MathProf - Arithmetische Folgen - Geometrische Folge - Folge - Reihen

MathProf - Mathematik-Software - Arithmetische und geometrische Reihen | Glieder

Fachthemen: Arithmetische Zahlenfolgen - Geometrische Zahlenfolgen - Geometrische Reihen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen | Glieder

Online-Hilfe
für das Modul zur Ermittlung (Bildung der Summe) und Darstellung
arithmetischer Folgen und geometrischer Folgen.

In diesem Teilprogramm erfolgt unter anderem das Berechnen der Glieder einer geometrischen Reihe unter der Anwendung der geometrischen Summenformel. Auch wird es ermöglicht, die Glieder sowie die Partialsumme einer arithmetischen Zahlenfolge oder einer geometrischen Zahlenfolge bestimmen zu lassen.

Zudem wird eine Analyse bzgl. der Konvergenz oder Divergenz einer definierten Zahlenfolge durchgeführt. Auch der ggf. vorhandene Grenzwert dieser wird bestimmt.

Nach der Durchführung einer numerischen Berechnung kann der entsprechende Sachverhalt grafisch dargestellt und analysiert werden.


Beispiele, welche Aufschluss zur Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Geometrische Reihen - Arithmetische Folgen - Geometrische Folgen - Arithmetische Reihe - Arithmetische Zahlenfolge - Geometrische Zahlenfolge - Konvergenz und Divergenz von Reihen - Alternierende Folgen - Partialsumme einer Folge - Folgen - Reihen - Reihe plotten - Grafische Darstellung von Zahlenreihen - Geometrische Summe - Geometrische Summenformel - Arithmetische Summe - Differenzenfolge - Summenfolge - Partialsummenfolge - Summe der Reihe - Summe einer Reihe - Definition - Unendliche Reihe - Unendliche Folge - Endliche Folge - Teilfolge - Monoton steigende Folge - Monoton fallende Folge - Streng monoton steigende Folge - Streng monoton fallende Folge - Konstante Folge - Nullfolge - Summen geometrischer Reihen - Endliche Reihen - Beschränkte Folge - Beschränkte Reihe - Beschränktheit - Beschränktheit von Folgen - d - s - n - sn - a1 - Arithmetische Folgen und Reihen - Ordnung - Erster Ordnung - Zweiter Ordnung - Dritter Ordnung - 1. Ordnung - 2. Ordnung - 3. Ordnung - Explizit - Grenzwert - Monotonie - Bestimmen - Bestimmung - Partialsumme - Teilsumme - Summe - Reihendarstellung - Reihe - Folge - Supremum - Infimum - Obere Schranke - Untere Schranke - Obere und untere Schranke - Bildungsvorschrift - Bildungsgesetz - Explizites Bildungsgesetz - Quotient - Glied - Anzahl - Grenzwert einer Reihe - Konvergente Reihen - Summenwert - Formel - Schreibweise - Plotten - Graph - Formeln - Bilder - Beispiele - Aufgaben - Rechner - Berechnen - Eigenschaften - Darstellung - Tabelle - Gauß - Gaußsche Summenformel - Kleiner Gauß - Exponentialreihe - Logarithmische Reihe - Trigonometrische Reihe - Sinusreihe - Cosinusreihe - Eulersche Zahl - Logarithmus - Konvergente Reihen - Unendliche Reihen - Erklärung - Beschreibung - Definition - Summenwert - Berechnung - Darstellen

 
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Arithmetische Zahlenfolgen - Geometrische Zahlenfolgen - Geometrische Reihen

 
MathProf - Arithmetische Zahlenfolge - Arithmetische Reihe - Arithmetische Folge - Quotient - Glied - Anzahl - Summe - Konvergenz - Divergenz - Arithmetische Summe - Beschränkte Folge - Beschränkte Reihe - Bestimmen - Partialsumme - Teilsumme - Summe - Summenwert  - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Modul Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen



Im Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Arithm. und geom. Zahlenfolgen können u.a. Untersuchungen mit arithmetischen und geometrischen Folgen, sowie geometrischen Reihen durchgeführt werden.

