2

 

Es ergibt sich somit eine max. Gesamthöhe (als Summe der unendlichen Reihe) von 2 mit a = 1 und q = 1/2. Dies entspricht dem Grenzwert der unendlichen Reihe: 1 + 1/2 + 1/4 +1/8 +1/16 ... = 2.
 

 

Grafische Darstellung - Arithmetische Zahlenfolge - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Arithmetiscche Zahlenfolge - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Geometrische Zahlenfolge - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Geometrische Zahlenfolge - Beispiel 2
      

 
Bei arithmetischen Reihen ist die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Ihr Summenwert errechnet sich wie nachfolgend gezeigt:

a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]  = n/2 [2a + (n-1)d]

Mit:
a: Anfangsglied
a + (n-1)d: Endglied
k = 1, 2, 3, ... n
 

      

 
Eine Partialsumme (Teilsumme) s_n wird aus den Gliedern einer unendlichen Zahlenfolge gebildet. Sie heißt n-te Partialsumme und ihre Definition sowie ihre Schreibweise lautet:



Die Folge dieser Partialsummen wird als unendliche Reihe bezeichnet. Sie ist wie folgt definiert:



Besitzt diese Folge der Partialsummen s_n einen Grenzwert s, so lautet ihre Bezeichnung konvergent mit dem Summenwert s.



Besitzt sie hingegen keinen Summenwert, so heißt sie divergent.
 

 

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige wichtige konvergente sowie spezielle Reihen.

I - Wichtige konvergente Reihen:

Eulersche Zahl:



Natürlicher Logarithmus der Zahl 2:



Zahl 1:



II - Reihen für Exponentialfunktionen (Exponentialreihen):





III - Reihen für Logarithmusfunktionen (Logarithmische Reihen - Natürlicher Logarithmus):





IV - Reihen für trigonometrische Funktionen (Sinusreihe - Cosinusreihe - Tangensreihe):

Reihendarstellung - Sinus:



Reihendarstellung - Cosinus:



Reihendarstellung - Tangens:



Reihendarstellung - Cotangens:

 

 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Arithmetische Folge sowie unter Wikipedia - Geometrische Folge und unter Wikipedia - Infimum und Supremum zu finden.
 

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

 

Startfenster des Unterprogramms Artihmetische und geometrische Zahlenfolgen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Rekursive Zahlenfolgen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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