 

MathProf - Arithmetische Zahlenfolge - Arithmetische Zahlenreihe - Arithmetische Folge - Summe - Konvergenz - Divergenz - Partialsumme - Tabelle - Partialsumme - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter - Formel
Abbildung 1 - Eingabefenster für arithmetische Zahlenfolgen

MathProf - Geometrische Zahlenfolge - Geometrische Zahlenreihe - Geometrische Folge - Summe - Konvergenz - Divergenz - Partialsumme - Tabelle - Partialsumme - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter - Formel
Abbildung 2 - Eingabefenster für geometrische Zahlenfolgen

MathProf - Geometrische Reihe - Glieder - Quotient - Summe - Konvergenz - Divergenz - Rechner - Berechnen - Formel
Abbildung 3 - Eingabefenster für geometrische Reihen

 


Eine Folge wird als arithmetische Folge bezeichnet, wenn jedes Glied an für n ≥ 2 das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist. Eine Folge wird als geometrische Folge bezeichnet, wenn der Quotient q zweier benachbarter Glieder konstant ist (wenn q 1). Werden die Glieder einer geometrischen Folge addiert, so resultiert hieraus eine geometrische Reihe.

In diesem Modul stehen zur Auswahl:
 

  • Berechnung und Darstellung der Glieder arithmetischer Folgen

  • Berechnung und Darstellung der Glieder geometrischer Folgen

  • Berechnung geometrischer Reihen

  

Allgemeines zu Folgen

 
Monotonie:
 
Folgen deren Glieder mit zunehmender Gliednummer stets größer werden, werden als monotone Folgen bezeichnet. Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn jedes ihrer Glieder größer wird als das vorhergehende. Eine Folge wird als monoton fallend bezeichnet, wenn jedes ihrer Glieder kleiner ist als das vorhergehende.


Ist die Differenz zweier benachbarter Glieder einer Folge positiv, so ist sie streng monoton steigend. Ist sie hingegen negativ, so ist sie streng monoton fallend.

Beschränktheit von Folgen:

Eine Folge wird als nach oben beschränkt bezeichnet, wenn eine Zahl S existiert, sodass jedes Glied dieser Folge kleiner oder gleich T ist. Diese Zahl T wird als obere Schranke der Folge bzw. Supremum genannt. Eine Folge wird als nach unten beschränkt bezeichnet, wenn eine Zahl S existiert, sodass jedes Glied dieser Folge größer oder gleich S ist. Diese Zahl S wird als untere Schranke der Folge bzw. als Infimum bezeichnet. Folgen bei welchen kein Glied größer ist als die obere Schranke T und auch kein Glied kleiner ist als die untere Schranke S werden als beschränkt bezeichnet.

Jede beschränkte Folge besitzt eine eindeutig bestimmte obere Grenze sowie eine eindeutig bestimmte untere Grenze.

Folgen - Übersicht:

Endliche Folge: Folge, welche endlich viele Glieder besitzt
Unendliche Folge: Folge, welche unendlich viele Glieder besitzt
Teilfolge: Folge, die entsteht wenn Folgenglieder der ursprünglichen Folge weggelassen werden
Differenzenfolge: Folge, die durch das Bilden der Differenzen von je zwei benachbarten Folgengliedern entsteht: dn = an+1 - an
Partialsummenfolge: Folge von Summanden, welche aufaddiert werden: sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
Alternierende Folge: Folge, deren Glieder wechselnde Vorzeichen besitzen
Monoton steigende Folge: Folge, deren Folgeglieder stets größer werden als vorhergehende: an+1 ≥ an
Monoton fallende Folge: Folge, deren Folgeglieder stets kleiner werden als vorhergehende: an+1 ≤ an
Streng monoton steigende Folge: Folge, bei welcher die Differenz zweier benachbarter Glieder einer Folge stets positiv ist: an+1 > an
Streng monoton fallende Folge: Folge, bei welcher die Differenz zweier benachbarter Glieder einer Folge stets negativ ist: an+1 < an
Konstante Folge: Folge, bei welcher jedes Folgenglied gleich dem vorangegangenen ist: an+1 = an = konstant
Beschränkte Folge: Folge, für welche eine untere Schranke S sowie eine obere Schranke T existieren, so dass gilt: S ≤ an ≤ T
Nullfolge: Folge, deren Grenzwert gegen Null konvergiert.

Ordnung einer Folge:

Mit der Ordnung einer Folge wird der Grad des Polynoms beschrieben, den eine Folge besitzt. Als Folgen höherer Ordnung werden Folgen bezeichnet, die sich aus einer arithmetische Folge herleiten lassen. Eine Folge 2. Ordnung ist die Folge der Quadratzahlen. Die Folge der Tetraederzahlen wird Folge dritter Ordnung genannt.
 

I - Arithmetische Zahlenfolgen

 
 

MathProf - Arithmetische Zahlenfolge - Arithmetische Reihe - Arithmetische Folge - Quotient - Glied - Anzahl - Summe - Konvergenz - Divergenz - Arithmetische Summe - Beschränkte Folge - Beschränkte Reihe - Bestimmen - Partialsumme - Teilsumme - Summe - Summenwert  - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter

  

Arithmetische Folge - Formeln - Definition

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen einer arithmetischen Zahlenfolge relevant sind.

Definition - Formel:
 

an = a1 + (n-1)·d

an+1 = an + d

 

Es gilt:

 

d < 0: Folge monoton fallend

d = 0: Folge konstant

d > 0: Folge monoton wachsend

Arithmetische Zahlenfolgen weisen eine konstante Differenzenfolge auf.

 

Partialsumme - Formel:

 

sn = n/2[2a1 + (n-1) d)] = n(a1 + an)/2


Verwendete Bezeichnungen:

d: Differenz zweier benachbarter Glieder
a1: Anfangsglied einer Folge
an: n-tes Glied einer Folge
n: Anzahl der Glieder der Folge
sn: n-te Partialsumme der ersten n Glieder
a(k): Definitionsgleichung


Gaußsche Summenformel (Kleiner Gauß):
 
Die Gaußsche Summenformel ist eine Formel für die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Diese Reihe ist ein Spezialfall der arithmetischen Reihe. Sie lautet:

MathProf - Gaußsche Summenformel
 

Arithmetische Folge - Berechnung und Darstellung

  
Um Berechnungen mit arithmetischen Zahlenfolgen durchführen und sich diese darstellen zu lassen, sollten Sie folgende Vorgehensweise anwenden:

  1. Wählen Sie das Registerblatt Arithmetische Zahlenfolge.
     
  2. Geben Sie die Werte von exakt 3 der 5 zur Verfügung stehenden Größen in die entsprechenden Felder ein.
     
  3. Um sich zusätzlich die Werte der ersten Glieder der Reihe in der Tabelle ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tabellenwerte ausgeben. Die Anzahl der Werte auszugebender Glieder kann im dafür vorgesehenen Eingabefeld festgelegt werden (voreingestellt: 100).
     
  4. Möchten Sie zudem das Ergebnis der Summation von Gliedern über einen bestimmten Wertebereich ermitteln lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Partialsumme errechnen und geben die entsprechenden Werte in die Felder Partialsumme von und Partialsumme bis ein.
     
  5. Das Programm errechnet nach der Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Werte der noch zu ermittelnden Größen, sowie die Definitionsgleichung a(k) der arithmetischen Zahlenfolge, und gibt diese in der oben angeordneten Tabelle aus.
     
  6. Soll die Folge grafisch ausgegeben werden, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.

Hinweis:

Nicht für jeden Fall existieren eindeutige Lösungen. Insbesondere gibt es Fälle, bei welchen zwei Lösungen existieren. Tritt dies ein, so werden auch diese ausgegeben, wobei zu überprüfen bleibt, welche dieser eine eindeutige Lösung darstellt. Dies kann bei der Vorgabe der Größen a1, d und sn, wie auch bei der Vorgabe der Größen an, d, und sn eintreten.

 

II - Geometrische Zahlenfolgen

 

MathProf - Geometrische Zahlenfolge - Geometrische Folge - Quotient - Glied - Anzahl - Summe - Geometrische Reihe - Konvergenz - Divergenz - Folgenglieder - Geometrische Summe - Geometrische Summenformel - Summen geometrischer Reihen - Bestimmen - Partialsumme - Teilsumme - Summe - Summenwert - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter

 

Geometrische Folge - Formeln - Definition

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen einer geometrischen Zahlenfolge relevant sind.

Definition - Formeln:
 

an = a1 + qn-1

an+1 = an·q 

an = (an-1·an+1)

 

mit a1 0 und q 0

 

Es gilt:

 

q < 0: Folge alternierend

0 < q < 1: Folge monoton fallend

q = 1: Folge konstant

q > 1: Folge monoton wachsend


Geometrische Zahlenfolgen weisen eine konstante Quotientenfolge auf. Sie sind konvergent für -1 < q ≤  1 und divergent für q > 1 sowie q -1
 

Partialsumme - Formel:

 

mit q 1 gilt (geometrische Summenformel):

 

Geometrische Zahlenfolge - Gleichung - 1
 

Folgende Kombinationen werden vom Programm analytisch gelöst:

a1-an-sn

a1-q-sn

a1-q-n

a1-q-an

a1-n-an

q-n-an

q-n-sn
 

Nachfolgend aufgeführte Kombinationen werden vom Programm numerisch iterativ gelöst:

n-an-sn

q-an-sn

a1-n-sn
 

Verwendete Bezeichnungen:

q: Quotient zweier benachbarter Glieder
a1: Anfangsglied einer Folge
an: n-tes Glied einer Folge
n: Anzahl der Glieder der Folge
sn: n-te Partialsumme der ersten n Glieder
a(k): Definitionsgleichung
 

Geometrische Folge - Berechnung und Darstellung

 
Um Berechnungen mit geometrischen Zahlenfolgen durchführen und diese grafisch auszugeben zu lassen, sollten Sie folgende Vorgehensweise anwenden:

  1. Wählen Sie das Registerblatt Geometrische Zahlenfolge.
     
  2. Geben Sie die Werte von exakt 3 der 5 zur Verfügung stehenden Größen in die entsprechenden Felder ein.
     
  3. Um sich zusätzlich die Werte der ersten Glieder der Reihe in der Tabelle ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tabellenwerte ausgeben. Die Anzahl der Werte auszugebender Glieder kann im dafür vorgesehenen Eingabefeld festgelegt werden (voreingestellt: 100).
     
  4. Möchten Sie zudem das Ergebnis der Summation von Gliedern über einen bestimmten Wertebereich ermitteln lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Partialsumme errechnen und geben die entsprechenden Werte in die Felder Partialsumme von und Partialsumme bis ein.
     
  5. Das Programm errechnet nach der Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Werte der noch zu ermittelnden Größen, sowie die Definitionsgleichung a(k) der geometrischen Zahlenfolge, und gibt diese in der oben angeordneten Tabelle aus.
     
  6. Soll die Folge grafisch ausgegeben werden, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.

Hinweis:

Nicht für jeden Fall existieren eindeutige Lösungen. Dies trifft insbesondere auf iterativ zu lösende Aufgaben zu, jedoch können auch interne Rundungsfehler dazu führen, dass bei arithmetisch lösbaren Aufgaben keine Lösung gefunden wird. Bei Einteten einer solchen Situation wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.

 

III - Geometrische Reihen

 
Die Summe von Gliedern einer Folge wird als Reihe bezeichnet:
 

MathProf - Partialsummenfolge
Eine unendliche Reihe ist exakt dann konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge konvergiert. Divergiert diese, so ist die Reihe divergent. Der Grenzwert S einer Partialsummenfolge heißt Summe der Reihe.

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Ist der Betrag des Quotienten |q| einer geometrischen Reihe kleiner 1, so konvergiert sie. Ist |q| 1 (Grenzwert der Partialsummenfolge), so divergiert sie.

 

Geometrische Reihe - Formeln - Definition

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen einer geometrischen Reihe relevant sind.


Definition - Formel:
 

Geometrische Reihe - Gleichung

 

konvergent für |q| < 1

 

Partialsumme:

 

sn = a1 / (1 - q)

 

Verwendete Bezeichnungen:

 

a1: Anfangsglied einer Folge
q: Quotient zweier benachbarter Glieder
sn: n-te Partialsumme der ersten n Glieder
n: Anzahl der Glieder der Folge

 

Geometrische Reihe - Berechnung

 
Um Berechnungen mit einer geometrischen Reihe durchführen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:

  1. Wählen Sie das Registerblatt Geometrische Reihe.
     
  2. Geben Sie die Werte für a1 und q in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so wird das Ergebnis der Summe der geometrischen Reihe ausgegeben.

Hinweis:

Ist die Reihe konvergent, so wird das Ergebnis angezeigt, andernfalls erhalten Sie eine Fehlermeldung.
 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular

MathProf - Zahlenfolgen arithmetisch - Darstellung - Arithmetische Zahlenreihen


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

  • Beschriftung: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlenfolgen

Zahlenfolgen - Interaktiv

Rekursive Zahlenfolgen

Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel 1 - Arithmetische Zahlenfolgen:

Als bekannte Größen einer arithmetischen Zahlenfolge seien gegeben:

Glied a(1): 2

Glied a(n): 5

Anzahl n: 12

 

Es gilt die Differenz d sowie die Summe sn der Zahlenfolge ermitteln zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach einer Wahl des Registerblatts Arithmetische Zahlenfolgen, einer Eingabe der o.a. Werte in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Differenz d: 0,272

Summe sn: 42
 

Ferner ermittelt das Programm für die Definitionsgleichung der Zahlenfolge den Term:

a(k) = 1,7272+0,2727·K

Beispiel 2 - Geometrische Zahlenfolgen:

Von einer geometrischen Zahlenfolge seien folgende bekannte Größen gegeben:

Glied a(1): 3

Glied a(n): 1

Anzahl n: 6

 

Es ist der Quotient q sowie die Summe sn der Zahlenfolge zu ermitteln.
 

Vorgehensweise und Lösung:

Wird das Registerblatt Geometrische Zahlenfolgen aktiviert und werden die zuvor aufgeführten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder eingegeben, so gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:

Quotient q: 0,802

Summe sn: 11,138
 

Ferner wird für die Definitionsgleichung der Zahlenfolge der nachfolgend aufgeführte Term angezeigt:

a(k) = 3·0,80274(K-1)

Beispiel 3 - Geometrische Reihe:

 

Einem Quadrat mit der Seitenlänge a = 1 ist ein zweites Quadrat derart eingeschrieben, dass dessen Eckpunkte die Seiten des ersten Quadrats im Verhältnis 1:2 teilen; dem zweiten Quadrat wird ein drittes Quadrat nach derselben Vorschrift eingeschrieben usw.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Wahl des Registerblatts Geometrische Reihe, einer Eingabe der Zahlenwerte für a = 1 und q = 0,5, sowie der Bedienung der Schaltfläche Berechnen erhalten Sie das Ergebnis:

 

Summe der geom. Reihe: 2

 

Es ergibt sich somit eine max. Gesamthöhe (als Summe der unendlichen Reihe) von 2 mit a = 1 und q = 1/2. Dies entspricht dem Grenzwert der unendlichen Reihe: 1 + 1/2 + 1/4 +1/8 +1/16 ... = 2.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Arithmetische Zahlenfolge - Arithmetische Reihe - Arithmetisch - Zahlenfolge - Numerisch - Graphisch - Graph - Plotter - Beispiel - Arithmetische Folge - Konvergenz - Divergenz - Folgenglieder - Bildungsvorschrift - Bildungsgesetz  - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Arithmetische Zahlenfolge - Beispiel 1

MathProf - Arithmetische Zahlenfolge - Arithmetische Folge - Arithmetische Reihe - Beispiel - Folgenglieder - Bildungsvorschrift - Bildungsgesetz  - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Arithmetiscche Zahlenfolge - Beispiel 2

MathProf - Geometrische Zahlenfolge - Geometrische Reihe - Reihe - Nullfolge - Konvergenz - Divergenz - Graph - Rechner - Beispiel - Geometrische Folge - Folgenglieder
Grafische Darstellung - Geometrische Zahlenfolge - Beispiel 1

MathProf - Geometrische Zahlenreihe - Geometrische Folge - Konvergenz - Lösen - Konvergent - Beispiel - Bildungsvorschrift - Bildungsgesetz - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Geometrische Zahlenfolge - Beispiel 2
      

IV - Arithmetische Reihen

 
Bei arithmetischen Reihen ist die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Ihr Summenwert errechnet sich wie nachfolgend gezeigt:


a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]  = n/2 [2a + (n-1)d]

Mit:
a: Anfangsglied
a + (n-1)d: Endglied

k = 1, 2, 3, ... n
 

      

V - Unendliche Reihen - Partialsummen

 
Eine Partialsumme (Teilsumme) sn wird aus den Gliedern einer unendlichen Zahlenfolge gebildet. Sie heißt n-te Partialsumme und ihre Definition sowie ihre Schreibweise lautet:


MathProf - Unendliche Reihen - Partialsumme - Formel

Die Folge dieser Partialsummen wird als unendliche Reihe bezeichnet. Sie ist wie folgt definiert:

MathProf - Unendliche Reihen - Partialsumme - Formel

Besitzt diese Folge der Partialsummen sn einen Grenzwert s, so lautet ihre Bezeichnung konvergent mit dem Summenwert s.

MathProf - Unendliche Reihen - Partialsumme - Summe - Summenwert - Formel - 3

Besitzt sie hingegen keinen Summenwert, so heißt sie divergent.
 

 

VI - Spezielle und sonstige Reihen
Exponentialreihe - Logarithmische Reihe - Trigonometrische Reihe - Sinusreihe - Cosinusreihe - Reihendarstellung

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige wichtige konvergente sowie spezielle Reihen.

I - Wichtige konvergente Reihen:


Eulersche Zahl:

MathProf - Reihen - Konvergente Reihen - Eulersche Zahl

Natürlicher Logarithmus der Zahl 2:

MathProf - Reihen - Konvergente Reihen - Logarithmus - Natürlicher Logarithmus - 2

Zahl 1:

- Reihen - Konvergente Reihen - Zahlen - 1

II - Reihen für Exponentialfunktionen (Exponentialreihen):

MathProf - Reihen - Konvergente Reihen - Eulersche Zahl - X - e^x

MathProf - Reihen - Konvergente Reihen - Potenz - a^x

III - Reihen für Logarithmusfunktionen (Logarithmische Reihen - Natürlicher Logarithmus):

MathProf- Reihen - Konvergente Reihen - Logarithmus - Natürlicher Logarithmus - X

MathProf- Reihen - Konvergente Reihen - Logarithmus - Natürlicher Logarithmus - X

IV - Reihen für trigonometrische Funktionen (Sinusreihe - Cosinusreihe - Tangensreihe):

Reihendarstellung - Sinus:

Mathprof - Reihen - Konvergente Reihen - Trigonometrische Reihe - Sinus - Sin(x)

Reihendarstellung - Cosinus:

Mathprof - Reihen - Konvergente Reihen - Trigonometrische Reihe - Cosinus - Cos(x)

Reihendarstellung - Tangens:

Mathprof - Reihen - Konvergente Reihen - Trigonometrische Reihe - Tangens - Tan(x)

Reihendarstellung - Cotangens:

Mathprof - Reihen - Konvergente Reihen - Trigonometrische Reihe - Cotangens - Cotan(x)

 

 

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Arithmetische Folge sowie unter Wikipedia - Geometrische Folge und unter Wikipedia - Infimum und Supremum zu finden.
 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Geometrische Reihe - Arithmetische Folge - Geometrische Folge - Arithmetische Reihe - Arithmetische Zahlenfolge - Geometrische Zahlenfolge - Partialsumme - Teilsumme - Summe - Reihe - Folge - Rechner - Berechnen - Eigenschaften - Darstellung - Tabelle - Berechnung - Darstellen
Startfenster des Unterprogramms Artihmetische und geometrische Zahlenfolgen
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Rekursive Zahlenfolge - Rekursive Zahlenreihe - Rekursive Folge - Rekursiv - Zahlenfolge - Zahlenreihe - Folge - Reihe - Plotten - Bilder   - Bildung - Vorschrift - Plotter - Berechnen - Rechner - Analyse - Eigenschaften - Tabelle - Darstellung - Formel - Funktion - Grafik - Zeichnen -   Berechnung - Darstellen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Rekursive Zahlenfolgen



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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